Sensul geometric al derivatei inverse. Sensul fizic al derivatului. VI. Lucrări de laborator

Subiect. Derivat. Geometric și simțul mecanic derivat

Dacă această limită există, atunci se spune că funcția este diferențiabilă într-un punct. Se notează derivata unei funcții (formula 2).

1. Sensul geometric al derivatului. Luați în considerare graficul funcției. Din figura 1 se poate observa că pentru oricare două puncte A și B ale graficului funcției se poate scrie formula 3). În ea - unghiul de înclinare al secantei AB.

Astfel, raportul diferențelor este egal cu panta secantei. Dacă fixăm punctul A și deplasăm punctul B spre el, atunci acesta scade la infinit și se apropie de 0, iar secanta AB se apropie de tangentei AC. Prin urmare, limita relației de diferență este egală cu panta tangentei în punctul A. De aici urmează concluzia.

Derivata unei funcții într-un punct este panta tangentei la graficul acelei funcții în acel punct. Acesta este sensul geometric al derivatului.

1. Ecuația tangentei . Să derivăm ecuația tangentei la graficul funcției din punct. In cazul general, ecuatia unei drepte cu panta are forma: . Pentru a găsi b, folosim faptul că tangenta trece prin punctul A: . Asta implică: . Înlocuind această expresie cu b, obținem ecuația tangentei (formula 4).

Pentru a afla valoarea geometrică a derivatei, luați în considerare graficul funcției y = f(x). Luați un punct arbitrar M cu coordonatele (x, y) și un punct N apropiat de acesta (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Să desenăm ordonatele $\overline(M_(1) M)$ și $\overline(N_(1) N)$ și să trasăm o dreaptă paralelă cu axa OX din punctul M.

Raportul $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ este tangenta unghiului $\alpha $1 format de secanta MN cu directia pozitiva a axei OX. Pe măsură ce $\Delta $x tinde spre zero, punctul N se va apropia de M, iar tangenta MT la curba în punctul M va deveni poziţia limită a secantei MN. Astfel, derivata f`(x) este egală cu tangenta unghiului $\alpha $ formata de tangenta la curba in punctul M (x, y) cu directie pozitiva fata de axa OX - panta tangentei (Fig. 1).

Figura 1. Graficul unei funcții

Atunci când calculați valorile folosind formulele (1), este important să nu faceți o greșeală în semne, deoarece creșterea poate fi negativă.

Punctul N situat pe curbă se poate apropia de M din orice parte. Deci, dacă în Figura 1, tangentei este dată în direcția opusă, unghiul $\alpha $ se va modifica cu $\pi $, ceea ce va afecta semnificativ tangenta unghiului și, în consecință, panta.

Concluzie

Rezultă că existența derivatei este legată de existența unei tangente la curba y = f(x), iar panta -- tg $\alpha $ = f`(x) este finită. Prin urmare, tangenta nu trebuie să fie paralelă cu axa OY, altfel $\alpha $ = $\pi $/2, iar tangenta unghiului va fi infinită.

În unele puncte, o curbă continuă poate să nu aibă o tangentă sau să aibă o tangentă paralelă cu axa OY (Fig. 2). Atunci funcția nu poate avea o derivată în aceste valori. Pot exista orice număr de astfel de puncte pe curba funcției.

Figura 2. Puncte excepționale ale curbei

Luați în considerare Figura 2. Fie $\Delta $x tinde spre zero de la valori negative sau pozitive:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Dacă în acest caz relațiile (1) au un culoar finit, se notează astfel:

În primul caz, derivata din stânga, în al doilea, derivata din dreapta.

Existența unei limite vorbește despre echivalența și egalitatea derivatelor din stânga și din dreapta:

Dacă derivatele din stânga și din dreapta nu sunt egale, atunci în acest punct există tangente care nu sunt paralele cu OY (punctul M1, Fig. 2). În punctele M2, M3, relațiile (1) tind spre infinit.

Pentru N puncte la stânga lui M2, $\Delta $x $

La dreapta lui $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, dar expresia este și f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Pentru punctul $M_3$ din stânga $\Delta $x $$ 0 și f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, adică. expresiile (1) sunt ambele pozitive la stânga și la dreapta și tind să +$\infty $ ambele când $\Delta $x se apropie de -0 și +0.

Cazul absenței unei derivate în anumite puncte ale dreptei (x = c) este prezentat în Figura 3.

Figura 3. Absența derivatelor

Exemplul 1

Figura 4 prezintă graficul funcției și tangenta la grafic în punctul cu abscisa $x_0$. Aflați valoarea derivatei funcției în abscisă.

Soluţie. Derivata într-un punct este egală cu raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului. Să alegem două puncte cu coordonate întregi pe tangentă. Fie, de exemplu, acestea să fie punctele F (-3,2) și C (-2,4).

Problemele matematice își găsesc aplicarea în multe științe. Acestea includ nu numai fizica, chimia, inginerie și economie, ci și medicină, ecologie și alte discipline. Un concept important de stăpânit pentru a găsi soluții la dileme importante este derivata unei funcții. sens fizic nu este deloc atât de greu de explicat pe cât le poate părea celor neinițiați în esența problemei. Este suficient doar să găsiți exemple potrivite în acest sens în viața reală și în situațiile obișnuite de zi cu zi. De fapt, orice șofer face față unei sarcini similare în fiecare zi când se uită la vitezometru, determinând viteza mașinii sale într-un anumit moment al unui timp fix. La urma urmei, în acest parametru se află esența semnificației fizice a derivatului.

Cum să găsești viteza

Orice elev de clasa a cincea poate determina cu ușurință viteza unei persoane pe drum, cunoscând distanța parcursă și timpul de călătorie. Pentru a face acest lucru, prima dintre valorile date este împărțită la a doua. Dar nu orice tânăr matematician știe că în momentul de față găsește raportul dintre incrementele unei funcții și ale unui argument. Într-adevăr, dacă ne imaginăm mișcarea sub forma unui grafic, așezând traseul de-a lungul axei y și timpul de-a lungul abscisei, va fi doar așa.

Cu toate acestea, viteza unui pieton sau a oricărui alt obiect pe care îl determinăm pe o secțiune mare a căii, considerând că deplasarea este uniformă, se poate schimba foarte bine. Există multe forme de mișcare în fizică. Poate fi efectuat nu numai cu o accelerație constantă, dar încetinește și crește într-un mod arbitrar. Trebuie menționat că în acest caz linia care descrie mișcarea nu va mai fi o linie dreaptă. Grafic, poate prelua cele mai complexe configurații. Dar pentru oricare dintre punctele din grafic, putem desena întotdeauna o tangentă reprezentată de o funcție liniară.

Pentru a rafina parametrul de schimbare a deplasării în funcție de timp, este necesar să se reducă segmentele măsurate. Când devin infinit de mici, viteza calculată va fi instantanee. Această experiență ne ajută să definim derivata. Semnificația sa fizică decurge și în mod logic dintr-un astfel de raționament.

În ceea ce privește geometria

Se știe că cu cât viteza corpului este mai mare, cu atât graficul dependenței deplasării în timp este mai abrupt și, prin urmare, unghiul de înclinare al tangentei la grafic într-un anumit punct. Un indicator al unor astfel de modificări poate fi tangenta unghiului dintre axa x și linia tangentă. El este cel care determină valoarea derivatei și se calculează prin raportul dintre lungimile opusului catetului adiacent într-un triunghi dreptunghic format dintr-o perpendiculară coborâtă dintr-un anumit punct pe axa x.

Acesta este sensul geometric al primei derivate. Cel fizic se relevă în faptul că valoarea piciorului opus în cazul nostru este distanța parcursă, iar cea adiacentă este timpul. Raportul lor este viteza. Și din nou ajungem la concluzia că viteza instantanee, determinată atunci când ambele goluri tind să fie infinit de mici, este esența, indicând sensul său fizic. A doua derivată din acest exemplu va fi accelerația corpului, care demonstrează, la rândul său, gradul de schimbare a vitezei.

Exemple de găsire a derivatelor în fizică

Derivatul este un indicator al ratei de schimbare a oricărei funcții, chiar și atunci când nu vorbim despre mișcare în sensul literal al cuvântului. Pentru a demonstra clar acest lucru, să luăm câteva exemple concrete. Să presupunem că puterea curentului, în funcție de timp, se modifică conform următoarei legi: eu= 0,4t2. Este necesar să se găsească valoarea ratei cu care se modifică acest parametru la sfârșitul celei de-a 8-a secunde a procesului. Rețineți că valoarea dorită în sine, după cum se poate aprecia din ecuație, crește constant.

Pentru soluție, este necesară găsirea primei derivate, al cărei sens fizic a fost luat în considerare mai devreme. Aici dI/ dt = 0,8 t. În continuare, îl găsim la t=8 , obținem că rata la care are loc modificarea puterii curentului este egală cu 6,4 A/ c. Aici se consideră că puterea curentului se măsoară în amperi, iar timpul, respectiv, în secunde.

Totul este schimbător

Vizibil lumea, format din materie, sufera constant modificari, fiind in miscare de diverse procese care au loc in ea. O varietate de parametri pot fi utilizați pentru a le descrie. Dacă sunt uniți prin dependență, atunci ele sunt scrise matematic ca o funcție care arată clar modificările lor. Și acolo unde există mișcare (sub orice formă ea ar fi exprimată), există și un derivat, al cărui sens fizic îl luăm în considerare în momentul de față.

În acest sens, următorul exemplu. Să presupunem că temperatura corpului se modifică conform legii T=0,2 t 2 . Ar trebui să găsiți viteza de încălzire la sfârșitul celei de-a zecea secunde. Problema este rezolvată într-un mod similar cu cel descris în cazul precedent. Adică găsim derivata și înlocuim în ea valoarea pt t= 10 , primim T= 0,4 t= 4. Aceasta înseamnă că răspunsul final este de 4 grade pe secundă, adică procesul de încălzire și modificarea temperaturii, măsurate în grade, au loc exact în acest ritm.

Rezolvarea problemelor practice

Desigur, în viața reală, totul este mult mai complicat decât în ​​problemele teoretice. În practică, valoarea cantităților este de obicei determinată în timpul experimentului. În acest caz, se folosesc instrumente care dau citiri în timpul măsurătorilor cu o anumită eroare. Prin urmare, în calcule, trebuie să se ocupe de valorile aproximative ale parametrilor și să recurgă la rotunjirea numerelor incomode, precum și la alte simplificări. Luând în considerare acest lucru, vom trece din nou la probleme privind semnificația fizică a derivatei, având în vedere că acestea sunt doar un fel de model matematic al celor mai complexe procese care au loc în natură.

Erupţie

Imaginează-ți că un vulcan erupe. Cât de periculos poate fi? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie luați în considerare mulți factori. Vom încerca să ținem cont de unul dintre ele.

Din gura „monstrului de foc” se aruncă vertical în sus pietre, având o viteză inițială din momentul în care ies afară. Este necesar să se calculeze cât de sus pot atinge înălțimea maximă.

Pentru a găsi valoarea dorită, compunem o ecuație pentru dependența înălțimii H, măsurată în metri, de alte mărimi. Acestea includ viteza și timpul inițial. Valoarea accelerației este considerată cunoscută și aproximativ egală cu 10 m/s 2 .

Derivată parțială

Să luăm acum în considerare semnificația fizică a derivatei unei funcții dintr-un unghi ușor diferit, deoarece ecuația în sine poate conține nu una, ci mai multe variabile. De exemplu, în problema anterioară, dependența înălțimii pietrelor ejectate din orificiul de ventilație al vulcanului a fost determinată nu numai de modificarea caracteristicilor de timp, ci și de valoarea vitezei inițiale. Aceasta din urmă a fost considerată o valoare constantă, fixă. Dar în alte sarcini cu condiții complet diferite, totul ar putea fi diferit. Dacă cantitățile pe care functie complexa, mai multe, calculele se fac dupa formulele de mai jos.

Semnificația fizică a derivatului frecvent ar trebui determinată ca în cazul obișnuit. Aceasta este rata la care funcția se schimbă la un anumit punct pe măsură ce parametrul variabilei crește. Se calculează în așa fel încât toate celelalte componente să fie luate ca constante, doar una este considerată variabilă. Apoi totul se întâmplă conform regulilor obișnuite.

Înțelegând sensul fizic al derivatului, nu este dificil să dai exemple de rezolvare a unor probleme complicate și complexe, al căror răspuns poate fi găsit cu astfel de cunoștințe. Dacă avem o funcție care descrie consumul de combustibil în funcție de viteza mașinii, putem calcula la ce parametri ai acesteia din urmă va fi cel mai mic consumul de benzină.

În medicină, puteți prezice cum va reacționa corpul uman la un medicament prescris de un medic. Luarea medicamentului afectează o varietate de parametri fiziologici. Acestea includ modificări ale tensiunii arteriale, ale ritmului cardiac, ale temperaturii corpului și multe altele. Toate depind de doza de medicament luată. Aceste calcule ajută la prezicerea cursului tratamentului, atât în ​​manifestări favorabile, cât și în accidente nedorite, care pot afecta fatal modificările corpului pacientului.

Fără îndoială, este important să înțelegem semnificația fizică a derivatului în chestiuni tehnice, în special în inginerie electrică, electronică, proiectare și construcție.

Distanțe de frânare

Să luăm în considerare următoarea sarcină. Deplasându-se cu viteză constantă, mașina, apropiindu-se de pod, a fost nevoită să încetinească cu 10 secunde înainte de intrare, întrucât șoferul a observat un indicator rutier care interzicea circulația cu o viteză mai mare de 36 km/h. A încălcat șoferul regulile dacă distanța de frânare poate fi descrisă prin formula S = 26t - t 2?

După ce am calculat prima derivată, găsim formula vitezei, obținem v = 28 - 2t. În continuare, înlocuim valoarea t=10 în expresia specificată.

Deoarece această valoare a fost exprimată în secunde, viteza se dovedește a fi de 8 m/s, ceea ce înseamnă 28,8 km/h. Acest lucru face posibil să înțelegem că șoferul a început să încetinească la timp și nu a încălcat regulile de circulație și, prin urmare, limita indicată pe indicatorul de viteză.

Aceasta dovedește importanța semnificației fizice a derivatului. Un exemplu de rezolvare a acestei probleme demonstrează cel mai mult amploarea utilizării acestui concept zone diferite viaţă. Inclusiv în situațiile de zi cu zi.

Derivat în economie

Înainte de secolul al XIX-lea, economiștii se ocupau mai ales de medii, fie că era vorba de productivitatea muncii sau de prețul producției. Dar de la un moment dat, valorile limită au devenit mai necesare pentru a face previziuni eficiente în acest domeniu. Acestea includ utilitatea marginală, venitul sau costul. Înțelegerea acestui lucru a dat impuls creării unui instrument complet nou în cercetarea economică, care există și s-a dezvoltat de mai bine de o sută de ani.

Pentru a face astfel de calcule, unde predomină concepte precum minim și maxim, este pur și simplu necesar să înțelegem semnificația geometrică și fizică a derivatei. Printre creatori baza teoretica Aceste discipline pot fi numite economiști englezi și austrieci proeminenți precum W. S. Jevons, K. Menger și alții. Desigur, valorile limită în calculele economice nu sunt întotdeauna convenabile de utilizat. Și, de exemplu, rapoartele trimestriale nu se încadrează neapărat în schema existentă, dar totuși, aplicarea unei astfel de teorii în multe cazuri este utilă și eficientă.

Obiectivele lecției:

Elevii ar trebui să știe:

• ceea ce se numește panta unei drepte;
• unghiul dintre linie și axa x;
• care este sensul geometric al derivatului;
• ecuația tangentei la graficul funcției;
• o metodă pentru construirea unei tangente la o parabolă;
• să fie capabil să aplice cunoștințele teoretice în practică.

Obiectivele lecției:

Educațional: pentru a crea condiții pentru ca elevii să stăpânească sistemul de cunoștințe, deprinderi și abilități cu conceptele sensului mecanic și geometric al derivatului.

Educațional: pentru a forma o viziune științifică asupra lumii la elevi.

Dezvoltare: pentru a dezvolta interesul cognitiv al elevilor, creativitatea, voința, memoria, vorbirea, atenția, imaginația, percepția.

Metode de organizare a activităților educaționale și cognitive:

• vizual;
• practic;
• asupra activității mentale: inductiv;
• după asimilarea materialului: parțial exploratoriu, reproductiv;
• după gradul de independență: lucru de laborator;
• stimulare: încurajare;
• control: sondaj frontal oral.

Planul lecției

1. Exerciții orale (găsește derivatul)
2. Mesajul elevului pe tema „Motivele apariției analiză matematică”.
3. Învățarea de materiale noi
4. Fiz. Minut.
5. Rezolvarea problemelor.
6. Lucrări de laborator.
7. Rezumând lecția.
8. Comentând temele.

Echipament: proiector multimedia (prezentare), carduri (lucru de laborator).

„O persoană realizează ceva doar acolo unde crede în sine”

L. Feuerbach

Organizarea clasei pe parcursul lecției, pregătirea elevilor pentru lecție, ordinea și disciplina.

Stabilirea obiectivelor de învățare pentru elevi, atât pentru întreaga lecție, cât și pentru etapele sale individuale.

Determinați semnificația materialului studiat atât în ​​această temă, cât și în întregul curs.

Numărarea verbală

1. Găsiți derivate:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Test logic.

a) Introduceți expresia lipsă.

Direcția generală a dezvoltării științei este determinată în cele din urmă de cerințele practicării activității umane. Existența statelor antice cu un sistem ierarhic complex de guvernare ar fi fost imposibilă fără o dezvoltare suficientă a aritmeticii și algebrei, deoarece colectarea impozitelor, organizarea proviziilor armatei, construirea de palate și piramide, crearea de sisteme de irigații au necesitat. calcule complexe. În timpul Renașterii, legăturile dintre diferite părți ale lumii medievale s-au extins, s-au dezvoltat comerțul și meșteșugurile. Începe o creștere rapidă a nivelului tehnic de producție, noi surse de energie sunt utilizate industrial, fără legătură cu eforturile musculare ale oamenilor sau animalelor. În secolele XI-XII au apărut plinile și războaiele de țesut, iar la mijlocul secolului XV - o tipografie. În legătură cu necesitatea dezvoltării rapide a producției sociale în această perioadă, se schimbă esența științelor naturii, care au fost descriptive încă din antichitate. Scopul științei naturii devine un studiu aprofundat al proceselor naturale, nu al obiectelor. Știința descriptivă a naturii a antichității corespundea matematicii, care funcționa cu valori constante. A fost necesar să se creeze un aparat matematic care să descrie nu rezultatul procesului, ci natura fluxului său și tiparele sale inerente. Ca urmare, până la sfârșitul secolului al XII-lea, Newton în Anglia și Leibniz în Germania au încheiat prima etapă în crearea analizei matematice. Ce este „analiza matematică”? Cum se pot caracteriza și prezice caracteristicile oricărui proces? Folosiți aceste caracteristici? Pentru a pătrunde mai adânc în esența acestui sau aceluia fenomen?

Să mergem pe calea lui Newton și Leibniz și să vedem cum putem analiza procesul, considerându-l în funcție de timp.

Să introducem câteva noțiuni care ne vor ajuta în continuare.

Graficul funcției liniare y=kx+ b este o dreaptă, se numește numărul k panta dreptei. k=tg, unde este unghiul unei drepte, adică unghiul dintre această dreaptă și direcția pozitivă a axei Ox.

Poza 1

Luați în considerare graficul funcției y \u003d f (x). Desenați o secanta prin oricare două puncte, de exemplu, secanta AM. (Fig.2)

Panta secantei k=tg. Într-un triunghi dreptunghic AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Figura 2

Figura 3

Termenul „viteză” în sine caracterizează dependența unei modificări a unei cantități de o modificare a alteia, iar aceasta din urmă nu trebuie să fie timpul.

Deci, tangenta pantei secantei tg = .

Suntem interesați de dependența modificării valorilor într-o perioadă mai scurtă de timp. Să întindem incrementul argumentului la zero. Atunci partea dreaptă a formulei este derivata funcției din punctul A (explicați de ce). Dacă x -> 0, atunci punctul M se deplasează de-a lungul graficului până la punctul A, ceea ce înseamnă că linia AM se apropie de o linie AB, care este tangentă la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul A. (Fig.3)

Unghiul de înclinare al secantei tinde spre unghiul de înclinare al tangentei.

Sensul geometric al derivatei este că valoarea derivatei într-un punct este egală cu panta tangentei la graficul funcției din punct.

Sensul mecanic al derivatului.

Tangenta pantei tangentei este o valoare care arată viteza instantanee de modificare a funcției la un punct dat, adică o nouă caracteristică a procesului studiat. Leibniz a numit această cantitate derivat, iar Newton a spus că instantanee viteză.

Nr. 91(1) pagina 91 - arată pe tablă.

Panta tangentei la curba f (x) \u003d x 3 în punctul x 0 - 1 este valoarea derivatei acestei funcții la x \u003d 1. f '(1) \u003d 3x 2; f'(1) = 3.

Nr 91 (3,5) - sub dictare.

Nr.92 (1) - pe tablă după bunul plac.

Nr. 92 (3) - independent cu verificare orală.

Nr 92 (5) - la consiliu.

Răspunsuri: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Scop: dezvoltarea conceptului de „sens mecanic al derivatului”.

Aplicații ale derivatei în mecanică.

Legea este data mișcare rectilinie punctele x = x(t), t.

1. Viteza medie de mișcare în perioada specificată de timp;
2. Viteza și accelerația la momentul t 04
3. puncte de oprire; dacă punctul continuă să se miște în aceeași direcție după momentul opririi sau începe să se miște în sens opus;
4. Cea mai mare viteză de mișcare pentru o anumită perioadă de timp.

Lucrarea se desfășoară în funcție de 12 opțiuni, sarcinile sunt diferențiate în funcție de nivelul de complexitate (prima opțiune este cel mai scăzut nivel de complexitate).

Înainte de a începe lucrul, o conversație pe următoarele întrebări:

1. Care este semnificația fizică a derivatei de deplasare? (Viteză).
2. Puteți găsi derivata vitezei? Este această cantitate folosită în fizică? Ceea ce este numit? (Accelerare).
3. Viteza instantanee este zero. Ce se poate spune despre mișcarea corpului în acest moment? (Acesta este punctul de oprire).
4. Care este sensul fizic al următoarelor afirmații: derivata mișcării este egală cu zero în punctul t 0; derivata își schimbă semnul la trecerea prin punctul t 0? (Corpul se oprește; direcția de mișcare se schimbă în sens invers).

Exemplu de lucru pentru studenți.

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2.

Figura 4

În sens invers.

Să desenăm un grafic schematic al vitezei. Cea mai mare viteză este atinsă în acest punct

t=10, v (10) =3 10 2 -4 10 =300-40=260

Figura 5

1) Care este semnificația geometrică a derivatei?
2) Care este sensul mecanic al derivatului?
3) Trageți o concluzie despre munca dvs.

Pagina 90. Nr. 91 (2,4,6), Nr. 92 (2,4,6,), p. 92 Nr. 112.

Cărți uzate

• Manual de algebră și începutul analizei.
  Autori: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin.
  Editat de A. B. Jizhchenko.
• Algebră clasa a XI-a. Planuri de lecție conform manualului de Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov. Partea 1.
• Resurse de internet: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Derivata functiei f (x) in punctul x0 este limita (daca exista) a raportului dintre incrementul functiei in punctul x0 si incrementul argumentului Δx, daca incrementul argumentului tinde sa zero și se notează cu f '(x0). Acțiunea de a găsi derivata unei funcții se numește diferențiere.
Derivata unei functii are urmatoarea semnificatie fizica: derivata unei functii intr-un punct dat este rata de schimbare a functiei intr-un punct dat.

Sensul geometric al derivatului. Derivata in punctul x0 este egala cu panta tangentei la graficul functiei y=f(x) in acest punct.

Sensul fizic al derivatului. Dacă un punct se mișcă de-a lungul axei x și coordonatele lui se modifică conform legii x(t), atunci viteza instantanee a punctului:

Conceptul de diferenţial, proprietăţile sale. Reguli de diferențiere. Exemple.

Definiție. Diferenţialul unei funcţii la un anumit punct x este partea principală, liniară a incrementului funcţiei. Diferenţiala funcţiei y = f(x) este egală cu produsul derivatei sale şi incrementul variabilei independente x ( argument).

Este scris astfel:

sau

Sau


Proprietăți diferențiale
Diferenţialul are proprietăţi similare cu cele ale derivatei:





LA regulile de bază de diferențiere include:
1) redare factor constant pentru semnul derivatului
2) derivată a sumei, derivată a diferenței
3) derivată a produsului de funcții
4) derivată a unui coeficient de două funcții (derivată a unei fracții)

Exemple.
Să demonstrăm formula: Prin definiția derivatei, avem:

Un factor arbitrar poate fi scos din semnul trecerii la limită (acest lucru este cunoscut din proprietățile limitei), prin urmare

De exemplu: Aflați derivata unei funcții
Soluţie: Folosim regula de a scoate multiplicatorul din semnul derivatei :

Destul de des, mai întâi trebuie să simplificați forma unei funcții diferențiabile pentru a utiliza tabelul de derivate și regulile de găsire a derivatelor. Următoarele exemple confirmă clar acest lucru.

Formule de diferențiere. Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative. Exemple.

Utilizarea diferenţialului în calcule aproximative permite utilizarea diferenţialului pentru calcule aproximative ale valorilor funcţiei.
Exemple.
Folosind diferența, calculați aproximativ
Pentru a calcula această valoare, aplicăm formula din teorie
Să introducem funcția a valoarea stabilită reprezintă sub formă
apoi Calculați

Înlocuind totul în formulă, obținem în sfârșit
Răspuns:

16. Regula lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor de forma 0/0 sau ∞/∞. Exemple.
Limita raportului a două cantități infinitezimale sau a două cantități infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor.

1)

17. Funcția crescătoare și descrescătoare. extremul funcției. Algoritm pentru studierea unei funcții pentru monotonitate și extremum. Exemple.

Funcţie crește pe un interval dacă pentru oricare două puncte din acest interval legate de relația , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, iar graficul său merge „de jos în sus”. Funcția demo crește pe interval

La fel, funcția in scadere pe un interval dacă pentru oricare două puncte ale intervalului dat, astfel încât , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, iar graficul acesteia merge „de sus în jos”. Al nostru scade pe intervale scade pe intervale .

Extreme Punctul se numește punctul maxim al funcției y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul maxim functia maxima si noteaza .
Punctul se numește punctul minim al funcției y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul minim funcția minimă si noteaza .
Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval , unde este un număr pozitiv suficient de mic.
Punctele minime și maxime sunt numite puncte extreme, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite funcția extremă.

Pentru a explora o funcție pentru monotonie utilizați următoarea diagramă:
- Găsiți domeniul de aplicare al funcției;
- Aflați derivata funcției și domeniul derivatei;
- Aflați zerourile derivatei, i.e. valoarea argumentului la care derivata este egală cu zero;
- Pe fasciculul numeric, marcați partea comună a domeniului funcției și domeniul derivatei sale, iar pe ea - zerourile derivatei;
- Determinati semnele derivatei pe fiecare dintre intervalele obtinute;
- Prin semnele derivatei, determinați la ce intervale funcția crește și la care scade;
- Înregistrați golurile corespunzătoare separate prin punct și virgulă.

Algoritm de cercetare functie continua y = f(x) pentru monotonitate și extreme:
1) Aflați derivata f ′(x).
2) Găsiți punctele staționare (f ′(x) = 0) și critice (f ′(x) nu există) ale funcției y = f(x).
3) Marcați staționar și puncte critice pe dreapta numerică și determinați semnele derivatei pe intervalele rezultate.
4) Trageți concluzii despre monotonitatea funcției și punctele sale extreme.

18. Convexitatea unei funcții. Puncte de inflexiune. Algoritm pentru examinarea unei funcții pentru convexitate (Concavitate) Exemple.

convex în jos pe intervalul X, dacă graficul său este situat nu mai jos decât tangenta la acesta în orice punct al intervalului X.

Funcția diferențiabilă se numește convex în sus pe intervalul X, dacă graficul său nu este situat mai sus decât tangenta la acesta în orice punct al intervalului X.

Se numește formula punctului punctul de inflexiune al graficului funcția y \u003d f (x), dacă la un punct dat există o tangentă la graficul funcției (poate fi paralelă cu axa Oy) și există o astfel de vecinătate a formulei punctului, în care graficul funcția are diferite direcții de convexitate la stânga și la dreapta punctului M.

Găsirea intervalelor pentru convexitate:

Dacă funcţia y=f(x) are o derivată secundă finită pe intervalul X şi dacă inegalitatea (), atunci graficul funcției are o convexitate îndreptată în jos (în sus) pe X.
Această teoremă vă permite să găsiți intervale de concavitate și convexitate ale unei funcții, trebuie doar să rezolvați inegalitățile și, respectiv, pe domeniul de definiție al funcției originale.

Exemplu: Aflați intervalele la care graficul funcțieiAflați intervalele la care graficul funcției are o convexitate îndreptată în sus și o convexitate îndreptată în jos. are o convexitate îndreptată în sus și o convexitate îndreptată în jos.
Soluţie: Domeniul acestei funcții este întregul set numere reale.
Să găsim derivata a doua.

Domeniul de definiție al derivatei a doua coincide cu domeniul de definire al funcției inițiale, prin urmare, pentru a afla intervalele de concavitate și convexitate, este suficient să rezolvi și respectiv. Prin urmare, funcția este convexă în jos pe formula intervalului și convexă în sus pe formula intervalului.

19) Asimptotele unei funcții. Exemple.

Apelat direct asimptotă verticală graficul funcției dacă cel puțin una dintre valorile limită sau este egală cu sau .

Cometariu. Linia nu poate fi o asimptotă verticală dacă funcția este continuă la . Prin urmare, asimptotele verticale trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale funcției.

Apelat direct asimptotă orizontală graficul funcției dacă cel puțin una dintre valorile limită sau este egală cu .

Cometariu. Un grafic al funcției poate avea doar o asimptotă orizontală dreaptă sau doar una stângă.

Apelat direct asimptotă oblică graficul funcției dacă

EXEMPLU:

Exercițiu. Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie. Domeniul de aplicare:

a) asimptote verticale: o linie dreaptă este o asimptotă verticală, deoarece

b) asimptote orizontale: găsim limita funcției la infinit:

adică nu există asimptote orizontale.

c) asimptote oblice:

Astfel, asimptota oblică este: .

Răspuns. Asimptota verticală este o linie dreaptă.

Asimptota oblică este o linie dreaptă.

20) Schema generală a studiului funcției și a trasării. Exemplu.

A.
Găsiți ODZ și punctele de întrerupere ale funcției.

b. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

2. Efectuați un studiu al funcției folosind derivata întâi, adică găsiți punctele extreme ale funcției și intervalele de creștere și scădere.

3. Investigați funcția folosind derivata de ordinul doi, adică găsiți punctele de inflexiune ale graficului funcției și intervalele convexității și concavității acestuia.

4. Aflați asimptotele graficului funcției: a) verticală, b) oblică.

5. Pe baza studiului, construiți un grafic al funcției.

Rețineți că înainte de a trasa, este util să stabiliți dacă o anumită funcție este pară sau impară.

Reamintim că o funcție este apelată chiar dacă valoarea funcției nu se schimbă atunci când semnul argumentului se schimbă: f(-x) = f(x) iar o funcție se numește impar dacă f(-x) = -f(x).

În acest caz, este suficient să studiezi funcția și să-i construiești graficul pentru valorile pozitive ale argumentului care aparțin ODZ. La valori negative argument, graficul este completat pe baza faptului că pentru o funcție pară este simetric față de axă Oi, și pentru impar față de origine.

Exemple. Explorează funcțiile și construiește graficele lor.

Domeniul de aplicare a funcției D(y)= (–∞; +∞). Nu există puncte de pauză.

Intersecția axelor Bou: X = 0,y= 0.

Funcția este impară, prin urmare, poate fi investigată numai pe intervalul )