Construcția axiomatică a unui sistem de numere întregi. Axiomatica numerelor reale. Relația dintre ordine și adunare

Metoda axiomatică în matematică.

Concepte de bază și relații ale teoriei axiomatice a seriilor naturale. Definiție numar natural.

Adunarea numerelor naturale.

Înmulțirea numerelor naturale.

Proprietățile mulțimii numerelor naturale

Scăderea și împărțirea numerelor naturale.

Metoda axiomatică în matematică

În construcția axiomatică a oricărei teorii matematice, cel anumite reguli:

1. Unele concepte ale teoriei sunt alese ca majorși acceptat fără definiție.

2. Formulat axiome, care în această teorie sunt acceptate fără dovezi, ele relevă proprietățile conceptelor de bază.

3. Fiecare concept al teoriei, care nu este cuprins în lista celor de bază, este dat definiție, își explică sensul cu ajutorul acestui concept principal și precedent.

4. Fiecare propoziție a teoriei care nu este cuprinsă în lista de axiome trebuie dovedită. Se numesc astfel de propuneri teoremeși demonstrează-le pe baza axiomelor și teoremelor premergătoare celei luate în considerare.

Sistemul de axiome ar trebui să fie:

a) consistent: trebuie să fim siguri că, trăgând tot felul de concluzii dintr-un sistem dat de axiome, nu vom ajunge niciodată la o contradicţie;

b) independent: nicio axiomă nu ar trebui să fie o consecință a altor axiome ale acestui sistem.

V) complet, dacă în cadrul său este întotdeauna posibil să se dovedească fie afirmația dată, fie negația acesteia.

Prezentarea geometriei de către Euclid în „Elementele” sale (sec. III î.Hr.) poate fi considerată prima experiență a construcției axiomatice a unei teorii. O contribuție semnificativă la dezvoltarea metodei axiomatice de construcție a geometriei și algebrei a avut-o N.I. Lobaciovski și E. Galois. La sfârşitul secolului al XIX-lea Matematicianul italian Peano a dezvoltat un sistem de axiome pentru aritmetică.

Concepte de bază și relații ale teoriei axiomatice a numerelor naturale. Definiția unui număr natural.

Ca un concept de bază (nedefinit) într-un anumit set N Este ales atitudine , precum și conceptele teoretice de mulțimi, precum și regulile logicii.

Elementul imediat care urmează elementului A, desemna A".

Relația de „urmărire imediată” satisface următoarele axiome:

Axiomele lui Peano:

Axioma 1. în multitudine N există un element, direct nu următorul pentru orice element al acestui set. Să-l sunăm unitateși simbolizează 1 .

Axioma 2. Pentru fiecare element A din N există un singur element A" imediat după A .

Axioma 3. Pentru fiecare element A din N există cel mult un element urmat imediat de A .

Axioma 4. Orice subset M seturi N coincide cu N , dacă are proprietățile: 1) 1 cuprins în M ; 2) din ce A cuprins în M , rezultă că şi A" cuprins în M.

Definiția 1. O multime de N , pentru ale căror elemente se stabilește relația "Urmeaza direct» care satisface axiomele 1-4 se numeste set de numere naturale, iar elementele sale sunt numere naturale.

ÎN această definiție nu se spune nimic despre natura elementelor multimii N . Deci ea poate fi orice. Alegerea ca set N un anumit set pe care este dată o anumită relație de „urmărire directă” care satisface axiomele 1-4, obținem modelul acestui sistem axiome.

model standard sistem de axiome Peano iese la iveală în acest proces dezvoltare istorica seria socială a numerelor: 1,2,3,4,... Seria naturală începe cu numărul 1 (axioma 1); fiecare număr natural este urmat imediat de un singur număr natural (axioma 2); fiecare număr natural urmează imediat cel mult unui număr natural (axioma 3); plecând de la numărul 1 și trecând în ordinea numerelor naturale imediat ce urmează unul altuia, obținem întreaga mulțime a acestor numere (axioma 4).

Așadar, am început construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale cu alegerea principalului „urmări direct” relațieși axiome care îi descriu proprietățile. Construirea ulterioară a teoriei implică luarea în considerare a proprietăților cunoscute ale numerelor naturale și a operațiilor asupra acestora. Ele ar trebui să fie dezvăluite în definiții și teoreme, de ex. derivate într-un mod pur logic din relația „urmează imediat”, și axiomele 1-4.

Primul concept pe care îl introducem după definirea unui număr natural este atitudine "precede imediat" , care este adesea folosit când se consideră proprietățile seriei naturale.

Definiția 2. Dacă un număr natural b urmează direct numar natural A, acel număr A numit imediat precedent(sau anterior) numărul b .

Relația „înainte” are în apropierea proprietăților.

Teorema 1. Unul nu are un număr natural precedent.

Teorema 2. Fiecare număr natural A, altul decât 1, are un singur număr anterior b, astfel încât b"= A.

Construcția axiomatică a teoriei numerelor naturale nu este considerată nici la inițială, nici în liceu. Cu toate acestea, acele proprietăți ale relației „urmează direct”, care sunt reflectate în axiomele lui Peano, fac obiectul de studiu în curs primar matematică. Deja în clasa întâi, luând în considerare numerele primelor zece, rezultă cum se poate obține fiecare număr. Sunt folosiți termenii „urmează” și „înainte”. Fiecare număr nou acționează ca o continuare a segmentului studiat al seriei naturale de numere. Elevii sunt convinși că fiecare număr este urmat de următorul și, mai mult, doar unul, că seria naturală a numerelor este infinită.

Adunarea numerelor naturale

Conform regulilor de construire a unei teorii axiomatice, definiția adunării numerelor naturale trebuie introdusă folosind doar relația „urmărește direct”, și concepte "numar natural"Și "numar anterior".

Să prefațăm definiția adunării cu următoarele considerații. Dacă pentru orice număr natural A adunăm 1, obținem numărul A", imediat după A, adică A+ 1= a"și prin urmare obținem regula de a adăuga 1 la orice număr natural. Dar cum să adaugi la număr A numar natural b, diferit de 1? Să folosim următorul fapt: dacă se știe că 2 + 3 = 5, atunci suma 2 + 4 = 6, care urmează imediat după numărul 5. Acest lucru se întâmplă deoarece în suma 2 + 4 al doilea termen este numărul imediat. urmând numărul 3. Deci 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". ÎN vedere generala avem , .

Aceste fapte stau la baza definiției adunării numerelor naturale în teoria axiomatică.

Definiția 3. Adunarea numerelor naturale este o operație algebrică care are următoarele proprietăți:

Număr a + b numit suma de numere AȘi b , și numerele în sine AȘi b - termeni.

În construcția axiomatică a oricărei teorii matematice, sigur reguli:

unele concepte ale teoriei sunt alese ca principale și sunt acceptate fără definiție;

fiecărui concept al teoriei, care nu este cuprins în lista celor de bază, i se dă o definiție;

se formulează axiome - propoziții care sunt acceptate în această teorie fără dovezi; ele dezvăluie proprietățile conceptelor de bază;

· trebuie demonstrată fiecare propoziţie a teoriei care nu este cuprinsă în lista de axiome; astfel de propoziții se numesc teoreme și sunt demonstrate pe baza de axiome și tereme.

În construcția axiomatică a unei teorii, toate afirmațiile sunt derivate din axiome cu titlu de demonstrație.

Prin urmare, sistemul de axiome este supus unor speciale cerinte:

Consecvența (un sistem de axiome se numește consistent dacă este imposibil să derivăm logic două propoziții care se exclud reciproc);

independență (un sistem de axiome se numește independent dacă niciuna dintre axiomele acestui sistem nu este o consecință a altor axiome).

O mulțime cu o relație dată în ea se numește model al unui sistem dat de axiome dacă toate axiomele acestui sistem sunt satisfăcute în ea.

Există multe modalități de a construi un sistem de axiome pentru mulțimea numerelor naturale. Pentru conceptul de bază, se poate lua, de exemplu, suma numerelor sau relația de ordine. În orice caz, este necesar să se precizeze un sistem de axiome care să descrie proprietățile conceptelor de bază.

Să dăm un sistem de axiome, adoptând conceptul de bază al operației de adunare.

Set negol N se numeste multimea numerelor naturale daca operatia (A; b) → a + b, numită adunare și având proprietățile:

1. adunarea este comutativă, adică. a + b = b + a.

2. adunarea este asociativă, adică. (a + b) + c = a + (b + c).

4. în orice set A, care este un subset al mulțimii N, Unde A există un număr astfel încât toate Ha, sunt egale a+b, Unde bN.

Axiomele 1 - 4 sunt suficiente pentru a construi întreaga aritmetică a numerelor naturale. Dar cu o astfel de construcție, nu se mai poate baza pe proprietățile mulțimilor finite care nu sunt reflectate în aceste axiome.

Să luăm ca concept de bază relația „urmează direct...” definită pe o mulțime nevidă N. Apoi seria naturală de numere va fi mulțimea N, în care este definită relația „urmează direct” și toate elementele lui N vor fi numite numere naturale, iar următoarele sunt valabile: Axiomele lui Peano:

AXIOMA 1.

în multitudineNexistă un element care nu urmează imediat niciun element din acest set. O vom numi unitate și o vom desemna prin simbolul 1.

AXIOMA 2.

Pentru fiecare element a dinNexistă un singur element a imediat după a.

AXIOMA 3.

Pentru fiecare element a dinNexistă cel mult un element urmat imediat de a.

AXOIM 4.

Orice submulțime M a mulțimiiNcoincide cuN, dacă are proprietăţile: 1) 1 este cuprins în M; 2) din faptul că a este conținut în M, rezultă că a este conținut și în M.

O multime de N, căci elementele cărora se stabilește relația „urmează imediat...”, satisfăcând axiomele 1 - 4, se numește set de numere naturale , iar elementele sale sunt numere naturale.

Dacă ca un set N alegeți o mulțime specifică pe care este dată o relație specifică „urmează direct...”, satisfăcând axiomele 1 - 4, apoi obținem diferite interpretări (modele) dat sisteme de axiome.

Modelul standard al sistemului de axiome lui Peano este o serie de numere care au apărut în procesul dezvoltării istorice a societății: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Orice set numărabil poate fi un model al axiomelor Peano.

De exemplu, I, II, III, III, ...

oh oh oh oh...

unu doi trei patru, …

Luați în considerare o succesiune de mulțimi în care mulțimea (oo) este elementul inițial, iar fiecare mulțime ulterioară se obține din cea anterioară prin alocarea unui cerc în plus (Fig. 15).

Apoi N este o mulțime formată din mulțimi de forma descrisă și este un model al sistemului de axiome ale lui Peano.

Într-adevăr, în multe N există un element (oo) care nu urmează imediat niciun element al mulţimii date, adică. este valabilă axioma 1. Pentru fiecare mulţime A din multimea luata in considerare, exista o multime unica din care se obtine A prin adăugarea unui cerc, adică Este valabilă axioma 2. Pentru fiecare set A există cel mult o mulţime din care se formează mulţimea A prin adăugarea unui cerc, adică Axioma 3 este valabilă. Dacă MN si se stie ca setul A cuprins în M, rezultă că mulţimea în care există un cerc mai mult decât în mulţime A, este cuprins și în M, Acea M =N, ceea ce înseamnă că Axioma 4 este satisfăcută.

În definiția unui număr natural, niciuna dintre axiome nu poate fi omisă.

Să stabilim care dintre seturile prezentate în fig. 16 sunt un model al axiomelor lui Peano.

1 a b d a

G) Fig.16

Soluţie. Figura 16 a) prezintă o mulțime în care sunt îndeplinite axiomele 2 și 3. Într-adevăr, pentru fiecare element există un element unic care îl urmează imediat și există un element unic pe care îl urmează. Dar axioma 1 nu se ține în această mulțime (axioma 4 nu are sens, pentru că nu există niciun element în mulțime care să nu urmeze imediat pe altul). Prin urmare, acest set nu este un model al axiomelor lui Peano.

Figura 16 b) prezintă mulțimea în care sunt îndeplinite axiomele 1, 3 și 4, dar în spatele elementului A urmează imediat două elemente, și nu unul, așa cum se cere în axioma 2. Prin urmare, această mulțime nu este un model al axiomelor lui Peano.

Pe fig. 16 c) arată o mulțime în care axiomele 1, 2, 4 sunt îndeplinite, dar elementul Cu urmează imediat două elemente. Prin urmare, acest set nu este un model al axiomelor lui Peano.

Pe fig. 16 d) arată o mulțime care satisface axiomele 2, 3, iar dacă luăm ca element inițial numărul 5, atunci această mulțime va satisface axiomele 1 și 4. Adică în această mulțime pentru fiecare element există imediat unul singur. urmând-o și există un singur element pe care îl urmează. Există, de asemenea, un element care nu urmează imediat niciun element din acest set, acesta este 5 , acestea. Axioma 1 este valabilă. În mod corespunzător, este valabilă și Axioma 4. Prin urmare, această mulțime este un model al axiomelor lui Peano.

Folosind axiomele Peano, putem demonstra o serie de afirmații, de exemplu, demonstrăm că pentru toate numerele naturale inegalitatea x x.

Dovada. Notează prin A set de numere naturale pentru care a a. Număr 1 aparține A, deoarece nu urmează niciun număr de la N, și, prin urmare, nu urmează de la sine: 1 1. Lăsa aa, Apoi a a. Denota A prin b. În virtutea axiomei 3, Ab, acestea. bbȘi bA.

Numerele reale, notate cu (așa-numitul R tocat), se introduce operația de adunare (“+”), adică fiecare pereche de elemente ( X,y) din mulţimea numerelor reale, elementul X + y din aceeași mulțime, numită sumă XȘi y .

Axiomele înmulțirii

Se introduce operația de înmulțire ("·"), adică fiecare pereche de elemente ( X,y) din mulțimea numerelor reale se atribuie un element (sau, pe scurt, Xy) din același set, numit produs XȘi y .

Relația dintre adunare și înmulțire

Axiomele ordinii

Relația de ordine „” (mai mică sau egală cu) este dată pe, adică pentru orice pereche X y a cel puţin uneia dintre condiţii sau .

Relația dintre ordine și adunare

Relația dintre ordine și înmulțire

Axioma continuitatii

Un comentariu

Această axiomă înseamnă că dacă XȘi Y- două seturi nevide de numere reale astfel încât orice element din X nu depaseste nici un element din Y, atunci se poate introduce un număr real între aceste seturi. Pentru numerele raționale, această axiomă nu este valabilă; exemplu clasic: considerați numere raționale pozitive și faceți referire la mulțime X acele numere al căror pătrat este mai mic de 2, iar restul - la Y. Apoi între XȘi Y nu poate fi lipit Numar rational(nu este un număr rațional).

Această axiomă cheie oferă densitate și astfel face posibilă construcția calculului. Pentru a ilustra importanța sa, subliniem două consecințe fundamentale ale acesteia.

Consecințele axiomelor

Rezultă direct din axiomele că unii proprietăți importante numere reale, de exemplu,

unicitatea lui zero,
unicitatea elementelor opuse și inverse.

Literatură

Zorich V. A. Analiza matematică. Volumul I. M .: Fazis, 1997, capitolul 2.

Vezi si

Legături

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Axiomatica numerelor reale” în alte dicționare:

Un număr real sau real este o abstractizare matematică care a apărut din necesitatea de a măsura mărimile geometrice și fizice ale lumii din jurul nostru, precum și de a efectua operații precum luarea unei rădăcini, calcularea logaritmilor, rezolvarea ... ... Wikipedia

Numerele reale sau reale sunt o abstractizare matematică care servește, în special, la reprezentarea și compararea valorilor mărimilor fizice. Un astfel de număr poate fi reprezentat intuitiv ca descriind poziția unui punct pe o dreaptă. ... ... Wikipedia

Wikționarul are un articol despre „axiom” Axiom (dr. greacă ... Wikipedia

O axiomă care apare în diverse sisteme axiomatice. Axiomatica numerelor reale Axiomatica lui Hilbert a geometriei euclidiene Axiomatica lui Kolmogorov a teoriei probabilităților ... Wikipedia

Sistemul dat de axiome ale teoriei numerelor întregi nu este independent, așa cum s-a observat în Exercițiul 3.1.4.

Teorema 1. Teoria axiomatică a numerelor întregi este consecventă.

Dovada. Vom demonstra consistența teoriei axiomatice a numerelor întregi, pornind de la presupunerea că teoria axiomatică a numerelor naturale este consecventă. Pentru a face acest lucru, construim un model pe care sunt satisfăcute toate axiomele teoriei noastre.

Să construim mai întâi un inel. Luați în considerare setul

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) numere naturale. Prin o astfel de pereche înțelegem diferența numerelor naturale a-b. Dar până când nu a fost dovedită existența unui sistem de numere întregi în care există o astfel de diferență, nu avem dreptul să folosim o astfel de denumire. În același timp, această înțelegere ne oferă posibilitatea de a stabili proprietățile perechilor după cum avem nevoie.

Știm că diferențele diferite ale numerelor naturale pot fi egale cu același număr întreg. În consecință, vă prezentăm pe platou N´ N relație de egalitate:

(a, b) = (c, d) Û a + d = b + c.

Este ușor de observat că această relație este reflexivă, simetrică și tranzitivă. Prin urmare, este o relație de echivalență și are dreptul să fie numită egalitate. Factor set de seturi N´ N Z. Elementele sale vor fi numite numere întregi. Sunt clase de echivalență pe un set de perechi. Clasa care conține perechea
(a, b), notat cu [ a, b].

Z a, b] ce zici de diferență a-b

[a, b] + [c, d] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ c, d] = [ac+bd, ad+bc].

Trebuie avut în vedere faptul că, strict vorbind, utilizarea simbolurilor de operare nu este în întregime corectă aici. Același simbol + denotă adăugarea numerelor naturale și a perechilor. Dar, deoarece este întotdeauna clar în ce set se efectuează o anumită operație, nu vom introduce aici notații separate pentru aceste operații.

Este necesar să se verifice corectitudinea definițiilor acestor operații, și anume, că rezultatele nu depind de alegerea elementelor AȘi b definirea perechii [ a, b]. Într-adevăr, să

[a, b] = [A 1 ,b 1 ], [c, d] = [Cu 1 , d 1 ].

Înseamnă că a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + Cu 1 . Adăugând aceste egalități, obținem

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + Cu 1 Þ[ a + b, c + d] = [A 1 +Cu 1 ,b 1 + d 1 ]

Þ [ a, b] + [c, d] = [A 1 ,b 1 ] + [c 1 , d 1 ].

Corectitudinea definiției înmulțirii este definită în mod similar. Dar aici trebuie să verificăm mai întâi că [ a, b] × [ c, d] = [A 1 ,b 1]×[ c, d].

Acum ar trebui să verificăm că algebra rezultată este un inel, adică axiomele (Z1) - (Z6).

Să verificăm, de exemplu, comutativitatea adunării, adică axioma (Z2). Avem

[c, d] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [c, d].

Comutativitatea adunării pentru numere întregi este derivată din comutativitatea adunării pentru numerele naturale, care se presupune că este deja cunoscută.

Axiomele (Z1), (Z5), (Z6) sunt verificate în mod similar.

Rolul lui zero este jucat de un cuplu. Să o notăm prin 0 . Într-adevăr,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

In cele din urma, -[ a, b] = [b, a]. Într-adevăr,

[a, b] + [b, a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Acum să verificăm axiomele de extensie. Trebuie avut în vedere că în inelul construit nu există numere naturale ca atare, deoarece elementele inelului sunt clase de perechi de numere naturale. Prin urmare, este necesar să se găsească o subalgebră izomorfă cu semi-inelul numerelor naturale. Aici din nou noțiunea de pereche [ a, b] ce zici de diferență a-b. Numar natural n poate fi reprezentat ca diferența a două numere naturale, de exemplu, în felul următor: n = (n+ 1) - 1. De aici propunerea de a stabili o corespondență f: N ® Z conform regulii

f(n) = [n + 1, 1].

Această corespondență este injectivă:

f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) n=m.

Prin urmare, avem o corespondență unu-la-unu între Nși un subset Z, pe care o notăm prin N*. Să verificăm dacă salvează operațiunile:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m + 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(m) = [n+ 1, 1]× [ m + 1, 1] = [nm+n + m + 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Astfel, s-a stabilit că N* forme în Z sub operațiile de adunare și înmulțire, o subalgebră izomorfă la N

Indicați o pereche [ n+ 1, 1] din N* n, prin n a, b] avem

[a, b] = [A + 1, 1] + = [A + 1, 1] – [b + 1, 1] = A – b .

Astfel, în sfârșit, conceptul de pereche [ a, b] ca diferență de numere naturale. În același timp, s-a stabilit că fiecare element din mulțimea construită Z reprezentată ca diferența a două numere naturale. Acest lucru va ajuta la testarea axiomei minimalității.

Lăsa M - subset Z, conținând N*și împreună cu orice elemente AȘi b diferența lor a - b. Să demonstrăm că în acest caz M =Z. Într-adevăr, orice element al Z reprezentată ca diferența a două numere naturale, cărora prin condiție îi aparțin Mîmpreună cu diferența lui.

Teorema 2. Teoria axiomatică a numerelor întregi este categorică.

Dovada. Să demonstrăm că oricare două modele pe care sunt valabile toate axiomele teoriei date sunt izomorfe.

Lasă a Z 1 , +, ×, N 1 c și b Z 2 , +, ×, N 2 ñ sunt două modele ale teoriei noastre. Strict vorbind, operațiile din ele trebuie notate prin simboluri diferite. Ne vom abate de la această cerință pentru a nu aglomera calculele: este clar de fiecare dată ce operațiune este în discuție. Elementele aparținând modelelor luate în considerare vor fi prevăzute cu indicii corespunzători 1 sau 2.

Vom defini o mapare izomorfă de la primul model la al doilea. Deoarece N 1 și N 2 sunt semi-inele de numere naturale, atunci există o mapare izomorfă j a primului semi-inel pe al doilea. Să definim maparea f: Z 1® Z 2. Fiecare număr întreg X 1 О Z 1 este reprezentat ca diferența a două numere naturale:
X 1 = a 1 – b 1 . Noi credem

f (X 1) = j( A 1) – j( b 1).

Să demonstrăm asta f este un izomorfism. Maparea este bine definită: dacă X 1 = la 1, unde y 1 = c 1 – d 1, atunci

A 1 – b 1 = c 1 – d 1 A 1 +d 1 = b 1 + c 1 Þ j( A 1 +d 1) = j( b 1 + c 1)

Þ j( A 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1) Þ j( A 1)–j( b 1)=j( c 1) – j( d 1) f(X 1) =f (y 1).

De aici rezultă că f- cartografiere neechivocă Z 1 in Z 2. Dar pentru oricine X 2 din Z 2 pot găsi elemente naturale A 2 și b 2 astfel încât X 2 = a 2 – b 2. Deoarece j este un izomorfism, aceste elemente au imagini inverse A 1 și b 1 . Mijloace, X 2 = j( A 1) – j( b 1) =
= f (A 1 – b 1), și fiecare element din Z 2 este un prototip. De aici corespondența f reciproc fără ambiguitate. Să verificăm dacă salvează operațiunile.

Dacă X 1 = a 1 – b 1 , y 1 = c 1 – d 1, atunci

X 1 + y 1 = (A 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(X 1 + y 1) = j( A 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( A 1)+ j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( A 1) – j( b 1)+ j( c 1)– j( d 1) =f(X 1) + f(y 1).

În mod similar, verificăm dacă înmulțirea este păstrată. Astfel, s-a stabilit că f este un izomorfism, iar teorema este demonstrată.

Exerciții

1. Demonstrați că orice inel care conține sistemul numerelor naturale include și inelul numerelor întregi.

2. Demonstrați că fiecare inel comutativ ordonat minim cu unitate este izomorf cu inelul întregilor.

3. Demonstrați că fiecare inel ordonat cu unitate și fără divizori zero conține doar un sub-inel izomorf cu inelul întregilor.

4. Demonstrați că inelul matricei de ordinul doi peste câmpul numerelor reale conține infinite subinele izomorfe cu inelul întregilor.

Câmpul numerelor raționale

Definirea și construcția unui sistem de numere raționale se realizează în același mod în care se face pentru un sistem de numere întregi.

Definiție. Un sistem de numere raționale este un câmp minim care este o extensie a inelului de numere întregi.

În conformitate cu această definiție, obținem următoarea construcție axiomatică a sistemului de numere raționale.

Termeni primari:

Q este mulțimea numerelor raționale;

0, 1 sunt constante;

+, × sunt operații binare pe Q;

Z- submult Q, mulţimea numerelor întregi;

Å, Ä sunt operații binare pe Z.

Axiome:

eu. Axiome de câmp.

(Î1) A+ (b+c) = (a+b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Î3)(" A) A + 0 = A.

(Î4)(" A)($(–A)) A + (–A) = 0.

(Î5) A× ( b× c) = (A× b) × c.

(Î6) A× b = b× A.

(Î7) A× 1 = A.

(Î8)(" A¹ 0)($ A –1) A × A –1 = 1.

(Î9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. Axiome de extensie.

(Î10) a Z, M, L, 0, 1ñ fie inelul numerelor naturale.

(Întreb. 11) Z Í Q.

(Întreb. 12)(" a,bÎ Z) a+b=aÅ b.

(Î13)(" a,bÎ Z) A× b = aÄ b.

III. Axioma minimalității.

(Q14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® A× b–1 О M)Þ M = Q.

Număr A× b-1 se numește coeficient AȘi b, notat A/b sau .

Teorema 1. Fiecare număr rațional este reprezentat ca un coeficient de două numere întregi.

Dovada. Lăsa M este mulțimea numerelor raționale reprezentabile ca un coeficient de două numere întregi. Dacă n este un număr întreg, atunci n = n/1 aparține M, prin urmare, ZÍ M. Dacă a, bÎ M, Acea a = k/l, b = m/n, Unde k, l, m, nÎ Z. Prin urmare, A/b=
= (kn) / (lm)Î M. Prin axiomă (Q14) M= Q, iar teorema este demonstrată.

Teorema 2. Câmpul numerelor raționale poate fi ordonat liniar și strict și într-un mod unic. Ordinea în domeniul numerelor raționale este arhimediană și continuă ordinea în inelul numerelor întregi.

Dovada. Notează prin Q+ un set de numere reprezentabile sub formă de fracție, unde kl> 0. Este ușor de observat că această condiție nu depinde de tipul de fracție care reprezintă numărul.

Să verificăm asta Q + – parte pozitivă a domeniului Q. Deoarece pentru un număr întreg kl sunt posibile trei cazuri: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, atunci pentru a = obținem una dintre cele trei posibilități: a = 0, aн Q+ , –aО Q + . În plus, dacă a = , b = aparțin Q+ , atunci kl > 0, mn> 0. Atunci a + b = , și ( kn+ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Prin urmare, a + bн Q + . Se poate verifica în mod similar că abн Q + . Prin urmare, Q + este partea pozitivă a domeniului Q.

Lăsa Q++ este o parte pozitivă a acestui domeniu. Avem

l =.l 2 н Q ++ .

De aici NÍ Q++ . Prin teorema 2.3.4 îi aparțin și reciprocele numerelor naturale Q++ . Apoi Q + Í Q++ . Prin teorema 2.3.6 Q + =Q++ . Prin urmare, și ordinele definite de părțile pozitive coincid. Q+ și Q ++ .

Deoarece Z + = NÍ Q+ , apoi ordinea în Q continuă comanda Z.

Fie acum a => 0, b => 0. Deoarece ordinea în inelul întregilor este arhimediană, pentru pozitiv knȘi ml există un firesc Cu astfel încât Cu× kn>ml. De aici Cu a = Cu>= b. Prin urmare, ordinea în domeniul numerelor raționale este arhimediană.

Exerciții

1. Demonstrați că câmpul numerelor raționale este dens, adică pentru orice numere raționale A < b există un rațional r astfel încât A < r < b.

2. Demonstrați că ecuația X 2 = 2 nu are soluții în Q.

3. Demonstrează că setul Q numărabile.

Teorema 3. Teoria axiomatică a numerelor raționale este consecventă.

Dovada. Consistența teoriei axiomatice a numerelor raționale este demonstrată în același mod ca și pentru numerele întregi. Pentru a face acest lucru, se construiește un model pe care sunt îndeplinite toate axiomele teoriei.

Ca bază, luăm setul

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Elementele acestui set sunt perechi ( a, b) numere întregi. Prin o astfel de pereche înțelegem coeficientul de numere întregi A/b. În conformitate cu aceasta, setăm proprietățile perechilor.

Vă prezentăm pe platou Z´ Z* relație de egalitate:

(a, b) = (c, d) Û ad = bc.

Observăm că este o relație de echivalență și are dreptul de a fi numită egalitate. Factor set de seturi Z´ Z*în ceea ce privește această relație de egalitate, notăm prin Q. Elementele sale vor fi numite numere raționale. O clasă care conține o pereche ( a, b), notat cu [ a, b].

Introducem in setul construit Q operatii de adunare si inmultire. Ne va ajuta să ne facem o idee despre elementul [ a, b] ce zici de privat A/b. În conformitate cu aceasta, presupunem prin definiție:

[a, b] + [c, d] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ c, d] = [ac, bd].

Verificăm corectitudinea definițiilor acestor operații, și anume, că rezultatele nu depind de alegerea elementelor AȘi b definirea perechii [ a, b]. Acest lucru se face în același mod ca în demonstrația teoremei 3.2.1.

Rolul lui zero este jucat de un cuplu. Să o notăm prin 0 . Într-adevăr,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Opus [ a, b] este perechea –[ a, b] = [–a, b]. Într-adevăr,

[a, b] + [–a, b]= [ab-ab, bb] = = 0 .

Unitatea este o pereche = 1 . Inversa la pereche [ a, b] - pereche [ b, a].

Acum să verificăm axiomele de extensie. Să stabilim o corespondență
f: Z ® Q conform regulii

f(n) = [n, 1].

Verificăm că aceasta este o corespondență unu-la-unu între Zși un subset Q, pe care o notăm prin Z*. Verificăm în continuare că păstrează operațiile, deci stabilește un izomorfism între Zși subring Z* V Q. Prin urmare, axiomele de extensie au fost verificate.

Indicați o pereche [ n, 1] din Z* corespunzător numărului natural n, prin n . Atunci pentru o pereche arbitrară [ a, b] avem

[a, b] = [A, 1] × = [ A, 1] / [b, 1] = A /b .

Aceasta fundamentează conceptul de pereche [ a, b] ca despre câtul de numere întregi. În același timp, s-a stabilit că fiecare element din mulțimea construită Q reprezentat ca un coeficient de două numere întregi. Acest lucru va ajuta la testarea axiomei minimalității. Verificarea se efectuează ca în Teorema 3.2.1.

Astfel, pentru sistemul construit Q toate axiomele teoriei numerelor întregi sunt satisfăcute, adică am construit un model al acestei teorii. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 4. Teoria axiomatică a numerelor raționale este categorică.

Demonstrația este similară cu demonstrația teoremei 3.2.2.

Teorema 5. Câmpul ordonat arhimedian este o extensie a câmpului numerelor raționale.

Dovada este ca un exercițiu.

Teorema 6. Lăsa F este un câmp ordonat arhimedian, A > b, Unde a, bÎ F. Există un număr rațional н F astfel încât A > > b.

Dovada. Lăsa A > b³ 0. Apoi a-b> 0 și ( a-b) –1 > 0. Există un firesc T astfel încât m×1 > ( a-b) –1 , de unde m –1 < a-b £ A. În plus, există un firesc k astfel încât k× m-1³ A. Lăsa k – cel mai mic număr pentru care această inegalitate este valabilă. Deoarece k> 1, atunci putem pune k = n + 1, n Î N. în care
(n+ 1)× m-1³ A, n× m –1 < A. Dacă n× m-1 £ b, Acea A = b + (a-b) > b+m-1³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1)× m-1 . Contradicţie. Mijloace, A >n× m –1 > b.

Exerciții

4. Demonstrați că orice câmp care conține inelul numerelor întregi include și câmpul numerelor raționale.

5. Demonstrați că fiecare câmp ordonat minim este izomorf cu câmpul numerelor raționale.

Numere reale