Extragerea rădăcinii unui grad natural dintr-un număr complex. Extragerea rădăcinii unui număr complex
numere în formă trigonometrică.
Formula De Moivre
Fie z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1) și z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2).
Notație trigonometrică număr complex Este convenabil de utilizat pentru a efectua operațiile de înmulțire, împărțire, ridicare la o putere întreagă și extragerea rădăcinii gradului n.
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)).
La înmulțirea a două numere complexeîn formă trigonometrică, modulele lor sunt înmulțite și argumentele lor sunt adăugate. La împărțire modulele lor sunt împărțite și argumentele lor sunt scăzute.
O consecință a regulii de înmulțire a unui număr complex este regula de ridicare a unui număr complex la o putere.
z = r(cos + i sin ).
z n \u003d r n (cos n + isin n).
Acest raport se numește formula lui De Moivre.
Exemplul 8.1 Găsiți produsul și câtul numerelor:
Și 
Soluţie
z1∙z2 
∙
=
;
Exemplul 8.2 Scrieți un număr în formă trigonometrică
∙
-i) 7 .
Soluţie
Denota 
și z 2 = 
– i.
r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; 1 = argz 1 = arctg 
;
z1 = 
;
r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2; 2 = arg z 2 = arctg 
;
z2 = 2 
;
z 1 5 = ( 
) 5 
; z 2 7 = 2 7 
z = ( 
) 5 2 7 
=
2 9 
§ 9 Extragerea rădăcinii unui număr complex
Definiție. rădăcinănputerea a unui număr complex z (indicând 
) este un număr complex w astfel încât w n = z. Dacă z = 0, atunci 
= 0.
Fie z 0, z = r(cos + isin). Notăm w = (cos + sin), apoi scriem ecuația w n = z sub următoarea formă
n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).
Prin urmare n = r,
=
Astfel w k = 
·
.
Există exact n valori distincte printre aceste valori.
Prin urmare, k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Pe planul complex, aceste puncte sunt vârfurile unui n-gon regulat înscris într-un cerc cu o rază 
centrat în punctul O (Figura 12).
Figura 12
Exemplul 9.1 Găsiți toate valorile 
.
Soluţie.
Să reprezentăm acest număr în formă trigonometrică. Găsiți modulul și argumentul acestuia.
w k = 
, unde k = 0, 1, 2, 3.
w 0 = 
.
w 1 = 
.
w 2 = 
.
w 3 = 
.
Pe planul complex, aceste puncte sunt vârfurile unui pătrat înscris într-un cerc cu rază 
centrat la origine (Figura 13).
Figura 13 Figura 14
Exemplul 9.2 Găsiți toate valorile 
.
Soluţie.
z = - 64 = 64(cos + isin);
w k = 
, unde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
w 0 = 
; w 1 = 
;
w 2 = 
w 3 = 
w4 = 
; w 5 = 
.
Pe plan complex, aceste puncte sunt vârfurile unui hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza 2 centrat în punctul O (0; 0) - Figura 14.
§ 10 Forma exponenţială a unui număr complex.
Formula lui Euler
Denota 
= cos + isin și 
= cos - isin . Aceste rapoarte se numesc Formule Euler .
Funcţie 
are proprietățile obișnuite ale unei funcții exponențiale:
Să se scrie numărul complex z în forma trigonometrică z = r(cos + isin).
Folosind formula lui Euler, putem scrie:
z = r 
.
Această intrare este numită forma indicativa număr complex. Folosind-o, obținem regulile pentru înmulțire, împărțire, exponențiere și extragerea rădăcinilor.
Dacă z 1 = r 1 
și z 2 = r 2 
?Acea
z 1 z 2 = r 1 r 2 
;
·
z n = r n 
, unde k = 0, 1, … , n – 1.
Exemplul 10.1 Scrie la forma algebrică număr
z= 
.
Soluţie.
Exemplul 10.2 Rezolvați ecuația z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.
Soluţie.
Pentru orice coeficienți complexi, această ecuație are două rădăcini z 1 și z 1 (posibil care coincid). Aceste rădăcini pot fi găsite folosind aceeași formulă ca în cazul real. Deoarece 
ia două valori care diferă doar prin semn, atunci această formulă are forma:
Deoarece –9 \u003d 9 e i, atunci valorile 
numerele vor fi:
Apoi 
Și 
.
|
Exemplul 10.3 Rezolvați ecuațiile z 3 +1 = 0; z 3 = - 1. |
Soluţie.
Rădăcinile dorite ale ecuației vor fi valorile 
.
Pentru z = –1 avem r = 1, arg(–1) = .
w k = 
, k = 0, 1, 2.
Exerciții
9 Prezentați în formă exponențială numerele:
|
b) |
G) |
+i;
.10 Scrieți în forme exponențiale și algebrice ale numărului:
|
A) |
V) |
|
b) |
d) 7(cos0 + isin0). |
11 Scrieți în forme algebrice și geometrice numerele:
|
A) |
b) |
V) |
G) |
12 Numerele date 
Prezentându-le în formă exponențială, găsiți 
.
13 Folosind forma exponențială a unui număr complex, faceți următoarele:
A) 
b) 
V) 
G) 
|
e) |
|
|
|
|
.Este imposibil să extragi în mod unic rădăcina unui număr complex, deoarece are un număr de valori echivalent cu gradul său.
Numerele complexe sunt ridicate la gradul de formă trigonometrică, pentru care formula lui Moiward este valabilă:
\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)
În mod similar, această formulă este utilizată pentru a calcula rădăcina k a unui număr complex (nu este egal cu zero):
\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ pi n)(k)\right), \forall k>1, \forall n \in N \)
Dacă numărul complex este diferit de zero, atunci rădăcinile de gradul k există întotdeauna și pot fi reprezentate pe planul complex: vor fi vârfurile unui k-gon înscris într-un cerc centrat pe origine și pe rază \(\ r^ (\frac(1) (k)) \)
Exemple de rezolvare a problemelor
Găsiți a treia rădăcină a numărului \(\ z=-1 \).
În primul rând, exprimăm numărul \(\ z=-1 \) în formă trigonometrică. Partea reală a numărului \(\ z=-1 \) este numărul \(\ z=-1 \), partea imaginară este \(\ y=\operatorname(lm) \), \(\ z= 0 \). Pentru a găsi forma trigonometrică a unui număr complex, trebuie să găsiți modulul și argumentul acestuia.
Modulul unui număr complex \(\z\) este un număr:
\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )
Argumentul se calculează cu formula:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(0)(-1)=\operatorname(arctg) 0=\pi \)
Prin urmare, formă trigonometrică numărul complex este: \(\ z=1(\cos \pi+i \sin \pi) \)
Apoi a treia rădăcină arată astfel:
\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0,1, 2\)
\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3))(2) \)
Pentru \(\ n=1 \) obținem:
\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)
Pentru \(\ n=2 \) obținem:
\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omega_(2)=-1, \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
Pentru a extrage a doua rădăcină a numărului \(\ z=1-\sqrt(3) i \)
Să începem cu faptul că exprimăm un număr complex în formă trigonometrică.
Partea reală a numărului complex \(\ z=1-\sqrt(3) i \) este numărul \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) , partea imaginară este \(\ y= \operatorname(Im) z =-\sqrt(3) \) . Pentru a găsi forma trigonometrică a unui număr complex, trebuie să găsiți modulul și argumentul acestuia.
Modulul unui număr complex \(\r\) este un număr:
\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3 )=2 \)
Argument:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatorname(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)
Prin urmare, forma trigonometrică a unui număr complex este:
\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\right) \)
Aplicând formula pentru extragerea rădăcinii gradului 2, obținem:
\(\z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ dreapta)\right)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\right)^(\frac(1)(2))= \)
\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\dreapta)\dreapta), n=0,1 \)
Pentru \(\ \mathrm(n)=0 \) obținem:
\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\right)\right)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=\frac(\sqrt (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
Pentru \(\ \mathrm(n)=1 \) obținem:
\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\right)\right)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
Se încarcă...
