Distribuția gamma este așteptarea matematică. Distribuție gamma și distribuție Erlang. Stabilirea funcției de distribuție a indicatorilor de fiabilitate pe baza rezultatelor prelucrării informațiilor statistice

LEGILE DE BAZĂ ALE DISTRIBUȚIEI VARIABILELOR ALEATORII CONTINUE

Hlegea distribuției normale și semnificația ei în teoria probabilității. Legea normală din punct de vedere logaritmic. Distribuție gamma. Legea exponențială și utilizarea sa în teoria fiabilității, teoria cozilor. Legea egală. distributie. Repartizarea elevilor. Distribuție Fisher.

1. Legea distribuției normale (legea Gauss).

Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare distribuite normal este exprimată prin formula:

. (8.1)

Pe fig. 16 prezintă curba de distribuție. Este simetric despre

Orez. 16 Fig. 17

puncte (punct maxim). La scadere, ordonata punctului maxim creste la nesfarsit. În acest caz, curba este aplatizată proporțional de-a lungul axei absciselor, astfel încât aria sa de sub grafic să rămână egală cu unitatea (Fig. 17).

Legea distribuției normale este foarte răspândită în problemele practice. Lyapunov a fost primul care a explicat motivele răspândirii largi a legii distribuției normale. El a arătat că dacă o variabilă aleatoare poate fi considerată ca o sumă un numar mare termeni mici, apoi pentru suficient conditii generale legea distribuției acestei variabile aleatoare este apropiată de normal, indiferent care sunt legile distribuției termenilor individuali. Și deoarece variabilele practic aleatoare în majoritatea cazurilor sunt rezultatul unui număr mare de cauze diferite, legea normală se dovedește a fi cea mai comună lege de distribuție (pentru mai multe despre aceasta, vezi capitolul 9). Să indicăm caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare distribuite normal:

Astfel, parametrii și în expresia (8.1) ai legii distribuției normale sunt valorea estimatași abaterea standard a variabilei aleatoare. Ținând cont de acest lucru, formula (8.1) poate fi rescrisă după cum urmează:

.

Această formulă arată că legea distribuției normale este complet determinată de așteptarea matematică și de varianța unei variabile aleatoare. Astfel, așteptarea și varianța matematică caracterizează complet o variabilă aleatoare distribuită normal. Este de la sine înțeles că în cazul general, când natura legii distribuției este necunoscută, cunoașterea așteptării și varianței matematice nu este suficientă pentru a determina această lege a distribuției.

Exemplul 1. Calculați probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal să satisfacă inegalitatea.

Soluţie. Folosind proprietatea 3 a densității de probabilitate (Capitolul 4, Secțiunea 4), obținem:

.

,

unde este funcția Laplace (vezi Anexa 2).

Să facem niște calcule numerice. Dacă punem , în condițiile Exemplului 1, atunci

Ultimul rezultat înseamnă că, cu o probabilitate apropiată de unu (), o variabilă aleatoare care respectă legea distribuției normale nu depășește intervalul . Această afirmație se numește regulile trei sigma.

În cele din urmă, dacă , , atunci o variabilă aleatoare distribuită conform legii normale cu astfel de parametri se numește variabilă normală standardizată. Pe fig. 18 prezintă un grafic al densității de probabilitate a acestei valori .

2. Distribuție logaritmic normală.

Se spune că o variabilă aleatorie are o distribuție log-normală (abreviată distribuție lognormală) dacă logaritmul său este distribuit normal, adică dacă

unde valoarea are o distribuție normală cu parametrii , .

Densitatea distribuției lognormale este dată de următoarea formulă:

, .

Așteptările și varianța matematică sunt determinate de formule

,

.

Curba de distribuție este prezentată în fig. 19.

Distribuția log-normală apare într-o serie de probleme tehnice. Oferă distribuția dimensiunilor particulelor în timpul zdrobirii, distribuția conținutului de elemente și minerale în rocile magmatice, distribuția abundenței peștilor în mare etc. Se gaseste in toate

acele probleme în care logaritmul cantității luate în considerare poate fi reprezentat ca suma unui număr mare de cantități independente uniform mici:

,

adică , unde sunt independente.

Cel mai simplu tip de distribuție gamma este distribuția cu densitate

Unde - parametrul de deplasare, - funcția gamma, adică

(2)

Fiecare distribuție poate fi „extinsă” într-o familie de schimbare la scară. Într-adevăr, pentru o variabilă aleatoare cu o funcție de distribuție, luați în considerare familia de variabile aleatoare , unde este parametrul de scară și este parametrul de schimbare. Atunci funcția de distribuție este .

Incluzând fiecare distribuție cu o densitate de forma (1) în familia scale-shift, obținem familia distribuțiilor gamma acceptate în parametrizare:

Aici - parametrul de formă, - parametrul de scară, - parametrul de schimbare, funcția gamma este dată de formula (2).

Există și alte parametrizări în literatură. Deci, în loc de un parametru, parametrul este adesea folosit . Uneori se ia în considerare o familie cu doi parametri, omițând parametrul de schimbare, dar păstrând parametrul de scară sau analogul acestuia, parametrul . Pentru unele probleme aplicate (de exemplu, atunci când se studiază fiabilitatea dispozitivelor tehnice), acest lucru este justificat, deoarece, din considerente de fond, pare firesc să presupunem că densitatea distribuției de probabilitate este pozitivă pentru valori pozitive argument şi numai pentru ei. Această ipoteză este asociată cu o discuție pe termen lung în anii 80 despre „indicatorii de fiabilitate atribuiți”, asupra cărora nu ne vom opri.

Cazurile particulare ale distribuției gamma pentru anumite valori ale parametrilor au nume speciale. La , avem o distribuție exponențială. Când este naturală, distribuția gamma este distribuția Erlang, folosită în special în teoria cozilor. Dacă variabila aleatoare are o distribuție gamma cu un parametru de formă astfel încât - întreg, și, apoi are o distribuție chi-pătrat cu grade de libertate.

Aplicații ale distribuției gamma

Distribuția gama are aplicații largi în diverse domenii ale științelor tehnice (în special, în teoria fiabilității și a testelor), în meteorologie, medicină și economie. În special, durata de viață totală a produsului, lungimea lanțului de particule conductoare de praf, timpul necesar ca produsul să atingă starea limită în timpul coroziunii, timpul de funcționare până la defectarea k-a etc. pot fi subordonate distribuția gama. . Speranța de viață a pacienților cu boli cronice, timpul pentru a obține un anumit efect în tratament au în unele cazuri o distribuție gamma. Această distribuție s-a dovedit a fi cea mai adecvată pentru descrierea cererii într-o serie de modele economice și matematice de gestionare a stocurilor.

Posibilitatea utilizării distribuției gamma într-un număr de probleme aplicate poate fi uneori justificată de proprietatea de reproductibilitate: suma variabilelor aleatoare independente distribuite exponențial cu același parametru are o distribuție gamma cu parametri de formă și scară. și schimbă. Prin urmare, distribuția gamma este adesea folosită în aplicațiile în care este utilizată distribuția exponențială.

Sute de publicații sunt dedicate diverselor probleme ale teoriei statistice legate de distribuția gamma (vezi rezumatele). În acest articol, care nu se pretinde a fi cuprinzător, sunt luate în considerare doar unele probleme matematice și statistice legate de elaborarea standardului de stat.

Luați în considerare distribuția Gamma, calculați așteptarea, varianța, modul ei matematic. Folosind funcția MS EXCEL GAMMA.DIST(), reprezentăm graficul funcției de distribuție și al densității probabilității. Să generăm o matrice de numere aleatoare și să estimăm parametrii de distribuție.

Distribuție gamma(Engleză) Gammadistributie) depinde de 2 parametri: r(definește forma distribuției) și λ (definește scara). această distribuție este dată de următoarea formulă:

unde Г(r) este funcția gamma:

dacă r este un întreg pozitiv, atunci Г(r)=(r-1)!

Formularul de înscriere de mai sus densitatea distributiei arată clar relația sa cu. Pentru r=1 Distribuție gamma se fierbe până distribuție exponențială cu parametrul λ.

Dacă parametrul λ este un întreg, atunci Distribuție gamma este suma r independent și egal distribuit legea exponenţială cu parametrul λ al variabilelor aleatoare X. Deci variabila aleatoare y= X 1 + X 2 +… x r Are distribuția gama cu parametrii rși λ.

, la rândul său, este strâns legat de discret . Dacă Distribuția Poisson descrie numărul de evenimente aleatoare care au avut loc într-un anumit interval de timp, apoi distribuție exponențială,în acest caz, descrie lungimea intervalului de timp dintre două evenimente succesive.

De aici rezultă că, de exemplu, dacă timpul dinaintea primului eveniment este descris de distribuție exponențială cu parametrul λ, apoi este descris timpul până la producerea celui de-al doilea eveniment distribuția gama cu r = 2 și același parametru λ.

Distribuția gamma în MS EXCEL

În MS EXCEL, este adoptată o formă de notație echivalentă, dar diferită densitate distribuția gama.

Parametrul α ( alfa) este echivalent cu parametrul r, și parametrul b (beta) - parametru 1/λ. Mai jos vom adera la o astfel de notație, deoarece acest lucru va face mai ușor să scrieți formule.

În MS EXCEL, începând cu versiunea 2010, pt Gamma de distribuție există o funcție GAMMA.DIST(), titlu englezesc- GAMMA.DIST(), care vă permite să calculați probabilitate densitate(vezi formula de mai sus) și (probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să aibă distribuția gama, ia o valoare mai mică sau egală cu x).

Notă: Înainte de MS EXCEL 2010, EXCEL avea o funcție GAMMADIST() care vă permite să calculați funcția de distribuție integralăȘi probabilitate densitate. GAMMADIST() este lăsat în MS EXCEL 2010 pentru compatibilitate.

Grafice de funcții

Fișierul exemplu conține grafice densitatea distribuției de probabilitateȘi funcția de distribuție integrală.

Distribuție gamma are denumirea Gamma (alfa; beta).

Notă: Pentru confortul scrierii formulelor în fișierul exemplu pentru parametrii de distribuție alfa și beta creat corespunzator .

Notă: Dependența de 2 parametri vă permite să construiți distribuții de diferite forme, ceea ce extinde aplicarea acestei distribuții. Distribuție gamma, ca Distribuție exponențială adesea folosit pentru a calcula timpul de așteptare dintre evenimente aleatorii. În plus, este posibil să se utilizeze această distribuție pentru modelarea precipitațiilor și proiectarea drumurilor.

După cum se arată mai sus, dacă parametrul alfa= 1, apoi funcția GAMMA.DIST() revine cu parametrul 1/beta. Dacă parametrul beta= 1, funcția GAMMA.DIST() returnează standardul distribuția gama.

Notă: Deoarece este un caz special distribuția gama, apoi formula =GAMMA.DIST(x,n/2,2,TRUE) pentru un întreg pozitiv n returnează același rezultat ca și formula =XI2.DIST(x, n, TRUE) sau =1-XI2.DIST.X(x;n) . Și formula =GAMMA.DIST(x,n/2,2,FALSE) returnează același rezultat ca și formula =XI2.DIST(x, n, FALSE), adică probabilitate densitate XI2 distribuții.

ÎN exemplu de fișier pe foaia Grafică se da calculul distribuția gama egal alfa*betaȘi

Distribuție uniformă. valoare continuă X este distribuit uniform pe interval ( A, b) dacă toate valorile sale posibile sunt în acest interval și densitatea distribuției de probabilitate este constantă:

Pentru o variabilă aleatorie X, distribuit uniform în intervalul ( A, b) (Fig. 4), probabilitatea de a cădea în orice interval ( X 1 , X 2) situat în interiorul intervalului ( A, b), este egal cu:

(30)


Orez. 4. Graficul densității de distribuție uniformă

Erorile de rotunjire sunt exemple de cantități distribuite uniform. Deci, dacă toate valorile tabelare ale unei anumite funcții sunt rotunjite la aceeași cifră, atunci alegând o valoare tabelară la întâmplare, considerăm că eroarea de rotunjire a numărului selectat este o variabilă aleatoare distribuită uniform în interval

distribuție exponențială. Variabilă aleatoare continuă X Are distribuție exponențială

(31)

Graficul densității distribuției de probabilitate (31) este prezentat în fig. 5.

Orez. 5. Graficul densității distribuției exponențiale

Timp T funcționarea fără defecțiuni a unui sistem informatic este o variabilă aleatorie care are o distribuție exponențială cu parametrul λ , sens fizic care este numărul mediu de defecțiuni pe unitatea de timp, excluzând timpul de oprire a sistemului pentru reparații.

Distribuție normală (gaussiană). Valoare aleatoare X Are normal distribuție (gaussiană)., dacă distribuția densității probabilităților sale este determinată de dependența:

(32)

Unde m = M(X) , .

La distribuția normală se numește standard.

Graficul densității distribuției normale (32) este prezentat în fig. 6.

Orez. 6. Graficul densității distribuției normale

Distribuția normală este cea mai comună distribuție în diferite fenomene aleatorii ale naturii. Deci, erori în executarea comenzilor de către un dispozitiv automat, erori de ieșire nava spatiala la un punct dat din spațiu, erori în parametrii sistemelor informatice etc. în cele mai multe cazuri au normal sau aproape de distributie normala. Mai mult, variabilele aleatoare formate prin însumare un numar mare termenii aleatori sunt repartizați aproape conform legii normale.

Distribuție gamma. Valoare aleatoare X Are distribuția gama, dacă distribuția densității probabilităților sale este exprimată prin formula:

(33)

Unde este funcția gamma Euler.

PRACTICA APLICĂRII DISTRIBUȚIEI GAMMA A TEORIEI FIABILITĂȚII SISTEMELOR TEHNICE

Ruslan Litvinenko

candidat la științe tehnice, profesor asociat la subdepartamentul de complexe și sisteme electrotehnice, Universitatea de stat de inginerie energetică din Kazan,

Rusia,Republica Tatarstan,Kazan

Aleksandr Jamshhikov

student masterand,

Rusia,Republica Tatarstan,Kazan

Aleksej Bagaev

student masterandUniversitatea de stat de inginerie energetică din Kazan,

Rusia,Republica Tatarstan,Kazan

ADNOTARE

În practica de operare a sistemelor tehnice, în cele mai multe cazuri trebuie să se ocupe de procese probabilistice (aleatorie), atunci când o funcție reflectă un argument cu o anumită probabilitate. În condițiile incertitudinii informațiilor despre legea distribuției momentului de apariție a defecțiunilor din cauza unor volume mici de date statistice, care se întâmplă de obicei pe primele etape dezvoltarea tehnologiei, cercetătorul trebuie să ia o decizie cu privire la alegerea unui model a priori de fiabilitate, pe baza experienței de operare anterioară a prototipurilor sau analogilor. Sistematizarea informațiilor privind utilizarea practică a distribuțiilor de bază în prezicerea și evaluarea fiabilității diferitelor sisteme tehnice este o sarcină științifică urgentă.

Materialul prezentat se bazează pe sistematizarea informațiilor publicate în literatura de specialitate și reprezintă analiza rezultatelor modelului și studii experimentale fiabilitatea echipamentelor, precum și datele statistice obținute în timpul funcționării.

Informațiile teoretice prezentate privind utilizarea distribuției gamma în teoria fiabilității pot fi utilizate ca primă aproximare și sunt supuse rafinării obligatorii, folosind diverse criterii de testare a ipotezelor, pe măsură ce volumul datelor statistice crește în timpul testelor ulterioare.

Este necesar să avem suficiente motive pentru a aplica legea distribuției exponențiale, ca oricare alta. Prin urmare, articolul poate fi util cercetătorilor aflați în stadiile incipiente de dezvoltare sau modernizare a unui sistem tehnic, ca informații a priori pentru modelele de construcție și criteriile utilizate pentru asigurarea și controlul fiabilității.

ABSTRACT

În practică, operarea sistemelor tehnice în cele mai multe cazuri trebuie să se ocupe de procese stocastice (aleatoare), atunci când funcția reflectă argumentul cu o anumită probabilitate. În fața incertitudinii cu privire la legea distribuției timpului de apariție a defecțiunilor din cauza cantităților mici de date statistice, care se întâmplă de obicei în etapele inițiale de dezvoltare a tehnologiei, cercetătorul trebuie să decidă alegerea fiabilității modelului anterior pe baza anterioară. experiență de operare a prototipurilor sau a analogilor. Sistematizarea informațiilor privind utilizarea practică a distribuțiilor de bază în prognoza și evaluarea fiabilității diferitelor sisteme tehnice este o sarcină științifică importantă.

În materialul de mai sus se regăsește sistematizarea informațiilor publicate în literatură și reprezentând rezultatele analizei modelului și studiilor experimentale de fiabilitate a echipamentelor, precum și datele statistice obținute în timpul funcționării.

Prezintă informații teoretice privind utilizarea distribuției gamma în teoria fiabilității putând fi folosită ca primă aproximare și este supusă precizării obligatorii, folosind diferite criterii de testare a ipotezelor, crescând volumul datelor statistice în testele ulterioare.

Este necesar să existe temeiuri suficiente pentru aplicarea legii distribuției exponențiale, ca oricare alta. Prin urmare, articolul poate fi util pentru cercetătorii aflați în stadiile incipiente de dezvoltare sau modernizare a sistemelor tehnice, ca informații a priori pentru a construi modelele și criteriile utilizate pentru asigurarea și controlul fiabilității.

Cuvinte cheie: fiabilitate, distribuție, timp de funcționare, probabilitate, densitate, etapă, așteptare matematică.

Cuvinte cheie: fiabilitatea, distribuția, timpul de funcționare, probabilitatea, densitatea distribuției, stadiul, valoarea așteptată.

Pentru a descrie defecțiunile sistemului, pot fi propuse modele de rezolvat diverse sarcini fiabilitate și să ia în considerare complexul de factori inerenți naturii defecțiunilor în moduri diferite.

Natura aleatorie a apariției defecțiunilor în timpul funcționării sistemelor tehnice și a elementelor acestora face posibilă aplicarea metodelor probabilistic-statistice în descrierea acestora. Cele mai frecvente sunt modelele de defecțiuni bazate pe distribuția variabilelor aleatoare corespunzătoare - timpul până la eșec al obiectelor nerecuperabile și timpul dintre defecțiuni ale obiectelor recuperabile.

Ca principalele tipuri de distribuție a timpului de funcționare a produselor până la eșec, este necesar să se evidențieze:

• exponențial;
• Weibulla-Gnedenko;
• gamma;
• log-normal;
• normal.

Ca urmare a revizuirii literaturii de specialitate în domeniul fiabilității sistemelor tehnice, sa făcut o evaluare a aplicării practice a distribuției gamma în studiul diferitelor obiecte tehnice. Pe baza analizei efectuate, se poate alege o distribuție prealabilă adecvată a criteriului sau a indicatorului de fiabilitate corespunzător.

Distribuția gamma are o densitate cu doi parametri cu un parametru de formă și un parametru de scară:

.

Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni este determinată de formula:

,

Unde: este funcția gamma;

este funcția gamma incompletă.

Așteptările matematice (timpul mediu dintre eșecuri) și abaterea standard pentru distribuția gamma sunt:

.

Formula pentru rata de eșec este următoarea:

.

Distribuția gama servește pentru a descrie defecțiunile de uzură; defecțiuni datorate acumulării de daune; descrieri ale timpului de funcționare a unui sistem tehnic complex cu elemente redundante; distribuirea timpului de recuperare; si poate fi folosit si atunci cand se are in vedere durabilitatea (resursa) unor obiecte tehnice.

Distribuția gamma are o serie de proprietăți utile:

Pe baza celor de mai sus, putem concluziona că distribuția gamma poate fi utilizată în toate domeniile ciclului de viață: rodaj (), funcționare normală () și îmbătrânire () .

Pe baza , în problemele care sunt rezolvate prin transformarea Laplace, este convenabil să se folosească distribuția gamma pentru a aproxima distribuțiile reale.

B oferă următoarea definiție: distribuția gamma este o caracteristică a timpului de apariție a defecțiunilor în sisteme electromecanice complexe în cazurile în care defecțiunile instantanee ale elementelor apar în stadiul inițial de funcționare sau în procesul de depanare a sistemului, adică este o caracteristică convenabilă a timpului de apariție a defecțiunilor echipamentelor în procesul de rodare.

Pentru sistemele tehnice complexe formate din elemente pentru care probabilitatea de funcționare fără defecțiuni are o distribuție exponențială, probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului în ansamblu va avea o distribuție gamma.

Distribuția timpului de apariție a defecțiunilor unui sistem tehnic complex cu o rezervă de înlocuire (presupunând că fluxurile de defecțiuni ale sistemului principal și ale tuturor protozoarelor de rezervă) poate fi descrisă și de distribuția gamma. În mod similar, în cazul redundanței descărcate sau mixte, probabilitatea de funcționare a sistemului urmează o distribuție gamma generalizată.

În concluzie, trebuie remarcat faptul că la rezolvarea problemelor individuale se folosesc și tipuri speciale (există câteva zeci de ele), precum și distribuții discrete, care nu au fost luate în considerare în cadrul acestui articol. În acest caz, există diverse tranziții și conexiuni reciproce între distribuții. În ciuda criteriilor existente de acord între distribuțiile teoretice și cele empirice alese, toate oferă un răspuns la întrebarea: există sau nu sunt suficiente motive întemeiate pentru a respinge ipoteza despre distribuția aleasă? Autorii au remarcat că orice date poate fi ajustată la o lege multi-parametrică, chiar dacă nu corespunde celor reale. fenomene fizice. Astfel, la alegerea tipului de distribuție și a parametrilor acestuia, este necesar, în primul rând, să se țină cont de natura fizică a proceselor și evenimentelor în desfășurare.

Bibliografie:

1. GOST R.27.001-2009. Fiabilitate în tehnologie. modele de eșec. – M.: Standartinform, 2010. – 16 p.
2. Gertsbakh I.B., Kordonsky H.B. Modele de eșec / ed. B.V. Gnedenko. - M.: Radio sovietică, 1966. - 166 p.
3. Gnedenko B.V. Întrebări ale teoriei matematice a fiabilității. - M .: Radio și comunicare, 1983. – 376 p.
4. Kashtanov V.N., Medvedev A.I. Teoria fiabilității sistemelor complexe: manual - M.: FIZMATLIT, 2010. - 609 p.
5. Litvinenko R.S. Model de simulare a procesului de funcționare a complexului electric, ținând cont de fiabilitatea elementelor sale // Jurnalul „Nadezhnost”. - 2016. - Nr. 1 (56) - P. 46–54.
6. Litvinenko R.S., Idiyatullin R.G., Kisneeva L.N. Evaluarea fiabilității unui vehicul hibrid în stadiul de dezvoltare // Jurnal „Transport: știință, tehnologie, management”. - 2016. - Nr. 2 - P. 34–40.
7. Inginerie mecanică: o enciclopedie de volume 40. T. IV-3: Fiabilitatea mașinilor / V.V. Klyuev, V.V. Bolotin, F.R. Sosnin și alții; sub total ed. V.V. Klyuev. – M.: Mashinostroenie, 2003. – 592 p.
8. Truhanov V.M. Fiabilitatea sistemelor tehnice precum instalațiile mobile în stadiul de proiectare și testare a prototipurilor: publicație științifică - M.: Mashinostroenie, 2003. - 320 p.
9. Khazov B.F., Didusev B.A. Manual pentru calcularea fiabilității mașinilor în faza de proiectare. – M.: Mashinostroenie, 1986. – 224 p.
10. Cherkesov G.N. Fiabilitatea sistemelor hardware și software: manual. indemnizatie. - Sankt Petersburg: Peter, 2005. - 479 p.