Figura arată antiderivată a funcției

Arătând relația semnului derivatei cu natura monotonității funcției.

Vă rugăm să fiți extrem de atenți în cele ce urmează. Uite, programul CE ți se dă! Funcția sau derivata ei

Dat un grafic al derivatei, atunci ne interesează doar semnele și zerourile funcției. Nu ne interesează, în principiu, nicio „denivelare” și nici un „gold”!

Sarcina 1.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Determinați numărul de puncte întregi în care derivata funcției este negativă.

Soluţie:

În figură, zonele cu funcție descrescătoare sunt evidențiate în culoare:

4 valori întregi se încadrează în aceste zone de funcție descrescătoare.

Sarcina 2.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Deoarece tangenta la graficul funcției este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă (sau, care este aceeași, ) având pantă, egal cu zero, atunci tangenta are o pantă .

Aceasta înseamnă, la rândul său, că tangenta este paralelă cu axa, deoarece panta este tangenta unghiului de înclinare a tangentei la axă.

Prin urmare, găsim puncte extreme pe grafic (puncte maxime și minime), - în ele funcțiile tangente la grafic vor fi paralele cu axa.

Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 3.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Deoarece tangenta la graficul funcției este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă, care are o pantă, atunci tangenta are o pantă.

Aceasta înseamnă, la rândul său, că la punctele de contact.

Prin urmare, ne uităm la câte puncte de pe grafic au o ordonată egală cu .

După cum puteți vedea, există patru astfel de puncte.

Sarcina 4.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați numărul de puncte în care derivata funcției este 0.

Soluţie:

Derivata este zero la punctele extreme. Avem 4 dintre ele:

Sarcina 5.

Figura prezintă un grafic al funcției și unsprezece puncte pe axa x:. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?

Soluţie:

Pe intervale de funcție descrescătoare, derivata ei ia valori negative. Și funcția scade la puncte. Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 6.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați suma punctelor extreme ale funcției.

Soluţie:

puncte extremum sunt punctele maxime (-3, -1, 1) și punctele minime (-2, 0, 3).

Suma punctelor extreme: -3-1+1-2+0+3=-2.

Sarcina 7.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați intervalele funcției crescătoare. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Soluţie:

Figura evidențiază intervalele la care derivata funcției este nenegativă.

Nu există puncte întregi pe intervalul mic de creștere, pe intervalul de creștere există patru valori întregi: , , și .

Suma lor:

Sarcina 8.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați intervalele funcției crescătoare. În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.

Soluţie:

În figură sunt evidențiate toate intervalele la care derivata este pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția în sine crește pe aceste intervale.

Lungimea celui mai mare dintre ele este de 6.

Sarcina 9.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . În ce punct al segmentului ia cea mai mare valoare.

Soluţie:

Ne uităm la modul în care se comportă graficul pe segment, și anume, ne interesează numai semn derivat .

Semnul derivatei pe este minus, deoarece graficul acestui segment este sub axă.

Răspuns:

Sarcina #: 323383. Nr. prototip:
Figura prezintă un grafic al unei funcții \(y=f(x)\). Funcția \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5 )\) este una dintre antiderivatele funcției \(f(x)\). Găsiți aria figurii umbrite.

Răspuns:

Sarcina #: 323385. Nr. prototip:
Figura prezintă un grafic al unei funcții \(y=f(x)\). Funcția \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) este una dintre antiderivate ale funcției \(f(x)\). Găsiți aria figurii umbrite.

Răspuns:

Sarcina #: 323387. Nr. prototip:
Figura prezintă un grafic al unei funcții \(y=f(x)\). Funcția \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) este una dintre antiderivate ale funcției \(f(x)\). Găsiți aria figurii umbrite.

Răspuns:

Sarcina #: 323389. Nr. prototip:
Figura prezintă un grafic al unei funcții \(y=f(x)\). Funcția \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2 )\) este una dintre antiderivatele funcției \(f(x)\). Găsiți aria figurii umbrite.

Răspuns:

Sarcina #: 323391. Nr. prototip:
Figura prezintă un grafic al unei funcții \(y=f(x)\). Funcția \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) este una dintre antiderivate ale funcției \(f(x)\). Găsiți aria figurii umbrite.

Răspuns:

Sarcina #: 323393. Nr. prototip:
Figura prezintă un grafic al unei funcții \(y=f(x)\). Funcția \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2 )\) este una dintre antiderivatele funcției \(f(x)\). Găsiți aria figurii umbrite.

Răspuns:

Sarcina #: 323395. Nr. prototip:
Figura prezintă un grafic al unei funcții \(y=f(x)\). Funcția \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) este una dintre antiderivatele funcției \(f(x)\). Găsiți aria figurii umbrite.

Răspuns:

Sarcina #: 323397. Nr. prototip:
Figura prezintă un grafic al unei funcții \(y=f(x)\). Funcția \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) este una dintre antiderivate ale funcției \(f(x)\). Găsiți aria figurii umbrite.

Răspuns:

Sarcina #: 323399. Nr. prototip:
Figura prezintă un grafic al unei funcții \(y=f(x)\). Funcția \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3 )\) este una dintre antiderivatele funcției \(f(x)\). Găsiți aria figurii umbrite.

Răspuns:

Salt la pagina: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 4 3 3 4 3 4 3 4 3 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 8 8 8 8 8 8 8 8 7 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 12 12 12 12 12 12 12 12 12 27 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 168 166 167 168 168 168 160 161 162 76 1 77 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 226 2 27 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 266 264 265 266 266 256 257 258 259 260 261 262 74 275 276 2 77 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 312 312 3123 312 3123 23 324 325 326 3 27 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 364 364 363 63 36 36 3 6 3 6 3 6 72 373 374 375 376 3 77 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412

Bună prieteni! În acest articol, vom lua în considerare sarcinile pentru primitiv. Aceste sarcini sunt incluse în examenul de matematică. În ciuda faptului că secțiunile în sine - diferențierea și integrarea sunt destul de încăpătoare în cursul algebrei și necesită o abordare responsabilă a înțelegerii, sarcinile în sine, care sunt incluse în banca deschisă de sarcini la matematică și vor fi la examen, sunt extrem de simple și se rezolvă în unul sau doi pași.

Este important să înțelegem esența antiderivatei și, în special, semnificația geometrică a integralei. Luați în considerare pe scurt fundamentele teoretice.

Sensul geometric al integralei

Pe scurt despre integrală, putem spune așa: integrala este aria.

Definiție: Fie pe planul de coordonate graficul funcției pozitive f dată pe interval. subplot (sau trapez curbiliniu) este o figură delimitată de graficul funcției f, liniile drepte x \u003d a și x \u003d b și axa x.

Definiție: Să fie dată o funcție pozitivă f definită pe un interval finit. Integrala unei funcții f pe un segment este aria subgrafului său.

După cum sa menționat deja, F (x) = f (x).Ce putem concluziona?

El este simplu. Trebuie să determinăm câte puncte sunt pe acest grafic la care F′(x) = 0. Știm că în acele puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa x. Să arătăm aceste puncte pe intervalul [–2;4]:

Acestea sunt punctele extreme ale funcției date F(x). Sunt zece.

Raspuns: 10

323078. Figura prezintă un grafic al unei funcții y = f (x) (două raze cu un punct de plecare comun). Folosind figura, calculați F(8) – F(2), unde F(x) este una dintre antiderivatele lui f(x).

Să rescriem teorema Newton-Leibniz:Fie f o funcție dată, F antiderivată arbitrară. Apoi

Și aceasta, așa cum am menționat deja, este zona subgrafului funcției.

Astfel, sarcina se reduce la găsirea zonei trapezului (interval de la 2 la 8):

Nu este dificil să-l calculezi pe celule. Obținem 7. Semnul este pozitiv, deoarece figura este situată deasupra axei x (sau în semiplanul pozitiv al axei y).

Chiar și în acest caz, s-ar putea spune acest lucru: diferența dintre valorile antiderivatelor la puncte este aria figurii.

Raspuns: 7

323079. Figura prezintă un grafic al unei funcții y = f (x). Funcția F (x) \u003d x 3 +30x 2 +302x–1,875 este una dintre antiderivatele funcției y \u003d f (x). Găsiți aria figurii umbrite.

După cum am menționat deja despre sens geometric integrală, aceasta este aria figurii delimitată de graficul funcției f (x), liniile drepte x \u003d a și x \u003d b și axa ox.

Teorema (Newton–Leibniz):

Astfel, problema se reduce la calcul integrala definita a acestei funcții pe intervalul de la -11 la -9, sau cu alte cuvinte, trebuie să găsim diferența dintre valorile antiderivatelor calculate la punctele indicate:

Raspuns: 6

323080. Figura prezintă un grafic al unei funcții y = f (x).

Funcția F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 este una dintre antiderivatele funcției f (x). Găsiți aria figurii umbrite.

Teorema (Newton–Leibniz):

Sarcina se reduce la calcularea integralei definite a acestei funcții pe intervalul de la –10 la –8:

Raspuns: 4

O alta solutie la aceasta problema, de pe site.

Derivatele și regulile de diferențiere sunt încă în vigoare. Este necesar să le cunoaștem, nu numai pentru rezolvarea unor astfel de sarcini.

De asemenea, puteți consulta informațiile de ajutor de pe site și.

Urmărește un scurt videoclip, acesta este un extras din filmul „The Blind Side”. Putem spune că acesta este un film despre studii, despre milă, despre importanța unor presupuse întâlniri „întâmplătoare” în viața noastră... Dar aceste cuvinte nu vor fi suficiente, recomand să vizionați filmul în sine, îl recomand cu căldură.

Vă doresc succes!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: O antiderivată a unei funcții

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) (care este o linie întreruptă formată din trei segmente de linie dreaptă). Folosind figura, calculați F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele lui f(x).

Soluţie

Conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), este egală cu aria trapezului curbiliniu mărginit prin graficul funcției y=f(x), drepte y=0 , x=9 și x=5. Conform graficului, determinăm că trapezul curbiliniu specificat este un trapez cu bazele egale cu 4 și 3 și o înălțime de 3.

Suprafața sa este egală cu \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Răspuns

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: O antiderivată a unei funcții

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=F(x) - una dintre antiderivatele unei funcții f(x) definite pe intervalul (-5; 5). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x)=0 pe intervalul [-3; 4].

Soluţie

Conform definiției antiderivatei, egalitatea este valabilă: F "(x) \u003d f (x). Prin urmare, ecuația f (x) \u003d 0 poate fi scrisă ca F "(x) \u003d 0. Deoarece figura prezintă graficul funcției y=F(x), trebuie să găsim acele puncte de interval [-3; 4], în care derivata funcției F(x) este egală cu zero. Din figură se poate observa că acestea vor fi abscisele punctelor extreme (maxim sau minim) ale graficului F(x). Sunt exact 7 dintre ele pe intervalul indicat (patru puncte minime și trei puncte maxime).

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: O antiderivată a unei funcții

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) (care este o linie întreruptă formată din trei segmente de linie dreaptă). Folosind figura, calculați F(5)-F(0), unde F(x) este una dintre antiderivatele lui f(x).

Soluţie

Conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(5)-F(0), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), este egală cu aria trapezului curbiliniu mărginit prin graficul funcției y=f(x), drepte y=0 , x=5 și x=0. Conform graficului, determinăm că trapezul curbiliniu specificat este un trapez cu bazele egale cu 5 și 3 și o înălțime de 3.

Suprafața sa este egală cu \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: O antiderivată a unei funcții

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=F(x) — una dintre antiderivatele unei funcții f(x), definită pe intervalul (-5; 4). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f (x) = 0 pe segmentul (-3; 3).

Soluţie

Conform definiției antiderivatei, egalitatea este valabilă: F "(x) \u003d f (x). Prin urmare, ecuația f (x) \u003d 0 poate fi scrisă ca F "(x) \u003d 0. Deoarece figura prezintă graficul funcției y=F(x), trebuie să găsim acele puncte de interval [-3; 3], în care derivata funcției F(x) este egală cu zero.

Din figură se poate observa că acestea vor fi abscisele punctelor extreme (maxim sau minim) ale graficului F(x). Sunt exact 5 dintre ele pe intervalul specificat (două puncte minime și trei puncte maxime).

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: O antiderivată a unei funcții

Condiție

Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x). Funcția F(x)=-x^3+4.5x^2-7 este una dintre antiderivatele funcției f(x).

Găsiți aria figurii umbrite.

Soluţie

Figura umbrită este un trapez curbiliniu mărginit de sus de graficul funcției y=f(x), dreptele y=0, x=1 și x=3. Conform formulei Newton-Leibniz, aria sa S este egală cu diferența F(3)-F(1), unde F(x) este antiderivată a funcției f(x) specificată în condiție. De aceea S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: O antiderivată a unei funcții

Condiție

Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x). Funcția F(x)=x^3+6x^2+13x-5 este una dintre antiderivatele funcției f(x). Găsiți aria figurii umbrite.