Integrarea unei integrale definite. Integrala definita. Exemple de soluții. Metoda de integrare pe părți într-o integrală definită

Integrala definita. Exemple de soluții

Buna din nou. Pe această lecție vom analiza în detaliu un lucru atât de minunat ca integrala definita. De data aceasta introducerea va fi scurtă. Toate. Pentru că o furtună de zăpadă în afara ferestrei.

Pentru a învăța cum să rezolvi anumite integrale, trebuie să:

1) să poată găsi integrale nedefinite.

2) să poată calculati integrala definita.

După cum puteți vedea, pentru a stăpâni integrala definită, trebuie să fiți destul de bine versați în integralele nedefinite „obișnuite”. Prin urmare, dacă abia începeți să vă scufundați în calculul integral și fierbătorul încă nu a fiert deloc, atunci este mai bine să începeți cu lecția Integrală nedefinită. Exemple de soluții. În plus, există cursuri pdf pentru antrenament ultrarapid- dacă ai literalmente o zi, a mai rămas jumătate de zi.

ÎN vedere generala Integrala definită se scrie astfel:

Ce a crescut comparativ cu integrală nedefinită? adăugat limite de integrare.

Limita inferioară de integrare
Limita superioară a integrării notate standard prin litera .
Segmentul este numit segment de integrare.

Înainte de a trece la exemple practice, o mică întrebare frecventă despre integrala definită.

Ce înseamnă să rezolvi o integrală definită? Rezolvarea unei integrale definite înseamnă găsirea unui număr.

Cum se rezolvă o integrală definită? Cu ajutorul formulei Newton-Leibniz cunoscute de la școală:

Este mai bine să rescrieți formula pe o bucată de hârtie separată; ar trebui să fie în fața ochilor tăi pe tot parcursul lecției.

Pașii pentru rezolvarea unei integrale definite sunt următorii:

1) Mai întâi găsim funcția antiderivată(integrală nedefinită). Rețineți că constanta în integrala definită neadăugat. Denumirea este pur tehnică, iar stick-ul vertical nu are nicio semnificație matematică, de fapt este doar un baraj. De ce este necesară înregistrarea? Pregătire pentru aplicarea formulei Newton-Leibniz.

2) Inlocuim valoarea limitei superioare in functia antiderivata: .

3) Inlocuim valoarea limitei inferioare in functia antiderivata: .

4) Calculăm (fără erori!) diferența, adică găsim numărul.

Există întotdeauna o integrală definită? Nu, nu întotdeauna.

De exemplu, integrala nu există, deoarece segmentul de integrare nu este inclus în domeniul de definire a integrandului (valori sub rădăcină pătrată nu poate fi negativ). Iată un exemplu mai puțin evident: . Aici, pe intervalul de integrare tangentă rezistă pauze nesfârșite la punctele , , și, prin urmare, o astfel de integrală definită nici nu există. Apropo, cine nu a citit-o încă? material metodic Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare- Acum este momentul să o faci. Va fi grozav să ajuți pe parcursul cursului de matematică superioară.

Pentru asta pentru ca integrala definită să existe deloc, este suficient ca integrand a fost continuă pe intervalul de integrare.

Din cele de mai sus, urmează prima recomandare importantă: înainte de a continua cu soluția ORICE integrală definită, trebuie să vă asigurați că integrantul continuu pe intervalul de integrare. Ca student, am avut în mod repetat un incident în care am suferit mult timp găsind o primitivă dificilă, iar când în sfârșit l-am găsit, m-am nedumerit încă o întrebare: „ce fel de prostie s-a dovedit?”. Într-o versiune simplificată, situația arată cam așa:

???! Nu puteți înlocui numere negative sub rădăcină! Ce naiba?! nepăsare inițială.

Dacă pentru o soluție (în munca de control, la test, examen) Vi se oferă o integrală ca sau , atunci trebuie să dați un răspuns că această integrală definită nu există și să justificați de ce.

! Notă : în acest din urmă caz, cuvântul „anumit” nu poate fi omis, deoarece integrala cu discontinuități punctuale se împarte în mai multe, în acest caz, în 3 integrale improprii, iar formularea „această integrală nu există” devine incorectă.

Integrala definită poate fi egală cu număr negativ? Pot fi. Și un număr negativ. Și zero. S-ar putea chiar să se dovedească a fi infinit, dar va fi deja integrală improprie, care are o prelegere separată.

Limita inferioară a integrării poate fi mai mare decât limita superioară a integrării? Poate că o astfel de situație apare de fapt în practică.

- integrala se calculează calm folosind formula Newton-Leibniz.

Ce nu se poate face fără matematică superioară? Desigur, fără tot felul de proprietăți. Prin urmare, luăm în considerare unele proprietăți ale unei integrale definite.

Într-o integrală definită, puteți rearanja limitele superioare și inferioare, schimbând în același timp semnul:

De exemplu, într-o integrală definită înainte de integrare, este recomandabil să schimbați limitele integrării în ordinea „obișnuită”:

- în această formă, integrarea este mult mai convenabilă.

- acest lucru este valabil nu numai pentru două, ci și pentru orice număr de funcții.

Într-o integrală definită, se poate realiza modificarea variabilei de integrare, însă, în comparație cu integrala nehotărâtă, aceasta are specificul său, despre care vom vorbi mai târziu.

Pentru o integrală definită, formula de integrare pe părți:

Exemplul 1

Soluţie:

(1) Luăm constanta din semnul integral.

(2) Integram peste tabel folosind cea mai populara formula . Este recomandabil să separați constanta apărută de și să o scoateți din suport. Nu este necesar să faceți acest lucru, dar este de dorit - de ce calcule suplimentare?

. Mai întâi înlocuim în limita superioară, apoi în limita inferioară. Efectuăm calcule suplimentare și obținem răspunsul final.

Exemplul 2

Calculați o integrală definită

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Să facem un pic mai dificil:

Exemplul 3

Calculați o integrală definită

Soluţie:

(1) Folosim proprietățile de liniaritate ale integralei definite.

(2) Ne integrăm peste tabel, în timp ce scoatem toate constantele - acestea nu vor participa la înlocuirea limitelor superioare și inferioare.

(3) Pentru fiecare dintre cei trei termeni, aplicăm formula Newton-Leibniz:

O VERIGĂ SLABĂ într-o integrală definită este erorile de calcul și o CONFUZIE DE SEMNE obișnuită. Atenție! Mă concentrez pe al treilea termen: - locul I in hit parada greselilor datorate neatentiei, foarte des scriu automat (mai ales când înlocuirea limitelor superioare și inferioare se realizează oral și nu este semnată atât de detaliat). Încă o dată, studiați cu atenție exemplul de mai sus.

Trebuie remarcat faptul că metoda considerată de rezolvare a unei integrale definite nu este singura. Cu ceva experiență, soluția poate fi redusă semnificativ. De exemplu, eu însumi obișnuiam să rezolv astfel de integrale ca aceasta:

Aici am folosit verbal regulile liniarității, integrate oral peste masă. Am ajuns să am o singură paranteză cu limitele conturate: (spre deosebire de cele trei paranteze din prima metodă). Și în funcția antiderivată „întreaga”, am înlocuit mai întâi 4, apoi -2, făcând din nou toate acțiunile din mintea mea.

Care sunt dezavantajele metodei soluției scurte? Totul nu este foarte bun aici din punctul de vedere al raționalității calculelor, dar personal nu-mi pasă - număr fracțiile obișnuite pe un calculator.
În plus, există un risc crescut de a face o greșeală în calcule, așa că este mai bine ca un elev-maninchi să folosească prima metodă, cu metoda soluției „mea”, semnul se va pierde cu siguranță undeva.

Cu toate acestea, avantajele incontestabile ale celei de-a doua metode sunt viteza soluției, compactitatea notației și faptul că antiderivatul este într-o singură paranteză.

Sfat: înainte de a utiliza formula Newton-Leibniz, este util să verificați: antiderivatul în sine a fost găsit corect?

Deci, în raport cu exemplul luat în considerare: înainte de a înlocui limitele superioare și inferioare în funcția antiderivată, este recomandabil să verificați pe un proiect dacă integrala nedefinită a fost găsită corect? Diferențierea:

S-a obținut integrandul original, ceea ce înseamnă că integrala nedefinită a fost găsită corect. Acum puteți aplica formula Newton-Leibniz.

O astfel de verificare nu va fi de prisos atunci când se calculează orice integrală definită.

Exemplul 4

Calculați o integrală definită

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare. Încercați să o rezolvați într-un mod scurt și detaliat.

Modificarea variabilei într-o integrală definită

Pentru integrala definită sunt valabile toate tipurile de substituții, ca și pentru integrala nedefinită. Astfel, dacă nu ești foarte bun la înlocuiri, ar trebui să citești cu atenție lecția. Metoda de înlocuire în integrală nedefinită.

Nu este nimic înfricoșător sau complicat în acest paragraf. Noutatea constă în întrebare cum se schimbă limitele integrării la înlocuire.

În exemple, voi încerca să dau astfel de tipuri de înlocuiri care nu au fost încă văzute nicăieri pe site.

Exemplul 5

Calculați o integrală definită

Întrebarea principală aici nu este deloc într-o integrală definită, ci cum să efectuați corect înlocuirea. Ne uităm înăuntru masă integralăși ne dăm seama cum arată integrantul nostru cel mai mult? Evident, pe logaritmul lung: . Dar există o inconsecvență, în integrala tabulară sub rădăcină și în a noastră - „x” până la gradul al patrulea. Ideea de înlocuire decurge din raționament - ar fi frumos să transformăm cumva gradul al patrulea într-un pătrat. E real.

În primul rând, ne pregătim integrala pentru înlocuire:

Din considerentele de mai sus, înlocuirea sugerează în mod natural:
Astfel, totul va fi bine la numitor: .
Aflăm în ce se va transforma restul integrandului, pentru aceasta găsim diferența:

Față de înlocuirea în integrala nedefinită, adăugăm un pas suplimentar.

Găsirea de noi limite de integrare.

Este destul de simplu. Ne uităm la înlocuirea noastră și la vechile limite ale integrării , .

În primul rând, înlocuim limita inferioară a integrării, adică zero, în expresia de înlocuire:

Apoi înlocuim limita superioară a integrării în expresia de înlocuire, adică rădăcina a trei:

Gata. Și doar ceva...

Să continuăm cu soluția.

(1) Conform înlocuirii scrieți o nouă integrală cu noi limite de integrare.

(2) Aceasta este cea mai simplă integrală de tabel pe care o integrăm peste tabel. Este mai bine să lăsați constanta în afara parantezelor (nu puteți face acest lucru), astfel încât să nu interfereze în calculele ulterioare. În dreapta, trasăm o linie care indică noile limite ale integrării - aceasta este pregătirea pentru aplicarea formulei Newton-Leibniz.

(3) Folosim formula Newton-Leibniz .

Ne străduim să scriem răspunsul în cea mai compactă formă, aici am folosit proprietățile logaritmilor.

O altă diferență față de integrala nedefinită este că, după ce am făcut substituția, nu sunt necesare înlocuiri.

Și acum câteva exemple pentru o decizie independentă. Ce înlocuiri să efectuați - încercați să ghiciți singur.

Exemplul 6

Calculați o integrală definită

Exemplul 7

Calculați o integrală definită

Acestea sunt exemple de autoajutorare. Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Și la sfârșitul paragrafului, câteva puncte importante, a căror analiză a apărut datorită vizitatorilor site-ului. Prima se referă legitimitatea înlocuirii. În unele cazuri, nu se poate! Deci Exemplul 6 ar părea a fi rezolvabil cu substituție trigonometrică universală, dar limita superioară a integrării ("pi") nu sunt incluse în domeniu această tangentă și deci această înlocuire este ilegală! Prin urmare, functia de „inlocuire” trebuie sa fie continua in toate puncte ale segmentului de integrare.

Într-un alt e-mail, s-a primit următoarea întrebare: „Trebuie să schimbăm limitele integrării atunci când aducem funcția sub semnul diferențial?”. La început am vrut să „înlătură prostiile” și să răspund automat „desigur că nu”, dar apoi m-am gândit la motivul unei astfel de întrebări și am descoperit brusc că informația lipsuri. Dar este, deși evident, dar foarte important:

Dacă aducem funcția sub semnul diferenţialului, atunci nu este nevoie să schimbăm limitele integrării! De ce? Pentru că în acest caz nicio tranziție reală la o nouă variabilă. De exemplu:

Și aici însumarea este mult mai convenabilă decât înlocuirea academică cu „pictarea” ulterioară a unor noi limite de integrare. Prin urmare, dacă integrala definită nu este foarte complicată, atunci încercați întotdeauna să aduceți funcția sub semnul diferenţialului! Este mai rapid, mai compact și este obișnuit - așa cum veți vedea de zeci de ori!

Vă mulțumesc foarte mult pentru scrisorile voastre!

Metoda de integrare pe părți într-o integrală definită

Există și mai puțină noutate aici. Toate postările articolului Integrarea pe părți în integrala nedefinită sunt pe deplin valabile și pentru o integrală definită.
În plus, există un singur detaliu, în formula de integrare pe părți se adaugă limitele integrării:

Formula Newton-Leibniz trebuie aplicată de două ori aici: pentru produs și, după ce luăm integrala.

De exemplu, am ales din nou tipul de integrală pe care nu l-am văzut altundeva pe site. Exemplul nu este cel mai ușor, dar foarte, foarte informativ.

Exemplul 8

Calculați o integrală definită

Noi decidem.

Integrarea pe părți:

Cine a avut dificultăți cu integrala, aruncați o privire la lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice, unde se discută în detaliu.

(1) Scriem soluția în conformitate cu formula de integrare pe părți.

(2) Pentru produs, folosim formula Newton-Leibniz. Pentru integrala rămasă, folosim proprietățile liniarității, împărțind-o în două integrale. Nu te confunda cu semne!

(4) Aplicăm formula Newton-Leibniz pentru cele două antiderivate găsite.

Sincer să fiu, nu-mi place formula și, dacă se poate, ... să nu fie deloc! Luați în considerare a doua modalitate de rezolvare, din punctul meu de vedere este mai rațional.

Calculați o integrală definită

În primul pas, găsesc integrala nedefinită:

Integrarea pe părți:

S-a găsit o funcție antiderivată. Nu are sens să adăugați o constantă în acest caz.

Care este avantajul unei astfel de călătorii? Nu este nevoie să „tragi” limitele integrării, într-adevăr, poți fi chinuit de duzină de ori scriind pictograme mici ale limitelor integrării

În a doua etapă, verific(de obicei la draft).

Este și logic. Dacă am găsit incorect funcția antiderivată, atunci voi rezolva și integrala definită incorect. Este mai bine să aflați imediat, să diferențiem răspunsul:

Integrandul original a fost obținut, ceea ce înseamnă că funcția antiderivată a fost găsită corect.

A treia etapă este aplicarea formulei Newton-Leibniz:

Și există un beneficiu semnificativ aici! În modul „meu” de a rezolva, există un risc mult mai mic de a fi confuz în substituții și calcule - formula Newton-Leibniz se aplică o singură dată. Dacă ibricul rezolvă o integrală similară folosind formula (prima cale), apoi stopudovo va greși undeva.

Algoritmul de soluție considerat poate fi aplicat oricărei integrale definite.

Dragă student, imprimați și salvați:

Ce să faci dacă este dată o integrală definită care pare complicată sau nu este imediat clar cum să o rezolvi?

1) Mai întâi găsim integrala nedefinită (funcția antiderivativă). Dacă la prima etapă a fost o dezamăgire, nu are rost să leci barca cu Newton și Leibniz. Există o singură cale - să vă creșteți nivelul de cunoștințe și abilități în rezolvare integrale nedefinite.

2) Verificăm funcția antiderivată găsită prin diferențiere. Dacă este găsit incorect, al treilea pas va fi o pierdere de timp.

3) Folosim formula Newton-Leibniz. Efectuăm toate calculele CU EXTREMĂ ATENȚIE - aici este cea mai slabă verigă a sarcinii.

Și, pentru o gustare, o integrală pentru o soluție independentă.

Exemplul 9

Calculați o integrală definită

Soluția și răspunsul sunt undeva în apropiere.

Următorul tutorial recomandat pe această temă este − Cum se calculează aria unei figuri folosind integrala definită?
Integrarea pe părți:

Cu siguranță le-ai rezolvat și ai primit astfel de răspunsuri? ;-) Și există porno pe bătrână.

Procesul de rezolvare a integralelor în știință numit „matematică” se numește integrare. Cu ajutorul integrării, puteți găsi câteva mărimi fizice: aria, volumul, masa corpurilor și multe altele.

Integralele sunt nedefinite și definite. Luați în considerare forma unei integrale definite și încercați să o înțelegeți sens fizic. Apare astfel: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. O caracteristică distinctivă a scrierii unei integrale definite dintr-o integrală nedefinită este că există limite ale integrării a și b. Acum vom afla pentru ce sunt acestea și ce înseamnă o integrală definită. În sens geometric, o astfel de integrală egal cu suprafata figură delimitată de curba f(x), liniile a și b și axa Ox.

Din fig. 1 se poate observa că integrala definită este aceeași zonă care este umbrită în gri. Să verificăm cu un exemplu simplu. Să găsim aria figurii din imaginea de mai jos folosind integrare, apoi să o calculăm în mod obișnuit, înmulțind lungimea cu lățimea.

Figura 2 arată că $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Acum le substituim în definiția integralei, obținem că $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Să verificăm în modul obișnuit. În cazul nostru, lungime = 3, lățimea formei = 1. $$ S = \text(lungime) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ După cum puteți vedea, totul s-a potrivit perfect.

Apare întrebarea: cum se rezolvă integrale nedefinite și care este semnificația lor? Soluția unor astfel de integrale este găsirea funcțiilor antiderivative. Acest proces este opusul găsirii derivatei. Pentru a găsi antiderivată, puteți folosi ajutorul nostru în rezolvarea problemelor de matematică sau trebuie să memorați cu precizie proprietățile integralelor și tabelul de integrare al celor mai simple funcții elementare pe cont propriu. Constatarea arată astfel $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(unde) F(x) $ este antiderivată a lui $ f(x), C = const $.

Pentru a rezolva integrala, trebuie să integrați funcția $ f(x) $ în raport cu variabila. Dacă funcția este tabelară, atunci răspunsul este scris în forma corespunzătoare. Dacă nu, atunci procesul se reduce la obținerea unei funcții de tabel din funcția $ f(x) $ prin transformări matematice complicate. Există diferite metode și proprietăți pentru aceasta, pe care le vom discuta mai jos.

Deci, acum să facem un algoritm cum să rezolvăm integralele pentru manechine?

Algoritm pentru calcularea integralelor

Aflați integrala definită sau nu.
Dacă nu este definită, atunci trebuie să găsiți funcția antiderivată $ F(x) $ a integrandului $ f(x) $ folosind transformări matematice care aduc funcția $ f(x) $ într-o formă tabelară.
Dacă este definit, atunci trebuie efectuat pasul 2 și apoi înlocuiți limitele $a$ și $b$ în funcția antiderivată $F(x)$. Prin ce formulă să faci asta, vei afla în articolul „Formula lui Newton Leibniz”.

Exemple de soluții

Deci, ați învățat cum să rezolvați integrale pentru manechine, exemple de rezolvare a integralelor au fost sortate pe rafturi. Au învățat semnificația lor fizică și geometrică. Metodele de rezolvare vor fi discutate în alte articole.

Acest calculator vă permite să rezolvați o integrală definită online. De fapt, calculul unei integrale definite- aceasta este găsirea unui număr care este egal cu aria de sub graficul funcției. Pentru soluție, este necesar să se stabilească limitele integrării și funcția care trebuie integrată. După integrare, sistemul va găsi un antiderivat pentru funcţie dată, calculați valorile sale în punctele limitelor de integrare, găsiți diferența lor, care va fi soluția unei integrale definite. Pentru a rezolva o integrală nedefinită, trebuie să utilizați o integrală similară calculator online, care se află pe site-ul nostru la linkul - Rezolva integrala nedeterminată.

Permitem calcula integrala definita online rapid și fiabil. Veți obține întotdeauna soluția potrivită. Mai mult, pentru integralele tabulare, răspunsul va fi prezentat în forma clasică, adică exprimat prin constante cunoscute, precum numărul „pi”, „exponent”, etc. Toate calculele sunt complet gratuite și nu necesită înregistrare. Rezolvând o integrală definită cu noi, vă veți scuti de calcule complexe și consumatoare de timp, sau rezolvând singur integrala, vă veți putea verifica soluția.

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru elită. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar știu puțin sau nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare a integralei pe care o știi este să obții ceva util din locuri greu accesibile cu un cârlig în formă de pictogramă integrală, atunci bine ai venit! Învață cum să rezolvi integrale simple și alte integrale și de ce nu te poți descurca fără ea la matematică.

Studiem conceptul « integrală »

Integrarea era deja cunoscută în Egiptul antic. Bineînțeles că nu în formă modernă, dar inca. De atunci, matematicienii au scris foarte multe cărți pe această temă. Deosebit de distins Newton Și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază. analiză matematică. Informații despre limite și derivate, necesare înțelegerii integralelor, le avem deja în blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Integrala nedefinită a funcției f(x) se numeste o astfel de functie F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți articolul nostru despre cum să calculați derivatele.

Primitivul există pentru toată lumea funcții continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a unei integrale se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivatele funcțiilor elementare, este convenabil să le aduceți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, a masei unui corp neomogen trecut prin mișcare neuniformă cale și nu numai. Trebuie amintit că integrala este suma infinitului un numar mare termeni infinitezimali.

Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei funcții.

Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de un grafic al unei funcții? Cu ajutorul unei integrale! Să despărțim trapezul curbiliniu, mărginit de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este integrala definită, care se scrie după cum urmează:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice fel de muncă

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechin

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici vom lua în considerare proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile în rezolvarea exemplelor.

Derivata integralei este egala cu integrandul:

Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Adevărat și pentru diferență:

Proprietățile Integralei Definite

Linearitate:

Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt inversate:

La orice puncte A, bȘi Cu:

Am aflat deja că integrala definită este limita sumei. Dar cum să ajungi sens specific cand rezolvi un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos luăm în considerare integrala nedefinită și exemplele cu soluții. Vă oferim să înțelegeți în mod independent complexitățile soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesional pentru studenți și orice triplu sau integrală curbilinie pe o suprafață închisă va fi în puterea ta.

Pentru a învăța cum să rezolvi anumite integrale, trebuie să:

1) să poată găsi integrale nedefinite.

2) să poată calculati integrala definita.

În general, integrala definită se scrie astfel:

Ce s-a adăugat față de integrala nedefinită? adăugat limite de integrare.

Limita inferioară de integrare
Limita superioară a integrării notate standard prin litera .
Segmentul este numit segment de integrare.

Înainte de a trece la exemple practice, puțin „la naiba” pe integrala definită.

Ce este o integrală definită? V-aș putea spune despre diametrul împărțirii segmentului, limita sumelor integrale etc., dar lecția este de natură practică. Prin urmare, voi spune că integrala definită este un NUMĂR. Da, da, cel mai frecvent număr.

Are integrala definită sens geometric? Mânca. Si foarte bine. Cea mai populară sarcină calcularea ariei folosind o integrală definită.

Ce înseamnă să rezolvi o integrală definită? Rezolvarea unei integrale definite înseamnă găsirea unui număr.

Cum se rezolvă o integrală definită? Cu ajutorul formulei Newton-Leibniz cunoscute de la școală:

Este mai bine să rescrieți formula pe o bucată de hârtie separată; ar trebui să fie în fața ochilor tăi pe tot parcursul lecției.

Pașii pentru rezolvarea unei integrale definite sunt următorii:

1) Mai întâi găsim funcția antiderivată (integrală nedefinită). Rețineți că constanta în integrala definită niciodată adăugată. Denumirea este pur tehnică, iar stick-ul vertical nu are nicio semnificație matematică, de fapt este doar un baraj. De ce este necesară înregistrarea? Pregătire pentru aplicarea formulei Newton-Leibniz.

2) Inlocuim valoarea limitei superioare in functia antiderivata: .

3) Inlocuim valoarea limitei inferioare in functia antiderivata: .

4) Calculăm (fără erori!) diferența, adică găsim numărul.

Există întotdeauna o integrală definită? Nu, nu întotdeauna.

De exemplu, integrala nu există, deoarece intervalul de integrare nu este inclus în domeniul integrandului (valorile sub rădăcina pătrată nu pot fi negative). Iată un exemplu mai puțin evident: . De asemenea, o astfel de integrală nu există, deoarece nu există tangentă în punctele segmentului. Apropo, cine nu a citit încă materialul metodologic Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare- Acum este momentul să o faci. Va fi grozav să ajuți pe parcursul cursului de matematică superioară.

Pentru ca o integrală definită să existe, este necesar ca integrandu-ul să fie continuu pe intervalul de integrare.

???!!!

Nu puteți înlocui numere negative sub rădăcină!

Dacă pentru o soluție (într-un test, într-un test, un examen) vi se oferă o integrală inexistentă ca

atunci trebuie să oferiți un răspuns că integrala nu există și să justificați de ce.

Integrala definită poate fi egală cu un număr negativ? Pot fi. Și un număr negativ. Și zero. S-ar putea chiar să se dovedească a fi infinit, dar va fi deja integrală improprie , care are o prelegere separată.

Limita inferioară a integrării poate fi mai mare decât limita superioară a integrării? Poate că o astfel de situație apare de fapt în practică.

- integrala se calculează calm folosind formula Newton-Leibniz.

De ce nu se poate lipsi matematica superioară? Desigur, fără tot felul de proprietăți. Prin urmare, luăm în considerare unele proprietăți ale unei integrale definite.

Într-o integrală definită, puteți rearanja limitele superioare și inferioare, schimbând în același timp semnul:

De exemplu, într-o integrală definită înainte de integrare, este recomandabil să schimbați limitele integrării în ordinea „obișnuită”:

- în această formă, integrarea este mult mai convenabilă.

În ceea ce privește integrala nedefinită, proprietățile de liniaritate sunt valabile pentru integrala definită:

- acest lucru este valabil nu numai pentru două, ci și pentru orice număr de funcții.

Pentru o integrală definită, formula de integrare pe părți:

Exemplul 1

Soluţie:

(1) Luăm constanta din semnul integral.

(3) Folosim formula Newton-Leibniz

Mai întâi înlocuim în limita superioară, apoi în limita inferioară. Efectuăm calcule suplimentare și obținem răspunsul final.

Exemplul 2

Calculați o integrală definită

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Să facem un pic mai dificil:

Exemplul 3

Calculați o integrală definită

Soluţie:

(1) Folosim proprietățile de liniaritate ale integralei definite.

(2) Ne integrăm peste tabel, în timp ce scoatem toate constantele - acestea nu vor participa la înlocuirea limitelor superioare și inferioare.

- locul I in hit parada greselilor datorate neatentiei, foarte des scriu automat

(mai ales când înlocuirea limitelor superioare și inferioare se realizează oral și nu este semnată atât de detaliat). Încă o dată, studiați cu atenție exemplul de mai sus.

Aici am folosit verbal regulile liniarității, integrate oral peste masă. Am ajuns să am o singură paranteză cu limitele conturate:

(spre deosebire de cele trei paranteze din prima metodă). Și în funcția antiderivată „întreaga”, am înlocuit mai întâi 4, apoi -2, făcând din nou toate acțiunile din mintea mea.

Avantajele indubitabile ale celei de-a doua metode sunt viteza soluției, compactitatea notației și faptul că antiderivată

este într-o paranteză.