Conjugați un număr complex în formă trigonometrică. Forma trigonometrică a numerelor complexe. Operații pe numere complexe

Forma trigonometrică a unui număr complex

Plan

1.Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

2. Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

3. Acţiuni asupra numerelor complexe în formă trigonometrică.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

a) Numerele complexe sunt reprezentate prin puncte ale planului conform următoarei reguli: A + bi = M ( A ; b ) (Fig. 1).

Poza 1

b) Un număr complex poate fi reprezentat ca un vector care începe din punctDESPRE și se termină într-un punct dat (Fig. 2).

Figura 2

Exemplul 7. Trasează punctele reprezentând numere complexe:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Fig. 3).

Figura 3

Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

Număr complexz = A + bi poate fi setat folosind raza - vector cu coordonate( A ; b ) (Fig. 4).

Figura 4

Definiție . Lungimea vectorului reprezentând numărul complexz , se numește modulul acestui număr și se notează saur .

Pentru orice număr complexz modulul acestuiar = | z | este determinată în mod unic de formulă .

Definiție . Valoarea unghiului dintre direcția pozitivă a axei reale și vector reprezentarea unui număr complex se numește argumentul acestui număr complex și se noteazăA rg z sauφ .

Argumentul numărului complexz = 0 nedefinit. Argumentul numărului complexz≠ 0 este o mărime cu mai multe valori și este determinată până la termen2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Undearg z - valoarea principală a argumentului, inclusă în interval(-π; π] , acesta este-π < arg z ≤ π (uneori valoarea care aparține intervalului este luată ca valoare principală a argumentului .

Această formulă pentrur =1 adesea denumită formula lui De Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Exemplul 11 ​​Calculați(1 + i ) 100 .

Să scriem un număr complex1 + i în formă trigonometrică.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + eu păcătuiesc )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i păcat 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extracție rădăcină pătrată dintr-un număr complex.

La extragerea rădăcinii pătrate a unui număr complexA + bi avem doua cazuri:

Dacăb > despre , Acea ;

3.1. Coordonate polare

Deseori folosit în avion sistem de coordonate polare . Se definește dacă este dat un punct O, numit pol, și un fascicul care emană din stâlp (pentru noi, aceasta este axa Ox) este axa polară. Poziția punctului M este fixată de două numere: raza (sau raza vector) și unghiul φ dintre axa polară și vectorul . Unghiul φ se numește unghi polar; Se măsoară în radiani și se numără în sens invers acelor de ceasornic de la axa polară.

Poziția punctului în sistem polar coordonatele sunt date de o pereche ordonată de numere (r; φ). La stâlp r = 0 iar φ nu este definit. Pentru toate celelalte puncte r > 0 iar φ este definit până la un multiplu de 2π. În acest caz, perechilor de numere (r; φ) și (r 1 ; φ 1) li se atribuie același punct dacă .

Pentru un sistem de coordonate dreptunghiular xOy coordonatele carteziene ale unui punct sunt ușor de exprimat în termeni de coordonatele sale polare în felul următor:

3.2. Interpretarea geometrică a unui număr complex

Luați în considerare planul cartezian sistem dreptunghiular coordonate xOy.

Orice număr complex z=(a, b) i se atribuie un punct al planului cu coordonate ( X y), Unde coordonata x = a, i.e. partea reală a numărului complex, iar coordonata y = bi este partea imaginară.

Un plan ale cărui puncte sunt numere complexe este un plan complex.

În figură, numărul complex z = (a, b) Punct de meci M(x, y).

Exercițiu.Desenați numere complexe pe planul de coordonate:

3.3. Forma trigonometrică a unui număr complex

Un număr complex din plan are coordonatele unui punct M(x; y). în care:

Scrierea unui număr complex - forma trigonometrică a unui număr complex.

Se numește numărul r modul număr complex z si se noteaza. Modulul - nenegativ numar real. Pentru .

Modulul este zero dacă și numai dacă z = 0, adică a=b=0.

Se numește numărul φ argument z și notat. Argumentul z este definit ambiguu, ca și unghiul polar din sistemul de coordonate polar, și anume, până la un multiplu de 2π.

Apoi acceptăm: , unde φ este cea mai mică valoare argument. Este evident că

.

Cu un studiu mai profund al temei se introduce un argument auxiliar φ*, astfel încât

Exemplul 1. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex.

Soluţie. 1) considerăm modulul: ;

2) căutând φ: ;

3) forma trigonometrică:

Exemplul 2 Aflați forma algebrică a unui număr complex .

Aici este suficient să înlocuiți valorile funcții trigonometriceși transformați expresia:

Exemplul 3 Aflați modulul și argumentul unui număr complex;

1) ;

2) ; φ - în 4 sferturi:

3.4. Operații cu numere complexe în formă trigonometrică

· Adunare si scadere este mai convenabil să efectuați cu numere complexe în forma algebrică:

· Multiplicare– cu ajutorul unor transformări trigonometrice simple se poate demonstra că la înmulțire, modulele de numere sunt înmulțite și se adaugă argumentele: ;

Acțiuni asupra numerelor complexe scrise în formă algebrică

Forma algebrică a numărului complex z =(A,b). se numește expresie algebrica drăguț

z = A + bi.

Operatii aritmetice pe numere complexe z 1 = a 1 +b 1 iȘi z 2 = a 2 +b 2 i, scrise sub formă algebrică, se realizează după cum urmează.

1. Suma (diferența) numerelor complexe

z 1 ±z 2 = (A 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

acestea. adunarea (scăderea) se efectuează după regula adunării polinoamelor cu reducerea membrilor similari.

2. Produsul numerelor complexe

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

acestea. înmulţirea se face după regula obişnuită de înmulţire a polinoamelor, ţinând cont de faptul că i 2 = 1.

3. Împărțirea a două numere complexe se efectuează după următoarea regulă:

, (z 2 ≠ 0),

acestea. împărțirea se realizează prin înmulțirea dividendului și a divizorului cu conjugatul divizorului.

Exponentiația numerelor complexe este definită după cum urmează:

Este ușor să arăți asta

Exemple.

1. Aflați suma numerelor complexe z 1 = 2 – iȘi z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Aflați produsul numerelor complexe z 1 = 2 – 3iȘi z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3eu∙ 5i = 7+22i.

3. Găsiți privat z din diviziune z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Rezolvați ecuația:, XȘi y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

În virtutea egalității numerelor complexe, avem:

Unde x=–1 , y= 4.

5. Calculați: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Calculaţi dacă .

.

7. Calculați un număr reciprocă a numărului z=3-i.

Numere complexe în formă trigonometrică

plan complex se numeste plan cu coordonate carteziene ( X y), dacă fiecare punct cu coordonate ( a, b) i se atribuie un număr complex z = a + bi. În acest caz, se numește axa absciselor axa reală, iar axa y este imaginar. Apoi fiecare număr complex a+bi reprezentat geometric pe un plan ca punct A (a, b) sau vector .

Prin urmare, poziția punctului A(și de aici și numărul complex z) poate fi setat de lungimea vectorului | | = rși unghi j format din vectorul | | cu direcția pozitivă a axei reale. Lungimea unui vector se numește modulul numerelor complexeși se notează cu | z|=r, și unghiul j numit argument de număr complexși notat j = argz.

Este clar că | z| ³ 0 și | z | = 0 Û z= 0.

Din fig. 2 arată că.

Argumentul unui număr complex este definit ambiguu și până la 2 pk,kÎ Z.

Din fig. 2 mai arată că dacă z=a+biȘi j=argz, Acea

cos j =, păcat j =, tg j = .

Dacă zОRȘi z > 0 atunci argz = 0 +2pk;

Dacă z ОRȘi z< 0 atunci argz = p + 2pk;

Dacă z= 0,argz nedefinit.

Valoarea principală a argumentului este determinată pe intervalul 0 £argz£2 p,

sau -p£ arg z £ p.

Exemple:

1. Aflați modulul numerelor complexe z 1 = 4 – 3iȘi z 2 = –2–2i.

2. Determinați pe planul complex ariile specificate de condițiile:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+i) | 3 lire sterline; 4) 6 GBP | z – i| £7.

Solutii si raspunsuri:

1) | z| = 5 Û Û este ecuația unui cerc cu raza 5 și centrat la origine.

2) Cerc cu raza 6 centrată la origine.

3) Cerc cu raza 3 centrată într-un punct z0 = 2 + i.

4) Un inel delimitat de cercuri cu razele 6 și 7 centrate într-un punct z 0 = i.

3. Găsiți modulul și argumentul numerelor: 1) ; 2).

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b=-2 Þ ,

.

Notă: Când definiți argumentul principal, utilizați planul complex.

Prin urmare: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

2.3. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie vectorul dat pe plan complex prin numărul .

Notați cu φ unghiul dintre semiaxa pozitivă Ox și vector (unghiul φ este considerat pozitiv dacă este numărat în sens invers acelor de ceasornic, iar negativ în caz contrar).

Se notează lungimea vectorului cu r. Apoi . Notăm și noi

Scrierea unui număr complex diferit de zero z ca

se numește forma trigonometrică a numărului complex z. Numărul r se numește modulul numărului complex z, iar numărul φ se numește argumentul acestui număr complex și se notează cu Arg z.

Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex - (formula lui Euler) - o formă exponențială de scriere a unui număr complex:

Numărul complex z are infinit de argumente: dacă φ0 este orice argument al numărului z, atunci toate celelalte pot fi găsite prin formula

Pentru un număr complex, argumentul și forma trigonometrică nu sunt definite.

Astfel, argumentul unui număr complex diferit de zero este orice soluție a sistemului de ecuații:

(3)

Valoarea φ a argumentului unui număr complex z care satisface inegalitățile se numește valoare principală și se notează cu arg z.

Argumente Arg z și arg z sunt legate prin egalitate

, (4)

Formula (5) este o consecință a sistemului (3), deci toate argumentele numărului complex satisfac egalitatea (5), dar nu toate soluțiile φ ale ecuației (5) sunt argumente ale numărului z.

Valoarea principală a argumentului unui număr complex diferit de zero se găsește prin formulele:

Formulele de înmulțire și împărțire a numerelor complexe în formă trigonometrică sunt următoarele:

. (7)

Când este ridicat în grad natural număr complex, se utilizează formula lui de Moivre:

La extragerea unei rădăcini dintr-un număr complex, se utilizează formula:

, (9)

unde k=0, 1, 2, …, n-1.

Problema 54. Calculați , unde .

Să reprezentăm soluția acestei expresii în forma exponențială a scrierii unui număr complex: .

Daca atunci .

Apoi , . Prin urmare, atunci Și , Unde .

Răspuns: , la .

Problema 55. Scrieți numere complexe în formă trigonometrică:

A) ; b) ; V) ; G) ; e) ; e) ; și) .

Deoarece forma trigonometrică a unui număr complex este , atunci:

a) Într-un număr complex: .

,

De aceea

b) , Unde ,

G) , Unde ,

e) .

și) , A , Acea .

De aceea

Răspuns: ; 4; ; ; ; ; .

Problema 56. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex

.

Lăsa , .

Apoi , , .

Pentru că și , , apoi , și

Prin urmare, deci

Răspuns: , Unde .

Problema 57. Folosind forma trigonometrică a unui număr complex, efectuați următoarele acțiuni: .

Imaginează-ți numere și în formă trigonometrică.

1), unde Apoi

Găsirea valorii argumentului principal:

Înlocuiți valorile și în expresia , obținem

2) atunci unde

Apoi

3) Aflați coeficientul

Presupunând k=0, 1, 2, obținem trei valori diferite ale rădăcinii dorite:

Daca atunci

daca atunci

daca atunci .

Răspuns: :

:

: .

Problema 58. Fie , , , numere complexe diferite și . Demonstrează asta

un număr este valabil număr pozitiv;

b) egalitatea are loc:

a) Să reprezentăm aceste numere complexe în formă trigonometrică:

Deoarece .

Să ne prefacem că. Apoi

.

Ultima expresie este un număr pozitiv, deoarece există numere din intervalul de sub semnele sinusului.

deoarece numărul reale si pozitive. Într-adevăr, dacă a și b sunt numere complexe și sunt reale și mai mari decât zero, atunci .

In afara de asta,

deci se dovedeşte egalitatea cerută.

Problema 59. Notează numărul în formă algebrică .

Reprezentăm numărul în formă trigonometrică, apoi găsim forma sa algebrică. Avem . Pentru obținem sistemul:

De aici rezultă egalitatea: .

Aplicând formula lui De Moivre:

primim

Se găsește forma trigonometrică a numărului dat.

Acum scriem acest număr în formă algebrică:

.

Răspuns: .

Problema 60. Aflați suma , ,

Luați în considerare suma

Aplicând formula De Moivre, găsim

Această sumă este suma a n termeni ai unei progresii geometrice cu numitor și primul membru .

Aplicând formula pentru suma termenilor unei astfel de progresii, avem

Separând partea imaginară în ultima expresie, găsim

Separând partea reală, obținem și următoarea formulă: , , .

Problema 61. Aflați suma:

A) ; b) .

Conform formulei lui Newton pentru ridicarea la putere, avem

Conform formulei lui De Moivre, găsim:

Echivalând părțile reale și imaginare ale expresiilor obținute pentru , avem:

Și .

Aceste formule pot fi scrise într-o formă compactă după cum urmează:

,

, unde este partea întreagă a numărului a.

Problema 62. Aflați toate pentru care .

Deoarece , apoi, aplicând formula

, Pentru a extrage rădăcinile, obținem ,

Prin urmare, , ,

, .

Punctele corespunzătoare numerelor sunt situate la vârfurile unui pătrat înscris într-un cerc de rază 2 centrat în punctul (0;0) (Fig. 30).

Răspuns: , ,

, .

Problema 63. Rezolvați ecuația , .

După condiție; prin urmare, această ecuație nu are rădăcină și, prin urmare, este echivalentă cu ecuația.

Pentru ca numărul z să fie rădăcina acestei ecuații, este necesar ca numărul să fie a n-a rădăcină grade de la 1.

Prin urmare, concluzionăm că ecuația originală are rădăcini determinate din egalități

,

Prin urmare,

,

adică ,

Răspuns: .

Problema 64. Rezolvați ecuația din mulțimea numerelor complexe.

Deoarece numărul nu este rădăcina acestei ecuații, atunci pentru această ecuație este echivalentă cu ecuația

Adică ecuația.

Toate rădăcinile acestei ecuații sunt obținute din formula (vezi problema 62):

; ; ; ; .

Problema 65. Desenați pe planul complex o mulțime de puncte care satisfac inegalitățile: . (a doua modalitate de a rezolva problema 45)

Lăsa .

Numerele complexe cu aceleași module corespund punctelor planului situate pe un cerc centrat la origine, deci inegalitatea satisface toate punctele unui inel deschis delimitate de cercuri cu un centru comun la origine și razele și (Fig. 31). Fie ca un punct al planului complex să corespundă numărului w0. Număr , are un modul de ori mai mic decât modulul w0, un argument care este mai mare decât argumentul w0. Din punct de vedere geometric, punctul corespunzător lui w1 poate fi obținut folosind o homotezie centrată la origine și coeficient, precum și o rotație în sens invers acelor de ceasornic față de origine. Ca urmare a aplicării acestor două transformări la punctele inelului (Fig. 31), acesta din urmă se va transforma într-un inel delimitat de cercuri cu același centru și raze 1 și 2 (Fig. 32).

transformare este implementat folosind translația paralelă pe vector. Transferând inelul centrat într-un punct către vectorul indicat, obținem un inel de aceeași dimensiune centrat într-un punct (Fig. 22).

Metoda propusă, care utilizează ideea transformărilor geometrice ale planului, este probabil mai puțin convenabilă în descriere, dar este foarte elegantă și eficientă.

Problema 66. Aflați dacă .

Să , atunci și . Egalitatea originală va lua forma . Din condiția de egalitate a două numere complexe, obținem , , de unde , . Prin urmare, .

Să scriem numărul z în formă trigonometrică:

, Unde , . Conform formulei lui De Moivre, găsim .

Răspuns: - 64.

Problema 67. Pentru un număr complex, găsiți toate numerele complexe astfel încât , și .

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică:

. Prin urmare, . Pentru un număr pe care îl obținem, poate fi egal cu oricare.

În primul caz , in secunda

.

Răspuns: , .

Problema 68. Aflați suma numerelor astfel încât . Specificați unul dintre aceste numere.

Rețineți că deja din formularea problemei se poate înțelege că suma rădăcinilor ecuației poate fi găsită fără a calcula rădăcinile în sine. Într-adevăr, suma rădăcinilor ecuației este coeficientul lui , luat cu semnul opus (teorema Vieta generalizată), adică.

Elevii, documentația școlară, trag concluzii despre gradul de asimilare a acestui concept. Rezumați studiul trăsăturilor gândirii matematice și procesul de formare a conceptului de număr complex. Descrierea metodelor. Diagnostic: I stadiu. Interviul a fost realizat cu un profesor de matematică care predă algebră și geometrie în clasa a X-a. Conversația a avut loc după ce a trecut ceva timp...

Rezonanța „(!)), care include și o evaluare a propriului comportament. 4. Evaluarea critică a înțelegerii situației (îndoieli). 5. În sfârșit, utilizarea recomandărilor psihologiei juridice (luarea în considerare a aspectelor psihologice ale acțiunile profesionale efectuate de avocat - pregătire psihologică profesională). Să luăm acum în considerare analiza psihologică a faptelor juridice. ...

Matematica substituirii trigonometrice si verificarea eficacitatii metodologiei de predare elaborate. Etapele lucrării: 1. Elaborarea unui curs opțional pe tema: „Aplicarea substituției trigonometrice la rezolvarea problemelor algebrice” cu elevii la clasele cu studiul aprofundat al matematicii. 2. Desfășurarea unui curs opțional dezvoltat. 3. Efectuarea unui control de diagnosticare...

Sarcinile cognitive sunt destinate doar să completeze mijloacele didactice existente și ar trebui să fie într-o combinație adecvată cu toate mijloacele și elementele tradiționale. proces educațional. diferență obiective de invatareîn predare umaniste de la exact, de la probleme de matematică constă doar în faptul că în problemele istorice nu există formule, algoritmi rigidi etc., ceea ce complică rezolvarea acestora. ...

Pentru a determina poziția unui punct pe un plan, puteți utiliza coordonatele polare [g, (p), Unde G este distanța punctului de la origine și (R- unghiul pe care îl face raza - vectorul acestui punct cu direcția pozitivă a axei Oh. Direcția pozitivă a schimbării unghiului (R se ia în considerare sensul invers acelor de ceasornic. Folosind relația dintre coordonatele carteziene și cele polare: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (pag,

obţinem forma trigonometrică a numărului complex

z - r(sin (p + i sin

Unde G

Xi + y2, (p este argumentul unui număr complex, care se găsește din

l X . y y

formule cos(p --, sin^9 ​​= - sau datorită faptului că tg(p --, (p-arctg

Rețineți că atunci când alegeți valorile mier din ultima ecuație, este necesar să se țină cont de semne x și y.

Exemplul 47. Scrieți un număr complex în formă trigonometrică 2 \u003d -1 + l / Z / .

Soluţie. Găsiți modulul și argumentul numărului complex:

= yj 1 + 3 = 2 . Colţ mier afla din relatii cos (pag = -, sin(p = - . Apoi

primim cos(p = -, suup

u/z g~

• - -. Evident, punctul z = -1 + V3-/ este
• 2 La 3

in al doilea trimestru: (R= 120°

Înlocuind

2 k.. cos-h; păcat

în formula (1) a găsit 27G L

Cometariu. Argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci până la un termen care este un multiplu al 2p. Apoi prin cn^r desemna

valoarea argumentului inclusă în (p 0 %2 Apoi

A) ^ r = + 2kk.

Folosind binecunoscuta formulă Euler e, obținem forma exponențială a numărului complex.

Avem r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Operații pe numere complexe

• 1. Suma a două numere complexe r, = X] + y x/ și r 2 - x 2 + y 2 / se determină după formula r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. Operația de scădere a numerelor complexe este definită ca operația inversă adunării. Număr complex g \u003d g x - g 2, Dacă g 2 + g \u003d g x,

este diferența numerelor complexe 2 și g 2 . Atunci r = (x, - x 2) + (y, - la 2) /.

• 3. Produsul a două numere complexe g x= x, +y, -z și 2 2 = x 2+ U2‘g este determinat de formula
• *1*2 =(* +U„0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + La1 La2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

În special, a-y\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Puteți obține formulele de înmulțire pentru numere complexe în forme exponențiale și trigonometrice. Avem:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + isin
• 4. Împărțirea numerelor complexe este definită ca operație inversă

înmulțire, adică număr G-- se numește câtul împărțirii lui r! pe g 2,

Dacă r x -1 2 ? 2 . Apoi

X + Ті _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (R-,)] >2 >2
• 5. Ridicarea la un întreg grad pozitiv numărul complex este cel mai bine produs dacă numărul este scris în forme exponențiale sau trigonometrice.

Într-adevăr, dacă z = ge 1 atunci

=(ge,) = r p e t = G"(co8 psr + it gcr).

Formula g" =r n (cosn(p+este n(p) se numeşte formula lui De Moivre.

6. Extragerea rădăcinii P- A-a putere a unui număr complex este definită ca operația inversă de exponențiere p, p- 1,2,3,... adică. număr complex = y[g numită rădăcină P- gradul al unui număr complex

d dacă G = g x. Din această definiţie rezultă că g - g ", A g x= l/g. (p-psr x, A sr^-sr/n, care rezultă din formula Moivre scrisă pentru numărul = r/*+ ippp(p).

După cum sa menționat mai sus, argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci până la un termen care este un multiplu de 2 și. De aceea = (p + 2 buc, iar argumentul numărului r, în funcție de La, denota (p lași hui

dem se calculează prin formulă (p la= - + . Este clar că există P com-

numere plex, P a cărei putere este egală cu numărul 2. Aceste numere au unul

și același modul, egal cu y[r, iar argumentele acestor numere se obţin prin La = 0, 1, P - 1. Astfel, în formă trigonometrică, rădăcina gradul I calculat prin formula:

(p + 2kp . . cf + 2kp

, La = 0, 1, 77-1,

.(r+2ktg

iar în formă exponenţială – conform formulei l[r - y[ge n

Exemplul 48. Efectuați operații pe numere complexe în formă algebrică:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

Exemplul 49. Ridicați numărul r \u003d Uz - / la a cincea putere.

Soluţie. Obținem forma trigonometrică de scriere a numărului r.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (asa si asa

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) „з+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

De aici O--, A r = 2

Moivre obținem: i-2

/ ^ _ 7r, . ?G

• -NE-- IBIP -

• --b/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

Exemplul 50 Găsiți toate valorile

Soluție, r = 2, a mier afla din ecuatie coy(p = -, zt--.

Acest punct 1 - /d/z este în al patrulea trimestru, adică. f =--. Apoi

• 1 - 2
• ( ( UG L

Valorile rădăcinii se găsesc din expresie

V1 - /l/s = l/2

• --+ 2A:/g ---b 2 kk
• 3 . . 3

С08--1- și 81П-

La La - 0 avem 2 0 = l/2

Puteți găsi valorile rădăcinii numărului 2 prezentând numărul pe afișaj

-* LA/ 3 + 2 clasă

La La= 1 mai avem o valoare rădăcină:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3 . . h

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

cu? - 7G + / 5Sh - I "

l/3__t_

forma corpului. Deoarece r= 2, a mier= , atunci r = 2е 3 , și y[g = y/2e 2