Cum se aduce la un numitor comun. Reducerea fracțiilor la un nou numitor - o regulă și exemple. Ce am învățat

În această lecție, ne vom uita la reducerea fracțiilor la un numitor comun și vom rezolva probleme pe această temă. Să definim conceptul de numitor comun și un factor suplimentar, amintim reciprocul numere prime. Să definim conceptul de cel mai mic numitor comun (LCD) și să rezolvăm o serie de probleme pentru a-l găsi.

Subiect: Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Lecția: Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Repetiţie. Proprietatea de bază a unei fracții.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, atunci se va obține o fracție egală cu acesta.

De exemplu, numărătorul și numitorul unei fracții pot fi împărțite la 2. Obținem o fracție. Această operație se numește reducerea fracției. De asemenea, puteți efectua transformarea inversă prin înmulțirea numărătorului și numitorului fracției cu 2. În acest caz, spunem că am redus fracția la un nou numitor. Numărul 2 se numește factor suplimentar.

Concluzie. O fracție poate fi redusă la orice numitor care este un multiplu al numitorului fracției date. Pentru a aduce o fracție la un nou numitor, numărătorul și numitorul acesteia sunt înmulțite cu un factor suplimentar.

1. Aduceți fracția la numitorul 35.

Numărul 35 este un multiplu al lui 7, adică 35 e divizibil cu 7 fără rest. Deci această transformare este posibilă. Să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, împărțim 35 la 7. Obținem 5. Înmulțim numărătorul și numitorul fracției inițiale cu 5.

2. Aduceți fracția la numitorul 18.

Să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, împărțim noul numitor la cel original. Obținem 3. Înmulțim numărătorul și numitorul acestei fracții cu 3.

3. Aduceți fracția la numitorul 60.

Împărțind 60 la 15, obținem un multiplicator suplimentar. Este egal cu 4. Să înmulțim numărătorul și numitorul cu 4.

4. Aduceți fracția la numitorul 24

În cazuri simple, reducerea la un nou numitor se realizează în minte. Se obișnuiește doar să se indice un factor suplimentar în spatele parantezei puțin la dreapta și deasupra fracției inițiale.

O fracție poate fi redusă la un numitor de 15 și o fracție poate fi redusă la un numitor de 15. Fracțiile au un numitor comun de 15.

Numitorul comun al fracțiilor poate fi orice multiplu comun al numitorilor acestora. Pentru simplitate, fracțiile sunt reduse la cel mai mic numitor comun. Este egal cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor date.

Exemplu. Reduceți la cel mai mic numitor comun al fracției și .

Mai întâi, găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții. Acest număr este 12. Să găsim un factor suplimentar pentru prima și a doua fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim 12 la 4 și la 6. Trei este un factor suplimentar pentru prima fracție și doi pentru a doua. Aducem fracțiile la numitorul 12.

Am redus fracțiile la un numitor comun, adică am găsit fracții care sunt egale cu ele și au același numitor.

Regulă. Pentru a aduce fracțiile la cel mai mic numitor comun,

Mai întâi, găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții, care va fi cel mai mic numitor comun al acestora;

În al doilea rând, împărțiți cel mai mic numitor comun la numitorii acestor fracții, adică găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție.

În al treilea rând, înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.

a) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Cel mai mic numitor comun este 12. Factorul suplimentar pentru prima fracție este 4, pentru a doua - 3. Aducem fracțiile la numitorul 24.

b) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Cel mai mic numitor comun este 45. Împărțind 45 la 9 la 15, obținem 5 și, respectiv, 3. Aducem fracțiile la numitorul 45.

c) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Numitorul comun este 24. Factorii suplimentari sunt 2, respectiv 3.

Uneori este dificil să găsiți verbal cel mai mic multiplu comun pentru numitorii fracțiilor date. Apoi numitorul comun și factorii suplimentari se găsesc prin factorizarea în factori primi.

Reduceți la un numitor comun al fracției și .

Să descompunem numerele 60 și 168 în factori primi. Să scriem expansiunea numărului 60 și să adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din a doua expansiune. Înmulțiți 60 cu 14 și obțineți un numitor comun de 840. Factorul suplimentar pentru prima fracție este 14. Factorul suplimentar pentru a doua fracție este 5. Să reducem fracțiile la un numitor comun de 840.

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. si altele.Matematica 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - Iluminismul, 1989.

4. Rurukin A.N., Chaikovski I.V. Sarcini pentru cursul de matematică clasa 5-6. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matematică 5-6. Indemnizatie pentru elevii de clasa a VI-a scoala de corespondenta MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. etc.Matematică: Manual interlocutor pentru clasele 5-6 liceu. Biblioteca profesorului de matematică. - Iluminismul, 1989.

Puteți descărca cărțile specificate în clauza 1.2. această lecție.

Teme pentru acasă

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. si altele.Matematica 6. - M .: Mnemozina, 2012. (vezi link 1.2)

Teme: Nr. 297, Nr. 298, Nr. 300.

Alte sarcini: #270, #290

Schema de reducere la un numitor comun

1. Este necesar să se determine care va fi cel mai mic multiplu comun pentru numitorii fracțiilor. Dacă aveți de-a face cu un număr mixt sau întreg, atunci trebuie mai întâi să îl transformați într-o fracție și abia apoi să determinați cel mai mic multiplu comun. Pentru a transforma un număr întreg într-o fracție, trebuie să scrieți numărul în sine la numărător și unul la numitor. De exemplu, numărul 5 ca fracție ar arăta astfel: 5/1. Pentru a transforma un număr mixt într-o fracție, trebuie să înmulțiți întregul număr cu numitorul și să adăugați numărătorul. Exemplu: 8 numere întregi și 3/5 ca fracție = 8x5+3/5 = 43/5.
2. După aceea, este necesar să găsiți un factor suplimentar, care este determinat prin împărțirea NOZ la numitorul fiecărei fracții.
3. Ultimul pas este înmulțirea fracției cu un factor suplimentar.

Este important să ne amintim că reducerea la un numitor comun este necesară nu numai pentru adunare sau scădere. Pentru a compara mai multe fracții cu numitori diferiți, este, de asemenea, necesar să reduceți mai întâi fiecare dintre ele la un numitor comun.

Aducerea fracțiilor la un numitor comun

Pentru a înțelege cum să reduceți o fracție la un numitor comun, este necesar să înțelegeți unele proprietăți ale fracțiilor. Asa de, proprietate importantă, folosit pentru a converti în NOZ, este egalitatea fracțiilor. Cu alte cuvinte, dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu un număr, atunci rezultatul este o fracție egală cu cea anterioară. Să luăm ca exemplu următorul exemplu. Pentru a reduce fracțiile 5/9 și 5/6 la cel mai mic numitor comun, trebuie să faceți următoarele:

1. Mai întâi, găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor. În acest caz, pentru numerele 9 și 6, NOC va fi 18.
2. Determinăm factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții. Este gata în felul următor. Împărțim LCM la numitorul fiecăreia dintre fracții, ca rezultat obținem 18: 9 \u003d 2 și 18: 6 \u003d 3. Aceste numere vor fi factori suplimentari.
3. Aducem două fracții la NOZ. Când înmulțiți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul. Fracția 5/9 poate fi înmulțită cu un factor suplimentar de 2, rezultând o fracție egală cu cea dată - 10/18. Facem același lucru cu a doua fracție: înmulțim 5/6 cu 3, rezultând 15/18.

După cum puteți vedea din exemplul de mai sus, ambele fracții au fost reduse la cel mai mic numitor comun. Pentru a înțelege în sfârșit cum să găsiți un numitor comun, trebuie să mai stăpâniți o proprietate a fracțiilor. Constă în faptul că numărătorul și numitorul unei fracții pot fi reduse cu același număr, care se numește divizor comun. De exemplu, fracția 12/30 poate fi redusă la 2/5 dacă este împărțită la un divizor comun - numărul 6.

Inițial am vrut să includ metodele numitorului comun în paragraful „Adunarea și scăderea fracțiilor”. Dar au existat atât de multe informații, iar importanța ei este atât de mare (la urma urmei, nu numai fracțiile numerice au numitori comuni), încât este mai bine să studiem această problemă separat.

Deci, să presupunem că avem două fracții cu numitori diferiți. Și vrem să ne asigurăm că numitorii devin aceiași. Proprietatea principală a unei fracții vine în ajutor, care, permiteți-mi să vă reamintesc, sună astfel:

O fracție nu se schimbă dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți cu același număr diferit de zero.

Astfel, dacă alegeți corect factorii, numitorii fracțiilor vor fi egali - acest proces se numește reducere la un numitor comun. Iar numerele dorite, „nivelând” numitorii, se numesc factori suplimentari.

De ce trebuie să aduceți fracțiile la un numitor comun? Iată doar câteva motive:

1. Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Nu există altă modalitate de a efectua această operație;
2. Comparația fracțiunilor. Uneori, reducerea la un numitor comun simplifică foarte mult această sarcină;
3. Rezolvarea problemelor privind acțiunile și procentele. Procentele sunt, de fapt, expresii obișnuite care conțin fracții.

Există multe moduri de a găsi numere care fac numitorii egali atunci când sunt înmulțite. Vom lua în considerare doar trei dintre ele - în ordinea complexității crescânde și, într-un sens, a eficienței.

Înmulțirea „încrucișată”

Cel mai simplu și mai fiabil mod, care garantează egalizarea numitorilor. Vom acționa „în față”: înmulțim prima fracție cu numitorul celei de-a doua fracții, iar a doua cu numitorul primei. Ca urmare, numitorii ambelor fracții vor deveni egali cu produsul numitorilor inițiali. Aruncă o privire:

Ca factori suplimentari, luați în considerare numitorii fracțiilor învecinate. Primim:

Da, atât de simplu. Dacă abia începeți să învățați fracții, este mai bine să lucrați cu această metodă - astfel vă veți asigura de multe greșeli și veți avea garantat rezultatul.

Singurul dezavantaj al acestei metode este că trebuie să numărați foarte mult, deoarece numitorii sunt înmulțiți „pe tot parcursul”, și, ca urmare, puteți obține foarte numere mari. Acesta este prețul fiabilității.

Metoda divizorului comun

Această tehnică ajută la reducerea considerabil a calculelor, dar, din păcate, este rar folosită. Metoda este următoarea:

1. Uită-te la numitori înainte de a trece „prin” (adică, „încrucișat”). Poate că unul dintre ele (cel mai mare) este divizibil de celălalt.
2. Numărul rezultat dintr-o astfel de împărțire va fi un factor suplimentar pentru o fracție cu un numitor mai mic.
3. În același timp, o fracție cu un numitor mare nu trebuie înmulțită cu nimic - aceasta este economiile. În același timp, probabilitatea de eroare este redusă drastic.

Sarcină. Găsiți valorile expresiei:

Rețineți că 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Deoarece în ambele cazuri un numitor este divizibil cu celălalt fără rest, folosim metoda factorilor comuni. Avem:

Rețineți că a doua fracție nu a fost înmulțită cu nimic. De fapt, am redus numărul de calcule la jumătate!

Apropo, am luat fracțiile din acest exemplu pentru un motiv. Dacă sunteți interesat, încercați să le numărați folosind metoda încrucișată. După reducere, răspunsurile vor fi aceleași, dar va fi mult mai mult de lucru.

Acesta este punctul forte al metodei. divizori comuni, dar, repet, poate fi folosit doar dacă unul dintre numitori este împărțit la celălalt fără rest. Ceea ce se întâmplă destul de rar.

Metoda multiplă cel mai puțin comună

Când reducem fracțiile la un numitor comun, încercăm în esență să găsim un număr care este divizibil cu fiecare dintre numitori. Apoi aducem numitorii ambelor fracții la acest număr.

Există o mulțime de astfel de numere, iar cel mai mic dintre ele nu va fi neapărat egal cu produsul direct al numitorilor fracțiilor originale, așa cum se presupune în metoda „încrucișată”.

De exemplu, pentru numitorii 8 și 12, numărul 24 este destul de potrivit, deoarece 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Acest număr este mult mai mic decât produsul 8 12 = 96 .

Cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numitori se numește cel mai mic multiplu comun al acestora (MCM).

Notație: Cel mai mic multiplu comun al lui a și b este notat cu LCM(a ; b ) . De exemplu, LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Dacă reușiți să găsiți un astfel de număr, suma totală a calculelor va fi minimă. Uită-te la exemple:

Sarcină. Găsiți valorile expresiei:

Rețineți că 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Factorii 2 și 3 sunt coprimi (nu au divizori comuni cu excepția lui 1), iar factorul 117 este comun. Prin urmare, LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

În mod similar, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Factorii 3 și 4 sunt relativ primi, iar factorul 5 este comun. Prin urmare, LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Acum să aducem fracțiile la numitori comuni:

Observați cât de utilă s-a dovedit a fi factorizarea numitorilor inițiali:

1. După ce am găsit aceiași factori, am ajuns imediat la cel mai mic multiplu comun, ceea ce, în general, este o problemă nebanală;
2. Din expansiunea rezultată, puteți afla ce factori „lipsesc” pentru fiecare dintre fracții. De exemplu, 234 3 \u003d 702, prin urmare, pentru prima fracție, factorul suplimentar este 3.

Pentru a aprecia cât de mult câștigă metoda cel mai puțin comun multiplu, încercați să calculați aceleași exemple folosind metoda „încrucișată”. Desigur, fără calculator. Cred că după aceea comentariile vor fi redundante.

Să nu credeți că fracții atât de complexe nu vor fi în exemple reale. Se întâlnesc tot timpul, iar sarcinile de mai sus nu sunt limita!

Singura problemă este cum să găsiți acest NOC. Uneori, totul se găsește în câteva secunde, literalmente „cu ochi”, dar, în general, aceasta este o problemă complexă de calcul care necesită o analiză separată. Aici nu vom atinge acest lucru.

Fracțiile au diferite sau aceiași numitori. Același numitor sau altfel numit numitor comun la fractie Un exemplu de numitor comun:

\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)

Un exemplu de numitori diferiți pentru fracții:

\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)

Cum să găsiți un numitor comun al unei fracții?

Prima fracție are numitorul 3, a doua este 13. Trebuie să găsiți un număr care este divizibil cu 3 și 13. Acest număr este 39.

Prima fracție trebuie înmulțită cu multiplicator suplimentar 13. Pentru ca fracția să nu se modifice, trebuie să înmulțim atât numărătorul cu 13, cât și numitorul.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13))(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)

Înmulțim a doua fracție cu un factor suplimentar de 3.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(red) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)

Am redus numitorul comun al fracției:

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

Cel mai mic numitor comun.

Luați în considerare un alt exemplu:

Să aducem fracțiile \(\frac(5)(8)\) și \(\frac(7)(12)\) la un numitor comun.

Numitorul comun pentru numerele 8 și 12 pot fi numerele 24, 48, 96, 120, ..., se obișnuiește să alegeți cel mai mic numitor comunîn cazul nostru, acest număr este 24.

Cel mai mic numitor comun este cel mai mic număr care împarte numitorul primei și celei de-a doua fracții.

Cum să găsiți cel mai mic numitor comun?
Prin enumerarea numerelor, prin care se împarte numitorul primei și a doua fracții și se alege pe cea mai mică dintre ele.

Trebuie să înmulțim o fracție cu numitorul de 8 cu 3, iar o fracție cu numitorul de 12 să înmulțim cu 2.

\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(red) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\ \end(align)\)

Dacă nu puteți aduce imediat fracțiile la cel mai mic numitor comun, nu aveți de ce să vă faceți griji, în viitor, atunci când rezolvați exemplul, poate fi necesar să obțineți răspunsul

Un numitor comun poate fi găsit pentru oricare două fracții; acesta poate fi produsul numitorilor acestor fracții.

De exemplu:
Reduceți fracțiile \(\frac(1)(4)\) și \(\frac(9)(16)\) la cel mai mic numitor comun.

Cel mai simplu mod de a găsi numitorul comun este să înmulți numitorii 4⋅16=64. Numărul 64 nu este cel mai mic numitor comun. Sarcina este de a găsi cel mai mic numitor comun. Deci căutăm mai departe. Avem nevoie de un număr care este divizibil atât cu 4, cât și cu 16, acesta este numărul 16. Să reducem fracția la un numitor comun, să înmulțim fracția cu numitorul de 4 cu 4 și fracția cu numitorul de 16 cu unul. Primim:

\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(align)\)

Aducerea fracțiilor la un numitor comun

Fracțiile I au același numitor. Ei spun că au numitor comun 25. Fracțiile și au numitori diferiți, dar pot fi reduse la un numitor comun folosind proprietatea de bază a fracțiilor. Pentru a face acest lucru, găsim un număr care este divizibil cu 8 și 3, de exemplu, 24. Aducem fracțiile la numitorul 24, pentru aceasta înmulțim numărătorul și numitorul fracției cu multiplicator suplimentar 3. Un factor suplimentar este de obicei scris în stânga deasupra numărătorului:

Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu un factor suplimentar de 8:

Aducem fracțiile la un numitor comun. Cel mai adesea, fracțiile conduc la cel mai mic numitor comun, care este cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor date. Deoarece LCM (8, 12) = 24, atunci fracțiile pot fi reduse la numitorul 24. Să găsim factori suplimentari ai fracțiilor: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Atunci

Puteți aduce mai multe fracții la un numitor comun.

Exemplu. Aducem fracțiile la un numitor comun. Deoarece 25 = 5 2 , 10 = 2 5, 6 = 2 3, atunci LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Să găsim factori suplimentari ai fracțiilor și să-i aducem la numitorul 150:

Comparația fracțiunilor

Pe fig. 4.7 prezintă un segment AB de lungime 1. Este împărțit în 7 părți egale. Segmentul AC are lungime, iar segmentul AD are lungime.

Lungimea segmentului AD este mai mare decât lungimea segmentului AC, adică fracția este mai mare decât fracția

Dintre cele două fracții cu numitor comun, cea cu numărătorul mai mare este mai mare, adică.

De exemplu, sau

Pentru a compara oricare două fracții, acestea sunt reduse la un numitor comun și apoi se aplică regula de comparare a fracțiilor cu un numitor comun.

Exemplu. Comparați fracții

Soluţie. LCM (8, 14) = 56. Atunci Din moment ce 21 > 20, atunci

Dacă prima fracție este mai mică decât a doua, iar a doua este mai mică decât a treia, atunci prima este mai mică decât a treia.

Dovada. Să fie trei fracții. Să le aducem la un numitor comun. Lăsați după aceea vor avea forma Întrucât prima fracție este mai mică

al doilea, apoi r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для numere naturale rezultă că r< t, тогда первая дробь меньше третьей.

Fracția se numește corect dacă numărătorul său este mai mic decât numitorul său.

Fracția se numește gresit dacă numărătorul său este mai mare sau egal cu numitorul său.

De exemplu, fracțiile sunt proprii și fracțiile sunt improprii.

O fracție proprie este mai mică decât 1 și o fracție improprie este mai mare sau egală cu 1.