Variabila aleatoare x este dată de funcția de distribuție a probabilității. Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatoare. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

După cum se știe, variabilă aleatorie numit variabil, care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor - cu literele mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

Variabilă aleatorie discretă numit valoare aleatorie, care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1 . Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) prin utilizarea funcția de distribuție F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3 . Legea distribuției poate fi stabilită grafic – poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Principal caracteristici numerice variabilă aleatoare discretă :

• Așteptări matematice (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i.
  Pentru distribuție binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
• Dispersia variabilă aleatoare discretă D(X)=M2 sau D(X) = M(X 2) − 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
  Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
• Deviație standard (deviație standard) σ(X)=√D(X).

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”

Sarcina 1.

Au fost emise 1.000 de bilete de loterie: 5 dintre ele vor câștiga 500 de ruble, 10 vor câștiga 100 de ruble, 20 vor câștiga 50 de ruble și 50 vor câștiga 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet.

Soluţie. În funcție de starea problemei, sunt posibile următoarele valori ale variabilei aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500.

Numărul de bilete fără câștig este 1000 - (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel:

Sa gasim valorea estimata valorile X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Sarcina 3.

Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și trasați-o. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete.

Soluţie. 1. Variabila aleatorie discretă X=(numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 =0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 =1 (un element a eșuat), x 3 =2 ( două elemente au eșuat ) și x 4 \u003d 3 (trei elemente au eșuat).

Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale între ele, prin urmare, este aplicabil formula lui Bernoulli . Având în vedere că, prin condiție, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Astfel, legea de distribuție binomială dorită X are forma:

Pe axa absciselor, graficăm valorile posibile x i, iar pe axa ordonatelor, probabilitățile corespunzătoare р i . Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectând aceste puncte cu segmente de linie, obținem poligonul de distribuție dorit.

3. Aflați funcția de distribuție F(x) = P(X

Graficul funcției F(x)

4. Pentru distribuția binomială X:
- așteptarea matematică М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersia D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Definiție 13.1. Se numește variabila aleatoare X discret, dacă este nevoie de un număr finit sau numărabil de valori.

Definiție 13.2. Legea distribuției unei variabile aleatoare X este mulțimea de perechi de numere ( , ), unde sunt valorile posibile ale variabilei aleatoare și sunt probabilitățile cu care variabila aleatoare ia aceste valori, i.e. =P( X= ), și =1.

Cea mai simplă formă de specificare a unei variabile aleatoare discrete este un tabel care listează valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare. O astfel de masă se numește aproape de distribuție variabilă aleatoare discretă.

Seria de distribuție poate fi reprezentată grafic. În acest caz, abscisa este reprezentată de-a lungul ordonatei, iar probabilitatea este reprezentată de-a lungul ordonatei. Punctele cu coordonate ( , ) sunt conectate prin segmente și primesc o linie întreruptă numită poligon de distribuție, care este una dintre formele de precizare a legii de distribuţie a unei variabile aleatoare discrete.

Exemplul 13.3. Construiți un poligon de distribuție al unei variabile aleatoare X cu o serie de distribuții

Definiție 13.4. Spunem că o variabilă aleatoare discretă X are distribuție binomială cu parametri ( n,p) dacă poate lua valori întregi nenegative k {1,2,…,n) cu probabilități Р( X=x)= .

Seria de distribuție are forma:

Suma probabilităților = =1.

Definiția 13.5. Se spune că forma discretă a variabilei aleatoare X Are Distribuția Poisson cu parametrul (>0), dacă ia valori întregi k(0,1,2,…) cu probabilități Р( X=k)= .

Seria de distribuție are forma

Deoarece expansiunea din seria Maclaurin are următoarea formă, atunci suma probabilităților = = =1.

Notează prin X numărul de încercări care urmează să fie finalizate înainte de prima apariție a evenimentului Aîn studii independente, dacă probabilitatea de apariție a lui A în fiecare dintre ele este egală cu p (0<p <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями X sunt numere naturale.

Definiția 13.6. Ei spun că variabila aleatoare X Are distribuție geometrică cu parametru p (0<p <1), если она принимает натуральные значения k N cu probabilități Р(Х=k)= , unde . Domeniu de distribuție:

Suma probabilităților = = =1.

Exemplul 13.7. Moneda este răsturnată de 2 ori. Compilați o serie de distribuție a unei variabile aleatoare X a numărului de apariții ale „stemei”.

P2 (0)= = ; P2(1)===0,5; P 2 (2) = = .

Seria de distribuție va lua forma:

Exemplul 13.8. Pistolul este tras până la prima lovitură asupra țintei. Probabilitatea de a lovi cu o lovitură este de 0,6. va lovi la a 3-a lovitură.

Deoarece p=0,6, q=0,4, k=3, apoi P( A)= =0,4 2 *0,6=0,096.

14 Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare discrete

Legea distribuției caracterizează complet variabila aleatoare, dar este adesea necunoscută, așa că trebuie să te limitezi la mai puține informații. Uneori este și mai profitabil să folosești numere (parametri) care descriu variabila aleatoare în total. Sunt chemați caracteristici numerice variabilă aleatorie. Acestea includ: așteptări matematice, varianță etc.

Definiție 14.1. așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă se numește suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora. Indicați așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X prin M X=M( X)=E X.

Dacă variabila aleatoare X ia un număr finit de valori, apoi M X= .

Dacă variabila aleatoare X ia un număr numărabil de valori, apoi M X= ,

iar așteptarea matematică există dacă seria converge absolut.

Observația 14.2. Așteptările matematice sunt un anumit număr aproximativ egal cu o anumită valoare a unei variabile aleatorii.

Exemplul 14.3. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare X, cunoscându-și seria de distribuție

M X=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

Exemplul 14.4. Găsiți așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment Aîntr-o singură încercare, dacă probabilitatea unui eveniment A este egal cu p.

Valoare aleatoare X- numărul de producere a evenimentului Aîntr-un singur test. Poate lua valori =1 ( Aîntâmplat) cu o probabilitate pși =0 cu probabilitate , i.e. serie de distribuție

Prin urmare, MS=C*1=C.

Observația 14.6. Produsul unei valori constante C de o variabilă aleatorie discretă X Definită ca o variabilă aleatorie discretă C X, ale căror valori posibile sunt egale cu produsele constantei С și valorile posibile X, probabilitățile acestor valori С X sunt egale cu probabilitățile valorilor posibile corespunzătoare X.

Proprietatea 14.7. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării:

DOMNIȘOARĂ X)=C∙M X.

Dacă variabila aleatoare X are un număr de distribuție

Serii de distribuție variabilă aleatoare

DOMNIȘOARĂ X)= = = С∙М( X).

Definiție 14.8. Sunt numite variabile aleatoare , ,… independent, dacă pentru , i=1,2,…,n

Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)

Dacă ca = , i=1,2,…,n, atunci obținem din (1)

R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:

( , ,…, ) = () ()... () (2)

pentru funcția de distribuție comună a variabilelor aleatoare , ,…, , care poate fi luată și ca o definiție a independenței unei variabile aleatoare.

Proprietatea 14.9. Așteptările matematice ale produsului lui 2 independent variabile aleatoare este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:

M( X Y)=M X∙M La.

Proprietatea 14.10. Așteptările matematice ale sumei a 2 variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice:

M( X+Y)=M X+M La.

Observația 14.11. Proprietățile 14.9 și 14.10 pot fi generalizate în cazul mai multor variabile aleatoare.

Exemplul 14.12. Aflați așteptarea matematică a sumei numărului de puncte care pot cădea la aruncarea a 2 zaruri.

Lăsa X numărul de puncte aruncate pe primul zar, La numărul de puncte aruncate pe al doilea zar. Au aceeași serie de distribuție:

Apoi M X=M La= (1+2+3+4+5+6)= = . M( X+Y)=2* =7.

Teorema 14.13. Așteptarea matematică a numărului de apariții ale evenimentului A V nîncercări independente este egal cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea ca un eveniment să apară în fiecare încercare: M X=np.

Lăsa X– numărul de apariții ale evenimentului A V n teste independente. – numărul de apariții ale evenimentului A V i- acel test, i=1,2,…,n. Atunci = + +…+ . Conform proprietăților așteptării matematice M X= . Din exemplul 14,4M X i=p,i=1,2,…,n, deci M X= =np.

Definiția 14.14.dispersie variabila aleatoare se numeste numarul D X=M( X-M X) 2 .

Definiția 14.15.Deviație standard variabilă aleatorie X număr numit =.

Observația 14.16. Dispersia este o măsură a răspândirii valorilor unei variabile aleatorii în jurul așteptărilor sale matematice. Este întotdeauna non-negativ. Pentru a calcula varianța, este mai convenabil să folosiți o altă formulă:

D X=M( X-M X) 2 = M( X 2 - 2X∙ M X+ (M X) 2) = M( X 2) - 2M( X∙ M X) + M(M X) 2 = =M( X 2)-M X∙ M X+(M X) 2 = M( X 2) - (M X) 2 .

De aici D X=M( X 2) - (M X) 2 .

Exemplul 14.17. Aflați varianța unei variabile aleatoare X, dat de un număr de distribuții

M X=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M( X 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;

D X=13.3-(3,5) 2 =1,05.

Proprietăți de dispersie

Proprietatea 14.18. Dispersia unei valori constante este 0:

DC = M(C-MC)2 = M(C-C)2 =0.

Proprietatea 14.19. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia

DC X) =C2D X.

D(CX)=M(C-CM X) 2 \u003d M (C (X- M X) 2) = C 2 M( X-M X) 2 = C 2 D X.

Proprietatea 14.20. Varianta sumei lui 2 independent variabile aleatoare este egală cu suma varianțelor acestor variabile

D( X+Y)=D X+D Y.

D( X + Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = M( x2+ 2XY+Y2) - (M X+ M Y) 2 = =M( X) 2 +2M X M Y+M( Y 2)-(M( X) 2 +2M X M Y+M( Y) 2)= M( X 2)-(M X) 2 +M( Y 2)-(M Y) 2 = D X+D Y.

Corolarul 14.21. Varianta sumei mai multor independent variabile aleatoare este egală cu suma varianțelor lor.

Teorema 14.22. Variația numărului de apariții ale unui eveniment A V n teste independente, în fiecare dintre ele probabilitatea p) 2 =). Prin urmare, D +2,

Variabilă aleatorie este o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de diverse circumstanțe și variabila aleatoare se numeste continua , dacă poate lua orice valoare dintr-un interval mărginit sau nemărginit. Pentru o variabilă aleatoare continuă, este imposibil să se specifice toate valorile posibile, prin urmare, intervalele acestor valori care sunt asociate cu anumite probabilități sunt notate.

Exemple de variabile aleatoare continue sunt: ​​diametrul unei piese transformate la o dimensiune dată, înălțimea unei persoane, raza de acțiune a unui proiectil etc.

Deoarece pentru variabile aleatoare continue funcţia F(X), Spre deosebire de variabile aleatoare discrete, nu are salturi nicăieri, atunci probabilitatea oricărei valori unice a unei variabile aleatoare continue este egală cu zero.

Aceasta înseamnă că pentru o variabilă aleatoare continuă nu are sens să vorbim despre distribuția probabilității dintre valorile sale: fiecare dintre ele are probabilitate zero. Cu toate acestea, într-un anumit sens, printre valorile unei variabile aleatoare continue există „mai mult și mai puțin probabil”. De exemplu, este puțin probabil ca cineva să se îndoiască de faptul că valoarea unei variabile aleatoare - înălțimea unei persoane întâlnite aleatoriu - 170 cm - este mai probabilă decât 220 cm, deși una și cealaltă valoare pot apărea în practică.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue și densitatea de probabilitate

Ca lege de distribuție, care are sens numai pentru variabile aleatoare continue, este introdus conceptul de densitate de distribuție sau densitate de probabilitate. Să o abordăm comparând semnificația funcției de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă și pentru o variabilă aleatoare discretă.

Deci, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare (atât discrete cât și continue) sau funcţie integrală se numește funcție care determină probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare X mai mică sau egală cu valoarea limită X.

Pentru o variabilă aleatoare discretă în punctele valorilor sale X1 , X 2 , ..., X eu,... mase concentrate de probabilităţi p1 , p 2 , ..., p eu,..., iar suma tuturor maselor este egală cu 1. Să transferăm această interpretare în cazul unei variabile aleatoare continue. Imaginați-vă că o masă egală cu 1 nu este concentrată în puncte separate, ci este continuu „untată” de-a lungul axei x Bou cu o oarecare densitate neuniformă. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare pe orice site Δ X va fi interpretată ca masa atribuibilă acestei secțiuni, iar densitatea medie din această secțiune - ca raportul dintre masă și lungime. Tocmai am introdus un concept important în teoria probabilității: densitatea distribuției.

Probabilitate densitate f(X) a unei variabile aleatoare continue este derivata funcției sale de distribuție:

.

Cunoscând funcția de densitate, putem găsi probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue să aparțină intervalului închis [ A; b]:

probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul [ A; b], este egal cu o anumită integrală a densității sale de probabilitate în intervalul de la A inainte de b:

.

În acest caz, formula generală a funcției F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care poate fi utilizată dacă funcția de densitate este cunoscută f(X) :

.

Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue se numește curba de distribuție a acesteia (fig. de mai jos).

Aria figurii (umbrită în figură), delimitată de o curbă, linii drepte trase din puncte AȘi b perpendicular pe axa absciselor, iar pe axa Oh, afișează grafic probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue X se află în raza de A inainte de b.

Proprietăți ale funcției de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue

1. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia orice valoare din interval (și aria figurii, care este limitată de graficul funcției f(X) și axa Oh) este egal cu unu:

2. Funcția de densitate de probabilitate nu poate lua valori negative:

iar în afara existenței distribuției, valoarea acesteia este zero

Densitatea de distribuție f(X), precum și funcția de distribuție F(X), este una dintre formele legii distribuției, dar spre deosebire de funcția de distribuție, nu este universală: densitatea distribuției există doar pentru variabile aleatoare continue.

Să menționăm cele două cele mai importante în practică tipuri de distribuție a unei variabile aleatoare continue.

Dacă funcţia de densitate de distribuţie f(X) o variabilă aleatoare continuă într-un interval finit [ A; b] ia o valoare constantă C, iar în afara intervalului ia o valoare egală cu zero, atunci aceasta distribuția se numește uniformă .

Dacă graficul funcției de densitate de distribuție este simetric față de centru, valorile medii sunt concentrate în apropierea centrului, iar atunci când se îndepărtează de centru, sunt colectate mai diferite de medii (graficul funcției seamănă cu o tăietură de un clopot), apoi asta distribuția se numește normală .

Exemplul 1 Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare continue este cunoscută:

Găsiți o caracteristică f(X) densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Trasează grafice pentru ambele funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8: .

Soluţie. Obținem funcția de densitate a probabilității găsind derivata funcției de distribuție a probabilității:

Graficul funcției F(X) - parabola:

Graficul funcției f(X) - linie dreapta:

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8:

Exemplul 2 Funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este dată astfel:

Calculați factorul C. Găsiți o caracteristică F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Trasează grafice pentru ambele funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5: .

Soluţie. Coeficient C găsim, folosind proprietatea 1 a funcției de densitate de probabilitate:

Astfel, funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este:

Integrând, găsim funcția F(X) distribuţii de probabilitate. Dacă X < 0 , то F(X) = 0 . Daca 0< X < 10 , то

.

X> 10, atunci F(X) = 1 .

Astfel, înregistrarea completă a funcției de distribuție a probabilității este:

Graficul funcției f(X) :

Graficul funcției F(X) :

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5:

Exemplul 3 Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dat de egalitate , în timp ce . Găsiți coeficientul A, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X ia o anumită valoare din intervalul ]0, 5[, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X.

Soluţie. Prin condiție, ajungem la egalitate

Prin urmare, de unde. Asa de,

.

Acum găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[:

Acum obținem funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare:

Exemplul 4 Aflați densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care ia numai valori nenegative și funcția de distribuție .

VALORI ALEATORII

Exemplul 2.1. Valoare aleatoare X dat de funcţia de distribuţie

Găsiți probabilitatea ca în urma testului X va lua valori între (2,5; 3,6).

Soluţie: Xîn intervalul (2,5; 3,6) poate fi determinat în două moduri:

Exemplul 2.2. La ce valori ale parametrilor AȘi ÎN funcţie F(X) = A + Fi - x poate fi o funcție de distribuție pentru valorile nenegative ale unei variabile aleatorii X.

Soluţie: Deoarece toate valorile posibile ale variabilei aleatoare X aparțin intervalului , atunci pentru ca funcția să fie o funcție de distribuție pentru X, proprietatea ar trebui să dețină:

.

Răspuns: .

Exemplul 2.3. Variabila aleatoare X este dată de funcția de distribuție

Găsiți probabilitatea ca, în urma a patru încercări independente, valoarea X exact de 3 ori va lua o valoare aparținând intervalului (0,25; 0,75).

Soluţie: Probabilitatea de a atinge o valoare Xîn intervalul (0,25; 0,75) găsim prin formula:

Exemplul 2.4. Probabilitatea ca mingea să lovească coșul într-o singură aruncare este de 0,3. Întocmește legea distribuției numărului de lovituri în trei aruncări.

Soluţie: Valoare aleatoare X- numărul de lovituri din coș cu trei aruncări - poate lua valorile: 0, 1, 2, 3. Probabilitățile ca X

X:

Exemplul 2.5. Doi trăgători fac o singură lovitură în țintă. Probabilitatea de a-l lovi de primul trăgător este de 0,5, al doilea - 0,4. Notați legea de distribuție a numărului de lovituri pe țintă.

Soluţie: Aflați legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X- numărul de lovituri pe țintă. Lăsați evenimentul să fie o lovire asupra țintei de către primul trăgător și - lovită de al doilea trăgător și - respectiv, ratarea acestora.

Să compunem legea distribuției de probabilitate a SV X:

Exemplul 2.6. Sunt testate 3 elemente, care funcționează independent unul de celălalt. Duratele de timp (în ore) de funcționare fără defecțiuni a elementelor au funcții de densitate de distribuție: pentru prima: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, pentru al doilea: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, pentru al treilea: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Aflați probabilitatea ca în intervalul de timp de la 0 la 5 ore: un singur element să eșueze; doar două elemente vor eșua; toate cele trei elemente eșuează.

Soluţie: Să folosim definiția funcției generatoare de probabilități:

Probabilitatea ca în studii independente, în primul dintre care probabilitatea apariției unui eveniment A este egal cu , în al doilea etc., evenimentul A apare exact o dată, este egal cu coeficientul at în expansiunea funcției generatoare în puteri de . Să găsim probabilitățile de eșec și, respectiv, de neeșec ale primului, al doilea și al treilea element în intervalul de timp de la 0 la 5 ore:

Să creăm o funcție generatoare:

Coeficientul at este egal cu probabilitatea ca evenimentul A va apărea exact de trei ori, adică probabilitatea de eșec a tuturor celor trei elemente; coeficientul at este egal cu probabilitatea ca exact două elemente să eșueze; coeficientul la este egal cu probabilitatea ca un singur element să eșueze.

Exemplul 2.7. Având în vedere o densitate de probabilitate f(X) variabilă aleatorie X:

Găsiți funcția de distribuție F(x).

Soluţie: Folosim formula:

.

Astfel, funcția de distribuție are forma:

Exemplul 2.8. Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Compilați legea distribuției numărului de elemente eșuate într-un experiment.

Soluţie: Valoare aleatoare X- numărul de elemente care au eșuat într-un experiment - poate lua valorile: 0, 1, 2, 3. Probabilități ca X ia aceste valori, găsim prin formula Bernoulli:

Astfel, obținem următoarea lege a distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare X:

Exemplul 2.9. Există 4 piese standard într-un lot de 6 părți. 3 articole au fost selectate aleatoriu. Întocmește legea de distribuție a numărului de piese standard între cele selectate.

Soluţie: Valoare aleatoare X- numarul de piese standard dintre cele selectate - poate lua valorile: 1, 2, 3 si are o distributie hipergeometrica. Probabilităţile ca X

Unde -- numărul de piese din lot;

-- numărul de piese standard din lot;

– numărul de piese selectate;

-- numărul de piese standard dintre cele selectate.

.

.

.

Exemplul 2.10. Variabila aleatoare are o densitate de distribuție

unde și nu sunt cunoscute, dar , a și . Gaseste si .

Soluţie:În acest caz, variabila aleatoare X are o distribuție triunghiulară (distribuția Simpson) pe intervalul [ a, b]. Caracteristici numerice X:

Prin urmare, . Rezolvând acest sistem, obținem două perechi de valori: . Deoarece, în funcție de starea problemei, avem în sfârșit: .

Răspuns: .

Exemplul 2.11.În medie, pentru 10% din contracte, societatea de asigurări plătește sumele asigurate în legătură cu producerea unui eveniment asigurat. Calculați așteptările matematice și varianța numărului de astfel de contracte dintre cele patru alese aleatoriu.

Soluţie: Așteptările și varianța matematică pot fi găsite folosind formulele:

.

Valori posibile ale SV (număr de contracte (din patru) cu apariția unui eveniment asigurat): 0, 1, 2, 3, 4.

Folosim formula Bernoulli pentru a calcula probabilitățile unui număr diferit de contracte (din patru) pentru care au fost plătite sumele asigurate:

.

Seria de distribuție a CV-ului (numărul de contracte cu producerea unui eveniment asigurat) are forma:

Răspuns: , .

Exemplul 2.12. Din cei cinci trandafiri, doi sunt albi. Scrieți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie care exprimă numărul de trandafiri albi dintre doi luați în același timp.

Soluţie:Într-un eșantion de doi trandafiri, poate să nu existe nici un trandafir alb, fie unul sau doi trandafiri albi. Prin urmare, variabila aleatoare X poate lua valori: 0, 1, 2. Probabilităţile ca X ia aceste valori, găsim prin formula:

Unde -- numărul de trandafiri;

-- numărul de trandafiri albi;

– numărul de trandafiri luați simultan;

-- numărul de trandafiri albi dintre cei luați.

.

.

.

Atunci legea distribuției unei variabile aleatoare va fi după cum urmează:

Exemplul 2.13. Dintre cele 15 unități asamblate, 6 au nevoie de lubrifiere suplimentară. Întocmește legea de distribuție a numărului de unități care au nevoie de lubrifiere suplimentară, dintre cinci alese aleatoriu din numărul total.

Soluţie: Valoare aleatoare X- numarul de unitati care necesita lubrifiere suplimentara dintre cele cinci selectate - poate lua valorile: 0, 1, 2, 3, 4, 5 si are o distributie hipergeometrica. Probabilităţile ca X ia aceste valori, găsim prin formula:

Unde -- numărul de unități asamblate;

-- numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară;

– numărul de agregate selectate;

-- numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cele selectate.

.

.

.

.

.

.

Atunci legea distribuției unei variabile aleatoare va fi după cum urmează:

Exemplul 2.14. Din cele 10 ceasuri primite pentru reparare, 7 au nevoie de o curatare generala a mecanismului. Ceasurile nu sunt sortate după tipul de reparație. Maestrul, dorind să găsească un ceas care trebuie curățat, le examinează unul câte unul și, după ce a găsit un astfel de ceas, oprește vizionarea ulterioară. Găsiți așteptările și variația matematică a numărului de ore vizionate.

Soluţie: Valoare aleatoare X- numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cele cinci selectate - poate lua următoarele valori: 1, 2, 3, 4. Probabilitățile ca X ia aceste valori, găsim prin formula:

.

.

.

.

Atunci legea distribuției unei variabile aleatoare va fi după cum urmează:

Acum să calculăm caracteristicile numerice ale cantității:

Răspuns: , .

Exemplul 2.15. Abonatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon de care are nevoie, dar își amintește că este impar. Găsiți așteptarea și varianța matematică a numărului de apeluri pe care le-a făcut înainte de a atinge numărul dorit, dacă formează ultima cifră la întâmplare și nu formează cifra formată în viitor.

Soluţie: Variabila aleatoare poate lua valori: . Deoarece abonatul nu formează cifra formată în viitor, probabilitățile acestor valori sunt egale.

Să compunem o serie de distribuție a unei variabile aleatoare:

Să calculăm așteptările matematice și varianța numărului de încercări de apelare:

Răspuns: , .

Exemplul 2.16. Probabilitatea de defecțiune în timpul testelor de fiabilitate pentru fiecare dispozitiv din serie este egală cu p. Determinați așteptările matematice ale numărului de dispozitive care au eșuat, dacă au fost testate N aparate.

Soluţie: Variabila aleatorie discretă X este numărul de dispozitive defectate în N teste independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de eșec este egală cu p, distribuite conform legii binomiale. Așteptările matematice ale distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare:

Exemplul 2.17. Variabilă aleatorie discretă X ia 3 valori posibile: cu probabilitate ; cu probabilitate si cu probabilitate . Găsiți și știind că M( X) = 8.

Soluţie: Folosim definițiile așteptărilor matematice și legea distribuției unei variabile aleatoare discrete:

Găsim: .

Exemplul 2.18. Departamentul de control tehnic verifică standarditatea produselor. Probabilitatea ca elementul să fie standard este de 0,9. Fiecare lot conține 5 articole. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare X- numarul de loturi, fiecare continand exact 4 produse standard, daca sunt supuse verificarii 50 de loturi.

Soluţie:În acest caz, toate experimentele efectuate sunt independente, iar probabilitățile ca fiecare lot să conțină exact 4 produse standard sunt aceleași, prin urmare, așteptările matematice pot fi determinate prin formula:

,

unde este numărul de partide;

Probabilitatea ca un lot să conțină exact 4 articole standard.

Găsim probabilitatea folosind formula Bernoulli:

Răspuns: .

Exemplul 2.19. Aflați varianța unei variabile aleatoare X– numărul de apariții ale evenimentului Aîn două încercări independente, dacă probabilitățile de apariție a unui eveniment în aceste încercări sunt aceleași și se știe că M(X) = 0,9.

Soluţie: Problema poate fi rezolvată în două moduri.

1) Valori CB posibile X: 0, 1, 2. Folosind formula Bernoulli, determinăm probabilitățile acestor evenimente:

, , .

Apoi legea distribuției X se pare ca:

Din definiția așteptării matematice, determinăm probabilitatea:

Să găsim varianța lui SW X:

.

2) Puteți folosi formula:

.

Răspuns: .

Exemplul 2.20. Așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal X sunt 20 și respectiv 5. Aflați probabilitatea ca în urma testului X va lua valoarea cuprinsă în intervalul (15; 25).

Soluţie: Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatorie normală X pe secțiunea de la până la este exprimată în termenii funcției Laplace:

Exemplul 2.21. Dată o funcție:

La ce valoare a parametrului C această funcție este densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X? Aflați așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare X.

Soluţie: Pentru ca o funcție să fie densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare, ea trebuie să fie nenegativă și trebuie să îndeplinească proprietatea:

.

Prin urmare:

Calculați așteptările matematice folosind formula:

.

Calculați varianța folosind formula:

T este p. Este necesar să se găsească așteptarea și varianța matematică a acestei variabile aleatoare.

Soluţie: Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X - numărul de apariții ale unui eveniment în încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a unui eveniment este , se numește binom. Așteptarea matematică a distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție a evenimentului A într-o singură încercare:

.

Exemplul 2.25. Trei focuri independente sunt trase în țintă. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,25. Determinați abaterea standard a numărului de lovituri cu trei lovituri.

Soluţie: Deoarece sunt efectuate trei încercări independente, iar probabilitatea de apariție a evenimentului A (lovitură) în fiecare încercare este aceeași, vom presupune că variabila aleatoare discretă X - numărul de lovituri pe țintă - este distribuită în funcție de binom. lege.

Varianța distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitățile de apariție și neapariție a unui eveniment într-o singură încercare:

Exemplul 2.26. Numărul mediu de clienți care vizitează compania de asigurări în 10 minute este de trei. Găsiți probabilitatea ca cel puțin un client să sosească în următoarele 5 minute.

Numărul mediu de clienți care sosesc în 5 minute: . .

Exemplul 2.29. Timpul de așteptare pentru o aplicație în coada procesorului respectă o lege de distribuție exponențială cu o valoare medie de 20 de secunde. Găsiți probabilitatea ca următoarea cerere (arbitrară) să aștepte procesorul mai mult de 35 de secunde.

Soluţie:În acest exemplu, așteptarea , iar rata de eșec este .

Atunci probabilitatea dorită este:

Exemplul 2.30. Un grup de 15 elevi ține o întâlnire într-o sală cu 20 de rânduri a câte 10 locuri fiecare. Fiecare elev ia un loc în hol la întâmplare. Care este probabilitatea ca nu mai mult de trei persoane să fie pe locul șapte al rândului?

Soluţie:

Exemplul 2.31.

Apoi, conform definiției clasice a probabilității:

Unde -- numărul de piese din lot;

-- numărul de piese nestandard din lot;

– numărul de piese selectate;

-- numărul de piese non-standard dintre cele selectate.

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare va fi după cum urmează.

Densitatea de distribuție probabilități X apelați funcția f(x) este derivata întâi a funcției de distribuție F(x):

Conceptul densității distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare X pentru o cantitate discretă nu este aplicabilă.

Probabilitate densitate f(x) se numeste functie de distributie diferentiala:

Proprietatea 1. Densitatea distribuției este o valoare nenegativă:

Proprietatea 2. Integrala necorespunzătoare a densității distribuției în intervalul de la până la este egală cu unu:

Exemplul 1.25. Având în vedere funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

f(x).

Soluţie: Densitatea distribuției este egală cu derivata întâi a funcției de distribuție:

1. Având în vedere funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

Găsiți densitatea distribuției.

2. Este dată funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

Găsiți densitatea distribuției f(x).

1.3. Caracteristicile numerice ale aleatoriei continue

cantități

Valorea estimata variabilă aleatoare continuă X, ale căror posibile valori aparțin întregii axe Oh, este determinată de egalitatea:

Se presupune că integrala converge absolut.

a,b), Acea:

f(x) este densitatea de distribuție a variabilei aleatoare.

Dispersia variabilă aleatoare continuă X, ale căror posibile valori aparțin întregii axe, este determinată de egalitatea:

Caz special. Dacă valorile variabilei aleatoare aparțin intervalului ( a,b), Acea:

Probabilitatea ca X va lua valori aparținând intervalului ( a,b), este determinată de egalitatea:

.

Exemplul 1.26. Variabilă aleatoare continuă X

Găsiți așteptările matematice, varianța și probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare Xîn intervalul (0; 0,7).

Soluţie: Variabila aleatoare este distribuită pe intervalul (0,1). Să definim densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

a) Aşteptări matematice :

b) Dispersia

V)

Sarcini pentru munca independenta:

1. Variabilă aleatoare X dat de funcția de distribuție:

M(x);

b) dispersie D(x);

Xîn intervalul (2,3).

2. Valoare aleatoare X

Aflați: a) așteptarea matematică M(x);

b) dispersie D(x);

c) determinați probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare Xîn intervalul (1; 1,5).

3. Valoare aleatoare X este dat de funcția de distribuție integrală:

Aflați: a) așteptarea matematică M(x);

b) dispersie D(x);

c) determinați probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare Xîn interval.

1.4. Legile distribuției unei variabile aleatoare continue

1.4.1. Distributie uniforma

Variabilă aleatoare continuă X are o distribuție uniformă pe intervalul [ a,b], dacă pe acest segment densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare este constantă, iar în exterior este egală cu zero, adică:

Orez. 4.

; ; .

Exemplul 1.27. Un autobuz de o anumită rută se deplasează uniform cu un interval de 5 minute. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită uniform X– timpul de așteptare pentru autobuz va fi mai mic de 3 minute.

Soluţie: Valoare aleatoare X- uniform distribuit pe interval .

Probabilitate densitate: .

Pentru ca timpul de așteptare să nu depășească 3 minute, pasagerul trebuie să ajungă la stația de autobuz în termen de 2 până la 5 minute de la plecarea autobuzului anterior, adică. valoare aleatorie X trebuie să se încadreze în intervalul (2;5). Acea. probabilitatea dorită:

Sarcini pentru munca independenta:

1. a) aflaţi aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare X distribuite uniform în intervalul (2; 8);

b) aflați varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare X, distribuite uniform în intervalul (2;8).

2. Minutele unui ceas electric sare la sfârșitul fiecărui minut. Găsiți probabilitatea ca, la un moment dat, ceasul să arate ora care diferă de ora reală cu cel mult 20 de secunde.

1.4.2. Distribuția exponențială (exponențială).

Variabilă aleatoare continuă X este distribuit exponențial dacă densitatea sa de probabilitate are forma:

unde este parametrul distribuției exponențiale.

Prin urmare

Orez. 5.

Caracteristici numerice:

Exemplul 1.28. Valoare aleatoare X- timpul de functionare al becului - are o distributie exponentiala. Determinați probabilitatea ca lampa să dureze cel puțin 600 de ore dacă durata medie de viață a lămpii este de 400 de ore.

Soluţie:În funcție de starea problemei, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X este egal cu 400 de ore, deci:

;

Probabilitatea dorită, unde

In cele din urma:

Sarcini pentru munca independenta:

1. Scrieți funcția de densitate și distribuție a legii exponențiale, dacă parametrul .

2. Valoare aleatoare X

Aflați așteptările matematice și varianța unei mărimi X.

3. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție a probabilității:

Aflați așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

1.4.3. Distributie normala

normal se numește distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, a cărei densitate are forma:

Unde A– așteptări matematice, – abatere standard X.

Probabilitatea ca X va lua o valoare aparținând intervalului:

, Unde

este funcția Laplace.

O distributie care are ; , adică cu o densitate de probabilitate numit standard.

Orez. 6.

Probabilitatea ca valoarea absolută a abaterii să fie mai mică decât un număr pozitiv:

.

În special, când a= 0 egalitatea este adevărată:

Exemplul 1.29. Valoare aleatoare X distribuite normal. Deviație standard . Aflați probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice în valoare absolută să fie mai mică de 0,3.

Soluţie: .

Sarcini pentru munca independenta:

1. Scrieți densitatea de probabilitate a distribuției normale a unei variabile aleatoare X, știind că M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal X sunt 20 și respectiv 5. Aflați probabilitatea ca în urma testului X va lua valoarea cuprinsă în intervalul (15;20).

3. Erorile de măsurare aleatoare sunt supuse legii normale cu abaterea standard mm și așteptările matematice a= 0. Aflați probabilitatea ca eroarea a cel puțin uneia dintre cele 3 măsurători independente să nu depășească 4 mm în valoare absolută.

4. O anumită substanță este cântărită fără erori sistematice. Erorile aleatorii de cântărire sunt supuse legii normale cu o abatere standard r. Aflați probabilitatea ca cântărirea să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 10 g în valoare absolută.