Metode de calcul a integralelor nedefinite. Integral antiderivat și nedefinit - Hypermarket de cunoștințe

O prezentare generală a metodelor de calcul integrale definite. Sunt luate în considerare principalele metode de integrare, care includ integrarea sumei și diferenței, scoaterea constantei din semnul integral, schimbarea variabilei și integrarea pe părți. De asemenea, sunt luate în considerare metodele și tehnicile speciale de integrare a fracțiilor, rădăcinilor, trigonometrice și funcții exponențiale.

Regula de integrare a sumei (diferenței).

Scoaterea constantei din semnul integral

Fie c o constantă independentă de x. Apoi poate fi scos din semnul integral:

Substituție variabilă

Fie x o funcție a unei variabile t , x = φ(t) , atunci
.
Sau invers, t = φ(x) ,
.

Cu ajutorul unei schimbări de variabilă, puteți nu numai să calculați integrale simple, ci și să simplificați calculul celor mai complexe.

Regula integrării pe părți

Integrarea fracțiilor (funcții raționale)

Să introducem o notație. Fie P k (x), Q m (x), R n (x) să desemneze polinoame de grade k, m, n , respectiv, în raport cu variabila x .

Considerăm o integrală formată dintr-o fracție de polinoame (așa-numita funcție rațională):

Dacă k ≥ n, atunci mai întâi trebuie să selectați partea întreagă a fracției:
.
Integrala polinomului S k-n (x) se calculează din tabelul de integrale.

Integrala rămâne:
, unde m< n .
Pentru a-l calcula, integrandul trebuie descompus în fracții simple.

Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți rădăcinile ecuației:
Q n (x) = 0 .
Folosind rădăcinile obținute, trebuie să reprezentați numitorul ca un produs al factorilor:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Aici s este coeficientul pentru x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , ... .

După aceea, descompuneți fracția în cea mai simplă:

Integrand se obtine o expresie formata din integrale mai simple.
Integrale ale formei

sunt reduse la substituție tabelară t = x - a .

Luați în considerare integrala:

Să transformăm numărătorul:
.
Înlocuind în integrand, obținem o expresie care include două integrale:
,
.
În primul rând, substituția t \u003d x 2 + ex + f se reduce la un tabel.
Al doilea, conform formulei de reducere:

se reduce la integrală

Aducem numitorul său la suma pătratelor:
.
Apoi, prin substituție, integrala

este de asemenea dat în tabel.

Integrarea funcţiilor iraţionale

Să introducem o notație. Fie R(u 1 , u 2 , ... , u n) o funcție rațională a variabilelor u 1 , u 2 , ... , u n . Acesta este
,
unde P, Q sunt polinoame în variabilele u 1 , u 2 , ... , u n .

Iraționalitate liniară fracțională

Considera integrale ale formei:
,
Unde - numere rationale, m 1 , n 1 , ..., m s , n s sunt numere întregi.
Fie n - numitor comun numerele r 1 , ..., r s .
Atunci integrala se reduce la integrala funcțiilor raționale prin substituție:
.

Integrale din binoame diferențiale

Luați în considerare integrala:
,
unde m, n, p sunt numere raționale, a, b - numere reale.
Astfel de integrale se reduc la integrale ale funcțiilor raționale în trei cazuri.

1) Dacă p este un număr întreg. Înlocuirea x = t N , unde N este numitorul comun al fracțiilor m și n .
2) Dacă este un număr întreg. Înlocuirea a x n + b = t M , unde M este numitorul lui p .
3) Dacă este un număr întreg. Înlocuirea a + b x - n = t M , unde M este numitorul lui p .

Dacă niciunul dintre cele trei numere nu este un întreg, atunci prin teorema lui Cebișev integralele de această formă nu pot fi exprimate printr-o combinație finită de funcții elementare.

În unele cazuri, poate fi util să reduceți mai întâi integrala la valori mai convenabile ale lui m și p. Acest lucru se poate face folosind formulele de turnare:
;
.

Integrale care conțin rădăcina pătrată a unui trinom pătrat

Aici luăm în considerare integralele de forma:
,

substituții lui Euler

Astfel de integrale pot fi reduse la integrale ale funcțiilor raționale ale uneia dintre cele trei substituții Euler:
, pentru a > 0 ;
, pentru c > 0 ;
, unde x 1 este rădăcina ecuației a x 2 + b x + c = 0. Dacă această ecuație are rădăcini reale.

Substituții trigonometrice și hiperbolice

Metode directe

În cele mai multe cazuri, substituțiile Euler au ca rezultat calcule mai lungi decât metodele directe. Folosind metode directe, integrala este redusă la unul dintre următoarele tipuri.

eu scriu

Integrala formei:
,
unde P n (x) este un polinom de grad n.

Astfel de integrale se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați, folosind identitatea:

Diferențiând această ecuație și echivalând laturile stângă și dreaptă, găsim coeficienții A i .

tipul II

Integrala formei:
,
unde P m (x) este un polinom de gradul m.

Înlocuirea t = (x - α) -1 această integrală este redusă la tipul anterior. Dacă m ≥ n, atunci fracția ar trebui să aibă o parte întreagă.

tipul III

Al treilea și cel mai dificil tip:
.

Aici trebuie să faceți o înlocuire:
.
Atunci integrala va lua forma:
.
În plus, constantele α, β trebuie alese astfel încât coeficienții la t să dispară:
B = 0, B1 = 0.
Apoi integrala se descompune în suma de integrale de două tipuri:
;
,
care sunt integrate, respectiv, prin substituții:
z 2 \u003d A 1 t 2 + C 1;
y 2 \u003d A 1 + C 1 t -2.

Caz general

Integrarea funcțiilor transcendentale (trigonometrice și exponențiale).

Menționăm în prealabil că acele metode care sunt aplicabile la funcții trigonometrice, sunt aplicabile și pentru funcțiile hiperbolice. Din acest motiv, nu vom lua în considerare integrarea funcțiilor hiperbolice separat.

Integrarea funcțiilor trigonometrice raționale ale cos x și sin x

Luați în considerare integralele funcțiilor trigonometrice de forma:
,
unde R este o funcție rațională. Aceasta poate include, de asemenea, tangente și cotangente, care ar trebui convertite prin sinusuri și cosinus.

Atunci când integrați astfel de funcții, este util să aveți în vedere trei reguli:
1) dacă R( cosx, sinx)înmulțit cu -1 din modificarea semnului în fața uneia dintre cantități cos x sau sin x, atunci este util să-l notăm pe celălalt dintre ele cu t .
2) dacă R( cosx, sinx) nu se schimbă de la schimbarea semnului în același timp înainte cos xȘi sin x, atunci este util să punem tan x = t sau ctg x = t.
3) substituția în toate cazurile conduce la o integrală a unei fracții raționale. Din păcate, această înlocuire are ca rezultat calcule mai lungi decât cele anterioare, dacă este cazul.

Produsul funcțiilor de putere ale cos x și sin x

Luați în considerare integralele de forma:

Dacă m și n sunt numere raționale, atunci una dintre permutările t = sin x sau t= cos x integrala se reduce la integrala binomului diferential.

Dacă m și n sunt numere întregi, atunci integralele se calculează prin integrare pe părți. Rezultă următoarele formule de reducere:

;
;
;
.

Integrare pe părți

Aplicarea formulei Euler

Dacă integrandul este liniar în raport cu una dintre funcții
cos ax sau sinax, atunci este convenabil să aplicați formula Euler:
e iax = cos ax + isin ax(unde i 2 = - 1 ),
înlocuind această funcție cu eiaxși evidențierea realului (la înlocuire cos ax) sau partea imaginară (la înlocuire sinax) din rezultat.

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, Lan, 2003.

INTEGRAL NEDETERMINAT

Începem să studiem integralele, care sunt utilizate pe scară largă în multe domenii ale tehnologiei. Să începem cu integrala nedefinită.

Antiderivată și integrală nedefinită

Sarcina principală a calculului diferențial este diferențierea acestor funcții, cu alte cuvinte, sarcina de a găsi rata de schimbare a unei anumite funcții. Numeroase întrebări de știință și tehnologie duc la formularea problemei inverse: funcţie dată f (x) restabiliți o astfel de funcție F(x) pentru care f (x) ar fi o derivată: F ¢ (x) = f (x).

Definiție. Funcția F(x) se numește antiderivată pentru f (x) dacă

F ¢ (x) = f (x) sau dF(x) = f (x) dx.

Exemple. 1) f (x) \u003d 3x 2, F (x) \u003d x 3;

2) f(x) = cosx, F(x) = sinx.

Este ușor de observat că această funcție f (x) = 3x 2 nu corespunde unei antiderivate, ci unei mulțimi: x 3 ; x 3 + 1; x 3 - 1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + C.

Într-adevăr, (x 3)¢ \u003d 3x 2; (x 3 + 1)¢ = 3x 2; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2; . . . . (x 3 + C)¢ \u003d 3x 2.

În general, dacă F(x) este antiderivată a unei anumite funcții f (x), atunci funcția antiderivativă va fi și funcția F(x) + c, „СнR, deoarece:

¢ = F¢(x) = f (x).

Mulțimea tuturor antiderivatelor f(x) este epuizată de expresii de forma F(x) + C, sau există antiderivate ale acestei funcții care nu rezultă din F(x) + C pentru orice valoare a lui C? Rezultă că afirmația este adevărată: nu există alte antiderivate ale funcției f (x). Cu alte cuvinte, dacă F 1 (x) și F 2 (x) sunt două antiderivate pentru f (x), atunci F 1 (x) = F 2 (x) + C,

unde C este o constantă.

Într-adevăr, din moment ce F 1 (x) și F 2 (x) sunt antiderivate pentru f (x), atunci

Luați în considerare diferența pentru toate x.

Fie x 0 o valoare fixă ​​a argumentului,

x este o altă valoare arbitrară.

Conform formulei Lagrange

unde este un număr între x 0 și x. Deoarece:

Fiecare funcție f(x) are o antiderivată?

Teorema. Dacă o funcție f(x) este continuă pe un anumit interval, atunci are o antiderivată pe ea (fără dovezi).

Definiție. Dacă F (x) este un fel de antiderivată pentru f (x), atunci expresia F (x) + C, unde C este o constantă arbitrară, se numește integrală nedefinită și se notează: , în timp ce f (x) se numește un integrand, iar expresia f (x) dx - integrand:

Acțiunea de a găsi o integrală nedefinită, în caz contrar, de a găsi toate antiderivatele unei funcții date, se numește integrare această funcție. În mod evident, operațiile de diferențiere și integrare sunt reciproc inverse.

Adunarea și scăderea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor, înmulțirea și împărțirea sunt exemple de operații matematice reciproce.

Funcţie F(X ) numit primitiv pentru functie f(X) pe un interval dat, dacă este pentru toate X din acest interval egalitatea

F"(X ) = f(X ) .

De exemplu, funcția F(x) = x 2 f(X ) = 2X , deoarece

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Proprietatea principală a antiderivatei

Dacă F(x) este antiderivată pentru funcție f(x) pe un interval dat, apoi funcția f(x) are infinit de antiderivate și toate aceste antiderivate pot fi scrise ca F(x) + C, Unde CU este o constantă arbitrară.

Reguli pentru calcularea antiderivatelor

1. Dacă F(x) - original pentru f(x) , A G(x) - original pentru g(x) , Acea F(x) + G(x) - original pentru f(x) + g(x) . Cu alte cuvinte, antiderivata sumei este egala cu suma antiderivatelor .
2. Dacă F(x) - original pentru f(x) , Și k este constantă, atunci k · F(x) - original pentru k · f(x) . Cu alte cuvinte, factorul constant poate fi scos din semnul derivatei .
3. Dacă F(x) - original pentru f(x) , Și k,b- permanentă, și k ≠ 0 , Acea 1 / k F( k x + b ) - original pentru f(k x + b) .

Integrală nedefinită

Integrală nedefinită din functie f(x) numită expresie F(x) + C, adică mulțimea tuturor antiderivatelor funcției date f(x) . Integrala nedefinită se notează după cum urmează:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- sunat integrand ;

f(x) dx- sunat integrand ;

X - sunat variabila de integrare ;

F(x) este unul dintre antiderivatele funcției f(x) ;

CU este o constantă arbitrară.

De exemplu, ∫ 2 x dx =X 2 + CU , ∫ cosx dx = păcat X + CU și așa mai departe. ◄

Cuvântul „integral” provine din cuvântul latin întreg , care înseamnă „restaurat”. Avand in vedere integrala nedefinita a 2 X, restabilim cumva funcția X 2 , a cărui derivată este 2 X. Restaurarea unei funcții din derivata ei sau, ceea ce este același lucru, găsirea unei integrale nedefinite peste un integrand dat, se numește integrare această funcție. Integrarea este operația inversă de diferențiere.Pentru a verifica dacă integrarea este efectuată corect este suficient să diferențiem rezultatul și să obținem integrand.

Proprietățile de bază ale integralei nedefinite

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Integrala sumei (diferența) funcțiilor este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Dacă k,b- permanentă, și k ≠ 0 , Acea

∫ f( k x + b) dx = 1 / k F( k x + b ) + C .

Tabel de integrale antiderivate și nedefinite

Integrala definita

Lasă între ele [A; b] dat o funcţie continuă y = f(x) , Apoi integrală definită de la a la b funcții f(x) se numește incrementul primitivului F(x) această funcție, adică

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Numerele AȘi b sunt numite respectiv inferior Și top limite de integrare.

Reguli de bază pentru calcularea integralei definite

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) unde k - constant;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), unde f(x) este o funcție uniformă;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), unde f(x) este o funcție ciudată.

cometariu . În toate cazurile, se presupune că integranții sunt integrabili pe intervale numerice ale căror limite sunt limitele integrării.

Sensul geometric și fizic al integralei definite

sens geometric integrala definita	sens fizic integrala definita
Pătrat S trapez curbiliniu(o cifră mărginită de un grafic continuu pozitiv pe interval [A; b] funcții f(x) , axa Bou si direct x=a , x=b ) se calculează prin formula $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	cale s care a biruit punct material, deplasându-se în linie dreaptă cu o viteză care variază conform legii v(t) , pentru un interval de timp a ; b], apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și linii drepte x = a , x = b , se calculează prin formula $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	De exemplu. Calculați aria figurii delimitate de linii y=x 2 Și y= 2-X . Vom reprezenta schematic graficele acestor funcții și vom evidenția figura a cărei zonă trebuie găsită într-o culoare diferită. Pentru a găsi limitele integrării, rezolvăm ecuația: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volumul corpului revoluției

	Dacă corpul este obţinut ca urmare a rotaţiei în jurul axei Bou trapez curbiliniu mărginit de un grafic de continuu și nenegativ pe interval [A; b] funcții y = f(x) si direct x = aȘi x = b , atunci se numește corpul revoluției . Volumul unui corp de revoluție se calculează prin formula $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Dacă corpul de revoluție este obținut ca rezultat al rotației unei figuri mărginite deasupra și dedesubt de grafice de funcții y = f(x) Și y = g(x) , respectiv, atunci $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	De exemplu. Calculați volumul unui con cu rază r si inaltime h . Să punem conul la sistem dreptunghiular coordonate astfel încât axa acesteia să coincidă cu axa Bou , iar centrul bazei era situat la originea coordonatelor. Rotația generatorului AB definește un con. Din moment ce ecuația AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
iar pentru volumul conului avem $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac(((1-\frac(x)(h)))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

Instituție de învățământ profesional bugetară de stat

„Colegiul Energetic Nevinnomyssk”

Dezvoltare metodică clasa deschisa la disciplina „Matematică”

Tema lecției :

O antiderivată a unei funcții. Integrală nedefinită.

Profesor de matematica:

Skrylnikova Valentina Evghenievna

Nevinnomyssk 2016.

Obiectivele lecției :

educational : Pentru a-și forma idei despre calculul integral, pentru a-i înțelege esența. Pentru a dezvolta abilitățile de a găsi o integrală nedefinită și antiderivate, capacitatea de a utiliza proprietățile și metodele de integrare.

În curs de dezvoltare: Să dezvolte limbajul alfabetizat matematic, atenția, percepția conștientă a materialului educațional.

Educational : A menționa activitate cognitivă, ingeniozitate și gândire, datorită realizărilor marilor matematicieni în domeniul integrării.

Tipul clasei : lecţie

Tipul de lecție : mesaje de cunoștințe noi

Metoda de conduită : lucru verbal, vizual, independent.

Cerințe de calificare:

Elevii trebuie:

În timpul studierii temei "Antiderivată a unei funcții. Integrală nedefinită " elevia invata concepte și afirmații de bază,au idei despre posibilitățile de utilizare a mijloacelor de calcul integral în probleme geometrice, fizice și alte aplicații.

Știi:

definirea funcției antiderivative și a integralei nedefinite;

proprietăți și metode de găsire a integralelor

formule ale celor mai simple integrale.

A fi capabil să:

calculați antiderivate și integrale nedefinite folosind proprietățile și metodele de bază de găsire.

Conexiuni interdisciplinare Cuvinte cheie: fizica, istoria matematicii.

Conexiuni intradisciplinare : „Găsirea derivatei”, „Calculul volumelor corpurilor”, „Calculul unei integrale definite”.

Asigurarea lecției :

- Ajutoare vizuale : portrete ale marilor matematicieni care au o idee pentru calculul integral

-Înmânează : rezumat cu diagrame, carduri de sarcini (la etapa de fixare).

-Echipament : accesorii de desen, riglă.

Structura lecției.

1. Organizarea timpului(1 min.)

Motivația activități de învățare. (3 min.)

Prezentarea noului material. (50-51 min.)

Muncă independentă(10 minute)

Consolidarea materialului studiat. (5 minute.)

Rezumând lecția. (2-3 min.)

Mesaj teme pentru acasă. (1 min.)

Progresul cursului.

Organizarea timpului . (1 min.)

Profesorul salută elevii, îi verifică pe cei prezenți în audiență.

Elevii se pregătesc de muncă. Șeful completează un raport. Ofițerii distribuie fișe.

Motivația pentru activități de învățare .(3 min.)

Subiectul lecției de astăzi este „Anti-derivat al unei funcții. Integrală nedefinită. Cunoștințele pe această temă vor fi folosite de noi în lecțiile următoare atunci când găsim anumite integrale, zone de figuri plate. Se acordă multă atenție calculului integral în secțiuni matematică superioarăîn superioare institutii de invatamant la rezolvarea problemelor aplicate.

Lecția noastră de astăzi este lecția de a studia materiale noi, prin urmare va fi de natură teoretică.

Scopul lecției: pentru a-și forma idei despre calculul integral, pentru a înțelege esența acestuia, pentru a dezvolta abilități în găsirea antiderivatelor și a integralelor nedefinite.

Elevii notează data și tema lecției.

3. Prezentarea de material nou (50-51 min)

Subiect : „Antiderivatul unei funcții. Integrală nedefinită.”

Din istoria calculului integral. Despre originea termenilor și a denumirilor.

Definiția unui antiderivat, principala sa proprietate, reguli pentru găsirea antiderivatelor.

Conceptul de integrală nedefinită, proprietățile sale.

1. Istoria conceptului de integrală este strâns legată de problemele de găsire a pătrarilor. Probleme despre cuadratura uneia sau alteia figuri plate de matematică Grecia anticăși Roma s-au numit probleme la care acum ne referim la probleme pentru calcularea suprafețelor.

Multe realizări semnificative ale matematicienilor greci antici în rezolvarea unor astfel de probleme sunt asociate cu utilizarea metodei de epuizare propusă de Eudoxus din Cnidus. Cu această metodă, Eudoxus a demonstrat:

1. Arii a două cercuri sunt legate ca pătratele diametrelor lor.

2. Volumul unui con este egal cu 1/3 din volumul unui cilindru având aceeași înălțime și bază.

Metoda lui Eudoxus a fost perfecționată de Arhimede și s-au dovedit următoarele lucruri:

1. Derivarea formulei pentru aria unui cerc.

2. Volumul sferei este de 2/3 din volumul cilindrului.

Toate realizările au fost dovedite de mari matematicieni folosind integrale.

Simbolintrodus de Leibniz în 1675. Acest semn este o schimbare față de litera latină S. Cuvântul „integrală ” a fost inventat de Bernoulli în 1690. Provine din latinescul integro, care se traduce prin modul de a aduce înapoi la starea anterioară, de a restaura. Într-adevăr, operația de integrare este inversa diferențierii, adică. pentru a verifica corectitudinea aflarii integralei este necesar sa se diferentieze raspunsul si sa se obtina integrandul. Cu alte cuvinte, calculul integral rezolvă problema: având în vedere derivata sau diferența unei funcții necunoscute, se cere să se determine această funcție. Din aceasta putem trage o concluzie, pe care o scriem sub forma unei definiții.

2. Definiția 1 : Funcție F(X) se numește primitiv pentru functie f(X) pe acest interval, dacă este cazulXdin acest intervalF’(X) = f(X).

Exemplu: Un antiderivat pentru o funcțief( X)= X 3 pe întreaga axa numerelor esteF( X)= X 4 /4 pentru că (X 4 /4)’= X.

Principala proprietate a primitivilor

Dacă F(X) este antiderivată a funcțieif(X), apoi funcția F(X)+ C, Unde Ceste o constantă arbitrară, este și o antiderivată a funcțieif(X).

Interpretare geometrică

grafice ale tuturor antiderivatelor unei funcții date f ( X ) sunt obținute din graficul oricărei antiderivate prin transferuri paralele de-a lungul axeiy.

Trei reguli pentru găsirea antiderivatelor

Regula #1: Dacă F este antiderivată a lui f și G este antiderivată a lui g, atunci F+G este antiderivată a lui f+g.

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g

Regula #2: Dacă F este o antiderivată pentru f și k este o constantă, atunci funcția kF este o antiderivată pentru kf.

(kF)' = kF' = kf

Regula #3: Dacă F este o antiderivată pentru f și k și b sunt constante (
), apoi funcția

- antiderivată pentru f(kx+b).

3. Să revenim la teorema 1 și să obținem o nouă definiție.

Definiția 2 : Expresia F(x) + C, unde C este o constantă arbitrară, se numește integrală nedefinită și se notează cu simbolul

Din definitie avem:

(1)

Integrală nedefinită a unei funcții f(x) este astfel mulțimea tuturor antiderivatelor pentru f(x).

În egalitatea (1), funcția f(x) se numeșteintegrand , iar expresia f(x)dx–integrand , variabila x –variabila de integrare , termenul C -constanta de integrare .

Integrarea este inversul diferențierii. Pentru a verifica dacă integrarea este corectă, este suficient să diferențiem rezultatul și să obținem integrandul.

Integrală nedefinită

Mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții datef( X) se numește eaintegrală nedefinită și notat :

UndeCeste o constantă arbitrară.

Proprietățile integralei nedefinite.

Pe baza definiției unui antiderivat, este ușor de demonstrat următoareleproprietățile integralei nedefinite

Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul

Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie plus o constantă arbitrară

Integrala nedefinită a sumei algebrice a două sau mai multe funcții este egală cu suma algebrică a integralelor lor

Factorul constant poate fi scos din semnul integral, adică dacă a=const, atunci

Tabelul integralelor simple.

Elevii notează numele marilor matematicieni și realizările lor în domeniul calculului integral.

Elevii notează informații despre istoria integralei.

Elevii înregistrează prelegerea folosind fișa și explicațiile profesorului. Atunci când demonstrează proprietățile antiderivatelor și integralelor, aceștia folosesc cunoștințe pe tema diferențierii.

Rezolvarea exemplelor pentru găsirea unei integrale nedefinite.

Muncă independentă

Opțiunea 1

4. Consolidarea materialului studiat.(12 min)

La etapa de fixare a materialului studiat este oferit jocul „Găsește-ți sufletul pereche”. Toți cei prezenți sunt invitați să se împartă în opt subgrupe. Fiecărui subgrup i se dă un card pe care este scris fie „funcție” fie „primitiv” și sarcina corespunzătoare, adică.

Dacă cuvântul „funcție” este scris pe card, atunci trebuie să utilizați tabelul integralelor simple pentru a găsi integrala acestei funcții.

Dacă scrie „antiderivat”, atunci trebuie să găsiți funcția în sine folosind operația de diferențiere.

Găsește-ți sufletul pereche pe tablă. Apoi atașați răspunsul cu un magnet. După un set complet, asigurați-vă că toate meciurile sunt corecte. Cum? Întoarceți răspunsurile cu reversul, unde se formează cuvântul cheie „Integral” - subiectul lecției.

Respectați instrucțiunile privind regulile jocului.

IKTIB ITA SFU

CURS PRIVIND MATEMATICĂ

Capitolul 5 Calcul integral
funcţiile unei variabile

Cursul 21 Antiderivată, integrală nedefinită

Planul cursului

Antiderivată și integrală nedefinită. Proprietățile integralei nedefinite. Integrarea tabelului. Proprietatea invarianței formulelor de integrare. Aducerea sub semnul diferenţialului. Modificarea variabilei în integrala nedefinită. Integrare pe părți. Factorizarea polinoamelor. Descompunerea fracțiilor raționale proprii în fracții simple. Integrarea fracțiilor simple și raționale. Integrarea funcțiilor trigonometrice și a unor expresii iraționale.

Conceptul de antiderivată și integrală nedefinită

Ce este o integrală? Este adevărat că integrarea este opusul diferențierii? Să răspundem la acestea și la alte întrebări.

Definiția 1 . O antiderivată pentru o funcție este o funcție astfel încât .

Deci, antiderivată este o funcție, a cărei derivată este egală cu funcția dată. Rețineți că antiderivată pentru o funcție dată nu este determinată în mod unic. De exemplu, derivata unei funcții este egală cu funcția. Prin urmare, funcția este antiderivată pentru funcția . Dar la urma urmei, derivata unei funcții este și ea egală cu funcția. Prin urmare, funcția este, de asemenea, o antiderivată pentru funcția , precum și funcția , unde este o constantă arbitrară.

Teorema 1 . (Forma generală antiderivate pentru o funcție dată) Fie funcția o antiderivată pentru funcția . Atunci orice antiderivată a funcției este reprezentată ca , unde este o constantă arbitrară. Și invers, pentru orice funcție este antiderivată pentru funcția .

Dovada . A doua parte a teoremei este evidentă, deoarece este evident că . Acum este suficient să demonstrăm că, dacă derivatele a două funcții sunt egale, atunci aceste funcții diferă printr-o constantă. De fapt, este suficient să demonstrăm că dacă derivata unei funcții (diferența funcțiilor menționate) este egală cu 0, atunci aceasta este o derivată a unei constante. Dar acest lucru este adevărat. Luați oricare două puncte. Diferența dintre valorile funcției în aceste puncte, conform formulei de increment finit Lagrange, este egală cu derivata dintr-un punct intermediar, înmulțită cu diferența argumentelor ( ). Dar, la urma urmei, derivata este peste tot egală cu 0, prin urmare, incrementul funcției este întotdeauna egal cu 0, adică funcția este egală cu o constantă. Teorema a fost demonstrată.

Definiția 2 . Mulțimea tuturor antiderivatelor pentru o funcție se numește integrală nedefinită a funcției și se notează cu simbolul .

Deci, într-adevăr, a calcula o integrală nedefinită înseamnă a efectua o acțiune care este inversul calculării unei derivate. În plus, ținând cont de Teorema 1, formula de calcul a integralei nedefinite este valabilă , (1) unde este una dintre antiderivatele pentru funcția numită sub s funcţie integrală.

Știm deja că derivata unei funcții are numeroase aplicații. Vorbirea în aplicații, desigur, este despre valoarea derivatelor la puncte individuale, adică despre numere. Rețineți că integrala nedefinită este o colecție de funcții. Prin urmare, aplicarea directă a integralei nedefinite este foarte limitată. În aplicații, există și alte tipuri de integrale, în care rezultatul este un număr, iar din punct de vedere tehnic calculul se reduce la găsirea funcției antiderivative. Prin urmare, este foarte important să învățați cum să calculați integrala nedefinită.

1. Din ce funcții poți calcula
integrală nedefinită

Știm că este posibil să se calculeze derivata oricărei funcții elementare folosind tabelul de derivate ale funcțiilor elementare de bază și regulile de calcul a derivatelor (derivată a sumei, diferenței, produsului, coeficientului, functie complexa).

De aici puteți scrie un tabel de antiderivate citind tabelul de derivate „de la dreapta la stânga”. De asemenea, este posibil să se formuleze reguli corespunzătoare regulilor de calcul a derivatei. Cu suma, diferența, redarea unei mulțimi numerice, regulile de diferențiere și integrare sunt identice. Dar cu produsul, coeficientul și calculul derivatei unei funcții complexe, situația este mai complicată. La urma urmei, derivata, să zicem, a unui produs nu este egală cu „produsul derivatelor”. Prin urmare, tabelul de antiderivate și regulile de calculare a antiderivatelor nu permit găsirea antiderivatei vreunei funcții elementare. Există așa-numitele integrale „neluate” ale funcțiilor elementare. De exemplu, s-ar părea că o integrală simplă nu poate fi calculată în înțelegerea noastră, deoarece printre funcțiile elementare nu există nicio funcție a cărei derivată să fie egală cu . antiderivat pentru functie continua există întotdeauna, dar în acest caz nu se numără printre cele elementare. Astfel de funcții sunt numite speciale. Multe dintre ele sunt necesare în aplicații și sunt studiate separat.

Deci, spre deosebire de calcularea derivatei unei funcții, nu trebuie să putem calcula integrala nedefinită a oricărei funcții elementare. Vom studia anumite tipuri de funcții elementare din care trebuie să învățăm să calculăm integrale nedefinite.

Tabelul integralelor simple nedefinite

Să reamintim tabelul derivatelor principalelor funcții elementare:

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

În multe feluri, generează un tabel cu cele mai simple integrale nedefinite. Există și alte integrale aici. Toate pot fi verificate cu ușurință prin calcularea derivatei din partea dreaptă.

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)