Ce se întâmplă cu suprafața unei foi dreptunghiulare. Aplicarea elementelor triz în lecțiile de matematică. Patratele din doua bucati

Pagina 6 din 8

Capitolul cinci.

DISPARIȚIA FIIGURILOR. SECȚIUNEA I

În acest capitol și în următorul capitol vom urmări dezvoltarea multor paradoxuri geometrice remarcabile. Toate încep cu tăierea figurii în bucăți și se termină cu compilarea acestor piese ale unei noi figuri. În același timp, se pare că o parte a figurii originale (aceasta poate face parte din zona figurii sau unul dintre mai multe desene descrise pe ea) a dispărut fără urmă. Când piesele revin la locurile inițiale, partea dispărută a zonei sau desenul reapare în mod misterios.

Natura geometrică a acestor dispariții și apariții curioase justifică includerea acestor paradoxuri în categoria puzzle-urilor matematice.

Paradox cu replici

Toate numeroasele paradoxuri pe care le vom lua în considerare aici se bazează pe același principiu, pe care îl vom numi „principiul redistribuirii ascunse”. Iată un paradox foarte vechi și foarte elementar, care explică imediat esența acestui principiu.

Desenați zece linii verticale de aceeași lungime pe o foaie de hârtie dreptunghiulară și trageți o diagonală cu o linie punctată, așa cum se arată în Fig. 50.

Să ne uităm la segmentele acestor linii deasupra și dedesubtul diagonalei; este ușor de observat că lungimea primului scade, iar a doua crește în consecință.

Să tăiem dreptunghiul de-a lungul liniei punctate și să mutăm partea inferioară la stânga în jos, așa cum se arată în Fig. 51.

Numărând numărul de linii verticale, veți descoperi că acum sunt nouă. Care linie a dispărut și unde? Mutați partea stângă înapoi în poziția inițială și linia care a dispărut va reapărea.

Dar care linie a căzut la loc și de unde a venit?

La început, aceste întrebări par derutante, dar după o mică reflecție devine clar că nicio linie nu dispare sau nu apare. Ce se întâmplă este că aceste opt incremente sunt exact egale cu lungimea fiecăreia dintre liniile originale.

Poate că esența paradoxului va ieși și mai clar dacă va fi ilustrată pe pietricele.

Luați cinci mormane de pietricele, patru pietricele într-o grămadă. Să mutăm o pietricică din a doua grămadă la prima, două pietricele de la a treia la a doua, trei de la a patra la a treia și, în final, toate cele patru pietricele de la a cincea la a patra. Orez. 52 explică acțiunile noastre.

După o astfel de schimbare, se dovedește că erau doar patru grămezi. Este imposibil să răspundem la întrebarea care grămadă a dispărut, deoarece pietricelele au fost redistribuite astfel încât fiecare dintre cele patru grămezi a fost adăugată o pietricică. Exact același lucru se întâmplă în paradoxul liniei. Când părți ale foii sunt deplasate în diagonală, segmentele liniilor tăiate sunt redistribuite și fiecare linie rezultată devine puțin mai lungă decât originalul.

Dispariția facială

Să trecem la o descriere a modalităților în care paradoxul cu replici poate deveni mai interesant și mai distractiv. Acest lucru se poate realiza, de exemplu, prin înlocuirea dispariției și apariției liniilor cu aceeași dispariție și apariție a figurilor plane. Imaginile de creioane, țigări, cărămizi, pălării cu coroană înaltă, pahare cu apă și alte obiecte extinse vertical, a căror natură a imaginii rămâne aceeași înainte și după schimb, sunt potrivite în special aici. Cu ceva ingeniozitate artistică, poți lua obiecte mai complexe. Uită-te, de exemplu, la fața care dispare din fig. 53.
Prin deplasarea benzii inferioare din partea de sus a imaginii spre stânga, toate pălăriile rămân neafectate, dar o față dispare complet! (vezi josul imaginii). Nu are rost să întrebi ce fel de față, pentru că atunci când te schimbi, patru fețe sunt împărțite în două părți. Aceste părți sunt apoi redistribuite, fiecare față primind mai multe trăsături suplimentare: una, de exemplu, un nas mai lung, alta o bărbie mai alungită etc. Aceste mici redistribuiri sunt însă ingenios ascunse, iar dispariția întregii fețe este, de desigur, mult mai izbitoare decât dispariția unei bucăți de linie.

„Războinicul dispărut”

În acest puzzle, paradoxului cu linii i se dă o formă circulară, iar segmentele de linie dreaptă sunt înlocuite cu figuri a 13 războinici (Fig. 54).
În același timp, o săgeată mare indică spre nord-est de S.V., săgeata va indica spre nord-vest NV, vor fi 12 războinici în figură (Fig. 55).
Când cercul se rotește direcție inversă până la poziția când săgeata mare este din nou pe NE, războinicul dispărut va apărea din nou.

Dacă fig. 54 aruncați o privire mai atentă, puteți observa că cei doi războinici din partea stângă jos a imaginii sunt amplasați într-un mod special: sunt unul vizavi de celălalt, în timp ce restul sunt așezați într-un lanț. Aceste două cifre corespund liniilor extreme din paradoxul segmentului de linie. Pe baza cerințelor desenului, fiecăreia dintre aceste figuri ar trebui să lipsească o parte a piciorului și, pentru a face acest defect mai puțin vizibil în poziția rotită a roții, ar fi mai bine să le înfățișați una lângă alta.

De asemenea, observăm că războinicii sunt reprezentați în figură cu mult mai multă ingeniozitate decât ar părea la prima vedere. Deci, de exemplu, pentru ca figurile să rămână în poziție verticală în toate locurile globului, este necesar într-un caz să aveți piciorul drept în loc de cel stâng, iar în celălalt, dimpotrivă, în loc de piciorul drept, cel stâng.

Iepurașul Pierdut

Paradoxul liniilor verticale poate fi evidentiat pe obiecte mai complexe, precum chipuri umane, figuri de animale etc. In fig. 56 arată o opțiune.
Când, după tăierea de-a lungul unei linii groase, dreptunghiurile A și B sunt schimbate, un iepure dispare, lăsând un ou de Paște în locul său. Dacă în loc să schimbați dreptunghiurile A și B, tăiați jumătatea dreaptă a desenului de-a lungul liniei punctate și schimbați părțile potrivite, numărul de iepuri crește la 12, dar un iepure își pierde urechile și apar alte detalii amuzante.

Capitolul șase.

DISPARIȚIA FIIGURILOR. SECȚIUNEA I eu

Paradoxul tablei de șah

Strâns legată de paradoxurile discutate în capitolul precedent este o altă clasă de paradoxuri în care „principiul redistribuirii ascunse” explică dispariția sau apariția misterioasă a pătratelor. Unul dintre cele mai vechi și simple exemple de paradoxuri de acest fel este prezentat în Fig. 57.
Tabla de șah este tăiată oblic, așa cum se arată în jumătatea stângă a figurii, apoi partea B este deplasată în jos spre stânga, așa cum se arată în jumătatea dreaptă a figurii. Dacă triunghiul care iese în colțul din dreapta sus este tăiat cu foarfecele și plasat într-un spațiu gol care arată ca un triunghi în colțul din stânga jos al imaginii, atunci se va obține un dreptunghi de 7x9 unități pătrate.

Suprafața inițială era de 64 de unități pătrate, dar acum este de 63. Unde a dispărut unitatea pătrată care lipsea?

Răspunsul este că linia noastră diagonală trece puțin sub colțul din stânga jos al pătratului situat în colțul din dreapta sus al tablei.

Din acest motiv, triunghiul tăiat are o înălțime egală nu cu 1, ci cu 1 1/7. Și astfel, înălțimea nu este de 9, ci de 9 1/7 unități. Creșterea înălțimii cu 1/7 unitate este aproape imperceptibilă, dar, luată în considerare, rezultă o suprafață dreptunghiulară necesară de 64 de unități pătrate.

Paradoxul devine și mai frapant dacă, în loc de o tablă de șah, luăm doar o foaie pătrată de hârtie fără celule, deoarece în cazul nostru, o examinare atentă dezvăluie o închidere inexactă a celulelor de-a lungul liniei de tăiere.

Legătura dintre paradoxul nostru cu paradoxul liniilor verticale, discutat în capitolul anterior, devine clară dacă urmărim celulele de la linia de tăiere. Când se deplasează în sus de-a lungul liniei de tăiere, se constată că părțile celulelor tăiate de deasupra liniei (sunt întunecate în figură) scad treptat și cresc treptat sub linie. Pe tabla de șah erau cincisprezece pătrate umbrite, dar pe dreptunghiul obținut după rearanjarea pieselor erau doar paisprezece. Dispariția aparentă a unei celule întunecate este pur și simplu o altă formă a paradoxului discutat mai sus. Când tăiem și apoi amestecăm micul triunghi, tăiem efectiv piesa A a tablei de șah în două bucăți, care sunt apoi schimbate de-a lungul diagonalei.

Pentru puzzle sunt importante doar celulele adiacente liniei de tăiere, în timp ce restul nu contează, jucând rolul de decor. Cu toate acestea, prezența lor schimbă natura paradoxului. În loc de dispariția uneia dintre mai multe celule mici (sau mai multe figură complexă, să zicem, o carte de joc, chip uman etc., care ar putea fi desenate în interiorul fiecărei celule), ne confruntăm aici cu o schimbare în zona unei figuri geometrice mari.

Paradoxul pătratului

Iată un alt paradox cu zona. Prin schimbarea poziției pieselor A și C, așa cum se arată în Fig. 58, este posibilă transformarea unui dreptunghi de 30 de unități pătrate în două dreptunghiuri mai mici cu o suprafață totală de 32 de unități pătrate, obținându-se astfel un „câștig” de două unități pătrate. Ca și în paradoxul anterior, doar celulele adiacente liniei de tăiere joacă un rol aici. Restul sunt doar pentru decor.
În acest paradox, există două esențiale diferite căi tăind figura în bucăți.

Puteți începe cu un dreptunghi mare de 3x10 unități (partea superioară a Fig. 58), desenând cu atenție o diagonală în el, apoi două dreptunghiuri mai mici (partea de jos a Fig. 58) vor fi cu 1/5 unități mai scurte decât dimensiunile lor aparente.

Dar poți începe și cu o figură alcătuită din două dreptunghiuri mai mici de 2x6 și 4x5 unități desenate cu grijă; atunci segmentele care leagă punctul X cu punctul Y și punctul Y cu punctul Z nu vor forma o dreaptă. Și doar pentru că s-au format unghi obtuz cu un vârf în punctul Y este foarte aproape de cel desfășurat, linia întreruptă XYZ pare a fi o linie dreaptă. Prin urmare, o figură formată din părți din dreptunghiuri mici nu va fi de fapt un dreptunghi, deoarece aceste părți se vor suprapune ușor de-a lungul diagonalei. Paradoxul tablei de șah, la fel ca majoritatea alte paradoxuri pe care le vom lua în considerare în acest capitol pot fi, de asemenea, prezentate în două moduri. În una dintre ele, paradoxul se obține datorită unei scăderi sau creșteri ușoare a înălțimii (sau lățimii) figurilor, în cealaltă - datorită creșterii sau pierderii suprafeței de-a lungul diagonalei, cauzată fie de suprapunerea figuri, ca în cazul tocmai analizat, sau prin apariția unor spații goale, cu care ne vom întâlni în curând.

Prin modificarea dimensiunii figurilor și a pantei diagonalei, acestui paradox i se poate da un design foarte diferit. Puteți obține o pierdere sau un câștig în suprafață de 1 unitate pătrată sau 2, 3, 4, 5 unități etc.

Varianta pătrată

Într-o versiune elegantă, dreptunghiurile originale de unități de 3x8 și 5x8, atunci când sunt plasate unul lângă celălalt, formează o tablă de șah obișnuită de 8x8. Aceste dreptunghiuri sunt tăiate în bucăți, care, după redistribuire, formează un nou dreptunghi mare cu o suprafață aparentă crescută de o unitate pătrată (Fig. 59).
Esența paradoxului este următoarea. Cu o construcție atentă a unui desen al unui pătrat, o diagonală strictă a unui dreptunghi mare nu funcționează. În schimb, apare o figură în formă de diamant, atât de alungită încât laturile ei par aproape că se unesc. Pe de altă parte, dacă desenați cu atenție diagonala unui dreptunghi mare; înălțimea de sus a celor două dreptunghiuri care alcătuiesc pătratul va fi puțin mai mare decât ar trebui, iar dreptunghiul de jos va fi puțin mai lat. Rețineți că închiderea inexactă a părților figurii în a doua metodă de tăiere este mai izbitoare decât inexactitățile de-a lungul diagonalei din prima; deci prima cale este de preferat. Ca și în exemplele întâlnite anterior, în interiorul celulelor, disecate de diagonală, se pot desena cercuri, fizionomii sau un fel de figuri; la rearanjare părțile constitutive dreptunghiurile acestor figuri vor deveni unul mai mult sau mai puțin.

numerele Fibonacci

Se dovedește că lungimile laturilor celor patru părți care alcătuiesc figurile (Fig. 59 și 60) sunt membre ale seriei Fibonacci, adică o serie de numere care încep cu două unități: 1, 1, fiecare dintre care, începând de la a treia, este suma a două anterioare. Seria noastră arată ca 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Dispunerea pieselor, din care s-a taiat patratul, sub forma unui dreptunghi, ilustreaza una dintre proprietatile seriei Fibonacci si anume urmatoarea: la patratul oricarui membru al acestei serii, produsul a doua elemente adiacente ale seriei. se obține plus sau minus unu. În exemplul nostru, latura pătratului este 8, iar aria este 64. 8 din seria Fibonacci este situat între 5 și 13. Deoarece numerele 5 și 13 devin lungimile laturilor dreptunghiului, aria lui ar trebui să fie fie egal cu 65, ceea ce dă o creștere a suprafeței cu o unitate.

Datorită acestei proprietăți a seriei, este posibil să construiți un pătrat a cărui latură este orice număr Fibonacci mai mare decât unu și apoi să îl tăiați în conformitate cu cele două numere anterioare ale acestei serii.

Dacă, de exemplu, luăm un pătrat de 13x13 unități, atunci cele trei laturi ale sale ar trebui împărțite în segmente de lungime de 5 și 8 unități și apoi tăiate, așa cum se arată în Fig. 60. Aria acestui pătrat este de 169 de unități pătrate. Laturile dreptunghiului format din părțile pătratelor vor fi 21 și 8, dând o suprafață de 168 de unități pătrate. Aici, din cauza suprapunerii părților de-a lungul diagonalei, nu se adaugă o unitate pătrată, ci se pierde.

Dacă luăm un pătrat cu latura de 5, atunci va exista și o pierdere a unei unități pătrate. Este posibil să se formuleze regula generala: luând pentru latura pătratului un număr din „prima” subsecvență de numere Fibonacci situate una după alta (3, 8 ...) și compunând un dreptunghi din părțile acestui pătrat, vom obține un decalaj de-a lungul lui diagonală și, ca urmare, o creștere aparentă a suprafeței cu o unitate. Luând un număr din „a doua” subsecvență (2, 5, 13…) ca latură a pătratului, obținem suprafețe suprapuse de-a lungul diagonalei dreptunghiului și pierderea unei unități pătrate de zonă.

Puteți construi un paradox chiar și pe un pătrat cu o latură de două unități. Dar apoi există o suprapunere atât de evidentă în dreptunghiul 3x1 încât efectul de paradox se pierde complet.

Folosind alte serii Fibonacci pentru paradox, puteți obține nenumărate opțiuni. Deci, de exemplu, pătratele bazate pe un rând de 2, 4, 6, 10, 16, 26 etc. au ca rezultat o pierdere sau un câștig de 4 unități pătrate. Mărimea acestor pierderi sau câștiguri poate fi găsită calculând pentru o serie dată diferența dintre pătratul oricăruia dintre termenii săi și produsul celor doi termeni adiacenți ai săi din stânga și din dreapta. Rândul 3, 4, 7, 11, 18, 29 etc. oferă o creștere sau o pierdere de cinci unități pătrate. T. de Moulidar a dat un desen al unui pătrat bazat pe seria 1, 4, 5, 9, 14 etc. Latura acestui pătrat se ia egală cu 9, iar după transformarea lui într-un dreptunghi se pierd 11 unități pătrate. . Rândul 2, 5, 7, 12, 19 ... oferă, de asemenea, o pierdere sau un câștig de 11 unități pătrate. În ambele cazuri, suprapunerile (sau golurile) de-a lungul diagonalei sunt atât de mari încât pot fi văzute imediat.

Notând oricare trei numere Fibonacci consecutive cu A, B și C și cu X - pierdere sau câștig în zonă, obținem următoarele două formule:

A + B = C

B 2 \u003d AC ± X

Dacă înlocuim în loc de X câștigul sau pierderea dorită și în loc de B un număr care este luat drept lungimea laturii pătratului, atunci putem construi ecuație pătratică, din care mai sunt două numere Fibonacci, deși acestea, desigur, nu vor fi neapărat numere rationale. Se dovedește, de exemplu, că împărțind un pătrat în cifre cu lungimi raționale ale laturii, nu se poate obține o creștere sau o pierdere de două sau trei unități pătrate. Prin utilizarea numere irationale acest lucru se poate realiza desigur. Astfel, seria Fibonacci 2 1/2 , 2 2 1/2 , 3 2 1/2 , 5 2 1/2 dă o creștere sau pierdere a două unități pătrate, iar seria 3 1/2 , 2 3 1/2 , 3 3 1/2 , 5 3 1/2 are ca rezultat un câștig sau o pierdere de trei unități pătrate.

Varianta dreptunghi

Există multe moduri în care un dreptunghi poate fi tăiat într-un număr mic de bucăți și apoi pliat într-un alt dreptunghi cu o suprafață mai mare sau mai mică. Pe fig. 61 arată un paradox, bazat tot pe seria Fibonacci.
Asemenea cazului pătrat tocmai discutat, alegerea unui număr Fibonacci din „a doua” subsecvență ca lățime a primului dreptunghi (13 în acest caz) are ca rezultat o creștere a ariei celui de-al doilea dreptunghi cu o unitate pătrată.

Dacă luăm un număr Fibonacci din subsecvența „suplimentară” ca lățime a primului dreptunghi, atunci aria din al doilea dreptunghi va scădea cu o unitate. Pierderile și câștigurile în zonă sunt explicate prin suprapuneri sau goluri mici de-a lungul secțiunii diagonale a celui de-al doilea dreptunghi. O altă versiune a unui astfel de dreptunghi, prezentată în Fig. 62, la construirea celui de-al doilea dreptunghi, are ca rezultat o creștere a ariei cu două unități pătrate.

Dacă partea umbrită a zonei celui de-al doilea dreptunghi este plasată peste partea neumbrită, cele două tăieturi diagonale se îmbină într-o diagonală mare. Acum rearanjand părțile A și B (ca în Fig. 61), obținem un al doilea dreptunghi cu o zonă mai mare.

O altă versiune a paradoxului

La însumarea ariilor părților, permutarea triunghiurilor B și C din partea superioară a Fig. 63 are ca rezultat o pierdere aparentă de o unitate pătrată.
După cum va observa cititorul, acest lucru se datorează zonelor părților umbrite: în partea de sus a figurii sunt 15 pătrate umbrite, în partea de jos - 16. Înlocuind piesele umbrite cu două figuri de un fel special care le acoperă, vom ajunge la o formă nouă, izbitoare de paradox. Acum avem în fața noastră un dreptunghi, care poate fi tăiat în 5 părți, apoi, schimbându-le, alcătuiți un nou dreptunghi și, în ciuda faptului că dimensiunile sale liniare rămân aceleași, o gaură cu o zonă de în interior apare o unitate pătrată (Fig. 64).
Posibilitatea de a converti o figură în alta, de aceleași dimensiuni exterioare, dar cu o gaură în interiorul perimetrului, se bazează pe următoarele. Dacă luați punctul X exact trei unități de la bază și cinci unități din partea dreptunghiului, atunci diagonala nu va trece prin el. Cu toate acestea, polilinia care leagă punctul X cu vârfurile opuse ale dreptunghiului se va abate atât de puțin de la diagonală încât va fi aproape imperceptibilă.

După schimbarea triunghiurilor B și C în jumătatea inferioară a desenului, părțile figurii se vor suprapune ușor de-a lungul diagonalei.

Pe de altă parte, dacă în partea de sus a figurii considerăm linia care leagă vârfurile opuse ale dreptunghiului ca o diagonală desenată exact, atunci linia XW va fi puțin mai lungă de trei unități. Și, drept consecință, al doilea dreptunghi va fi puțin mai înalt decât pare. În primul caz, unitatea de suprafață lipsă poate fi considerată ca fiind distribuită de la colț la colț și formând o suprapunere de-a lungul diagonalelor. În al doilea caz, pătratul lipsă este distribuit pe lățimea dreptunghiului. După cum știm deja din precedentul, toate paradoxurile de acest fel pot fi atribuite uneia dintre aceste două opțiuni de construcție. În ambele cazuri, inexactitățile cifrelor sunt atât de mici încât sunt complet invizibile.

Cea mai elegantă formă a acestui paradox sunt pătratele, care, după redistribuirea pieselor și formarea unei găuri, rămân pătrate.

Astfel de pătrate sunt cunoscute în nenumărate variante și cu găuri de orice număr de unități pătrate. Unele dintre cele mai interesante dintre ele sunt prezentate în Fig. 65 și 66.

Puteți indica o formulă simplă care leagă dimensiunea găurii de proporțiile triunghiului mare. Cele trei dimensiuni care vor fi discutate, le vom nota cu A, B la C (Fig. 67).
Aria găurii în unități pătrate este egală cu diferența dintre produsul lui A și C și cel mai apropiat multiplu al mărimii B. Deci, în ultimul exemplu, produsul lui A și C este 25. Cel mai apropiat multiplu al dimensiunea B până la 25 este 24, deci gaura este o unitate pătrată. Această regulă se aplică indiferent dacă este trasată diagonala reală sau punctul X din fig. 67 se aplică cu grijă la intersecția liniilor rețelei pătrate.

Dacă diagonala, așa cum ar trebui să fie, este trasată ca o linie strict dreaptă, sau dacă punctul X este luat exact la unul dintre vârfurile rețelei pătrate, atunci nu se obține paradox. În aceste cazuri, formula oferă o gaură cu zero unități pătrate, indicând, desigur, că nu există nicio gaură.

Varianta de triunghi

Să revenim la primul exemplu de paradox (vezi Fig. 64). Rețineți că triunghiul mare A nu își schimbă poziția, în timp ce celelalte părți se mișcă. Deoarece acest triunghi nu joacă un rol semnificativ în paradox, el poate fi aruncat cu totul, lăsând doar triunghiul dreptunghic tăiat în patru părți. Aceste piese pot fi apoi redistribuite, obținându-se astfel un triunghi dreptunghic cu o gaură (Fig. 68), parcă egal cu cel original.
Compunând două astfel de triunghiuri dreptunghiulare cu picioare, puteți construi multe variante de triunghiuri isoscele, similare cu cea prezentată în Fig. 69.
La fel ca în paradoxurile considerate anterior, aceste triunghiuri pot fi construite în două moduri: fie desenați-le laturi strict rectiliniu, atunci punctul X nu va cădea pe intersecția liniilor rețelei pătrate sau nu va plasa punctul X exact la intersecție, atunci laturile vor fi ușor convexe sau concave. Această din urmă metodă pare să mascheze mai bine inexactitățile din desen. Paradoxul va părea și mai surprinzător dacă liniile unei rețele pătrate sunt aplicate părților care alcătuiesc triunghiul, subliniind astfel că piesele au fost realizate cu precizia necesară.

Oferind triunghiurilor noastre isoscele dimensiuni diferite, putem câștiga sau pierde orice număr par de unități pătrate.

Câteva exemple tipice sunt date în Fig. 70, 71 și 72.

Făcând două baze triunghi isoscel oricare dintre aceste tipuri, puteți construi o varietate de opțiuni pentru o vedere rombică; cu toate acestea, ele nu adaugă nimic esențial nou la paradoxul nostru.

Patrate de patru piese

Toate tipurile de paradoxuri cu schimbare de zonă pe care le-am luat în considerare până acum sunt strâns legate între ele din punct de vedere al modului de construcție. Cu toate acestea, există paradoxuri obținute prin metode complet diferite. Puteți, de exemplu, să tăiați un pătrat în patru părți de aceeași formă și dimensiune (fig. 73), apoi să le compuneți într-un mod nou, așa cum se arată în fig. 74. Rezultă astfel un pătrat, ale cărui dimensiuni par să nu se fi schimbat și în același timp cu o gaură în mijloc.
În mod similar, puteți tăia un dreptunghi cu orice raport al lungimii laturilor. Este curios că punctul A, în care cei doi se intersectează, pare neschimbat și în același timp cu o gaură în mijloc.

În mod similar, puteți tăia un dreptunghi cu orice raport al lungimii laturilor. În mod curios, punctul A, în care două linii de tăiere perpendiculare se intersectează, poate fi situat oriunde în interiorul dreptunghiului. În fiecare caz, atunci când piesele sunt redistribuite, apare o gaură, iar dimensiunea acesteia depinde de unghiul format de liniile tăiate cu laturile dreptunghiului.

Acest paradox este relativ simplu, dar pierde mult pentru că chiar și un studiu superficial arată că laturile celui de-al doilea dreptunghi ar trebui să fie puțin mai mari decât laturile primului.

Un mod mai complicat de a tăia un pătrat în patru părți, care are ca rezultat o gaură interioară, este prezentat în Fig. 75.

Se bazează pe paradoxul tablei de șah care deschide acest capitol. Rețineți că atunci când redistribuiți piesele, două dintre ele trebuie întoarse cu susul în jos. De asemenea, rețineți că atunci când partea A este aruncată, obținem un triunghi dreptunghic format din trei părți, în interiorul căruia se poate forma o gaură.

Patratele din trei bucati

Există o modalitate de a tăia un pătrat în trei bucăți care pot fi rearanjate pentru a face un pătrat cu o gaură în interior? Răspunsul va fi pozitiv. O soluție elegantă se bazează pe aplicarea paradoxului discutat în capitolul anterior.

În loc să așezați pozele într-un mod special în pervazuri, și să faceți tăierea dreaptă (orizontală), pozele sunt așezate pe o singură linie dreaptă, iar tăierea se face în margini. Rezultatul este uimitor: nu numai că imaginea dispare, dar apare o gaură în locul dispariției sale.

Patratele din doua bucati

Este posibil să faci același lucru cu două părți?

Nu cred că în acest caz este posibil prin orice metodă să se obțină o gaură internă într-un pătrat prin creșterea imperceptibilă a înălțimii sau lățimii acestuia. Cu toate acestea, s-a demonstrat că paradoxul „găurii într-un pătrat” poate fi construit pe același principiu ca și paradoxul războinicului care dispare. În acest caz, în loc să așeze figurile într-o spirală sau treaptă, acestea sunt așezate strict în cerc, în timp ce tăietura se face în spirală sau în trepte; în acest din urmă caz, are forma unei roți dințate cu dinți de diferite dimensiuni. Când această roată este rotită, o figură dispare și o gaură apare în locul ei.

Părțile fixe și rotative sunt bine fixate între ele numai în poziția în care apare gaura. În poziția inițială, sunt vizibile mici goluri la fiecare dinte dacă incizia a fost treptă, sau un gol circular continuu cu o incizie în spirală.

Dacă dreptunghiul inițial nu este un pătrat, acesta poate fi tăiat în două părți, iar apoi se poate obține o gaură în interior cu o schimbare foarte mică vizibilă a dimensiunilor sale exterioare. Pe fig. 76 arată o opțiune.

Ambele părți sunt identice atât ca formă, cât și ca mărime. Cel mai simplu mod de a demonstra acest paradox este în felul următor: tăiați părți din carton, îndoiți-le sub formă de dreptunghi fără gaură, puneți-le pe o foaie de hârtie și încercuiți perimetrul cu un creion. Pliând piesele într-un mod diferit acum, puteți vedea că încă nu depășesc linia trasă, deși s-a format o gaură în mijlocul dreptunghiului.

La cele două părți ale noastre le putem adăuga, desigur, o a treia, făcută sub formă de bandă, care, atunci când este aplicată pe una dintre laturile dreptunghiului, o transformă într-un pătrat; astfel obținem un alt mod de a tăia un pătrat în trei părți, dând o gaură interioară.

Variante curbilinie și 3D

Exemplele pe care le-am dat arată clar că domeniul paradoxurilor cu schimbare de zonă abia începe să se dezvolte. Există forme curbilinii, cum ar fi cercuri sau elipse, care pot fi tăiate în bucăți și apoi reasamblate în așa fel încât, fără denaturarea vizibilă a figurii, să se obțină găuri interne?

Există figuri tridimensionale care sunt specifice trei dimensiuni, adică nu sunt o consecință trivială a figurilor bidimensionale? Este clar că pentru orice figură plată, pe care l-am întâlnit în acest capitol, puteți „adăuga o dimensiune” prin simpla tăiere dintr-un carton destul de gros, a cărui înălțime este egală cu „lungimea celei de-a treia dimensiuni”).

Este posibil să tăiem un cub sau, să zicem, o piramidă într-un mod nu foarte complicat în părți, astfel încât, alcătuindu-le într-un mod nou, să obținem goluri vizibile în interior?

Răspunsul va fi următorul: dacă nu limitați numărul de părți, atunci nu este deloc dificil să indicați astfel de figuri spațiale. Acest lucru este suficient de clar în cazul unui cub.

Aici se poate obține un vid interior, totuși întrebarea de cel mai mic număr părțile cu care se poate realiza acest lucru este mai complexă. Cu siguranță poate fi făcut din șase părți; este posibil ca acest lucru să se poată realiza cu un număr mai mic.

Un astfel de cub poate fi demonstrat eficient după cum urmează: scoateți-l dintr-o cutie făcută exact conform cubului, dezasamblați-l în părți, dezvăluind o minge în interior, puneți piesele înapoi într-un cub solid și arătați-l (fără minge) încă umple cutia dens. Vom presupune că trebuie să existe multe astfel de figuri, atât plate, cât și spațiale, și, de asemenea, distinse prin simplitate și eleganță a formei. Viitorii exploratori ai acestui domeniu curios vor avea plăcerea să-i descopere.

„Aplicarea derivatei la rezolvarea problemelor”

(Clasa 10)

Sistemul metodologic al activității profesorului din această lecție presupune formarea capacității elevilor de a planifica și executa în mod independent în etape. muncă de cercetare. Elevul are dreptul să se consulte cu profesorul, să discute, să primească sfaturi sau sfaturi de la profesor pentru a-l ajuta pe copil să înțeleagă varietatea de soluții și să o determine pe cea potrivită.

Lecția discută materialul teoretic, clasa este împărțită pe grupe pentru a asigura diversitatea metodelor de raționament pe care le oferă, urmată de selectarea celor mai potrivite dintre ele.

Alături de activitatea independentă, este recomandabil să folosiți sarcini diferențiate de diferite niveluri în lecție și să le evaluați în consecință.

Analiza rezultatelor îndeplinirii acestor sarcini de către elevi, pe lângă informații despre asimilarea acestora, oferă profesorului o imagine a principalelor dificultăți ale elevilor, a principalelor lacune ale acestora, ceea ce ajută la identificarea principalelor modalități de rezolvare a problemelor.

Scopul lecției: stăpânirea abilităților în mod independent într-un complex pentru a aplica cunoștințe, abilități și abilități, pentru a realiza transferul lor în condiții noi folosind metoda cercetării.

Sarcini:

Educațional și cognitiv: consolidarea, sistematizarea și generalizarea cunoștințelor și abilităților legate de stăpânirea conceptului de „cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții”; aplicarea practică a deprinderilor și abilităților formate.

În curs de dezvoltare: dezvoltarea abilităților de a lucra independent, de a exprima gândurile în mod clar, de a conduce autoevaluare activități de învățare la lectie.

Comunicativ: capacitatea de a participa la discuții, de a asculta și de a auzi.

În timpul orelor

Organizarea timpului

1. Fiecare persoană din când în când se găsește într-o situație în care trebuie să găsești cel mai bun mod rezolvarea unei probleme, iar matematica devine un mijloc de rezolvare a problemelor de organizare a producției, căutarea soluțiilor optime. O condiție importantă pentru creșterea eficienței producției și îmbunătățirea calității produsului este introducerea pe scară largă metode matematiceîn tehnologie.

Repetiţie

Dintre problemele de matematică, un rol important este atribuit problemelor pentru extrema, i.e. sarcinile de a găsi cele mai mari și cea mai mică valoare, cel mai bun, cel mai profitabil, cel mai economic. Reprezentanții diferitelor specialități trebuie să se ocupe de astfel de sarcini: inginerii de proces încearcă să organizeze producția în așa fel încât să obțină cât mai multe produse, designerii doresc să planifice dispozitivul în așa fel nava spatiala Pentru a menține masa dispozitivului cât mai mică posibil, economiștii încearcă să planifice atașarea fabricilor la sursele de materii prime, astfel încât costurile de transport să fie minime. Putem spune că problemele de a găsi cele mai mici și mai mari valori au o mare aplicație practică. Astăzi în lecție ne vom ocupa de astfel de probleme.

Consolidarea materialului studiat

2. Doi elevi „puternici” sunt chemați la tablă pentru a rezolva sarcini (10 min.).

Primul elev: Dat un rezervor fără capac în formă cuboid, la baza căruia se află un pătrat și al cărui volum este de 108 cm 3. La ce dimensiuni ale rezervorului se va folosi cea mai mică cantitate de material pentru a-l realiza?

Soluţie: Să notăm latura bazei prin x cm, exprimăm înălțimea paralelipipedului. Aflați semnul derivatei pe intervale. Derivata își schimbă semnul din „-” în „+”. Prin urmare, x=6 este punctul minim, prin urmare, S(6)=108 cm 2 este cea mai mică valoare. Deci, latura bazei este de 6 cm, înălțimea este de 12 cm.

al 2-lea elev: Un dreptunghi cu cea mai mare suprafață este înscris într-un cerc cu o rază de 30 cm. Găsiți dimensiunile acestuia.

Soluţie: Să notăm o latură a dreptunghiului cu x cm, apoi vom exprima aria dreptunghiului. Aflați semnul derivatei pe intervalul (0;30) și pe intervalul (30;60). Derivata își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x=30 este punctul maxim. Prin urmare, o parte a dreptunghiului este 30, cealaltă este 30.

3.În acest moment, tuSe efectuează o verificare reciprocă pe tema „Aplicarea derivatei” (se acordă 1 punct pentru fiecare răspuns corect). Fiecare elev răspunde și, pentru verificare, își transmite răspunsul unui vecin din biroul lui.

Întrebările sunt scrise pe o tablă portabilă, se dă doar răspunsul:

O funcție se numește crescătoare pe un interval dat dacă...

Se spune că o funcție este în scădere într-un interval dat dacă...

Punctul x 0 se numește punct minim dacă...

Punctul x 0 se numește punct maxim dacă...

Punctele staționare ale unei funcții se numesc puncte...

Scrie forma generala ecuații tangente

Sensul fizic al derivatului

Tragerea concluziilor

4. Clasa este împărțită pe grupe. Grupurile efectuează sarcini pentru a găsi minimul și maximul funcției.

5. Se dă cuvântul „puternici” elevi. Elevii din clasă își verifică soluțiile (10 min.).

6. Sarcini emise la alegere pentru fiecare grup (10 min.).

1 grup.

Pentru a marca „3”

Pentru funcția f (x) \u003d x 2 * (6-x), găsiți cea mai mică valoare de pe segment.

Rezolvare: f (x) \u003d x 2 * (6-x) \u003d 6x 2 + x 3; f / (x) \u003d 12x-3x 2; f/(x)=0; 12x-3x 2 \u003d 0; x 1 =0; x 2 =4;

f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-max.

Pentru a marca „4”

Dintr-un fir de 20 cm lungime, este necesar să faceți un dreptunghi cu cea mai mare suprafață. Găsiți dimensiunile acestuia.

Soluție: Să notăm o parte a dreptunghiului prin x cm, apoi a doua va fi (10-x) cm, aria S (x) \u003d (10-x) * x \u003d 10x-x 2; S/(x)=10-2x; S/(x)=0; x=5. După condiția problemei x (0; 10). Aflați semnul derivatei pe intervalul (0;5) și pe intervalul (5;10). Derivata își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare: x \u003d 5 - punctul maxim, S (5) \u003d 25 cm 2 - cea mai mare valoare. Prin urmare, o latură a dreptunghiului este de 5 cm, cealaltă este de 10x=10-5=5 cm.

Pentru a marca „5”

Un teren de 2400 m 2 trebuie împărțit în două secțiuni dreptunghiulare, astfel încât lungimea gardului să fie cea mai mică. Găsiți dimensiunile parcelelor.

Rezolvare: Să notăm o parte a locului prin x m, să notăm lungimea gardului și să găsim derivata P / (x) = 0; 3x 2 \u003d 4800; x 2 \u003d 1600; x=40. Luăm doar valoare pozitivă conform sarcinii.

Aflați semnul derivatei pe intervalul (0;40) și pe intervalul (40;?). Derivata își schimbă semnul din „-” în „+”. Prin urmare, x=40 este punctul minim, prin urmare P(40)=240 este cea mai mică valoare, ceea ce înseamnă că o parte are 40 m, cealaltă este de 60 m.

2 grupa.

Pentru a marca „3”

Pentru funcția f (x) \u003d x 2 + (16-x) 2, găsiți cea mai mică valoare de pe segment.

Rezolvare: f / (x)=2x-2(16-x)x=4x-32; f/(x)=0; 4x-32=0; x=8; f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min.

Pentru a marca „4”

O zonă dreptunghiulară cu o latură adiacentă clădirii. Având în vedere dimensiunile perimetrului în m, este necesar să se închidă amplasamentul astfel încât zona să fie cea mai mare.

Pentru a marca „5”

Dintr-o foaie dreptunghiulară de carton cu laturile de 80 cm și 50 cm, trebuie să faceți o cutie dreptunghiulară, tăind pătrate de-a lungul marginilor și îndoind marginile rezultate. Cât de înaltă ar trebui să fie cutia pentru a-și maximiza volumul?

Notăm înălțimea cutiei (aceasta este latura pătratului decupat) prin x m, apoi o parte a bazei va fi (80-2x) cm, a doua - (50-2x) cm, volumul V (x ) \u003d x (80-2x) (50-2x ) \u003d 4x 3, 260x 2 + 4000x; V / (x) \u003d 12x 2 -520x + 4000; V/(x)=0; 12x 2 -520x+4000=0.

După condiția problemei x (0; 25); x 1 (0; 25), x 2 (0; 25).

Aflați semnul derivatei pe intervalul (0;10) și pe intervalul (10;25). Derivata își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x=10 este punctul maxim. Prin urmare, înălțimea cutiei = 10 cm.

a 3-a grupă.

Pentru a marca „3”

Pentru funcția f (x) \u003d x * (60-x), găsiți cea mai mare valoare a segmentului.

Rezolvare: f (x) \u003d x * (60-x) \u003d 60x-x 2; f/(x)=60-2x; f/(x)=0; 60-2x=0; x=30; f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-max.

Pentru a marca „4”

O zonă dreptunghiulară cu o latură adiacentă clădirii. Cu un perimetru dat de 20 m, este necesar să îngrădiți amplasamentul, astfel încât zona să fie cea mai mare.

Notăm o latură a dreptunghiului prin x m, apoi a doua va fi (20-2x) m, aria S (x) \u003d (20-2x) x \u003d 20x-2x 2; S/(x)=20-4x; S/(x)=0; 20-4x=0; x=5. După condiția problemei x € (0;10). Aflați semnul derivatei pe intervalul (0;5) și pe intervalul (5;10). Derivata își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x=5 este punctul maxim. Prin urmare, o parte a site-ului = 5 m, a doua - 20-2 * 5 = 10 m.

Pentru a marca „5”

Pentru a reduce frecarea lichidului împotriva pereților și a fundului canalului, zona umezită de acesta trebuie să fie cât mai mică posibil. Este necesar să se găsească dimensiunile unui canal dreptunghiular deschis cu o suprafață în secțiune transversală de 4,5 m 2, la care zona umedă va fi cea mai mică.

Notăm adâncimea șanțului prin x m, P / (x) = 0; 2x 2 \u003d 4,5; x=1,5. Luăm doar o valoare pozitivă în funcție de starea problemei. Aflați semnul derivatei pe intervalul (0;1.5) și pe intervalul (1.5;?). Derivata își schimbă semnul din „-” în „+”. Prin urmare, x=1,5 este punctul minim, prin urmare, P(1,5)=6 m este cea mai mică valoare, ceea ce înseamnă că o latură a șanțului este de 1,5 m, a doua este de 3 m.

4 grupa.

Pentru a marca „3”

Pentru funcția f (x) \u003d x 2 (18-x), găsiți cea mai mare valoare de pe segment.

f (x) \u003d x 2 (18-x) \u003d 18x 2 -x 3; f / (x) \u003d (18x 2 -x 3) /; f/(x)=0; 36x-3x 2 \u003d 0; x 1 =0; x 2 =12 f(0)=0; f(18)=0; f(12)=864-max.

La marcajul „4”.

O zonă dreptunghiulară cu o latură adiacentă clădirii. Cu un perimetru dat de 200 m, este necesar să îngrădiți amplasamentul, astfel încât zona să fie cea mai mare.

Să notăm o latură a secțiunii dreptunghiulare prin x m, apoi a doua va fi (200-2x) m, aria S (x) \u003d (200-2x) x \u003d 200x-2x 2; S/(x)=200-4x; S/(x)=0; 200-4x=0; x=200/4=50. După condiția problemei x (0; 100). Aflați semnul derivatei pe intervalul (0;50) și pe intervalul (50;100). Derivata își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x=50 este punctul maxim. Prin urmare, o parte a site-ului = 50 m, a doua - 200-2x = 100 m.

Pentru a marca „5”

Este necesar să se facă o cutie deschisă sub formă de paralelipiped dreptunghiular cu bază pătrată, cu cel mai mic volum, dacă se pot cheltui 300 cm 2 pentru fabricarea lui.

Notăm o parte a bazei prin x cm și exprimăm volumul, apoi V / (x) \u003d 0 300-3x 2 \u003d 0; x2 =100; x=10. Luăm doar o valoare pozitivă în funcție de starea problemei.

Aflați semnul derivatei pe intervalul (0;10) și pe intervalul (10;0). Derivata își schimbă semnul din „-” în „+”. Prin urmare, x \u003d 10 - punctul minim, prin urmare, V (10) \u003d 500 cm 3 - cea mai mică valoare, ceea ce înseamnă că latura bazei este de 10 cm, înălțimea este de 50 cm.

Întrebări pentru clasă

7. Delegații din grupuri explică soluția problemelor selectate (10 min.).

8. Ținând cont de punctele de la încălzire și lucrul în grup, se acordă note pentru lecție.

Rezumând lecția

Teme pentru acasă

Rezolvarea unei probleme cu un punct mai sus; elevii care au finalizat sarcina la „5” sunt scutiți de teme.

Analiza rezultatelor îndeplinirii acestor sarcini de către elevi, pe lângă informații despre asimilarea acestora, oferă profesorului o imagine a principalelor dificultăți ale elevilor, a principalelor lacune ale acestora, ceea ce ajută la conturarea principalelor modalități de eliminare a acestora.

	FOMKINA TATYANA FIODOROVNA
CARTE DE VIZITĂ
Denumirea funcției	Profesor de limba și literatura rusă
Loc de munca	Instituția de învățământ municipal „Liceu şcoală cuprinzătoare nr. 9” al orașului Orenburg
Experiență de muncă în poziție

Scor competitiv
Tema experienței pedagogice	Formarea competenței lingvistice a elevilor pe baza unei abordări activitate-sistem în predarea limbii ruse conform EMC S.I. Lvova
Esența sistemului metodologic al profesorului, reflectând ideile conducătoare ale experienței	Esența sistemului metodologic al profesorului constă în organizarea activității educaționale ca o mișcare de la o problemă de natură lingvistică (permite elevilor să acorde atenție esenței lingvistice semnificative a unei anumite ortografii) la o metodă de acțiune (bazată pe o regulă). , referindu-se la un dicționar), și apoi la rezultat (reguli de funcționare libere în timpul scrierii sau utilizării unui dicționar ortografic).
Lucrări de diseminare a experienței proprii, prezentarea sistemului metodologic la diferite niveluri (forme, produse intelectuale)	Experiența lui Fomkina T.F. rezumat în anul 2009 la nivelul MOU „Școala Gimnazială Nr. 9” și aprobat de consiliul metodologic. În 2009 și 2010 reprezentat în rândul profesorilor orașului Orenburg la nivel municipal. Tatiana Fedorovna a vorbit la asociațiile metodologice raionale pe următoarele teme: „Utilizarea TIC în lecțiile de limbă și literatura rusă ca mijloc de formare a competenței lingvistice”, „O abordare activă pentru construirea standardelor educaționale”.
Eficacitatea implementării sistemului metodologic	Formarea unei motivații pozitive sustenabile și creșterea interesului elevilor pentru materie; Dinamica pozitivă în relația elevilor cu profesorul, lecțiile de limba și literatura rusă, dezvoltarea capacității elevilor de activități predictive și activarea proceselor cognitive; Creștere semnificativă a calității lucrări creative, eseuri, ceea ce este confirmat de rezultatele examenelor finale: în 2007, conform rezultatelor GIA, performanța academică a fost de 100%, numărul celor care au finalizat sarcinile pentru „4” și „5” - 87 %; în 2008 de către USE rezultate performanța academică - 100%, numărul celor care au finalizat sarcinile pentru „4” și „5” - 92%, cel mai mare scor - 87; în 2009, conform rezultatelor examenului unificat de stat, performanța academică a fost de 100%, numărul celor care au finalizat sarcinile pentru „4” și „5” a fost de 58%, cel mai mare punctaj a fost de 96; Creșterea numărului de studenți care participă la conferințe științifice și practice, concursuri, olimpiade: X conferința raională științifică și practică a studenților „Ești un orenburger” (locul III), XV conferința orășenească a studenților „Intelectualii secolului XXI” (diplomă pentru „Cercetarea diversificată a familiei”), Concursul de corespondență rusească „Cunoaștere și creativitate”, 2010 (locul III, laureat), concurs regional intramural-corespondenta „Patria”, 2009 (locul III), VI Olimpiada Internațională de Fundamente ale Științelor, 2010 (diplome de gradul I și II), Concurs internațional de joc „Russian Bear Cub”, 2010 (locul 15 în regiune). Monitorizarea activități educaționale spectacole nivel inalt nivelul de educație al elevilor Fomkina Tatyana Fedorovna: limba rusă - 69% (2009), literatură - 77% (2009).

MATERIALE DIN EXPERIENTA DE MUNCA

Lecție de învățare a cunoștințelor noi

cu diferențierea pe mai multe niveluri a pregătirii

„NU cu substantive”

(clasa 5)

Rezumatul lecției prezentat a fost întocmit în conformitate cu „Programul de limbă rusă pentru clasele 5-6” de S.I. Lvova (M.; „Mnemosyne”, 2008). Lecția are ca scop formarea competențelor lingvistice, lingvistice și de vorbire a elevilor. Materialul inclus în lecție este educativ, dezvoltator, educator.

Obiectivele lecției:

1) dezvolta abilități de comunicare: formulează o întrebare și da un răspuns la subiect gramatical; pentru a desfășura interacțiunea vorbirii într-un grup mobil; creați-vă propriile texte pe o anumită temă;

2) să formeze competență lingvistică și lingvistică: să cunoască regula de ortografie NU cu un substantiv să poată utiliza algoritmul pentru a aplica această regulă în practică; repeta ortografie « NU cu un verb" , regula substantivului;

3) să cultive o atitudine atentă față de cuvânt ca valoare spirituală a poporului.

Echipament: echipamente multimedia, prezentare video, carduri de referință, teste, fișiere de activitate de cercetare.

În timpul orelor

Organizarea timpului

Dragi colegi! Da, da, colegi. Nu v-am numit așa din întâmplare. Astăzi ne vom angaja într-o sarcină comună: să decidem sarcini lingvistice, descoperă secretele ortografiei cuvintelor. La urma urmei, potrivit lui Lev Tolstoi, „Cuvântul este un lucru grozav... Cu un cuvânt poți sluji dragostea, dar cu un cuvânt poți sluji vrăjmășia și ura” (o epigrafă la lecție).

Încălzire lingvistică „Da – nu”

Iată o abilitate de cuvânt care vă va ajuta să faceți față încălzirii lingvistice, care se numește „Da - nu”. Regulile acestei încălziri sunt următoarele: am ghicit regula și veți încerca să o ghiciți punând întrebări conducătoare, care ar trebui formulate în așa fel încât să pot răspunde cu cuvintele „da” sau „nu”. . Voi evalua răspunsurile dumneavoastră astăzi cu jetoane. Pune-mi intrebari.

Elevii pun întrebări profesorului. De exemplu:

1. Am învățat această regulă în clasa a V-a? (Da)

2. Este aceasta o regulă de ortografie? (Nu)

3. Este aceasta o regulă despre părțile de vorbire? (Da)

4. Este aceasta o regulă de substantiv? (Da)

- Bine făcut! Ghicit!

Actualizare de cunoștințe

Acum să ne amintim ce este un substantiv. Dar despre asta vom povesti în lanț, dându-ne ștafeta unul altuia, ca sportivii în competiții. Oricine dorește poate folosi răspunsul carduri de ajutor. Voi evalua răspunsurile dvs. cu jetoane ( răspunsurile elevilor).

A făcut o treabă grozavă! Avem nevoie de cunoașterea regulii despre un substantiv pentru a putea distinge substantivele de alte părți de vorbire.

Vom testa această abilitate executând dictarea orală distributivă.

Citiți cu atenție cuvintele (Când faceți clic cu mouse-ul pe ecranul proiectorului, imaginea se estompează).

Dar ce este? Ce s-a întâmplat cu imaginea? Băieți, este o greșeală!

Prinde-o! (Recepție „Prinți greșeala”)

„Indignat” ar trebui scris împreună. De ce?

Acesta este un verb care nu se folosește fără NU.

(clic de mouse)

Exercițiu:împărțiți cuvintele în două grupe în funcție de părțile de vorbire. (Elevii fac sarcina)

1. Ce părți de vorbire ați întâlnit? (substantive și verbe)

2. Numiți substantivele.

3. Numiți verbele.

4. Cum se scrie NOT cu un verb?

stabilirea obiectivelor

Deci, cunoașterea regulii despre substantive și despre ortografia NOT cu un verb ne va ajuta să ne ocupăm subiect nou care suna asa: „NU cu substantive”.Notă-l într-un caiet.

Am înregistrat cursul gândurilor noastre în "Gândirefoaie", care este format din trei coloane: „Știu”, „Vreau să știu”, „Am învățat (a)”.

În grafic "Știu" având în vedere regula pe care ne vom baza astăzi. Această regulă este despre a scrie NU cu un verb .

În grafic "Vreau să știu" s-a formulat întrebarea zilei: „Aflați când NU se scrie împreună cu un substantiv, iar când – separat”.

În grafic "Am aflat" vom scrie răspunsul la această întrebare.

Dar mai întâi să facem munca de vocabular.

Băieți, cine sunt ei? ignorantȘi ignorant? Ce fel de oameni numim așa? (Raspunde elevul)

Notează aceste cuvinte și semnificațiile lor lexicale în caiet. Acum alcătuiește fraze sau propoziții cu ele (opțional).

Învățarea de materiale noi

De ce credeți că cuvintele „ignorant” și „ignorant” sunt scrise împreună? (Pentru că nu sunt folosite fără NOT)Raport

Câștigători prioritatenaţionalproiect « Educaţie". Experiența acumulată în autoanaliză, compararea propriilor realizări cu realizările colegilor a adus noupedagogic ...

Experiență în crearea de resurse Internet de către profesorii din regiunea Orenburg

Rezumat disertație

Sisteme educaţie V instituție educațională; identificarea domeniului de aplicare avansatpedagogicexperienţă... educatie generala şcoală" a devenit câștigătorul selecției competitive în cadrul Prioritatenaţionalproiect « Educaţie". ÎN...

Exemplul 1 . Dintr-un fir de 20 cm lungime, este necesar să faceți un dreptunghi cu cea mai mare suprafață. Găsiți dimensiunile acestuia.

Soluţie: Să notăm o parte a dreptunghiului prin x cm, apoi a doua va fi (10-x) cm, aria S (x) \u003d (10-x) * x \u003d 10x-x 2;

S/(x)=10-2x; S/(x)=0; x=5;

În funcție de starea problemei x (0; 10)

Aflați semnul derivatei pe intervalul (0;5) și pe intervalul (5;10). Derivata își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare: x=5 este punctul maxim, S(5)=25cm 2 este cea mai mare valoare. Prin urmare, o latură a dreptunghiului este de 5cm, a doua este de 10x=10-5=5cm;

Exemplul 2 Un teren cu o suprafață de 2400 m 2 trebuie împărțit în două secțiuni dreptunghiulare, astfel încât lungimea gardului să fie cea mai mică. Găsiți dimensiunile parcelelor.

Soluţie: Să notăm o parte a site-ului prin x m, apoi a doua va fi m, lungimea gardului P (x) \u003d 3x +;

P / (x) \u003d 3-; P / (x) \u003d 0; 3x 2 \u003d 4800; x 2 \u003d 1600; x=40. Luăm doar o valoare pozitivă în funcție de starea problemei.

După condiția problemei x (0; )

Aflați semnul derivatei pe intervalul (0;40) și pe intervalul (40; ?). Derivata își schimbă semnul din „-” în „+”. De aici, x=40 este punctul minim, prin urmare, P(40)=240m este cea mai mică valoare, ceea ce înseamnă că o latură are 40m, a doua = 60m.

Exemplul 3 O zonă dreptunghiulară cu o latură adiacentă clădirii. Cu un perimetru dat de 1 m, este necesar să închideți situl astfel încât zona să fie cea mai mare.

Soluţie:

Să notăm o latură a secțiunii dreptunghiulare prin x m, apoi a doua va fi (-2x) m, aria S (x) \u003d (-2x) x \u003d x -2x 2;

S / (x) \u003d -4x; S/(x)=0; -4x; x = ;

După condiția problemei x (0; )

Aflați semnul derivatei pe intervalul (0; ) și pe intervalul ( ; ). Derivata își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare x = punct maxim. Prin urmare, o parte a site-ului \u003d m, a doua -2x \u003d m;

Exemplul 4 Dintr-o foaie dreptunghiulară de carton cu laturile de 80 cm și 50 cm, trebuie să faceți o cutie dreptunghiulară, tăind pătrate de-a lungul marginilor și îndoind marginile rezultate. Cât de înaltă ar trebui să fie cutia pentru a-și maximiza volumul?

Soluţie: Notăm înălțimea cutiei (aceasta este latura pătratului decupat) prin x m, apoi o parte a bazei va fi (80-2x) cm, a doua (50-2x) cm, volumul V (x) \u003d x (80-2x) (50-2x) \u003d 4x 3 -260x 2 + 4000x;

V / (x) \u003d 12x 2 -520x + 4000; V/(x)=0; 12x 2 -520x+4000=0; x 1 =10; x 2 =

După condiția problemei x (0; 25); x 1 (0; 25), x 2 (0; 25)

Aflați semnul derivatei pe intervalul (0; 10) și pe intervalul (10; 25). Derivata își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x = 10 este punctul maxim. Prin urmare, înălțimea cutiei = 10cm.

Exemplul 5 O zonă dreptunghiulară cu o latură adiacentă clădirii. Cu un perimetru dat de 20 m, este necesar să îngrădiți amplasamentul, astfel încât zona să fie cea mai mare.

Soluţie:

Să notăm o latură a dreptunghiului prin x m, apoi a doua va fi (20 -2x) m, aria S (x) \u003d (20-2x) x \u003d 20x -2x 2;

S / (x) \u003d 20 -4x; S/(x)=0; 20 -4x = 0; x = =5;

În funcție de starea problemei x (0; 10)

Aflați semnul derivatei pe intervalul (0; 5) și pe intervalul (5; 10). Derivata își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x = 5 este punctul maxim. Prin urmare, o parte a site-ului \u003d 5m, a doua 20 -2x \u003d 10m;

Exemplul 6 . Pentru a reduce frecarea lichidului împotriva pereților și a fundului canalului, zona umezită de acesta trebuie să fie cât mai mică posibil. Este necesar să se găsească dimensiunile unui canal dreptunghiular deschis cu o suprafață în secțiune transversală de 4,5 m 2, la care zona umedă va fi cea mai mică.

Soluţie:

Notăm adâncimea șanțului prin x m, apoi lățimea va fi m, P (x) \u003d 2x +;

P/(x)=2-; P / (x) \u003d 0; 2x 2 \u003d 4,5; x=1,5. Luăm doar o valoare pozitivă în funcție de starea problemei.

După condiția problemei x (0; )

Aflați semnul derivatei pe intervalul (0; 1,5) și pe intervalul (1,5; ?). Derivata își schimbă semnul din „-” în „+”. Prin urmare, x=1,5 este punctul minim, prin urmare, P(1,5)=6m este cea mai mică valoare, ceea ce înseamnă că o latură a șanțului este de 1,5m, a doua = 3m.

Exemplul 7 O zonă dreptunghiulară cu o latură adiacentă clădirii. Cu un perimetru dat de 200 m, este necesar să îngrădiți șantierul astfel încât zona să fie cea mai mare.

Khrestina Nadezhda Mikhailovna, profesor pentru munca de dezvoltare cu copiii, NOU DOD „RDC” Țara Minunilor „, Ryazan [email protected]

Aplicarea elementelor TRIZ în lecțiile de matematică

Adnotare. Articolul discută despre utilizarea elementelor structurii unei lecții creative într-un mod inovator sistem pedagogic NFTMTRIZ. Autorul propune dezvoltarea metodică lecție de matematică din clasa a 5-a, care a demonstrat cum să se dezvolte creativitatea elevilor în cadrul curiculumul scolar. Cuvinte cheie: activități de învățare universală, gândire creativă, abordare a activității sistemice, lecție creativă, reflecție.

Matematica este o știință vitală pentru toată lumea. Încă de la o vârstă fragedă, copilul este înconjurat de lumea numerelor, a formelor etc. Și, în același timp, această lume este foarte complexă și cu mai multe fațete. Mulți copii, care se confruntă cu dificultăți în învățarea materialului, își pierd interesul pentru subiect, iar „ignoranța” se acumulează ca un bulgăre de zăpadă. Așadar, profesorul se confruntă cu o problemă: nu numai să predea, ci și să insufle interes, ceea ce înseamnă să-i oferi copilului instrumentele pentru auto-învățarea noilor cunoștințe (activități de învățare universală).Sarcina profesorului este să facă lecția interesantă. , interesant, folosind o varietate de metode de predare, pentru a dezvolta sistematic gândirea creativă, capacitatea de a lucra cu o problemă și de a o rezolva, de a trage concluzii, de a căuta noi abordări originale, de a vedea frumusețea rezultatelor. Mesajul pentru aceasta este Federal Standardul educațional de stat (FSES) al principal educatie generala din 17 decembrie 2010. Se bazează pe o abordare sistematică a activității, cu valoarea unei personalități libere și responsabile a elevului. Standardul ne impune să ne îndepărtăm de sistemul de clasă al lui Jan Amos Comenius, în care profesorul este „povestitorul” iar elevii „naratorii”. Noi tipuri de lecții, precum: „brainstorming”, dezbatere, activitate de proiect, va ajuta copilul într-o lume în continuă schimbare.Ce rezultate ar trebui să obțină profesorul ca urmare a muncii sale?formarea și cunoștințele, alegerea conștientă a profesiei; să-și formeze competența comunicativă; capacitatea de a-și stabili obiective, de a căuta modalități de a le atinge, de a stăpâni elementele de bază ale autocontrolului etc. De asemenea, elevul trebuie să aibă suficiente cunoștințe și competențe, să fie capabil să fie responsabil pentru acțiunile și consecințele lor, să respecte legea, să fie un cetățean liber și responsabil, tolerant.Avansarea științei și tehnologiei duce la creșterea numărului de invenții și de noi profesii, studentul trebuie să fie pregătit pentru cerințele în continuă schimbare ale pieței muncii.Ceea ce precedă ne permite să concluzionăm că pentru a obține toate aceste rezultate, profesorul nu trebuie doar să transfere cunoștințe, ci trebuie să „îl învețe să învețe.” Profesorul, mergând la lecție, trebuie să înțeleagă că rezultatele la materie nu mai sunt singurele principale, trebuie și să formează rezultate personale și meta-subiect. Însăși formularea rezultatelor s-a schimbat, deoarece copilul trebuie să stăpânească acum metodele de acțiune, adică. activități de învățare universale, care sunt rezultatele meta-subiectului. Doar un set de acțiuni universale va face posibilă formarea capacității elevului de a învăța ca sistem. rutare lecţie. Face posibilă urmărirea vizuală a modului și în ce stadiu se formează anumite acțiuni educaționale universale. Pentru atingerea scopurilor, utilizarea elementelor unui sistem pedagogic creativ de formare continuă poate ajuta profesorul. gândire creativă(NPTM), care dispune de instrumentele teoriei rezolvării inventive a problemelor (TRIZ), care permite elevilor să dezvolte imaginație creativăși fantezie, gândire sistemică și dialectică.Folosirea structurii unei lecții creative la școală vă permite să faceți lecția mai luminoasă, mai puțin stresantă pentru copil, să păstrați copilul concentrat pe tot parcursul lecției și, cel mai important, să nu-i oferiți -a făcut cunoștințe, dar dă-i posibilitatea de a le obține el însuși problema importanta este o tranziție parțială de la sarcini de tip închis la sarcini de tip deschis. Sarcinile de tip deschis care afectează experiența de zi cu zi a elevilor îi fac pe elevi să se gândească deja atunci când citesc condiția, deoarece este insuficientă, „neclară” și poate conține un exces de informație. O varietate de metode de rezolvare duce la distrugerea inerției psihologice - obișnuința acțiunilor standard într-o situație familiară sau dorința de a gândi și a acționa în conformitate cu experiența acumulată.Un set de răspunsuri posibile ajută la învățarea copilului reflecție și stima de sine. Nu se poate vorbi de o respingere completă a sarcinilor închise. Sunt bune în cantități mici atunci când trebuie doar să puneți mâna pe o anumită formulă sau proprietate. Dar explicarea noului material nu poate fi fără probleme. La urma urmei, prima întrebare după citirea subiectului din lecție în capul copiilor este: „De ce am nevoie de asta?” sau „Unde voi avea nevoie de asta?” Toate cele de mai sus ne sunt oferite de sistemul NFTW – formarea continuă a gândirii și dezvoltării creative. creativitate copii.Prezenz o lectie de matematica clasa a 5-a, cu elemente ale structurii unei lectii creative in sistemul pedagogic inovator NFTMTRIZ. Unități de zonă » Tipul lecției: Lecția de învățare a materialelor noi Obiectivele lecției: 1. Subiectul: să formeze ideea elevilor despre zona figurii, să stabilească legături între unitățile de măsură ale zonei, să familiarizeze elevii cu formulele pentru aria unui dreptunghi și a unui pătrat.2. Personal: să formeze capacitatea de a determina metodele de acțiune în condițiile și cerințele propuse, de a-și ajusta acțiunile în conformitate cu situația în schimbare.3. Meta-subiect: pentru a forma capacitatea de a vedea o problemă matematică în contextul unei situații problema, în viața înconjurătoare.Rezultatele planificate:

elevii își vor face o idee despre aria figurilor și proprietățile acesteia, vor învăța să stabilească relații între unitățile de măsură ale zonei, să aplice formulele pentru aria dreptunghiului și pătratului; capacitatea de a analiza, compara, generaliza, trage concluzii;elevii isi dezvolta interesul cognitiv prin momentele de joc ale „micului miracol”;obtinerea abilitatilor de comunicare sa lucreze in grup si perechi.Manual: A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir.Matematică clasa a 5-a. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ. 2014.

Etapele lecției Sarcinile etapei Activitatea profesorului Activitatea elevului lecţie, organizarea atentiei copiilor Focalizarea cu oase de joc: mai intai, intr-o carcasa transparenta, 1 os mare, dupa ce a lovit capacul carcasei, in el apar 8 mici.- Cum s-a intamplat asta?- Ce am facut in ultima lectie?- Astăzi vom continua lucrul cu dreptunghiuri.Inclus în ritmul de afaceri al lecției.

Băieții încearcă să rezolve focalizarea, activează cunoștințele din ultima lecție.

Personal: autodeterminare. Reglementare: autoorganizare. Comunicativ: planificarea cooperării educaționale cu un profesor și colegii. Cognitiv: abilități de cercetare. Vecinii sunt în ceartă. Proprietarul zonei albastre, pentru a ajunge în grădina lui, trebuie să treacă prin zona roșie a vecinului. Ce să faci?Intrarea în site-uri

Fig. 1 Știm din experiență că terenuri egale au suprafețe egale – Ce concluzie putem trage? Problemă.Un bărbat a decis să picteze podeaua casei sale de la țară. Dar podeaua are o formă neobișnuită. Dar nu știe de câtă vopsea este nevoie, pe o cutie de vopsea scrie 100g la 1m2. Suprafața figurii mai mici este de 12 m2, aria celei mai mari este de 20 m2. Ce ar trebui să fac?

Prezentați versiuni ale soluționării litigiului. Împreună cu profesorul, îl aleg pe cel potrivit: cel albastru trebuie să ia o bucată de pământ roșu și, în schimb, să îi dea o dimensiune egală.

Ei concluzionează: cifre egale au suprafețe egale. Băieții au prezentat versiuni, împreună o alegem pe cea corectă: trebuie să adunați zonele a două figuri și să găsiți consumul de vopsea. Studenții înșiși obțin a doua proprietate: suprafața cifra este egala cu suma ariilor cifrelor din care consta.Personal: autodeterminare.Reglementare: dezvoltarea reglementarii activitatilor educationale.Comunicativ: capacitatea de a lucra in echipa, de a asculta si respecta opiniile altele, capacitatea de a-şi apăra poziţia.Cognitive: abilităţi de cercetare.Dezvoltarea gândirii creative.

Fig. 2 Conversație euristică cu elementele metodei încercări și erori. Pe masa profesorului este o riglă, o busolă, un raportor Am vorbit despre zonă, dar cum o putem măsura? Să măsurăm aria plăcii noastre. - Ce avem pentru măsurarea segmentelor? - Ce avem pentru măsurarea unghiurilor? Concluzionam: pentru unitatea de măsură a ariei, selectăm un pătrat a cărui latură este egală la un singur segment. Cum numim un astfel de pătrat? Pentru a măsura suprafața, trebuie să calculați câte unități de pătrate încap în ea?

Băieții trec prin toate instrumentele posibile, ajung la concluzia că nu sunt suficiente.

– Riglă, segment de unitate – Protractor, unghi de unitate. Tema lecției: „Aria dreptunghiului.” 3. Descărcare psihologică. Oferiți elevilor posibilitatea de a schimba tipul de activitate. Sarcini pentru dezvoltarea abilităților creative.Orientarea în spațiu.1.O pereche de cai a alergat 20 km. Câți kilometri a alergat fiecare cal? (20 km) 2. În cușcă erau 4 iepuri. Patru băieți au cumpărat fiecare unul dintre acești iepuri și un iepure a rămas în cușcă. Cum se poate întâmpla? (Un iepure a fost cumpărat împreună cu o cușcă) 3. Sunt două monede în două portofele, în plus, într-un portofel sunt de două ori mai multe monede decât în celălalt. Cum poate fi aceasta? (Un portofel se află în interiorul altuia) Clasa este împărțită în grupuri de 6 persoane, în grupuri căpitanul este selectat de către profesor, care, după discutarea problemei, alege răspunsul corect. Se acordă 1 minut pentru discuție.

Personal: autodeterminare Regulator: dezvoltarea reglementării activităților educaționale Comunicativ: interacțiunea cu partenerii în activități comune Cognitive: abilități de cercetare Dezvoltarea gândirii creative.

4. Doi fii și doi tați au mâncat 3 ouă. Câte ouă a mâncat fiecare? (câte un ou) Jucărie: „Atinge urechea dreaptă a vecinului din stânga cu cotul mâinii stângi” 4. Puzzle.

Prezentați un sistem de puzzle-uri din ce în ce mai complexe întruchipate în obiecte reale.Rezolvarea independentă a sarcinilor.1. Câți centimetri sunt: 1 dm, 5m 3dm, 12dm 5cm;2. Câți metri sunt: 1 km, 4km 16 m, 800 cm. 40 km. În câte ore va trece 24 km cu aceeași viteză?

Răspunsuri corecte.

Fig. 3 Numai răspunsurile sunt scrise în caiete, apoi schimbă caiete cu un vecin de pe birou și se verifică între ei. La final, pe ecran apar răspunsurile corecte Personal: formarea simțurilor Regulator: autoreglare a stărilor emoționale și funcționale, autoorganizare Comunicativ: capacitatea de a lucra în perechi. Dezvoltarea gândirii creative.

5. Încălzire intelectuală.Dezvoltați gândirea logică și creativitatea.1. Latura unei foi de hârtie dreptunghiulară are o lungime întreagă (în centimetri), iar aria foii este de 12 cm2. Câte pătrate cu o suprafață de 4 cm2 pot fi tăiate din acest dreptunghi 2. Următoarea figură este afișată pe tablă prin proiector. Cum se împarte figura rezultată în două figuri cu suprafețe egale cu o tăietură dreaptă. Un elev la tablă, restul lucrează de la locul lor. Personal: formarea sensului, capacitatea de a finaliza munca. Reglementare: autoorganizare. activități de cercetare. 6. Conținut.

Conține materialul programului curs de pregatireși oferă formarea gândirii sistemice și dezvoltarea abilităților creative.Ne-a fost greu să calculăm suprafața folosind un pătrat?Dacă trebuie să calculăm suprafața stadionului, să mergem și să încercăm? Dacă o latură a plăcii este de 2 m și cealaltă parte este de 1 m, placa este dreptunghiulară, atunci poate fi împărțită în pătrate de 2x1 unitate. Prin urmare, care este aria tablei? Dacă a și b sunt laturi adiacente ale dreptunghiului exprimate în aceleași unități. Cum să găsiți aria unui astfel de dreptunghi?

Problemă.–Cum să găsiți aria unui patrulater regulat în care toate laturile și unghiurile sunt egale?

Sunt introduse noi unități de suprafață: ar (țesătură), hectar.1 a = 10 m * 10 m = 100 m2

1 ha = 100 m* 100 m = 10000 m2

Ce măsurători necesită unități atât de mari de suprafață?

S= a b Notăm formula într-un caiet. Elevii discută problema în grupuri formate anterior într-o încălzire psihologică, singurul grup devine experți (după ce au ascultat versiunile prezentate, le prelucrează și le oferă una pe care o consideră corectă). Există o discuție despre soluția problemei.Apoi în caiete notăm formula rezultată pentru aria pătratului S = a 2

– Să măsoare suprafața terenurilor, satelor, stadioanelor etc.. Personal: autodeterminare.Reglementare: dezvoltarea reglementării activităților educaționale..Dezvoltarea gândirii creative.

7. Încălzirea intelectuală pe calculator.Oferă motivare și dezvoltare a gândirii.Stabilirea corectitudinii și conștientizării studiului temei.

Test pe computer.Profesorul controlează numărul de erori.Fig. 5 (figura este sub tabel)

Elevii lucrează la calculator în perechi, trec un test Personal: autodeterminare Reglementare: dezvoltarea reglementării activităților educaționale. Rezumat. Teme. Rezumatul lecției. Oferă feedback în lecție. Profesorul se oferă să bată din palme celor cărora le-a plăcut lecția și să calce în picioare dacă cred această lecție plictisitor. – Ce nou ai învățat la lecție?

Tema pentru acasă. dat un pătrat cu latura de 8 cm. Aflați aria lui. Folosind piese multicolore, explicați și apoi respingeți ipoteza mea: 8 * 8 = 65 Fig. 6 Elevii evaluează lecția, acțiunile lor în lecție, acțiunile colegilor lor.

-Formula pentru aria unui dreptunghi, pătrat, unitate de suprafață Acasă, elevii efectuează un experiment cu părți dintr-un pătrat.

Astfel de calcule se obțin deoarece între părți se formează un decalaj la asamblarea dreptunghiului.Personal: autodezvoltarea conștiinței morale și orientarea elevilor în domeniul relațiilor morale și etice.Reglementare: dezvoltarea reglementării activităților educaționale.Comunicativ: capacitatea de a-și exprima gândurile cu suficientă completitate și acuratețe.

Legături către surse1.Stat federal standard educaționalînvăţământ general de bază. Legea federală a Federației Ruse din 17 decembrie 2010 nr. nr 1897FZ.2.M.M.Zinovkin. NFTMTRIZ: educația creativă a secolului XXI. Moscova, 2007. –313s.

Secțiuni: Matematică

Scopul lecției:

Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor dobândite.
Extinderea ideilor elevilor despre rezolvarea problemelor de găsire a celor mai mari și mai mici valori.

În timpul orelor

1 etapă a lecției

Prezentarea profesorului: fiecare persoană din când în când se găsește într-o situație în care trebuie să găsești cea mai bună modalitate de a rezolva o problemă.

De exemplu: inginerii de proces încearcă să organizeze producția în așa fel încât să obțină cât mai multe produse, proiectanții vor să planifice dispozitive pe o navă spațială în așa fel încât masa dispozitivului să fie cea mai mică etc.

Putem spune că problemele de a găsi cele mai mari și mai mici valori au aplicații practice.

În dovada cuvintelor mele, vreau să citez din povestea lui L.N. Tolstoi „De cât pământ are nevoie un om” despre țăranul Pakhom, care a cumpărat pământ de la bașkiri.

- Care va fi pretul? spune Pahom.
- Avem un pret: 1000 r. pe zi.
Pahom nu a înțeles.
- Care este această măsură - o zi? Câte zecimi va avea?
„Nu știm cum să numărăm asta”, spune el. Și vindem într-o zi; cât câștigi pe zi, atunci este al tău, iar prețul este de 1000 de ruble.
Pahom a fost surprins.
„Dar aceasta”, spune el, „vor fi multe de făcut în jurul pământului într-o zi.
Maistrul râse.
„Toate ale tale”, spune el. - Un singur acord: dacă nu te întorci în ziua de unde pleci, banii ți-au dispărut.
- Dar cum, - spune Pahom, - să marchez pe unde voi trece?
- Și vom sta în locul unde alegi; vom sta, iar tu du-te, faci un cerc, și iei cu tine o racletă și, acolo unde este cazul, observă, la colțurile găurii, pune un roi; apoi vom merge din groapă în groapă cu un plug. Luați orice cerc doriți, chiar înainte de apusul soarelui, veniți în locul de unde ați plecat. Ceea ce obții în jur este tot al tău.

Figura pe care a rezultat Pakhom este prezentată în figură. Care este cifra asta? (trapez dreptunghiular)

Întrebare: Ce părere aveți, Pahom a obținut cea mai mare suprafață? (ținând cont de faptul că parcelele sunt de obicei sub formă de patrulater)? Vom afla în lecția de astăzi.

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să ne amintim ce pași sunt implicați în rezolvarea problemelor extreme?

Sarcina este tradusă în limba funcției.
Instrumentele de analiză caută cea mai mare sau cea mai mică valoare.
Aflați ce semnificație practică are rezultatul.

Sarcina 1 (hotarat de intreaga clasa)

Perimetrul dreptunghiului este de 120 cm.Ce lungime ar trebui să aibă laturile dreptunghiului pentru ca aria să fie cea mai mare.

Revenim la sarcina cu care am început lecția. Pakhom a obținut cea mai mare suprafață (având în vedere că parcelele sunt de obicei patrulatere)? Discutăm cu studenții care este cea mai mare suprafață pe care ar putea-o obține Pahom.

2 etapă a lecției

Există o explicație a sarcinilor scrise pe tablă în prealabil (sunt două dintre ele).

Sarcina 1

Aflați în ce condiții consumul de cositor pentru fabricarea cutiilor cilindrice de o capacitate dată va fi cel mai mic.
Le atrag atenția băieților că la noi se produc sute de milioane de conserve iar consumul de tablă economisit cu cel puțin 1% va permite producția suplimentară de milioane de conserve.

Sarcina #2

Barcile sunt situate la o distanta de 3 km de cel mai apropiat punct A al tarmului. La punctul B, situat la o distanta de 5 km de A, este un incendiu. Barcagiul vrea să ajute, așa că trebuie să ajungă acolo cât mai curând posibil. Barca se deplasează cu o viteză de 4 km/h, iar pasagerul se deplasează cu 5 km/h. În ce punct de pe coastă ar trebui să aterizeze barcagiul?

Etapa 3 a lecției

Lucrați în grupuri cu protecția ulterioară a sarcinilor.

Sarcina 1

Una dintre fețele unui paralelipiped dreptunghiular este un pătrat. Suma lungimilor muchiilor care ies dintr-un vârf al paralelipipedului este 12. Găsiți cel mai mare volum posibil al acestuia.

Sarcina #2

Pentru montarea echipamentului este necesară o bază de 240 dm 3 sub formă de paralelipiped dreptunghiular. Baza suportului care urmează să fie încorporat în podea este un dreptunghi. Lungimea dreptunghiului este de trei ori lățimea. Peretele din spate mai lung al standului va fi încorporat în peretele atelierului. La instalarea suportului, pereții săi care nu sunt încorporați în podea sau în perete sunt interconectați prin sudare. Determinați dimensiunile suportului care va da cea mai scurtă lungime totală a sudurii.

Sarcina #3

O grindă este tăiată dintr-un buștean rotund cu secțiune dreptunghiulară zona cea mai mare. Găsiți dimensiunile secțiunii grinzii dacă raza secțiunii buștenilor este de 30 cm.

Sarcina #4

Dintr-o foaie dreptunghiulară de carton cu laturile de 80 cm și 50 cm, trebuie să faceți o cutie dreptunghiulară, tăind pătrate de-a lungul marginilor și îndoind marginile rezultate. Cât de înaltă trebuie să fie cutia pentru a-și maximiza volumul. Găsiți acest volum.

4 Etapa lecției

Rezolvarea sarcinilor pentru evaluare la alegere.

Sarcina 1

Dintr-un fir de 80 cm lungime, este necesar să se facă un dreptunghi cu cea mai mare suprafață. Găsiți dimensiunile acestuia.

Sarcina #2

Suma lungimilor muchiilor unei prisme triunghiulare regulate este 18√3. Găsiți cel mai mare volum posibil al unei astfel de prisme.

Sarcina #3

Diagonala unui paralelipiped dreptunghiular, una dintre fețele laterale a căruia este un pătrat, este egală cu 2√3. Găsiți cel mai mare volum posibil al unui astfel de paralelipiped.

Lecția de etapa a 5-a