Modalități de setare a funcției de ieșire. Funcţie. Modalități de a seta o funcție. Proprietățile unei funcții care trebuie luate în considerare la trasare. Mod grafic de a construi o funcție

Prelegere: Conceptul de funcție. Proprietățile de bază ale funcției.

Lector: Goryacheva A.O.

DESPRE. : Regula (legea) corespondenței dintre mulțimile X și Y, conform căreia pentru fiecare element din mulțimea X se poate găsi unul și un singur element din mulțimea Y, se numeștefuncţie .

O funcție este considerată definită dacă:

Domeniul de aplicare al funcției X este stabilit;

Se setează aria valorilor funcției Y;

Regula (legea) corespondenței este cunoscută și astfel încât pentru fiecare valoare a argumentului poate fi găsită o singură valoare a funcției. Această cerință de unicitate a funcției este obligatorie.

DESPRE. : Se numește mulțimea X a tuturor valorilor valide ale argumentului x pentru care este definită funcția y = f(x)domeniul de aplicare al funcției .

Se numește mulțimea Y a tuturor valorilor reale y pe care le ia o funcțieintervalul de funcții .

Să ne uităm la câteva modalități de definire a funcțiilor.

Mod tabular . Destul de obișnuit, constă în stabilirea unui tabel cu valorile argumentelor individuale și a valorilor funcției corespunzătoare ale acestora. Această metodă de definire a unei funcții este utilizată atunci când domeniul funcției este o mulțime finită discretă.

Mod grafic . Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor din plan ale căror coordonate satisfac ecuația dată.

Modul grafic de specificare a unei funcții nu face întotdeauna posibilă determinarea cu precizie a valorilor numerice ale argumentului. Cu toate acestea, are un mare avantaj față de alte metode - vizibilitatea. În inginerie și fizică, este adesea folosită o metodă grafică de setare a unei funcții, iar un grafic este singura modalitate disponibilă pentru aceasta.

Metoda analitica . Cel mai adesea, legea care stabilește o relație între un argument și o funcție este specificată prin intermediul formulelor. Acest mod de a defini o funcție se numește analitic.

Această metodă face posibil ca fiecare valoare numerică a argumentului x să găsească valoarea numerică corespunzătoare a funcției y exact sau cu o oarecare precizie.

mod verbal . Această metodă este aceea dependenta functionala exprimată în cuvinte.

Exemplul 1: funcția E(x) este partea întreagă a numărului x. În general, E(x) = [x] reprezintă cel mai mare număr întreg care nu depășește x. Cu alte cuvinte, dacă x = r + q, unde r este un număr întreg (poate fi negativ) și q aparține intervalului = r. Funcția E(x) = [x] este constantă pe intervalul = r.

Exemplul 2: funcția y = (x) - parte fracțională a unui număr. Mai precis, y =(x) = x - [x], unde [x] este partea întreagă a numărului x. Această funcție este definită pentru toate x. daca x- număr arbitrar, reprezentându-l apoi ca x = r + q (r = [x]), unde r este un număr întreg și q se află în intervalul ; 2) (-;-2] ; 4) [-2;0]

5. Găsiți toate valorile x pentru care funcția le ia valori negative(Fig. e):

1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )

f) g)

6. Găsiți toate valorile x pentru care funcția ia valori nenegative (Fig. e):

1) (Fig. i).

1)-1

2) 3

3) 5

4) 6

Bună)

9. Pentru ce valori ale argumentului y<0 (рис. к)?

1) [-4;0); 2) (-3;0); 3) (-3;1); 4) (0;1)

j) l)

10. La ce valori ale lui x este pozitivă valoarea funcției (Fig. l)?

Conceptul unei funcții Modalități de definire a unei funcții Exemple de funcții Definirea analitică a unei funcții Mod grafic de definire a unei funcții Limita unei funcții într-un punct Modul tabelar de definire a unei funcții Teoreme limită Unicitatea unei limite Mărginirea unei funcții care are o limită Trecerea la o limită la inegalitate Limita unei funcții la infinit Funcții infinitezimale Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale

Conceptul de funcție este de bază și original, la fel ca și conceptul de mulțime. Fie X un set de numere reale x. Dacă fiecărui x ∈ X i se atribuie un anumit număr real y după o lege, atunci se spune că pe mulțimea X este dată o funcție și se scrie.Funcția introdusă în acest fel se numește numerică. În acest caz, mulțimea X este numită domeniul definiției funcției, iar variabila independentă x este numită argument. Pentru a indica o funcție, uneori este folosit doar simbolul, care denotă legea corespondenței, adică în loc de f (x) n și bufon, doar /. Astfel, funcția este dată dacă 1) este specificat domeniul de definiție 2) regula /, care atribuie fiecărei valori a: € X un anumit număr y \u003d / (x) - valoarea funcției corespunzătoare acestei valori a argumentului x. Funcțiile / și g sunt numite egale dacă domeniile lor de definiție coincid și egalitatea f(x) = g(x) este adevărată pentru orice valoare a argumentului x din domeniul lor comun. Astfel, funcțiile y nu sunt egale; sunt egale numai pe intervalul [O, I]. Exemple de funcții. 1. Sirul (o„) este o funcție a unui argument întreg, definit pe mulțimea numerelor naturale, astfel încât f(n) = an (n = 1,2,...). 2. Funcția y = n? (a se citi „en-factorial”). Dat pe mulțimea numerelor naturale: fiecare număr natural n este asociat cu produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv: în plus, 0! = 1. Semnul de desemnare provine din cuvântul latin signum - un semn. Această funcție este definită pe întreaga linie numerică, setul valorilor sale este format din trei numere -1,0, I (Fig. 1). y = |x), unde (x) denotă partea întreagă a unui număr real x, adică [x| - cel mai mare întreg nu depășește Se citește: - jocul este egal cu antie x ”(fr. entier). Această funcție este setată pe întreaga axă a numerelor, iar setul tuturor valorilor sale este format din numere întregi (Fig. 2). Metode de specificare a unei funcţii Specificarea analitică a unei funcţii Se spune că o funcţie y = f(x) este specificată analitic dacă este definită folosind o formulă care specifică ce operaţii trebuie efectuate asupra fiecărei valori a lui x pentru a obţine valoarea corespunzătoare a lui x. y. De exemplu, funcția este dată analitic. În acest caz, domeniul funcției (dacă nu este specificat în prealabil) este înțeles ca mulțimea tuturor valorilor reale ale argumentului x, pentru care expresia analitică care definește funcția ia doar valori reale și finale. În acest sens, domeniul unei funcții este numit și domeniul său de existență. Pentru functie, domeniul de definitie este segmentul.Pentru functia y - sin x, domeniul de definitie este intreaga axa numerica. Rețineți că nu orice formulă definește o funcție. De exemplu, formula nu definește nicio funcție, deoarece nu există o singură valoare reală a lui x pentru care ambele rădăcini scrise mai sus să aibă valori reale. Atribuirea analitică a unei funcții poate părea destul de complicată. În special, o funcție poate fi definită prin diferite formule pe diferite părți ale domeniului său de definire. De exemplu, o funcție ar putea fi definită astfel: 1.2. Mod grafic de specificare a unei funcții Funcția y = f(x) se numește specificat grafic dacă programul său este specificat, adică. un set de puncte (xy/(x)) pe planul xOy, ale căror abscise aparțin domeniului de definire a funcției, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției (Fig. 4). Nu pentru fiecare funcție, graficul acesteia poate fi reprezentat în figură. De exemplu, funcția Dirichlet dacă x este rațional, dacă x este irațional, ZX \o, nu permite o astfel de reprezentare. Funcția R(x) este dată pe întreaga axă numerică, iar setul valorilor sale este format din două numere 0 și 1. 1.3. Mod tabelar de specificare a unei funcții Se spune că o funcție este specificată tabelar dacă este furnizat un tabel care conține valorile numerice ale funcției pentru unele valori ale argumentului. Când o funcție este definită într-un tabel, domeniul său de definire constă numai din valorile x\t x2i..., xn enumerate în tabel. §2. Limita unei funcții într-un punct Conceptul de limită a unei funcții este esențial pentru analiza matematică. Fie definită funcția f(x) într-o vecinătate Q a punctului xq, cu excepția, poate, a punctului de extensie (Cauchy) în sine. Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x0 dacă pentru orice număr e > 0, care poate fi arbitrar mic, există un număr<5 >0, astfel încât pentru toate iGH.i^ x0 care îndeplinesc condiția inegalitatea este adevărată Definiția unei funcții Modalități de definire a unei funcții Exemple de funcții Definirea analitică a unei funcții Mod grafic de definire a unei funcții Limita unei funcții într-un punct Mod tabelar de definire a unei funcții Teoreme limită Unicitatea unei limite Mărginirea unei funcții care are o limită Tranziție la limita în inegalitate Limita unei funcții la infinit Funcții infinitezimale Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale Notație: Cu ajutorul simbolurilor logice, această definiție se exprimă după cum urmează.Exemple. 1. Folosind definiția limitei unei funcții într-un punct, arătați că Funcția este definită peste tot, inclusiv punctul zo = 1: /(1) = 5. Luați oricare. Pentru inegalitatea |(2x + 3) - 5| a avut loc, este necesar să îndeplinim următoarele inegalități Prin urmare, dacă luăm vom avea. Aceasta înseamnă că numărul 5 este limita funcției: la punctul 2. Folosind definiția limitei unei funcții, arătați că funcția nu este definită la punctul xo = 2. Luați în considerare /(x) într-o vecinătate a punctul-Xq = 2, de exemplu, pe intervalul ( 1, 5) care nu conține punctul x = 0, la care nici funcția /(x) nu este definită. Luați un număr arbitrar c > 0 și transformați expresia |/(x) - 2| pentru x f 2 după cum urmează. Pentru x b (1, 5) obținem inegalitatea Din aceasta este clar că dacă luăm 6 \u003d c, atunci pentru toate x € (1.5) supuse condiției inegalitatea va fi adevărată Aceasta înseamnă că numărul A - 2 este limita unei funcții date într-un punct Să dăm o explicație geometrică a conceptului de limită a unei funcții într-un punct, referindu-ne la graficul acesteia (Fig. 5). Pentru x, valorile funcției /(x) sunt determinate de ordonatele punctelor curbei M \ M, pentru x > ho - de ordonatele punctelor curbei MM2. Valoarea /(x0) este determinată de ordonata punctului N. Graficul acestei funcții se obține dacă luăm curba „bună” M\MMg și înlocuim punctul M(x0, A) de pe curbă cu punctul jV. Să arătăm că funcția f(x) are o limită în punctul xo, egală cu numărul A (ordonata punctului M). Luați orice număr (arbitrar mic) e > 0. Marcați pe axa Oy punctele cu ordonatele A, A - e, A + e. Notați cu P și Q punctele de intersecție ale graficului funcției y \u003d / (x ) cu liniile y \u003d A - enu = A + e. Fie abscisele acestor puncte x0 - hx0 + hi, respectiv (ht > 0, /12 > 0). Din figură se poate observa că pentru orice x Φ x0 din intervalul (x0 - h\, x0 + hi) valoarea funcției f(x) este între. pentru toate x ⩽ x0 care îndeplinesc condiția inegalitatea este adevărată Am stabilit Atunci intervalul va fi conținut în interval și, prin urmare, inegalitatea sau, care va fi satisfăcută și pentru tot x care îndeplinește condiția Aceasta demonstrează că Astfel, funcția y = /(x) are o limită A în punctul x0 dacă, oricât de îngustă este banda e dintre liniile y = A - eny = A + e, există un astfel de „5 > 0, astfel încât pentru toate x din vecinătatea perforată a punctului x0 a punctului graficului funcției y = / (x) se află în interiorul benzii e indicate. Observație 1. Mărimea b depinde de e: 6 = 6(e). Observația 2. În definirea limitei unei funcții la punctul Xq, punctul x0 însuși este exclus din considerare. Astfel, valoarea funcției în punctul Ho ns nu afectează limita funcției în acel punct. Mai mult decât atât, funcția poate să nu fie nici măcar definită în punctul Xq. Prin urmare, două funcții care sunt egale într-o vecinătate a punctului Xq, excluzând, probabil, punctul xo însuși (pot avea sensuri diferite , este posibil ca unul dintre ele sau ambele împreună să nu fie definite), să aibă aceeași limită pentru x - Xq sau ambele nu au nicio limită. De aici, în special, rezultă că pentru a găsi limita unei fracții în punctul xo, este legitim să se reducă această fracție prin expresii egale care dispar la x = Xq. Exemplul 1. Găsiți Funcția /(x) = j pentru toate x Ф 0 este egală cu unu, iar în punctul x = 0 nu este definită. Înlocuind f(x) cu funcția q(x) = 1 egală cu aceasta la x 0, obținem conceptul de funcție Modalități de definire a unei funcții Exemple de funcții Definirea analitică a unei funcții Mod grafic de definire a unei funcții Limita unei funcție într-un punct Mod tabelar de definire a unei funcții Teoreme limită Unicitatea unei limite Mărginirea unei funcții având o tranziție limită la limită în inegalitate Limita unei funcții la infinit Funcții infinit mici Proprietăți ale funcțiilor infinit de mici x = 0 limită egal la zero: lim q(x) = 0 (arată-l!). Prin urmare, lim /(x) = 0. Problemă. Formulați cu ajutorul inegalităților (în limbajul lui e -6), ceea ce înseamnă Fie definită funcția /(n) într-o vecinătate Π a punctului x0, cu excepția, poate, a punctului x0 însuși. Definiție (Heine). Numărul A se numește limita funcției /(x) în punctul x0, dacă pentru orice succesiune (xn) de valori ale argumentului x 6 P, zn / x0) convergând către punctul x0, secvența corespunzătoare de valori ale funcției (/(xn)) converge către numărul A. Este convenabil să se folosească definiția de mai sus atunci când este necesar să se stabilească că funcția /(x) nu are limită în punctul x0. Pentru a face acest lucru, este suficient să găsim o secvență (/(xn)) care să nu aibă limită, sau să indicați două secvențe (/(xn)) și (/(x "n)) care au limite diferite. arătați, de exemplu, că funcția iiya / (x) = sin j (Fig. 7), definită ORIUNDE, cu excepția PUNCTULUI X = O, Fig. 7 nu are o limită în punctul x = 0. Luați în considerare două secvențe (, convergând către punctul x = 0. Valorile secvențelor corespunzătoare ale funcției f(x) converg la diferite limite: secvența (sinnTr) converge la zero, iar secvența (sin(5 + -) la unu . Aceasta înseamnă că funcția f(x) = sin j în punctul x = 0 nu are limită Observație. Ambele definiții ale limitei unei funcții" la un punct (definiția lui Cauchy și definiția lui Heine) sunt echivalente. §3. Limită teoreme Teorema 1 (unicitatea limitei).Dacă funcția f(x) are o limită la xo, atunci această limită este unică.A Fie lim f(x) = A. Să arătăm că niciun număr B φ A nu poate fi limita x-x0 a funcției f(x) în punctul x0. Faptul că lim /(x) φ Cu ajutorul simbolurilor logice XO se formulează astfel: Folosind inegalitatea obținem, Se ia e = > 0. Deoarece lim /(x) = A, pentru e > 0 ales există 6 > 0 astfel încât Din relația (1) pentru valorile indicate ale lui x avem Deci, s-a constatat că, oricât de mici, există x Φ xQ, astfel încât și în același timp ^ e De aici și Definiția. Se spune că o funcție /(x) este mărginită într-o vecinătate a punctului x0 dacă există numere M > 0 și 6 > 0 astfel încât Teorema 2 (mărginirea unei funcții care are o limită). Dacă funcția f(x) este definită într-o vecinătate a punctului x0 și are o limită finită în punctul x0, atunci este mărginită într-o vecinătate a acestui punct. m Fie Atunci, pentru orice exemplu, pentru e = 1, există un astfel de 6 > 0 încât pentru toate x φ x0 care îndeplinesc condiția, inegalitatea va fi adevărată Observând că obținem întotdeauna Let. Atunci la fiecare punct x al intervalului avem Aceasta înseamnă, conform definiției, că funcția f(x) este mărginită într-o vecinătate. De exemplu, funcția /(x) = sin este limitată într-o vecinătate a punctului, dar nu are limită în punctul x = 0. Formulăm încă două teoreme, sens geometric ceea ce este suficient de clar. Teorema 3 (trecerea la limita inegalitatii). Dacă /(x) ⩽ ip(x) pentru toți x din vreo vecinătate a punctului x0, cu excepția, probabil, pentru punctul x0 însuși, și fiecare dintre funcțiile /(x) și ip(x) la punctul x0 are o limită , apoi Rețineți că o inegalitate strictă pentru funcții nu implică neapărat o inegalitate strictă pentru limitele lor. Dacă aceste limite există, atunci putem afirma doar că. Astfel, de exemplu, inegalitatea este valabilă pentru funcții în timp ce teorema 4 (limita functie intermediara ). Dacă pentru toți x din vreo vecinătate a punctului Xq, cu excepția, poate, a punctului x0 însuși (Fig. 9), și a funcțiilor f(x) și ip(x) la punctul xo au aceeași limită A, atunci funcția f (x) în punctul x0 are o limită egală cu aceeași valoare a lui A. § 4. Limita unei funcții la infinit Fie definită funcția /(x) fie pe toată axa reală, fie cel puțin pentru toate x satisfacand conditia jx| > K pentru unele K > 0. Definiție. Numărul A se numește limita funcției f(x) deoarece x tinde spre infinit și se scrie dacă pentru orice e > 0 există un număr jV > 0 astfel încât pentru tot x care îndeplinește condiția |x| > X, inegalitatea este adevărată Înlocuind condiția din această definiție în consecință, obținem definiții Din aceste definiții rezultă că dacă și numai dacă simultan. u003d A- euy \u003d A + e, există o astfel de linie dreaptă x = N > 0 încât în dreapta poartă graficul funcției y = /(x) este cuprins în întregime în e-strip indicat (Fig. 10). ). În acest caz, ei spun că pentru x + oo, graficul funcției y \u003d / (x) se apropie asimptotic de linia dreaptă y \u003d A. Exemplu, Funcția / (x) \u003d jtjj- este definită pe întreaga axă reală și este o fracție al cărei numărător este constant , iar numitorul crește la infinit ca |x| +oo. Este firesc să ne așteptăm ca lim /(x)=0. Să o arătăm. М Luați orice e > 0, cu condiția Pentru ca relația să aibă loc, inegalitatea c sau trebuie îndeplinită, care este aceeași cu de unde Astfel. dacă luăm vom avea. Aceasta înseamnă că numărul este limita acestei funcții la Rețineți că expresia radicală este doar pentru t ^ 1. În cazul în care, inegalitatea c este satisfăcută automat pentru toate Graficul unei funcții pare y = - se apropie asimptotic de linia dreaptă Formulați folosind inegalități, ceea ce înseamnă §5. Funcții infinit de mici Fie ca funcția a(x) să fie definită într-o vecinătate a punctului x0, cu excepția eventualului punct x0 însuși. Definiție. Funcția a(x) se numește funcție infinitezimală (abreviată ca b.m.f.), deoarece x tinde spre x0 dacă se află în unicitatea limitei limite a unei funcții care are o tranziție limită la limita în inegalitate Limita unei funcții la infinit Funcții infinitezimale Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale De exemplu, funcția a(x) = x - 1 este b. m. f. pentru x 1, deoarece lim(x-l) = 0. Graficul funcției y \u003d x-1 1-1 este prezentat în fig. II. În general, funcția a(x)=x-x0 este cel mai simplu exemplu de b. m. f. la x-»ho. Ținând cont de definiția limitei unei funcții într-un punct, definiția lui b. m. f. poate fi formulat astfel. Definiție. Se spune că o funcție a(x) este infinitezimală pentru x - * xo dacă pentru orice t > 0 există un astfel de „5 > 0 astfel încât pentru tot x care îndeplinește condiția inegalitatea este funcții adevărate la Definiție. Funcția a(x) se numește infinit mică pentru x -» oo, dacă atunci funcția a(x) se numește infinitezimală, respectiv, pentru sau pentru De exemplu, funcția este infinitezimală pentru x -» oo, deoarece lim j = 0. Funcția a (x ) = e~x este o funcție infinit de mică ca x - * + oo, întrucât în cele ce urmează, vom considera, de regulă, toate conceptele și teoremele legate de limitele funcțiilor numai în raport cu cazul limitei unei funcții într-un punct, lăsând cititorul să formuleze conceptele corespunzătoare pentru el însuși și să demonstreze teoreme similare ale zilei cazuri când Proprietățile funcțiilor infinitezimale Teorema 5. Dacă a(x) și P(x) - b. m. f. pentru x - * xo, atunci suma lor a(x) + P(x) este de asemenea un b.m. f. la x -» ho. 4 Luați orice e > 0. Deoarece a(x) este un b.m.f. pentru x -* xo, atunci există „51 > 0 astfel încât pentru toate x Φ xo care îndeplinesc condiția inegalitatea este adevărată. Prin condiția P(x) și b.m.f. pentru x ho, deci există astfel încât pentru toți χ φ ho care îndeplinesc condiția, inegalitatea este adevărată Să punem 6 = min(«5j, 62). Atunci pentru toți x Ф ho care îndeplinesc condiția, inegalitățile (1) și (2) vor fi simultan adevărate. Prin urmare, aceasta înseamnă că suma a(x) +/3(x) este un b.m.f. pentru xxq. Cometariu. Teorema rămâne valabilă pentru suma oricărui număr finit de funcții, b. m. la x zo. Teorema 6 (produsul unui b.m.f. de o funcție mărginită). Dacă funcția a(x) este b. m. f. pentru x -* x0, iar funcția f(x) este mărginită într-o vecinătate a punctului Xo, atunci produsul a(x)/(x) este 6. m. f. pentru x -» x0. Prin presupunere, funcția f(x) este mărginită într-o vecinătate a punctului x0. Aceasta înseamnă că există numere 0 și M > 0 astfel încât Să luăm orice e > 0. Deoarece, prin condiție, există 62 > 0 astfel încât pentru toate x φ x0 care îndeplinesc condiția |x - xol, inegalitatea va fi fi adevărat Fie i dintre toate x f x0 care satisfac condiția |x - x0|, inegalitățile vor fi simultan adevărate Prin urmare Aceasta înseamnă că produsul a(x)/(x) este b. m.f. cu Exemplu. Funcția y \u003d xsin - (Fig. 12) poate fi considerată ca produsul funcțiilor a (ar) \u003d x și f (x) \u003d sin j. Funcția a(a) este b. m. f. pentru x - 0, iar funcția f folosind trei formule.

Dacă relația dintre x și y este dată de o formulă care se rezolvă în raport cu y, i.e. are forma y \u003d f (x), atunci ei spun că funcția lui x este dată în mod explicit, de exemplu,. Dacă valorile x și y sunt legate printr-o ecuație de forma F(x, y) = 0, i.e. formula nu este permisă în raport cu y, atunci se spune că funcția este definită implicit. De exemplu,. Rețineți că nu orice funcție implicită poate fi reprezentată ca y \u003d f (x), dimpotrivă, orice funcție explicită poate fi întotdeauna reprezentată ca una implicită:
. Un alt tip de specificare analitică a unei funcții este parametrică, când argumentul x și funcția y sunt funcții ale celei de-a treia mărimi - parametrul t:
, Unde
, T este un interval. Această metodă este utilizată pe scară largă în mecanică, în geometrie.

Modul analitic este cel mai comun mod de a defini o funcție. Compactitatea, capacitatea de a aplica aparatul de analiză matematică unei anumite funcții, capacitatea de a calcula valorile unei funcții pentru orice valoare a argumentului sunt principalele sale avantaje.

4. Mod verbal. Această metodă constă în faptul că dependența funcțională se exprimă în cuvinte. De exemplu, funcția E (x) este partea întreagă a numărului x, funcția Dirichlet, funcția Riemann, n!, r (n) este numărul de divizori ai unui număr natural n.

5. Metoda semigrafică. Aici, valorile funcției sunt reprezentate ca segmente, iar valorile argumentului sunt reprezentate ca numere la capetele segmentelor indicând valorile funcției. Deci, de exemplu, într-un termometru există o scară cu diviziuni egale, care au numere. Aceste numere sunt valorile argumentului (temperatura). Ele stau în locul care determină alungirea grafică a coloanei de mercur (valori ale funcției) datorită expansiunii sale volumetrice ca urmare a schimbărilor de temperatură.

Una dintre definițiile clasice ale conceptului de „funcție” sunt definițiile bazate pe corespondențe. Vă prezentăm o serie de astfel de definiții.

Definiția 1

Se numește o relație în care fiecare valoare a variabilei independente corespunde unei singure valori a variabilei dependente funcţie.

Definiția 2

Să fie date două seturi nevide $X$ și $Y$. Se numește o potrivire $f$ care se mapează la fiecare $x\în X$ unul și numai unul $y\în Y$ funcţie($f:X → Y$).

Definiția 3

Fie $M$ și $N$ două seturi numerice arbitrare. Se spune că o funcție $f$ este definită pe $M$, luând valori de la $N$ dacă fiecare element al lui $x\în X$ este asociat cu unul și doar un element din $N$.

Următoarea definiție este dată prin concept variabil. O variabilă este o mărime care în acest studiu ia diverse valori numerice.

Definiția 4

Fie $M$ setul de valori ale variabilei $x$. Atunci, dacă fiecare valoare $x\în M$ corespunde unei valori definite a altei variabile $y$ este o funcție a valorii $x$ definită pe mulțimea $M$.

Definiția 5

Fie $X$ și $Y$ niște seturi de numere. O funcție este o mulțime $f$ de perechi ordonate de numere $(x,\ y)$ astfel încât $x\în X$, $y\în Y$ și fiecare $x$ aparține uneia și numai uneia dintre aceste perechi. set, iar fiecare $y$ este în cel puțin o pereche de .

Definiția 6

Orice set $f=$\left(x,\y\right)$$ de perechi ordonate $\left(x,\y\right)$ astfel încât pentru orice perechi $\left(x",\y" \right)\în f$ și $\left(x"",\ y""\right)\în f$ rezultă din condiția $y"≠ y""$ că $x"≠x""$ este numită funcție sau afișaj.

Definiția 7

O functie $f:X → Y$ este o multime $f$ de perechi ordonate $\left(x,\y\right)\in X\time Y$ astfel incat pentru orice element $x\in X$ exista o element unic $y\in Y$ astfel încât $\left(x,\y\right)\in f$, adică funcția este un tuplu de obiecte $\left(f,\X,\Y\right) $.

În aceste definiţii

$x$ este o variabilă independentă.

$y$ este variabila dependentă.

Toate valorile posibile ale variabilei $x$ sunt numite domeniul funcției, iar toate valorile posibile ale variabilei $y$ sunt numite domeniul funcției.

Mod analitic de definire a unei funcții

Pentru această metodă, avem nevoie de conceptul de expresie analitică.

Definiția 8

O expresie analitică este produsul tuturor operațiilor matematice posibile asupra oricăror numere și variabile.

Modul analitic de setare a unei funcții este setarea acesteia folosind o expresie analitică.

Exemplul 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Pro:

Cu formule, putem determina valoarea unei funcții pentru orice valoare dată a variabilei $x$;
Funcțiile astfel definite pot fi studiate folosind aparatul de analiză matematică.

Minusuri:

Vizibilitate redusă.
Uneori trebuie să efectuați calcule foarte greoaie.

Mod tabelar de definire a unei funcții

Acest mod de setare este că pentru mai multe valori ale variabilei independente, valorile variabilei dependente sunt scrise. Toate acestea sunt introduse în tabel.

Exemplul 2

Poza 1.

La care se adauga: Pentru orice valoare a variabilei independente $x$ care este introdusă în tabel, valoarea corespunzătoare a funcției $y$ este imediat recunoscută.

Minusuri:

Cel mai adesea, nu sarcina completă funcții;
Vizibilitate redusă.

(Definiție: Fie X și Y mulțimi numerice. Dacă, după o regulă f, fiecare element x X este asociat cu un element unic y Y, atunci spunem că funcția y=f(x) este definită pe mulțimea X . x=D(f) – interval de valori; y= ; x=(- )=R; E(f)= =)