Funcția de distribuție a variabilelor aleatoare discrete și continue. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue. Exemplu de soluție. Proprietăți ale funcției de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue

Variabilă aleatorie este o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de diverse circumstanțe și valoare aleatorie numit continuu , dacă poate lua orice valoare dintr-un interval mărginit sau nemărginit. Pentru o variabilă aleatoare continuă, este imposibil să se specifice toate valorile posibile, prin urmare, intervalele acestor valori care sunt asociate cu anumite probabilități sunt notate.

Exemple de variabile aleatoare continue sunt: diametrul unei piese transformate la o dimensiune dată, înălțimea unei persoane, raza de acțiune a unui proiectil etc.

Deoarece pentru variabile aleatoare continue funcţia F(X), Spre deosebire de variabile aleatoare discrete, nu are salturi nicăieri, atunci probabilitatea oricărei valori unice a unei variabile aleatoare continue este egală cu zero.

Aceasta înseamnă că pentru o variabilă aleatoare continuă nu are sens să vorbim despre distribuția probabilității dintre valorile sale: fiecare dintre ele are probabilitate zero. Cu toate acestea, într-un anumit sens, printre valorile unei variabile aleatoare continue există „mai mult și mai puțin probabil”. De exemplu, este puțin probabil ca cineva să se îndoiască de faptul că valoarea unei variabile aleatoare - înălțimea unei persoane întâlnite aleatoriu - 170 cm - este mai probabilă decât 220 cm, deși una și cealaltă valoare pot apărea în practică.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue și densitatea de probabilitate

Ca lege de distribuție, care are sens numai pentru variabile aleatoare continue, este introdus conceptul de densitate de distribuție sau densitate de probabilitate. Să o abordăm comparând semnificația funcției de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă și pentru o variabilă aleatoare discretă.

Deci, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare (atât discrete cât și continue) sau funcţie integrală se numește funcție care determină probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare X mai mică sau egală cu valoarea limită X.

Pentru o variabilă aleatoare discretă în punctele valorilor sale X1 , X 2 , ..., X eu,... mase concentrate de probabilităţi p1 , p 2 , ..., p eu,..., iar suma tuturor maselor este egală cu 1. Să transferăm această interpretare în cazul unei variabile aleatoare continue. Imaginați-vă că o masă egală cu 1 nu este concentrată în puncte separate, ci este continuu „untată” de-a lungul axei x Bou cu o oarecare densitate neuniformă. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare pe orice site Δ X va fi interpretată ca masa atribuibilă acestei secțiuni, iar densitatea medie din această secțiune - ca raportul dintre masă și lungime. Tocmai am introdus un concept important în teoria probabilității: densitatea distribuției.

Probabilitate densitate f(X) a unei variabile aleatoare continue este derivata funcției sale de distribuție:

Cunoscând funcția de densitate, putem găsi probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue să aparțină intervalului închis [ A; b]:

probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul [ A; b], este egal cu o anumită integrală a densității sale de probabilitate în intervalul de la A inainte de b:

În acest caz, formula generală a funcției F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care poate fi utilizată dacă funcția de densitate este cunoscută f(X) :

Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue se numește curba de distribuție a acesteia (fig. de mai jos).

Aria figurii (umbrită în figură), delimitată de o curbă, linii drepte trase din puncte AȘi b perpendicular pe axa absciselor, iar pe axa Oh, afișează grafic probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue X se află în raza de A inainte de b.

Proprietăți ale funcției de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue

1. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia orice valoare din interval (și aria figurii, care este limitată de graficul funcției f(X) și axa Oh) este egal cu unu:

2. Funcția de densitate de probabilitate nu poate lua valori negative:

iar în afara existenței distribuției, valoarea acesteia este zero

Densitatea de distribuție f(X), precum și funcția de distribuție F(X), este una dintre formele legii distribuției, dar spre deosebire de funcția de distribuție, nu este universală: densitatea distribuției există doar pentru variabile aleatoare continue.

Să menționăm cele două cele mai importante în practică tipuri de distribuție a unei variabile aleatoare continue.

Dacă funcţia de densitate de distribuţie f(X) o variabilă aleatoare continuă într-un interval finit [ A; b] ia o valoare constantă C, iar în afara intervalului ia o valoare egală cu zero, atunci aceasta distribuția se numește uniformă .

Dacă graficul funcției de densitate de distribuție este simetric față de centru, valorile medii sunt concentrate în apropierea centrului, iar atunci când se îndepărtează de centru, sunt colectate mai diferite de medii (graficul funcției seamănă cu o tăietură de un clopot), apoi asta distribuția se numește normală .

Exemplul 1 Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare continue este cunoscută:

Găsiți o caracteristică f(X) densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Trasează grafice pentru ambele funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8: .

Soluţie. Obținem funcția de densitate a probabilității găsind derivata funcției de distribuție a probabilității:

Graficul funcției F(X) - parabola:

Graficul funcției f(X) - linie dreapta:

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8:

Exemplul 2 Funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este dată astfel:

Calculați factorul C. Găsiți o caracteristică F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Trasează grafice pentru ambele funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5: .

Soluţie. Coeficient C găsim, folosind proprietatea 1 a funcției de densitate de probabilitate:

Astfel, funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este:

Integrând, găsim funcția F(X) distribuţii de probabilitate. Dacă X < 0 , то F(X) = 0 . Daca 0< X < 10 , то

X> 10, atunci F(X) = 1 .

Astfel, înregistrarea completă a funcției de distribuție a probabilității este:

Graficul funcției f(X) :

Graficul funcției F(X) :

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5:

Exemplul 3 Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dat de egalitate , în timp ce . Găsiți coeficientul A, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X ia o anumită valoare din intervalul ]0, 5[, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X.

Soluţie. Prin condiție, ajungem la egalitate

Prin urmare, de unde. Asa de,

Acum găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[:

Acum obținem funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare:

Exemplul 4 Aflați densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care ia numai valori nenegative și funcția de distribuție .

Conținutul articolului

FUNCȚIA DE DISTRIBUȚIE este densitatea de probabilitate a distribuției particulelor unui sistem macroscopic în coordonate, momente sau stări cuantice. Funcția de distribuție este principala caracteristică a celor mai diverse sisteme (nu numai fizice) care se caracterizează prin comportament aleatoriu, adică modificare aleatorie a stării sistemului și, în consecință, a parametrilor acestuia. Chiar și în condiții externe staționare, starea însăși a sistemului poate fi astfel încât rezultatul măsurării unora dintre parametrii săi să fie o variabilă aleatorie. Funcția de distribuție în majoritatea covârșitoare a cazurilor conține toate informațiile posibile și, prin urmare, exhaustive despre proprietățile unor astfel de sisteme.

În teoria matematică a probabilității și statistici matematice funcția de distribuție și densitatea de probabilitate diferă una de cealaltă, dar sunt legate fără ambiguitate. Mai jos, ne vom ocupa aproape exclusiv de densitatea de probabilitate, care (după tradiția îndelungată acceptată în fizică) se numește densitate de distribuție a probabilității sau funcție de distribuție, punând un semn egal între acești doi termeni.

Comportamentul aleatoriu este într-o oarecare măsură caracteristic tuturor sistemelor mecanice cuantice: particule elementare, atomii unei molecule etc. Cu toate acestea, comportamentul aleatoriu nu este o caracteristică specifică doar a sistemelor mecanice cuantice, multe sunt pur și simplu sisteme clasice au această proprietate.

Exemple.

Când aruncați o monedă pe o suprafață orizontală tare, nu este clar cum va cădea: cu un număr în sus sau cu o stemă. Se știe că probabilitățile acestor evenimente, în anumite condiții, sunt egale cu 1/2. Când aruncați un zar, este imposibil să spuneți cu certitudine care dintre cele șase numere va fi pe fața de sus. Probabilitatea de a cădea din fiecare dintre numere în anumite ipoteze (un os - un cub omogen fără margini cioplite și vârfuri cade pe o suprafață orizontală tare, netedă) este de 1/6.

Mișcarea haotică a moleculelor este cea mai pronunțată într-un gaz. Chiar și în condiții externe staționare, valorile exacte ale parametrilor macroscopici fluctuează (se schimbă aleatoriu) și numai valorile lor medii sunt constante. Descrierea sistemelor macroscopice în limbajul valorilor medii ale macroparametrilor este esența descrierii termodinamice ().

Să existe un gaz monoatomic ideal și cei trei parametri macroscopici ai săi (nerealizați încă: N este numărul de atomi care se deplasează în interiorul vasului ocupat de gaz; P este presiunea gazului pe peretele vasului și energie interna gaz. Un gaz este ideal și monoatomic, deci energia sa internă este pur și simplu suma energiilor cinetice ale mișcării de translație a atomilor de gaz.

Număr N fluctuează, cel puțin datorită procesului de sorbție (lipirea de peretele vasului la impactul cu acesta) și de desorbție (procesul de detașare, atunci când molecula este desprinsă de perete singură sau ca urmare a unei alte molecule care o lovește). ), și în cele din urmă, procesul de formare a clusterelor - complexe de scurtă durată a mai multor molecule. Dacă ai putea măsura N instantaneu și precis, apoi dependența rezultată N(t) ar fi similar cu cel prezentat în figură.

Gama de fluctuații în cifră este puternic supraestimată pentru claritate, dar cu o valoare medie mică (b N c ~ 10 2) numărul de particule din gaz, acesta va fi aproximativ același.

Dacă alegem o zonă mică pe peretele vasului pentru a măsura forța care acționează asupra acestei zone ca urmare a impactului moleculelor de gaz în vas, atunci raportul dintre valoarea medie a componentei acestei forțe normală la zonă și suprafață. a zonei se numește în mod obișnuit presiune. La diferite momente de timp, un număr diferit de molecule vor zbura până la locul respectiv și cu viteze diferite. Ca urmare, dacă ar fi posibil să se măsoare această forță instantaneu și cu precizie, ar exista o imagine similară cu cea prezentată în figură, trebuie doar să schimbați notația de-a lungul axei verticale:

N(t) DA P(t) și b N(t) cu Yu b P(t)Cu.

Aproape la fel este valabil și pentru energia internă a gazului, doar procesele care duc la modificări aleatorii ale acestei cantități sunt diferite. De exemplu, zburând până la peretele unui vas, o moleculă de gaz se ciocnește nu cu un perete abstract absolut elastic și reflectorizant specular, ci cu una dintre particulele care alcătuiesc materialul acestui perete. Fie peretele de oțel, atunci aceștia sunt ioni de fier care oscilează în jurul pozițiilor de echilibru - nodurile rețelei cristaline. Dacă o moleculă de gaz zboară spre perete în acea fază a oscilațiilor ionilor când se deplasează spre ea, atunci ca urmare a coliziunii molecula va zbura departe de perete cu o viteză mai mare decât a zburat în sus. Odată cu energia acestei molecule, crește și energia internă a gazului. E. Dacă o moleculă se ciocnește cu un ion care se mișcă în aceeași direcție cu acesta, atunci această moleculă va zbura cu o viteză mai mică decât cea cu care a zburat. În cele din urmă, o moleculă poate intra într-un spațiu interstițial (un spațiu gol între nodurile vecine ale rețelei cristaline) și poate rămâne blocată acolo, astfel încât nici măcar încălzirea puternică nu o poate îndepărta de acolo. În ultimele două cazuri, energia internă a gazului E scădea. Prin urmare, E(t) - De asemenea functie aleatorie timp și este valoarea medie a acestei funcții.

Mișcarea browniană.

După ce am determinat poziția particulei browniene la un moment dat în timp t 1, se poate prezice cu exactitate doar că poziția sa la un moment ulterior în timp t 2 nu depășește ( t 2 –t 1)· c, Unde c este viteza luminii în vid.

Există cazuri de spectru discret și continuu de stări și, în consecință, o variabilă X. Spectrul de valori ale unei variabile este înțeles ca întregul set de valori posibile ale acesteia.

În cazul unui spectru discret de stări, pentru a specifica distribuția probabilității, este necesar, în primul rând, să se indice setul complet de valori posibile ale variabilei aleatoare

X 1, X 2, X 3,…X k,... (1)

și în al doilea rând, probabilitățile lor:

W 1, W 2, W 3,…W k,... (2)

Suma probabilităților tuturor evenimentelor posibile trebuie să fie egală cu unu (condiția de normalizare)

Descrierea distribuției de probabilitate prin relații (1) - (3) este imposibilă în cazul unui spectru continuu de stări și, în consecință, al unui spectru continuu al valorilor posibile ale variabilei X. Lăsa X ia toate valorile reale posibile în interval

X DESPRE [ A, b] (4)

Unde AȘi b nu neapărat finit. De exemplu, pentru modulul vectorului viteză al unei molecule de gaz VО situat în întregul interval de valori posibile, de ex. X DESPRE [ X,X+ D X] DESPRE [ A, b] (5)

Atunci probabilitatea D W(X, D X) lovituri Xîn intervalul (5) este egal cu

Aici N este numărul total de măsurători X, și D n(X, D X) este numărul de rezultate care se încadrează în intervalul (5).

Probabilitatea D W depinde în mod natural de două argumente: X– pozițiile intervalului în interiorul [ A, b] și D X este lungimea sa (se presupune, deși nu este deloc necesar, că D X> 0). De exemplu, probabilitatea de a obține valoarea exactă X, cu alte cuvinte, probabilitatea de a lovi Xîntr-un interval de lungime zero este probabilitatea unui eveniment imposibil și, prin urmare, este egală cu zero: D W(X, 0) = 0

Pe de altă parte, probabilitatea de a obține valoarea X undeva (nu contează unde) în întreg intervalul [ A, b] este probabilitatea unui anumit eveniment (se întâmplă întotdeauna ceva) și, prin urmare, este egală cu unu (se presupune că b > A):D W(A, b – A) = 1.

Fie D X puţini. Criteriul micimii suficiente depinde de proprietățile specifice ale sistemului descrise de distribuția de probabilitate D W(X, D X). Daca D X mic, apoi funcția D W(X, D X) poate fi extins într-o serie în puterile lui D X:

Dacă desenăm un grafic de dependență D W(X, D X) din al doilea argument D X, apoi înlocuirea dependenței exacte cu expresia aproximativă (7) înseamnă înlocuirea (într-o zonă mică) a curbei exacte cu o bucată de parabolă (7).

În (7), primul termen este exact egal cu zero, al treilea și următorii termeni, dacă D este suficient de mic, X poate fi omis. Introducerea notației

dă rezultat important D W(X, D X) » r( X) D X (8)

Relația (8), care este mai precisă, cu cât D este mai mic Xînseamnă că pentru un interval scurt, probabilitatea de a cădea în acest interval este proporțională cu lungimea acestuia.

Încă poți trece de la un D mic, dar definitiv X până la formal infinitezimal dx, cu înlocuirea simultană a lui D W(X, D X) pe dW(X). Apoi egalitatea aproximativă (8) se transformă în cea exactă dW(X) = r( X)· dx(9)

Coeficientul de proporționalitate r( X) are un sens simplu. După cum se poate observa din (8) și (9), r( X) este numeric egală cu probabilitatea de a lovi Xîntr-un interval de unitate de lungime. Prin urmare, unul dintre denumirile funcției r( X) este densitatea distribuției de probabilitate pentru variabilă X.

Funcția r( X) conține toate informațiile despre modul în care probabilitatea dW(X) lovituri Xîn intervalul unei lungimi date dx depinde de locația acestui interval, adică arată cum este distribuită probabilitatea X. Prin urmare, funcția r( X) se numește în mod obișnuit funcție de distribuție a variabilei Xși, astfel, funcția de distribuție pentru acel sistem fizic, de dragul de a descrie spectrul stărilor din care a fost introdusă variabila X. Termenii „densitate de probabilitate” și „funcție de distribuție” sunt folosiți interschimbabil în fizica statistică.

Putem considera o generalizare a definiției probabilității (6) și funcției de distribuție (9) în cazul, de exemplu, a trei variabile. Generalizare la caz în mod arbitrar un numar mare variabile se face exact în același mod.

Fie ca starea unui sistem fizic care variază aleator în timp să fie determinată de valorile a trei variabile X, yȘi z cu spectru continuu:

X DESPRE [ A, b]

y DESPRE [ c, d]

z DESPRE [ e, f] (10)

Unde A, b,…, f, ca înainte, nu sunt neapărat finite. Variabile X, yȘi z pot fi, de exemplu, coordonatele centrului de masă al unei molecule de gaz, componentele vectorului său viteză X YU V x, y YU V yȘi z YU Vz sau impuls etc. Un eveniment este înțeles ca apariția simultană a tuturor celor trei variabile în intervale de lungime D X, D y si D z respectiv, adică:

X DESPRE [ X, X+ D X]

y DESPRE [ y, y+ D y]

z DESPRE [ z, z+ D z] (11)

Probabilitatea unui eveniment (11) poate fi determinată în mod similar cu (6)

cu diferența că acum D n– numărul de măsurători X, yȘi z, ale căror rezultate satisfac concomitent relaţiile (11). Folosind o extindere în serie similară cu (7) dă

dW(X, y, z) = r( X, y, z)· dx dy dz(13)

unde r( X, y, z) este funcția de distribuție pentru trei variabile simultan X, yȘi z.

În teoria matematică a probabilității, termenul „funcție de distribuție” este folosit pentru a desemna o cantitate diferită de r( X), și anume: fie x o valoare a unei variabile aleatoare X. Funcția Ф(x), care dă probabilitatea ca X ia o valoare nu mai mare decât x și se numește funcție de distribuție. Funcțiile r și Ф au semnificații diferite, dar sunt legate. Folosind teorema de adunare a probabilității dă (aici A este capătul din stânga al intervalului de valori posibile X (cm. TEORIA PROBABILITĂȚII: , (14) de unde

Folosind relația aproximativă (8) dă D W(X, D X) » r( X) D X.

Compararea cu expresia exactă (15) arată că folosirea (8) este echivalentă cu înlocuirea integralei din (16) cu produsul integrandului r( X) prin lungimea intervalului de integrare D X:

Relația (17) va fi exactă dacă r = const, prin urmare, eroarea la înlocuirea (16) cu (17) va fi mică când integrand se modifică ușor pe durata intervalului de integrare D X.

Puteți introduce D x eff este lungimea intervalului pe care funcția de distribuție r( X) se modifică semnificativ, adică printr-o valoare a ordinii funcției în sine sau a cantității Dr eff ordinul modulo r. Folosind formula Lagrange, putem scrie:

de unde rezultă că D x eff pentru orice funcție r

Funcția de distribuție poate fi considerată „aproape constantă” pe un anumit interval de schimbare a argumentului dacă incrementul său |Dr| pe acest interval, valoarea absolută este mult mai mică decât funcția însăși în punctele acestui interval. Cerință |Dr| eff| ~ r (funcţia de distribuţie r і 0) dă

D X x eff (20)

lungimea intervalului de integrare ar trebui să fie mică în comparație cu cea pe care integrandul se modifică semnificativ. Ilustrația este fig. 1.

Integral pe partea stângă (17) egal cu suprafata sub curbă. Produsul din partea dreaptă a (17) este zona umbrită din Fig. 1 coloană. Criteriul pentru micșorarea diferenței dintre zonele corespunzătoare este îndeplinirea inegalității (20). Acest lucru poate fi verificat prin substituirea în integrală (17) a primilor termeni ai expansiunii funcției r( X) într-o serie în puteri

Cerința ca corecția (al doilea termen din partea dreaptă a lui (21) să fie comparat cu primul să fie mică dă inegalitatea (20) cu D x eff din (19).

Exemple ale unui număr de funcții de distribuție care joacă un rol important în fizica statistică.

Distribuția Maxwell pentru proiecția vectorului viteză al unei molecule pe o direcție dată (de exemplu, aceasta este direcția axei BOU).

Aici m este masa unei molecule de gaz, T- temperatura acestuia k este constanta Boltzmann.

Distribuția Maxwell pentru modulul vectorului viteză:

Distribuția Maxwell pentru energia mișcării de translație a moleculelor e = mV 2/2

Distribuția Boltzmann, mai exact, așa-numita formulă barometrică, care determină distribuția concentrației de molecule sau a presiunii aerului în înălțime h de la un „nivel zero” în ipoteza că temperatura aerului nu depinde de înălțime (model de atmosferă izotermă). De fapt, temperatura din straturile inferioare ale atmosferei scade considerabil odată cu creșterea altitudinii.

Rezultatul oricărui experiment aleatoriu poate fi caracterizat calitativ și cantitativ. Calitativ rezultatul unui experiment aleatoriu - Aleatoriu eveniment. Orice caracteristică cantitativă, care, ca rezultat al unui experiment aleatoriu, poate lua una dintr-un anumit set de valori, - valoare aleatorie. Valoare aleatoare este unul dintre conceptele centrale ale teoriei probabilităților.

Fie un spațiu de probabilitate arbitrar. Variabilă aleatorie este o funcție numerică reală x \u003d x (w), w W , astfel încât pentru orice real X .

Eveniment scris de obicei ca x< X. În cele ce urmează, variabilele aleatoare vor fi notate cu litere grecești minuscule x, h, z, …

O variabilă aleatorie este numărul de puncte care au căzut la aruncarea unui zar sau înălțimea unui elev selectat aleatoriu din grupul de studiu. În primul caz, avem de-a face discret variabilă aleatorie(preia valori dintr-un set de numere discrete M=(1, 2, 3, 4, 5, 6); în al doilea caz, cu continuu variabilă aleatorie(preia valori dintr-un set de numere continuu - din intervalul liniei numerice eu=).

Fiecare variabilă aleatorie este complet determinată de ea functie de distributie.

Dacă x este o variabilă aleatoare, atunci funcția F(X) = F x(X) = P(X< X) se numește functie de distributie variabila aleatoare x . Aici P(X<X) - probabilitatea ca variabila aleatoare x să ia o valoare mai mică decât X.

Este important de înțeles că funcția de distribuție este un „pașaport” al unei variabile aleatoare: conține toate informațiile despre variabila aleatoare și, prin urmare, studiul unei variabile aleatoare constă în studiul acesteia funcții de distribuție, deseori denumită simplu distributie.

Funcția de distribuție a oricărei variabile aleatoare are următoarele proprietăți:

Dacă x este o variabilă aleatoare discretă luând valorile X 1 <X 2 < … <x i < … с вероятностями p 1 <p 2 < … <pi < …, то таблица вида

X 1	X 2	…	x i	…
p 1	p 2	…	pi	…

numit distribuția unei variabile aleatoare discrete.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare cu o astfel de distribuție are forma

O variabilă aleatorie discretă are o funcție de distribuție în trepte. De exemplu, pentru un număr aleatoriu de puncte care au căzut într-o singură aruncare de zar, graficul de distribuție, funcția de distribuție și funcția de distribuție arată astfel:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Dacă funcţia de distribuţie F x(X) este continuă, atunci se numește variabila aleatoare x variabilă aleatoare continuă.

Dacă funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare continue diferentiabil, apoi dă o reprezentare mai vizuală a variabilei aleatoare densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare p x(X), care este legat de funcţia de distribuţie F x(X) formule

Și .

Din aceasta, în special, rezultă că pentru orice variabilă aleatoare .

Când rezolvați probleme practice, este adesea necesar să găsiți valoarea X, la care funcția de distribuție F x(X) variabila aleatoare x ia o valoare dată p, adică trebuie să rezolvi ecuația F x(X) = p. Soluții la o astfel de ecuație (valorile corespunzătoare X) în teoria probabilităţilor se numesc cuantile.

Quantila x p ( p-quantile, cuantilă de nivel p) o variabilă aleatoare având o funcție de distribuție F x(X), se numește soluție xp ecuații F x(X) = p, p(0, 1). Pentru unii p ecuația F x(X) = p poate avea mai multe soluții, pentru unii - niciuna. Aceasta înseamnă că pentru variabila aleatoare corespunzătoare, unele cuantile nu sunt definite în mod unic, iar unele cuantile nu există.

Fie un spațiu de probabilitate arbitrar. Variabilă aleatorie este o funcție numerică reală x \u003d x (w), w W , astfel încât pentru orice real X .

Eveniment scris de obicei ca x< X. În cele ce urmează, variabilele aleatoare vor fi notate cu litere grecești minuscule x, h, z, …

Fiecare variabilă aleatorie este complet determinată de ea functie de distributie.

Funcția de distribuție a oricărei variabile aleatoare are următoarele proprietăți:

Dacă x este o variabilă aleatoare discretă luând valorile X 1 <X 2 < … <x i < … с вероятностями p 1 <p 2 < … <pi < …, то таблица вида

X 1	X 2	…	x i	…
p 1	p 2	…	pi	…

numit distribuția unei variabile aleatoare discrete.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare cu o astfel de distribuție are forma

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Dacă funcţia de distribuţie F x(X) este continuă, atunci se numește variabila aleatoare x variabilă aleatoare continuă.

Și .

Din aceasta, în special, rezultă că pentru orice variabilă aleatoare .

Funcția de distribuție este cea mai generală formă de stabilire a legii distribuției. Este folosit pentru a specifica atât variabile aleatoare discrete, cât și continue. De obicei este denumită . funcția de distribuție determină probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia valori mai mici decât un număr real fix, adică . Funcția de distribuție caracterizează complet o variabilă aleatoare din punct de vedere probabilistic. Se mai numește și funcție de distribuție integrală.

Interpretarea geometrică a funcției de distribuție este foarte simplă. Dacă o variabilă aleatoare este considerată ca un punct aleatoriu al axei (Fig. 6), care, ca rezultat al testului, poate lua una sau alta poziție pe această axă, atunci funcția de distribuție este probabilitatea ca punctul aleator, ca rezultat al testului, va cădea la stânga punctului.

Pentru o variabilă aleatoare discretă , care poate lua valorile,, … ,, funcția de distribuție are forma

unde inegalitatea de sub semnul sumei înseamnă că suma se extinde la toate acele valori care sunt mai mici ca mărime. Din această formulă rezultă că funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este discontinuă și crește în salturi la trecerea prin punctele,, …,, iar saltul este egal cu probabilitatea valorii corespunzătoare (Fig. 7). Suma tuturor salturilor din funcția de distribuție este egală cu unu.

O variabilă aleatoare continuă are o funcție de distribuție continuă, graficul acestei funcții are forma unei curbe netede (Fig. 8).

Orez. 7. Fig. 8.

Luați în considerare proprietățile generale ale funcțiilor de distribuție.

Proprietatea 1. Funcția de distribuție este o funcție nenegativă cuprinsă între zero și unu:

Valabilitatea acestei proprietăți rezultă din faptul că funcția de distribuție este definită ca probabilitatea unui eveniment aleatoriu constând în aceea.

Proprietatea 2. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă într-un interval este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestui interval, adică.

Rezultă că probabilitatea oricărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue este zero.

Proprietatea 3. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nedescrescătoare, adică pt .

Proprietatea 4. La minus infinit, funcția de distribuție este zero, iar la plus infinit, funcția de distribuție este egală cu unitatea, adică.

Exemplul 1 Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este dată de expresie

Găsiți coeficientul și construiți un grafic. Determinați probabilitatea ca o variabilă aleatoare ca rezultat al experimentului să ia o valoare pe interval.

Soluţie. Deoarece funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este continuă, obținem: . De aici. Graficul funcției este prezentat în fig. 9.

Pe baza celei de-a doua proprietăți a funcției de distribuție, avem:

4. Densitatea distribuției de probabilitate și proprietățile acesteia.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este caracteristica probabilistică a acesteia. Dar are un dezavantaj, care constă în faptul că este dificil de judecat natura distribuției unei variabile aleatoare într-o mică vecinătate a unuia sau altui punct al axei numerice. O reprezentare mai vizuală a naturii distribuției unei variabile aleatoare continue este dată de o funcție numită densitate de distribuție a probabilității sau funcție de distribuție diferențială a unei variabile aleatoare.

Densitatea de distribuție este egală cu derivata funcției de distribuție, i.e.

Semnificația densității distribuției este că indică cât de des apare o variabilă aleatoare într-o anumită vecinătate a unui punct când experimentele sunt repetate. Se numește curba care reprezintă densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare curba de distributie.

Luați în considerare proprietățile densității distribuției.

Proprietatea 1. Densitatea distribuției este nenegativă, adică

Proprietatea 2. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este egală cu integrala densității în intervalul de la până la, i.e.

Proprietatea 3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să lovească un segment este egală cu integrala densității de distribuție preluată pe acest segment, i.e.

Proprietatea 4. Integrala în limite infinite ale densității distribuției este egală cu unitatea:

Exemplul 2 Variabila aleatoare este supusă legii distribuției cu densitate

Determinarea coeficientului; construiți un grafic al densității distribuției; găsiți probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare pe segmentul de la până la; determinați funcția de distribuție și trasați graficul acesteia.

Soluţie. Aria delimitată de curba de distribuție este numeric egală cu

Ținând cont de proprietatea 4 a densității de distribuție, găsim: . Prin urmare, densitatea distribuției poate fi exprimată după cum urmează:

Graficul densității de distribuție este prezentat în fig. 10. Prin proprietatea 3 avem

Pentru a determina funcția de distribuție, folosim proprietatea 2:

Astfel, avem

Graficul funcției de distribuție este prezentat în fig. unsprezece.