Aria unui trapez curbiliniu este Calculul ariilor figurilor plane folosind integrala. Exemple de calculare a ariei unei figuri delimitate de linii y=f(x) sau x=g(y)

În această lecție vom învăța cum să calculăm zone de figuri plate, care se numesc trapeze curbilinii .

Exemple de astfel de cifre sunt în figura de mai jos.

Pe de o parte, găsirea ariei unei figuri plate folosind o integrală definită este extrem de simplă. Vorbim despre aria figurii, care este limitată de sus de o anumită curbă, de jos - de axa absciselor ( Bou), iar în stânga și în dreapta sunt niște linii drepte. Simplitatea este că integrala definită a funcției căreia îi este dată curba și există aria unei astfel de figuri(trapez curbiliniu).

Pentru a calcula aria unei figuri, avem nevoie de:

Integrală definită a funcției care definește curba , care limitează de sus trapezul curbiliniu. Și aici vine prima nuanță semnificativă: un trapez curbiliniu poate fi limitat de o curbă nu numai de sus, ci și de jos . Cum sa actionezi in acest caz? Simplu, dar important de reținut: integrala în acest caz este luată cu semnul minus .
Limitele integrării AȘi b, pe care îl găsim din ecuațiile dreptelor care delimitează figura din stânga și dreapta: X = A , X = b, Unde AȘi b- numere.

Separat, mai multe nuanțe.

Curba care limitează trapezul curbiliniu de sus (sau de jos) trebuie să fie graficul unei funcții continue și nenegative y = f(X) .

Valorile X trebuie să aparțină segmentului [A, b] . Adică, nu sunt luate în considerare, de exemplu, linii ca o secțiune a unei ciuperci, în care piciorul se potrivește perfect în acest segment, iar pălăria este mult mai lată.

Segmentele laterale pot degenera în puncte . Dacă ați văzut o astfel de figură în desen, acest lucru nu ar trebui să vă încurce, deoarece acest punct are întotdeauna propria sa valoare pe axa x. Deci totul este în ordine cu limitele integrării.

Acum puteți trece la formule și calcule. Deci zona s trapezul curbiliniu poate fi calculat prin formula

Dacă f(X) ≤ 0 (graficul funcției este situat sub axă Bou), Acea zona unui trapez curbat poate fi calculat prin formula

Există, de asemenea, cazuri când atât granițele superioare, cât și cele inferioare ale figurii sunt funcții y = f(X) Și y = φ (X) , atunci aria unei astfel de cifre este calculată prin formula

. (3)

Rezolvăm probleme împreună

Să începem cu cazurile în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (1).

Exemplul 1Bou) și direct X = 1 , X = 3 .

Soluţie. Deoarece y = 1/X> 0 pe segment, atunci aria trapezului curbiliniu se găsește cu formula (1):

Exemplul 2 Găsiți aria figurii delimitată de graficul funcției , linie dreaptă X= 1 și axa x ( Bou ).

Soluţie. Rezultatul aplicării formulei (1):

Daca atunci s= 1/2; daca atunci s= 1/3 etc.

Exemplul 3 Găsiți aria figurii delimitată de graficul funcției, axa x ( Bou) și direct X = 4 .

Soluţie. Figura corespunzătoare stării problemei este un trapez curbiliniu, în care segmentul din stânga a degenerat într-un punct. Limitele de integrare sunt 0 și 4. Deoarece, conform formulei (1), găsim aria trapezului curbiliniu:

Exemplul 4 Găsiți aria figurii delimitate de linii, , și situat în primul trimestru.

Soluţie. Pentru a folosi formula (1), reprezentăm aria figurii dată de condițiile exemplului ca suma ariilor unui triunghi OAB iar trapezul curbiliniu ABC. Când se calculează aria unui triunghi OAB limitele integrării sunt abscisele punctelor OȘi A, iar pentru figură ABC- abscisele punctelor AȘi C (A este punctul de intersecție al dreptei OAși parabole și C- punctul de intersecție al parabolei cu axa Bou). Rezolvând împreună (ca sistem) ecuațiile unei drepte și ale unei parabole, obținem (abscisa punctului A) și (abscisa altui punct de intersecție a dreptei și a parabolei, care nu este necesară pentru soluție). În mod similar, obținem , (abscise de puncte CȘi D). Acum avem totul pentru a găsi zona figurii. Găsim:

Exemplul 5 Găsiți aria unui trapez curbiliniu ACDB, dacă ecuația curbei CD si abscisa AȘi B respectiv 1 și 2.

Soluţie. Exprimăm această ecuație a curbei prin Y: aria trapezului curbiliniu se găsește prin formula (1):

Să trecem la cazurile în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (2).

Exemplul 6 Găsiți aria figurii delimitată de parabolă și de axa x ( Bou ).

Soluţie. Această cifră este situată sub axa x. Prin urmare, pentru a calcula aria sa, folosim formula (2). Limitele de integrare sunt abscisele și punctele de intersecție ale parabolei cu axa Bou. Prin urmare,

Exemplul 7 Găsiți aria dintre axa x ( Bou) și două unde sinusoidale învecinate.

Soluţie. Aria acestei figuri poate fi găsită prin formula (2):

Să găsim fiecare termen separat:

În sfârșit găsim zona:

Exemplul 8 Găsiți aria figurii cuprinsă între parabolă și curbă.

Soluţie. Să exprimăm ecuațiile dreptelor în termenii lui Y:

Suprafaţa conform formulei (2) se va obţine ca

Unde AȘi b- abscisele punctelor AȘi B. Le găsim rezolvând împreună ecuațiile:

În sfârșit găsim zona:

Și, în sfârșit, există cazuri în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (3).

Exemplul 9 Găsiți aria figurii cuprinsă între parabole Și .

Aplicarea integralei la rezolvarea problemelor aplicate

Calculul suprafeței

Integrala definită a unei funcții continue nenegative f(x) este numeric egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitată de curba y \u003d f (x), axa O x și liniile drepte x \u003d a și x \u003d b. În consecință, formula ariei se scrie după cum urmează:

Luați în considerare câteva exemple de calculare a ariilor figurilor plane.

Sarcina numărul 1. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Soluţie. Să construim o figură, aria căreia va trebui să o calculăm.

y \u003d x 2 + 1 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în sus cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 1).

Figura 1. Graficul funcției y = x 2 + 1

Sarcina numărul 2. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 în intervalul de la 0 la 1.

Soluţie. Graficul acestei funcții este parabola ramificației, care este îndreptată în sus, iar parabola este deplasată în jos cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 2).

Figura 2. Graficul funcției y \u003d x 2 - 1

Sarcina numărul 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

y = 8 + 2x - x 2 și y = 2x - 4.

Soluţie. Prima dintre aceste două linii este o parabolă cu ramurile îndreptate în jos, deoarece coeficientul la x 2 este negativ, iar a doua linie este o dreaptă care traversează ambele axe de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, să găsim coordonatele vârfului ei: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisă de vârf; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 este ordonata sa, N(1;9) este vârful său.

Acum găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei prin rezolvarea sistemului de ecuații:

Echivalarea părților drepte ale unei ecuații ale cărei părți stângi sunt egale.

Obținem 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 sau x 2 - 12 \u003d 0, de unde .

Deci, punctele sunt punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei (Figura 1).

Figura 3 Grafice ale funcțiilor y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4

Să construim o dreaptă y = 2x - 4. Ea trece prin punctele (0;-4), (2; 0) de pe axele de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, puteți avea și punctele sale de intersecție cu axa 0x, adică rădăcinile ecuației 8 + 2x - x 2 = 0 sau x 2 - 2x - 8 = 0. După teorema Vieta, este ușor de găsit rădăcinile sale: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figura 3 prezintă o figură (segment parabolic M 1 N M 2) delimitată de aceste drepte.

A doua parte a problemei este să găsiți zona acestei figuri. Zona sa poate fi găsită folosind integrala definita conform formulei .

În ceea ce privește această condiție, obținem integrala:

2 Calculul volumului unui corp de revoluție

Volumul corpului obținut din rotația curbei y \u003d f (x) în jurul axei O x este calculat prin formula:

Când se rotește în jurul axei O y, formula arată astfel:

Sarcina numărul 4. Determinați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbiliniu delimitat de linii drepte x \u003d 0 x \u003d 3 și o curbă y \u003d în jurul axei O x.

Soluţie. Să construim un desen (Figura 4).

Figura 4. Graficul funcției y =

Volumul dorit este egal cu

Sarcina numărul 5. Calculați volumul corpului obținut din rotirea unui trapez curbiliniu delimitat de o curbă y = x 2 și drepte y = 0 și y = 4 în jurul axei O y .

Soluţie. Avem:

Întrebări de revizuire

Sarcina este una școlară, dar, în ciuda faptului, aproape 100% se vor întâlni în cursul tău matematică superioară. De aceea cu toată seriozitatea vom trata TOATE exemplele, iar primul lucru de făcut este să vă familiarizați aplicarea Grafice de funcții pentru a perfectiona tehnica de construire a graficelor elementare. …Mânca? Grozav! O declarație tipică a sarcinii este următoarea:

Exemplul 10
.

ȘI primul piatră de hotar solutii constă doar în construirea unui desen. Acestea fiind spuse, recomand următoarea comandă: la început e mai bine să construiești totul Drept(dacă există) și numai Apoi – parabole, hiperbolă, grafice ale altor funcții.

În sarcina noastră: Drept definește axa Drept paralel cu axa şi parabolă este simetric față de axa , pentru aceasta găsim câteva puncte de referință:

Este de dorit să se eclozeze figura dorită:

Faza a doua este să compune corectȘi calcula corect integrala definita. Pe segment se află graficul funcției peste axă, deci aria necesară este:

Răspuns:

După ce sarcina este finalizată, este util să priviți planul
și vezi dacă răspunsul este realist.

Și numărăm „pe ochi” numărul de celule umbrite - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se potrivesc în figura construită, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 11
Calculați aria unei figuri delimitate de linii si axa

Ne încălzim rapid (neapărat!) Și luăm în considerare situația „oglindă” - când este localizat trapezul curbiliniu sub axă:

Exemplul 12
Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: găsiți mai multe puncte de referință pentru construirea exponentului:

și executați desenul, obținând o figură cu o suprafață de aproximativ două celule:

Dacă se află trapezul curbiliniu nu mai sus axa , atunci aria ei poate fi găsită prin formula: .
În acest caz:

Răspuns: - ei bine, foarte, foarte asemanator cu adevarul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în planul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, trecem de la cele mai simple probleme școlare la exemple mai semnificative:

Exemplul 13
Aflați aria unei figuri plate delimitate de linii , .

Soluţie: mai întâi trebuie să finalizați desenul, în timp ce ne interesează în special punctele de intersecție ale parabolei și ale liniei, deoarece vor exista limite de integrare. Le puteți găsi în două moduri. Prima modalitate este analitică. Să facem și să rezolvăm ecuația:

Prin urmare:

Demnitate metoda analitică constă în ea precizie, A defect- V durată(și în acest exemplu suntem încă norocoși). Prin urmare, în multe probleme este mai profitabil să construiești linii punct cu punct, în timp ce limitele integrării sunt descoperite ca „de la sine”.

Cu o linie dreaptă, totul este clar, dar pentru a construi o parabolă este convenabil să-i găsim vârful, pentru aceasta luăm derivata și o echivalăm cu zero:
- acesta este punctul în care va fi amplasat vârful. Și, datorită simetriei parabolei, vom găsi punctele de referință rămase conform principiului „stânga-dreapta”:

Hai sa facem un desen:

Și acum formula de lucru: dacă pe interval unii continuu funcţie mai mare sau egal continuu funcții, atunci aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și segmente de linie poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, ci, aproximativ vorbind, contează care dintre cele două grafice este SUS.

În exemplul nostru, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să scădem din

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Pe segment: , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De remarcat că formulele simple luate în considerare la începutul paragrafului sunt cazuri speciale ale formulei . Deoarece axa este dată de ecuație, atunci una dintre funcții va fi zero și, în funcție de dacă trapezul curbiliniu se află deasupra sau dedesubt, obținem formula fie

Și acum câteva sarcini tipice pentru o soluție independentă

Exemplul 14
Găsiți aria figurilor delimitate de drepte:

Soluție cu desene și scurte comentarii la sfârșitul cărții

În cursul rezolvării problemei luate în considerare, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost realizat corect, integrala a fost rezolvată corect, dar din cauza neatenției... a găsit zona figurii greșite, așa s-a înșelat servitorul tău ascultător de mai multe ori. Iată un caz real:

Exemplul 15
Calculați aria unei figuri delimitate de linii

Soluţie: hai sa facem un desen simplu,

al cărui truc este că zona dorită este umbrită în verde (uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch”, că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită. în gri! O insidiositate deosebită este că linia poate fi trasată sub axă și atunci nu vom vedea deloc figura dorită.

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;
2) pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.

Este destul de clar că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate:

Răspuns:

Și un exemplu informativ pentru o soluție independentă:

Exemplul 16
Calculați aria figurii delimitată de linii , și axe de coordonate.

Deci, sistematizăm punctele importante ale acestei sarcini:

Pe primul pas Studiați cu ATENȚIE starea - CE funcții ne sunt date? Greșeli se întâmplă chiar și aici, în special, arc la Tangenta este adesea confundată cu arc tangente. Apropo, acest lucru se aplică și altor sarcini în care are loc tangenta arcului.

Mai departe desenul trebuie facut CORECT. Mai bine să construiești mai întâi Drept(dacă există), apoi grafice ale altor funcții (dacă există J). Acestea din urmă sunt în multe cazuri mai profitabile de construit punct cu punct- găsiți mai multe puncte de ancorare și conectați-le cu atenție printr-o linie.

Dar aici următoarele dificultăți pot sta în așteptare. În primul rând, nu este întotdeauna clar din desen limite de integrare- acest lucru se întâmplă când sunt fracționați. Pe mathprofi.ru la articol relevant Am considerat un exemplu cu o parabolă și o linie dreaptă, în care unul dintre punctele lor de intersecție nu este clar din desen. În astfel de cazuri, ar trebui să utilizați metoda analitică, întocmim ecuația:

și găsiți-i rădăcinile:
– limita inferioară de integrare, – Limita superioară.

După ce desenul este construit, analizați cifra rezultată - aruncați din nou o privire la funcțiile propuse și verificați dacă ACEASTA este o cifră. Apoi îi analizăm forma și locația, se întâmplă ca zona să fie destul de complicată și apoi să fie împărțită în două sau chiar trei părți.

Compunem o integrală definită sau mai multe integrale conform formulei , am analizat mai sus toate variațiile principale.

Rezolvăm o integrală definită(s). În același timp, se poate dovedi a fi destul de complicat și apoi aplicăm un algoritm în faze: 1) găsiți antiderivată și verificați-o prin diferențiere, 2) Folosim formula Newton-Leibniz.

Rezultatul este util de verificat folosind software/servicii online, sau pur și simplu „estimare” conform desenului pe celule. Dar ambele nu sunt întotdeauna fezabile, așa că suntem extrem de atenți la fiecare etapă a deciziei!

O versiune completă și actualizată a acestui curs în format pdf,
precum și cursuri pe alte subiecte pot fi găsite.

De asemenea, puteți - simplu, accesibil, distractiv și gratuit!

Cu cele mai bune urări, Alexander Emelin

Exemplul 1 . Calculați aria figurii mărginite de linii: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 și x = 2

Să construim o figură (vezi fig.) Construim o linie dreaptă x + 2y - 4 \u003d 0 de-a lungul a două puncte A (4; 0) și B (0; 2). Exprimând y în termeni de x, obținem y \u003d -0,5x + 2. Conform formulei (1), unde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, vom găsi

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 mp. unitati

Exemplul 2 Calculați aria figurii mărginite de linii: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 și y \u003d 0.

Soluţie. Să construim o figură.

Să construim o dreaptă x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Să construim o dreaptă x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Aflați punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pentru a calcula aria necesară, împărțim triunghiul AMC în două triunghiuri AMN și NMC, deoarece atunci când x se schimbă de la A la N, aria este limitată de o linie dreaptă, iar când x se schimbă de la N la C, este o linie dreaptă.

Pentru triunghiul AMN avem: ; y \u003d 0,5x + 2, adică f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pentru triunghiul NMC avem: y = - x + 5, adică f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

mp unitati

9 + 4, 5 = 13,5 mp. unitati Verificați: = 0,5AC = 0,5 sq. unitati

Exemplul 3 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

În acest caz, este necesar să se calculeze aria unui trapez curbiliniu mărginit de o parabolă y = x 2 , linii drepte x \u003d 2 și x \u003d 3 și axa Ox (a se vedea fig.) Conform formulei (1), găsim aria unui trapez curbiliniu

= = 6kv. unitati

Exemplul 4 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y \u003d - x 2 + 4 și y = 0

Să construim o figură. Zona dorită este închisă între parabola y \u003d - x 2 + 4 și axa Oh.

Aflați punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Presupunând y \u003d 0, găsim x \u003d Deoarece această cifră este simetrică față de axa Oy, calculăm aria figurii situate în dreapta axei Oy și dublăm rezultatul: \u003d + 4x] mp. unitati 2 = 2 mp. unitati

Exemplul 5 Calculați aria unei figuri delimitate de drepte: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aici este necesar să se calculeze aria trapezului curbiliniu delimitată de ramura superioară a parabolei y 2 \u003d x, axa Ox și liniile drepte x \u003d 1x \u003d 4 (vezi fig.)

Conform formulei (1), unde f(x) = a = 1 și b = 4, avem = (= unități sq.

Exemplul 6 . Calculați aria figurii mărginite de drepte: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Zona dorită este limitată de o sinusoidă cu jumătate de undă și de axa Ox (vezi Fig.).

Avem - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metri pătrați. unitati

Exemplul 7 Calculați aria figurii delimitată de linii: y \u003d - 6x, y \u003d 0 și x \u003d 4.

Figura este situată sub axa Ox (vezi Fig.).

Prin urmare, aria sa este găsită prin formula (3)

= =

Exemplul 8 Calculați aria figurii delimitată de liniile: y \u003d și x \u003d 2. Vom construi curba y \u003d de puncte (a se vedea figura). Astfel, aria figurii se găsește prin formula (4)

Exemplul 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aici trebuie să calculați aria delimitată de cercul x 2 + y 2 = r 2 , adică aria unui cerc de rază r centrat la origine. Să găsim a patra parte a acestei zone, luând limitele integrării de la 0

dor; avem: 1 = = [

Prin urmare, 1 =

Exemplul 10 Calculați aria figurii mărginite de linii: y \u003d x 2 și y = 2x

Această cifră este limitată de parabola y \u003d x 2 și linia dreaptă y \u003d 2x (a se vedea fig.) Pentru a determina punctele de intersecție linii date rezolvați sistemul de ecuații: x 2 – 2x = 0 x = 0 și x = 2

Folosind formula (5) pentru a găsi aria, obținem

= }