Cum se calculează o integrală definită. Integrale - ce este, cum să o rezolvi, exemple de soluții și o explicație pentru manechine. Metoda de integrare pe părți într-o integrală definită

Procesul de rezolvare a integralelor în știință numit „matematică” se numește integrare. Cu ajutorul integrării, puteți găsi câteva mărimi fizice: aria, volumul, masa corpurilor și multe altele.

Integralele sunt nedefinite și definite. Luați în considerare forma unei integrale definite și încercați să o înțelegeți sens fizic. Apare astfel: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. O caracteristică distinctivă a scrierii unei integrale definite dintr-o integrală nedefinită este că există limite ale integrării a și b. Acum vom afla pentru ce sunt acestea și ce înseamnă o integrală definită. ÎN sens geometric o astfel de integrală egal cu aria figură delimitată de curba f(x), liniile a și b și axa Ox.

Din fig. 1 se poate observa că integrala definită este aceeași zonă care este umbrită în gri. Să verificăm cu un exemplu simplu. Să găsim aria figurii din imaginea de mai jos folosind integrare, apoi să o calculăm în mod obișnuit, înmulțind lungimea cu lățimea.

Figura 2 arată că $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Acum le substituim în definiția integralei, obținem că $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Să verificăm în modul obișnuit. În cazul nostru, lungime = 3, lățimea formei = 1. $$ S = \text(lungime) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ După cum puteți vedea, totul s-a potrivit perfect.

Apare întrebarea: cum se rezolvă integrale nedefinite și care este semnificația lor? Soluția unor astfel de integrale este găsirea funcțiilor antiderivative. Acest proces este opusul găsirii derivatei. Pentru a găsi antiderivată, puteți folosi ajutorul nostru în rezolvarea problemelor de matematică sau trebuie să memorați cu precizie proprietățile integralelor și tabelul de integrare al celor mai simple funcții elementare pe cont propriu. Constatarea arată astfel $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(unde) F(x) $ este antiderivată a lui $ f(x), C = const $.

Pentru a rezolva integrala, trebuie să integrați funcția $ f(x) $ în raport cu variabila. Dacă funcția este tabelară, atunci răspunsul este scris în forma corespunzătoare. Dacă nu, atunci procesul se reduce la obținerea unei funcții de tabel din funcția $ f(x) $ prin transformări matematice complicate. Există diferite metode și proprietăți pentru aceasta, pe care le vom discuta mai jos.

Deci, acum să facem un algoritm cum să rezolvăm integralele pentru manechine?

Algoritm pentru calcularea integralelor

1. Aflați integrala definită sau nu.
2. Dacă este nedefinit, atunci găsiți funcția antiderivată$ F(x) $ din integrandul $ f(x) $ cu ajutorul transformărilor matematice rezultând o formă tabelară a funcției $ f(x) $.
3. Dacă este definit, atunci trebuie efectuat pasul 2 și apoi înlocuiți limitele $a$ și $b$ în funcția antiderivată $F(x)$. Prin ce formulă să faci asta, vei afla în articolul „Formula lui Newton Leibniz”.

Exemple de soluții

Deci, ați învățat cum să rezolvați integrale pentru manechine, exemple de rezolvare a integralelor au fost sortate pe rafturi. Au învățat semnificația lor fizică și geometrică. Metodele de rezolvare vor fi discutate în alte articole.

Dacă definițiile manualelor sunt prea complicate și de neînțeles, citiți articolul nostru. Vom încerca să explicăm cât mai simplu posibil, „pe degete”, punctele principale ale unei astfel de secțiuni de matematică ca integrale definite. Cum se calculează integrala, citiți în acest manual.

Desigur, aici sunt luate în considerare doar cele mai simple versiuni de integrale - sigur, de fapt, există o mulțime de soiuri de integrale, acestea sunt studiate în curs matematică superioară, analiză matematicăȘi ecuatii diferentialeîn universităţi pentru studenţii specialităţilor tehnice.

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru elită. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar știu puțin sau nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce este definit și integrală nedefinită s?

Dacă singura utilizare a integralei pe care o știi este să obții ceva util din locuri greu accesibile cu un cârlig în formă de pictogramă integrală, atunci bine ai venit! Învață cum să rezolvi integrale simple și alte integrale și de ce nu te poți descurca fără ea la matematică.

Studiem conceptul « integrală »

Integrarea era deja cunoscută în Egiptul antic. Bineînțeles că nu în formă modernă, dar inca. De atunci, matematicienii au scris foarte multe cărți pe această temă. Deosebit de distins newton Și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Informații despre limite și derivate, necesare înțelegerii integralelor, le avem deja în blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Integrala nedefinită a funcției f(x) se numeste o astfel de functie F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți articolul nostru despre cum să calculați derivatele.

Primivul există pentru toată lumea funcții continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a unei integrale se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivatele funcțiilor elementare, este convenabil să le aduceți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, a masei unui corp neomogen trecut prin mișcare neuniformă cale și nu numai. Trebuie amintit că integrala este suma infinitului un numar mare termeni infinitezimali.

Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.

Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de un grafic al unei funcții? Cu ajutorul unei integrale! Să despărțim trapezul curbiliniu, mărginit de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este integrala definită, care se scrie după cum urmează:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice fel de muncă

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechin

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici vom lua în considerare proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile în rezolvarea exemplelor.

• Derivata integralei este integrand:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Adevărat și pentru diferență:

Proprietățile Integralei Definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt inversate:

• La orice puncte A, bȘi Cu:

Am aflat deja că integrala definită este limita sumei. Dar cum să ajungi sens specific cand rezolvi un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos luăm în considerare integrala nedefinită și exemplele cu soluții. Vă oferim să înțelegeți în mod independent complexitățile soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesional pentru studenți și orice triplu sau integrală curbilinie pe o suprafață închisă va fi în puterea ta.

>> >> >> Metode de integrare

Metode de bază de integrare

Definiția unei integrale, definite și nedefinite, tabel de integrale, formula Newton-Leibniz, integrare pe părți, exemple de calcul a integralelor.

Integrală nedefinită

Fie u = f(x) și v = g(x) funcții având continuu . Apoi, conform lucrărilor,

d(uv))= udv + vdu sau udv = d(uv) - vdu.

Pentru expresia d(uv), antiderivata va fi evident uv, deci formula are loc:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Această formulă exprimă regula integrare pe părți. Aduce integrarea expresiei udv=uv"dx la integrarea expresiei vdu=vu"dx.

Fie, de exemplu, este necesar să găsim ∫xcosx dx. Fie u = x, dv = cosxdx, deci du=dx, v=sinx. Apoi

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Regula integrării pe părți are un domeniu de aplicare mai limitat decât schimbarea variabilei. Dar există clase întregi de integrale, de exemplu, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele, care sunt calculate folosind integrarea pe părți.

Integrala definita

Metode de integrare, se introduce conceptul de integrală definită în felul următor. Fie definită o funcție f(x) pe un interval. Să împărțim segmentul [ a,b] în n părți prin punctele a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Suma formei f(ξ i)Δ x i se numește suma integrală, iar limita ei la λ = maxΔx i → 0, dacă există și este finită, se numește integrala definita funcțiile f(x) de la a la b și se notează:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funcția f(x) în acest caz este numită integrabil pe un segment, se numesc numerele a și b limita inferioară și superioară a integralei.

Metode de integrare au urmatoarele proprietati:

Ultima proprietate este numită teorema valorii medii.

Fie f(x) continuă pe . Atunci pe acest segment există o integrală nedefinită

∫f(x)dx = F(x) + C

si are loc formula Newton-Leibniz, care leagă integrala definită cu cea nedefinită:

F(b) - F(a). (8,6)

Interpretare geometrică: reprezintă aria unui trapez curbiliniu mărginit de sus de curba y=f(x), liniile drepte x = a și x = b și segmentul axei Ox.

Integrale improprii

Integralele cu limite infinite și integralele funcțiilor discontinue (nemărginite) sunt numite improprie. Integrale improprii de primul fel - acestea sunt integrale pe un interval infinit, definite după cum urmează:

(8.7)

Dacă această limită există și este finită, atunci se numește integrală improprie convergentă a lui f(x) pe intervalul [а,+ ∞), iar funcția f(x) se numește integrabilă pe intervalul infinit [а,+ ∞ ). În caz contrar, se spune că integrala nu există sau diverge.

Integralele improprie pe intervalele (-∞,b] și (-∞, + ∞) sunt definite în mod similar:

Să definim conceptul de integrală a unei funcții nemărginite. Dacă f(x) este continuă pentru toate valorile x ale segmentului, cu excepția c, unde f(x) are o discontinuitate infinită, atunci integrala improprie a celui de-al doilea fel de f(x) variind de la a la b numit suma:

dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:

Exemple de calculare a integralelor

Exemplul 3.30. Calculați ∫dx/(x+2).

Soluţie. Notăm t = x+2, apoi dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.

Rezolvare.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Fie t=cosx, atunci ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Exemplu3.33. Găsi .

Soluţie. =

.

Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.

Soluţie. Ne integrăm pe părți. Notați u=arctgx, dv=dx. Atunci du = dx/(x 2 +1), v=x, de unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; deoarece
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.

Soluţie. Aplicând formula de integrare pe părți, obținem:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atunci ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Exemplu3.36 . Calculați ∫e x sinxdx.

Soluţie. Aplicam formula de integrare pe parti. Notăm u = e x , dv = sinxdx, apoi du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx este de asemenea integrabil prin părți: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Avem:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Se obține relația ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, de unde 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Exemplu 3.37. Calculați J = ∫cos(lnx)dx/x.

Soluție Deoarece dx/x = dlnx, atunci J= ∫cos(lnx)d(lnx). Înlocuind lnx prin t, ajungem la integrala tabelului J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Exemplu 3.38 . Calculați J = .

Soluţie. Ținând cont de faptul că = d(lnx), facem substituția lnx = t. Atunci J = .

Exemplu 3.39 . Calculați J = .

Soluţie. Avem: . De aceea =

Pentru ce sunt integralele? Încercați să răspundeți singur la această întrebare.

Explicând subiectul integralelor, profesorii enumera domenii de aplicare care sunt de puțin folos minților școlii. Printre ei:

• calcularea ariei unei figuri.
• calculul greutății corporale cu densitate neuniformă.
• determinarea distantei parcurse la deplasarea cu viteza variabila.
• si etc.

Nu este întotdeauna posibilă conectarea tuturor acestor procese, așa că mulți studenți devin confuzi, chiar dacă au toate cunoștințele de bază pentru a înțelege integrala.

Principalul motiv al ignoranței– lipsa de înțelegere a semnificației practice a integralelor.

Integral - ce este?

Cerințe preliminare. Nevoia de integrare a apărut în Grecia antică. În acel moment, Arhimede a început să folosească metode similare în esență cu calculul integral modern pentru a găsi aria unui cerc. Principala abordare pentru determinarea zonei figurilor inegale a fost atunci „Metoda de epuizare”, care este destul de ușor de înțeles.

Esența metodei. În această figură este înscrisă o succesiune monotonă de alte figuri și apoi se calculează limita secvenței ariilor lor. Această limită a fost luată ca zonă a cifrei date.

În această metodă, ideea de calcul integral este ușor de urmărit, care este de a găsi limita unei sume infinite. Mai târziu, această idee a fost aplicată de oamenii de știință pentru a rezolva sarcini aplicate astronautică, economie, mecanică etc.

Integrală modernă. Teoria clasică a integrării a fost formulată în termeni generali de Newton și Leibniz. S-a bazat pe legile existente atunci ale calculului diferenţial. Pentru a-l înțelege, trebuie să aveți niște cunoștințe de bază care vă vor ajuta să descrieți idei vizuale și intuitive despre integrale în limbajul matematic.

Explicați conceptul de „integral”

Procesul de găsire a derivatei se numește diferenţiereși găsirea antiderivatei - integrare.

Integral limbaj matematic este antiderivată a funcției (ceea ce a fost înainte de derivată) + constanta „C”.

Integral in termeni simpli este aria figurii curbe. Integrala nedefinită este întreaga zonă. Integrala definită este aria dintr-o zonă dată.

Integrala se scrie astfel:

Fiecare integrand este înmulțit cu componenta „dx”. Arată ce variabilă este integrată. „dx” este incrementul argumentului. În loc de X, poate exista orice alt argument, cum ar fi t (timp).

Integrală nedefinită

Integrala nedefinită nu are granițe de integrare.

Pentru a rezolva integrale nedefinite, este suficient să găsiți antiderivata integrandului și să îi adăugați „C”.

Integrala definita

ÎN integrala definita pe semnul integrării scrieți restricțiile „a” și „b”. Ele sunt indicate pe axa x în graficul de mai jos.

Pentru a calcula o integrală definită, trebuie să găsiți antiderivată, să înlocuiți valorile „a” și „b” în ea și să găsiți diferența. În matematică aceasta se numește formula Newton-Leibniz:

Tabel de integrale pentru elevi (formule de bază)

Descărcați formulele integralelor, acestea vă vor fi în continuare utile

Cum se calculează corect integrala

Există mai multe operații simple pentru transformarea integralelor. Iată pe cele principale:

Eliminarea unei constante de sub semnul integral

Descompunerea integralei sume în suma integralelor

Dacă schimbați a și b, semnul se va schimba

Puteți împărți integrala în intervale după cum urmează

Acestea sunt cele mai simple proprietăți, pe baza cărora vor fi formulate mai târziu teoreme și metode de calcul mai complexe.

Exemple de calculare a integralelor

Rezolvarea integralei nedefinite

Rezolvarea unei integrale definite

Concepte de bază pentru înțelegerea subiectului

Pentru a înțelege esența integrării și a nu închide pagina de neînțelegeri, vă vom explica o serie de concepte de bază. Ce este o funcție, derivată, limită și antiderivată.

Funcţie- o regulă conform căreia toate elementele dintr-o mulțime sunt legate de toate elementele din alta.

Derivat este o funcție care descrie rata de schimbare a unei alte funcții în fiecare punct specific. În termeni stricti, aceasta este limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului. Se calculează manual, dar este mai ușor de utilizat tabelul derivatelor, care conține majoritatea funcțiilor standard.

Creştere- modificarea cantitativă a funcției cu o oarecare modificare a argumentului.

Limită- valoarea la care tinde valoarea functiei, cand argumentul tinde catre o anumita valoare.

Un exemplu de limită: să presupunem că pentru X egal cu 1, Y va fi egal cu 2. Dar dacă X nu este egal cu 1, dar tinde spre 1, adică nu îl atinge niciodată? În acest caz, y nu va ajunge niciodată la 2, ci va tinde doar către această valoare. În limbajul matematic, aceasta se scrie astfel: limY (X), cu X –> 1 = 2. Se citește: limita funcției Y (X), cu x tinde spre 1, este 2.

După cum sa menționat deja, o derivată este o funcție care descrie o altă funcție. Funcția originală poate fi derivată dintr-o altă funcție. Această altă funcție este numită primitiv.

Concluzie

Nu este greu să găsești integrale. Dacă nu înțelegi cum să o faci, . Din a doua oară devine mai clar. Tine minte! Soluția integralelor se reduce la simple transformări ale integrandului și căutarea lui în .

Dacă explicația textului nu funcționează pentru dvs., urmăriți videoclipul despre semnificația integrală și derivată:

Integrale - ce este, cum să o rezolvi, exemple de soluții și o explicație pentru manechine actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru