Rădăcinile unei ecuații pătratice. Ecuația și rădăcinile ei: definiții, exemple Formule utile legate de ecuația pătratică

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile ecuației pătratice sunt cunoscute, atunci polinomul de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

În plus, presupunem că sunt numere reale.
Considera discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătrat are forma:
.
Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă se construiește graficul funcției
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când , graficul intersectează axa (axa) absciselor în două puncte.
Când , graficul atinge axa x la un moment dat.
Când , graficul nu traversează axa x.

Mai jos sunt exemple de astfel de grafice.

Formule utile legate de ecuația cuadratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru polinomul de gradul doi sub forma:
.
Din aceasta se poate observa că ecuația

efectuat la
Și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem descompunerea trinomului pătrat în factori:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 traversează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa x (axa) în două puncte:
Și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește multiplu. Adică, ei consideră că există două rădăcini egale:
.

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Poate fi găsit rădăcini complexe:
;
;

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu traversează abscisa (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

După ce am studiat conceptul de egalități, și anume unul dintre tipurile lor - egalitățile numerice, putem trece la un alt tip important - ecuațiile. În cadrul acestui material, vom explica ce este o ecuație și rădăcina ei, vom formula principalele definiții și vom da diverse exemple ecuații și găsirea rădăcinilor acestora.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de ecuație

De obicei, conceptul de ecuație este studiat chiar de la început. curs şcolar algebră. Apoi se definește astfel:

Definiția 1

Ecuaţie numită egalitate cu un număr necunoscut de găsit.

Se obișnuiește să se desemneze necunoscute cu litere mici latine, de exemplu, t, r, m etc., dar x, y, z sunt cel mai des folosite. Cu alte cuvinte, ecuația determină forma înregistrării sale, adică egalitatea va fi o ecuație doar atunci când este adusă la o anumită formă - trebuie să conțină o literă, a cărei valoare trebuie găsită.

Să dăm câteva exemple ale celor mai simple ecuații. Acestea pot fi egalități de forma x = 5, y = 6 etc., precum și cele care includ operații aritmetice, de exemplu, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6:x =3.

După ce se studiază conceptul de paranteze, apare conceptul de ecuații cu paranteze. Acestea includ 7 (x − 1) = 19 , x + 6 (x + 6 (x − 8)) = 3 etc. Litera care trebuie găsită poate apărea de mai multe ori, dar mai multe, ca, de exemplu, în ecuația x + 2 + 4 x - 2 - x = 10 . De asemenea, necunoscutele pot fi localizate nu numai în stânga, ci și în dreapta sau în ambele părți în același timp, de exemplu, x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 sau 8 x - 9 = 2 (x + 17).

În plus, după ce elevii se familiarizează cu conceptul de numere întregi, numere reale, raționale, naturale, precum și cu logaritmi, rădăcini și puteri, apar noi ecuații care includ toate aceste obiecte. Am dedicat un articol separat exemplelor de astfel de expresii.

În programul pentru clasa a VII-a apare mai întâi conceptul de variabile. Acestea sunt scrisori care pot lua sensuri diferite(Consultați articolul despre expresiile numerice, literale și variabile pentru mai multe detalii.) Pe baza acestui concept, putem redefini ecuația:

Definiția 2

Ecuația este o egalitate care implică o variabilă a cărei valoare urmează să fie calculată.

Adică, de exemplu, expresia x + 3 \u003d 6 x + 7 este o ecuație cu o variabilă x, iar 3 y − 1 + y \u003d 0 este o ecuație cu o variabilă y.

Într-o ecuație, nu poate exista o variabilă, ci două sau mai multe. Se numesc, respectiv, ecuații cu două, trei variabile etc. Să scriem definiția:

Definiția 3

Ecuațiile cu două (trei, patru sau mai multe) variabile sunt numite ecuații care includ un număr adecvat de necunoscute.

De exemplu, o egalitate de forma 3, 7 x + 0, 6 = 1 este o ecuație cu o variabilă x, iar x − z = 5 este o ecuație cu două variabile x și z. Un exemplu de ecuație cu trei variabile ar fi x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 .

Rădăcina ecuației

Când vorbim despre o ecuație, devine imediat necesară definirea conceptului de rădăcină a acesteia. Să încercăm să explicăm ce înseamnă.

Exemplul 1

Ni se oferă o ecuație care include o variabilă. Dacă înlocuim un număr în loc de o literă necunoscută, atunci ecuația va deveni o egalitate numerică - adevărată sau falsă. Deci, dacă în ecuația a + 1 \u003d 5 înlocuim litera cu numărul 2, atunci egalitatea va deveni incorectă, iar dacă 4, atunci obținem egalitate adevărată 4 + 1 = 5 .

Ne interesează mai mult tocmai acele valori cu care variabila se va transforma în egalitate adevărată. Se numesc rădăcini sau soluții. Să scriem definiția.

Definiția 4

Rădăcina ecuației numiți valoarea variabilei care transformă ecuația dată într-o egalitate adevărată.

Rădăcina poate fi numită și o decizie, sau invers - ambele concepte înseamnă același lucru.

Exemplul 2

Să luăm un exemplu pentru a clarifica această definiție. Mai sus am dat ecuația a + 1 = 5 . Conform definiției, rădăcina în acest caz va fi 4, deoarece atunci când înlocuiți o literă, dă egalitatea numerică corectă, iar două nu vor fi o soluție, deoarece corespunde unei egalități incorecte 2 + 1 \u003d 5.

Câte rădăcini poate avea o ecuație? Fiecare ecuație are o rădăcină? Să răspundem la aceste întrebări.

Există și ecuații care nu au o singură rădăcină. Un exemplu ar fi 0 x = 5 . Putem înlocui infinit de multe numere diferite, dar niciunul dintre ele nu o va transforma într-o egalitate valabilă, deoarece înmulțirea cu 0 dă întotdeauna 0 .

Există, de asemenea, ecuații care au rădăcini multiple. Ele pot avea atât finite, cât și infinite un numar mare de rădăcini.

Exemplul 3

Deci, în ecuația x - 2 \u003d 4 există o singură rădăcină - șase, în x 2 \u003d 9 două rădăcini - trei și minus trei, în x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 trei rădăcini - zero, unu și doi, în ecuația x=x există infinit de rădăcini.

Acum vom explica cum să scrieți corect rădăcinile ecuației. Dacă nu există, atunci scriem astfel: „ecuația nu are rădăcini”. Este posibil și în acest caz să se indice semnul mulțimii goale ∅ . Dacă există rădăcini, atunci le scriem separate prin virgule sau le indicăm ca elemente ale mulțimii, încadrându-le între paranteze. Deci, dacă orice ecuație are trei rădăcini - 2, 1 și 5, atunci scriem - 2, 1, 5 sau (- 2, 1, 5) .

Este permis să scrieți rădăcinile sub forma celor mai simple egalități. Deci, dacă necunoscutul din ecuație este notat cu litera y, iar rădăcinile sunt 2 și 7, atunci scriem y \u003d 2 și y \u003d 7. Uneori se adaugă indicele la litere, de exemplu, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Astfel indicăm numerele rădăcinilor. Dacă ecuația are infinit de soluții, atunci scriem răspunsul ca un interval numeric sau folosim notație general acceptată: mulțimea numerelor naturale se notează N, numere întregi - Z, numere reale - R. Să presupunem că, dacă trebuie să scriem că orice număr întreg va fi soluția ecuației, atunci scriem că x ∈ Z, iar dacă orice număr real este de la unu la nouă, atunci y ∈ 1, 9.

Când o ecuație are două, trei sau mai multe rădăcini, atunci, de regulă, acestea nu vorbesc despre rădăcini, ci despre soluții ale ecuației. Formulăm definiția unei soluții la o ecuație cu mai multe variabile.

Definiția 5

Soluția unei ecuații cu două, trei sau mai multe variabile este două, trei sau mai multe valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o egalitate numerică adevărată.

Să explicăm definiția cu exemple.

Exemplul 4

Să presupunem că avem o expresie x + y = 7 , care este o ecuație cu două variabile. Înlocuiți unul cu primul și două cu al doilea. Obținem o egalitate incorectă, ceea ce înseamnă că această pereche de valori nu va fi o soluție pentru această ecuație. Dacă luăm o pereche de 3 și 4, atunci egalitatea devine adevărată, ceea ce înseamnă că am găsit o soluție.

Astfel de ecuații pot, de asemenea, să nu aibă rădăcini sau să aibă un număr infinit de ele. Dacă trebuie să notăm două, trei, patru sau mai multe valori, atunci le scriem separate prin virgule în paranteze. Adică, în exemplul de mai sus, răspunsul va arăta ca (3 , 4) .

În practică, cel mai adesea cineva trebuie să se ocupe de ecuații care conțin o variabilă. Vom lua în considerare algoritmul pentru rezolvarea lor în detaliu într-un articol dedicat rezolvării ecuațiilor.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Rezolvarea ecuațiilor din matematică ocupă un loc aparte. Acest proces este precedat de multe ore de studiu a teoriei, timp în care studentul învață cum să rezolve ecuații, să le determine forma și să aducă abilitățile la automatism deplin. Cu toate acestea, căutarea rădăcinilor nu are întotdeauna sens, deoarece acestea pur și simplu nu există. Există metode speciale pentru găsirea rădăcinilor. În acest articol, vom analiza principalele funcții, domeniile lor de definire, precum și cazurile în care rădăcinile lor sunt absente.

Care ecuație nu are rădăcini?

O ecuație nu are rădăcini dacă nu există argumente reale x pentru care ecuația este identic adevărată. Pentru un nespecialist, această formulare, la fel ca majoritatea teoremelor și formulelor matematice, pare foarte vagă și abstractă, dar acest lucru este în teorie. În practică, totul devine extrem de simplu. De exemplu: ecuația 0 * x = -53 nu are soluție, deoarece nu există un astfel de număr x, al cărui produs cu zero ar da altceva decât zero.

Acum ne vom uita la cele mai elementare tipuri de ecuații.

1. Ecuație liniară

O ecuație se numește liniară dacă laturile ei dreapta și stânga sunt reprezentate ca funcții liniare: ax + b \u003d cx + d sau în formă generalizată kx + b \u003d 0. Unde a, b, c, d sunt numere cunoscute, iar x este o valoare necunoscută. Care ecuație nu are rădăcini? Exemple de ecuații liniare sunt prezentate în ilustrația de mai jos.

Practic, ecuațiile liniare sunt rezolvate prin simpla transferare a părții numerice într-o parte și a conținutului lui x în cealaltă. Rezultă o ecuație de forma mx \u003d n, unde m și n sunt numere, iar x este o necunoscută. Pentru a găsi x, este suficient să împărțiți ambele părți la m. Atunci x = n/m. Practic, ecuațiile liniare au o singură rădăcină, dar există cazuri în care fie există infinit de rădăcini, fie nu există deloc. Când m = 0 și n = 0, ecuația ia forma 0 * x = 0. Absolut orice număr va fi soluția unei astfel de ecuații.

Dar ce ecuație nu are rădăcini?

Pentru m = 0 și n = 0, ecuația nu are rădăcini din mulțime numere reale. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - aceste ecuații nu au rădăcini.

2. Ecuația pătratică

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c \u003d 0 pentru a \u003d 0. Cea mai comună este soluția prin discriminant. Formula pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice: D \u003d b 2 - 4 * a * c. În continuare, există două rădăcini x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Pentru D > 0, ecuația are două rădăcini, pentru D = 0, are o rădăcină. Dar ce ecuație pătratică nu are rădăcini? Cel mai simplu mod de a observa numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice este pe graficul unei funcții, care este o parabolă. Pentru a > 0, ramurile sunt îndreptate în sus, pentru a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

De asemenea, puteți determina vizual numărul de rădăcini fără a calcula discriminantul. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți vârful parabolei și să determinați în ce direcție sunt îndreptate ramurile. Puteți determina coordonata x a vârfului cu formula: x 0 \u003d -b / 2a. În acest caz, coordonata y a vârfului este găsită prin simpla înlocuire a valorii x0 în ecuația originală.

Ecuația pătratică x 2 - 8x + 72 = 0 nu are rădăcini, deoarece are un discriminant negativ D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Aceasta înseamnă că parabola nu atinge axa x și funcția nu ia niciodată valoarea 0, prin urmare ecuația nu are rădăcini reale.

3. Ecuații trigonometrice

Funcțiile trigonometrice sunt considerate pe un cerc trigonometric, dar pot fi reprezentate și în Sistemul cartezian coordonate. În acest articol, ne vom uita la două principale funcții trigonometriceși ecuațiile lor: sinx și cosx. Deoarece aceste funcții formează un cerc trigonometric cu raza 1, |sinx| și |cosx| nu poate fi mai mare de 1. Deci care ecuație sinx nu are rădăcini? Luați în considerare graficul funcției sinx prezentat în imaginea de mai jos.

Vedem că funcția este simetrică și are o perioadă de repetare de 2pi. Pe baza acestui lucru, putem spune că valoarea maximă a acestei funcții poate fi 1, iar cea minimă -1. De exemplu, expresia cosx = 5 nu va avea rădăcini, deoarece este mai mare decât unu în valoare absolută.

Acesta este cel mai simplu exemplu de ecuații trigonometrice. De fapt, soluția lor poate dura multe pagini, la sfârșitul cărora îți dai seama că ai folosit formula greșită și trebuie să o iei de la capăt. Uneori, chiar și cu găsirea corectă a rădăcinilor, puteți uita să țineți cont de restricțiile privind ODZ, din cauza cărora în răspuns apare o rădăcină sau un interval suplimentar, iar întregul răspuns se transformă într-unul eronat. Prin urmare, urmați cu strictețe toate restricțiile, deoarece nu toate rădăcinile se încadrează în domeniul de aplicare al sarcinii.

4. Sisteme de ecuații

Un sistem de ecuații este un set de ecuații combinate cu paranteze pătrate sau ondulate. Acoladele denotă execuția comună a tuturor ecuațiilor. Adică, dacă cel puțin una dintre ecuații nu are rădăcini sau o contrazice pe cealaltă, întregul sistem nu are soluție. Parantezele pătrate indică cuvântul „sau”. Aceasta înseamnă că dacă cel puțin una dintre ecuațiile sistemului are o soluție, atunci întregul sistem are o soluție.

Răspunsul sistemului c este totalitatea tuturor rădăcinilor ecuațiilor individuale. Și sistemele cu bretele au doar rădăcini comune. Sistemele de ecuații pot include funcții complet diferite, astfel încât această complexitate nu vă permite să spuneți imediat ce ecuație nu are rădăcini.

În cărțile cu probleme și manuale există tipuri diferite ecuații: cele care au rădăcini și cele care nu le au. În primul rând, dacă nu găsești rădăcini, să nu crezi că ele nu există deloc. Poate ați făcut o greșeală undeva, atunci este suficient să vă verificați cu atenție decizia.

Am luat în considerare cele mai elementare ecuații și tipurile lor. Acum puteți spune care ecuație nu are rădăcini. În cele mai multe cazuri, acest lucru nu este deloc dificil de făcut. Pentru a obține succes în rezolvarea ecuațiilor, sunt necesare doar atenție și concentrare. Practicați mai mult, vă va ajuta să navigați mult mai bine și mai rapid prin material.

Deci, ecuația nu are rădăcini dacă:

• V ecuație liniară mx = n valoare m = 0 și n = 0;
• într-o ecuație pătratică dacă discriminantul este mai mic decât zero;
• V ecuație trigonometrică de forma cosx = m / sinx = n dacă |m| > 0, |n| > 0;
• într-un sistem de ecuații cu paranteze, dacă cel puțin o ecuație nu are rădăcini și cu paranteze pătrate, dacă toate ecuațiile nu au rădăcini.