Ce înseamnă să numeri rațional. Numere raționale, definiție, exemple. Definiție și exemple de numere raționale

În acest articol, vom începe să studiem numere rationale. Aici oferim definiții numerelor raționale, dăm explicațiile necesare și dăm exemple de numere raționale. După aceea, ne vom concentra asupra modului de a determina dacă un anumit număr este rațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere raționale

În această subsecțiune dăm mai multe definiții ale numerelor raționale. În ciuda diferențelor de formulare, toate aceste definiții au același sens: numerele raționale unesc numere întregi și numere fracționale, la fel cum numerele întregi unesc numerele naturale, numerele lor opuse și numărul zero. Cu alte cuvinte, numerele raționale generalizează numerele întregi și numere fracționare.

Sa incepem cu definițiile numerelor raționale care este perceput ca fiind cel mai natural.

Din definiția sunetată rezultă că un număr rațional este:

Orice numar natural n. Într-adevăr, orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită, de exemplu, 3=3/1.
Orice număr întreg, în special numărul zero. Într-adevăr, orice număr întreg poate fi scris fie ca o fracție comună pozitivă, fie ca o fracție comună negativă, fie ca zero. De exemplu, 26=26/1 , .
Orice fracție obișnuită (pozitivă sau negativă). Acest lucru este afirmat direct de definiția dată a numerelor raționale.
Orice număr mixt. Într-adevăr, este întotdeauna posibil să se reprezinte un număr mixt ca o fracție comună improprie. De exemplu, și .
Orice fracție zecimală finită sau periodică infinită. Acest lucru se întâmplă deoarece fracțiile zecimale specificate sunt convertite în fracții obișnuite. De exemplu, și 0,(3)=1/3 .

De asemenea, este clar că orice zecimală infinită care nu se repetă NU este un număr rațional, deoarece nu poate fi reprezentat ca o fracție comună.

Acum putem aduce cu ușurință exemple de numere raționale. Numerele 4, 903, 100.321 sunt numere raționale, deoarece sunt numere naturale. Numerele întregi 58 , −72 , 0 , −833 333 333 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Fracțiile ordinare 4/9, 99/3 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Numerele raționale sunt și numere.

Exemplele de mai sus arată că există atât numere raționale pozitive, cât și negative, iar numărul rațional zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată într-o formă mai scurtă.

Definiție.

Numere rationale numere de apel care pot fi scrise ca o fracție z/n, unde z este un număr întreg și n este un număr natural.

Să demonstrăm că această definiție a numerelor raționale este echivalentă cu definiția anterioară. Știm că putem considera bara unei fracții ca un semn al împărțirii, apoi din proprietățile împărțirii numerelor întregi și regulile de împărțire a numerelor întregi urmează următoarele egalități și . Astfel, care este dovada.

Să dăm exemple de numere raționale, bazate pe această definiție. Numerele −5 , 0 , 3 și sunt numere raționale, deoarece pot fi scrise ca fracții cu un numărător întreg și un numitor natural de forma și respectiv.

Definiția numerelor raționale poate fi dată și în formularea următoare.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu prima definiție, deoarece orice fracție obișnuită corespunde unei fracții zecimale finite sau periodice și invers și orice număr întreg poate fi asociat zecimal cu zerouri după virgulă zecimală.

De exemplu, numerele 5 , 0 , −13 , sunt exemple de numere raționale deoarece pot fi scrise ca următoarele zecimale 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 și −7,(18) .

Încheiem teoria acestei secțiuni cu următoarele afirmații:

numerele întregi și fracționale (pozitive și negative) alcătuiesc mulțimea numerelor raționale;
fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un numărător întreg și un numitor natural, iar fiecare astfel de fracție este un număr rațional;
fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un număr rațional.

Este acest număr rațional?

În paragraful anterior, am aflat că orice număr natural, orice număr întreg, orice fracție obișnuită, orice număr mixt, orice fracție zecimală finală și, de asemenea, orice fracție zecimală periodică este un număr rațional. Această cunoaștere ne permite să „recunoaștem” numerele raționale din mulțimea numerelor scrise.

Dar dacă numărul este dat ca unele , sau ca , etc., cum să răspunzi la întrebare, este numărul dat rațional? În multe cazuri, este foarte greu să răspunzi. Să indicăm câteva direcții pentru cursul gândirii.

Dacă un număr este specificat ca o expresie numerică care conține numai numere raționale și semne aritmetice (+, −, · și:), atunci valoarea acestei expresii este un număr rațional. Aceasta rezultă din modul în care sunt definite operațiile cu numerele raționale. De exemplu, după efectuarea tuturor operațiilor din expresie, obținem un număr rațional 18 .

Uneori, după simplificarea expresiilor și a unei forme mai complexe, devine posibil să se determine dacă un anumit număr este rațional.

Să mergem mai departe. Numărul 2 este un număr rațional, deoarece orice număr natural este rațional. Dar numărul? Este rațional? Se dovedește că nu - nu este un număr rațional, este un număr irațional (dovada acestui fapt prin contradicție este dată în manualul de algebră pentru clasa a 8-a, indicat mai jos în lista de referințe). De asemenea, s-a dovedit că Rădăcină pătrată dintr-un număr natural este un număr rațional numai în acele cazuri când rădăcina este un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, și sunt numere raționale, deoarece 81=9 2 și 1024=32 2 , iar numerele și nu sunt raționale, deoarece numerele 7 și 199 nu sunt pătrate perfecte ale numerelor naturale.

Numărul este rațional sau nu? În acest caz, este ușor de observat că, prin urmare, acest număr este rațional. Este numărul rațional? Se dovedește că rădăcina k a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea k a unui număr întreg. Prin urmare, nu este un număr rațional, deoarece nu există un număr întreg a cărui putere a cincea este 121.

Metoda contradicției ne permite să demonstrăm că logaritmii unor numere, din anumite motive, nu sunt numere raționale. De exemplu, să demonstrăm că - nu este un număr rațional.

Să presupunem contrariul, adică să presupunem că este un număr rațional și poate fi scris ca o fracție obișnuită m/n. Apoi și dați următoarele egalități: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece pe partea stângă există Nu număr par 5 n , iar în partea dreaptă se află un număr par 2 m . Prin urmare, presupunerea noastră este greșită, deci nu este un număr rațional.

În concluzie, merită subliniat că atunci când clarificăm raționalitatea sau iraționalitatea numerelor, ar trebui să se abțină de la concluzii bruște.

De exemplu, nu ar trebui să afirmăm imediat că produsul numerelor iraționale π și e este un număr irațional, acesta este „ca și cum ar fi evident”, dar nu este dovedit. Aceasta ridică întrebarea: „De ce ar fi produsul un număr rațional”? Și de ce nu, pentru că poți da un exemplu de numere iraționale, al căror produs dă un număr rațional:.

De asemenea, nu se știe dacă numerele și multe alte numere sunt raționale sau nu. De exemplu, există numere irationale, al cărui grad irațional este un număr rațional. Pentru a ilustra, să dăm un grad de forma , baza acestui grad și exponentul nu sunt numere raționale, ci , iar 3 este un număr rațional.

Bibliografie.

Matematică. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Nivelul actual de dezvoltare a instrumentelor de automatizare de calcul a creat pentru mulți iluzia că dezvoltarea abilităților de calcul nu este deloc necesară. Acest lucru a afectat pregătirea elevilor. În absența unui calculator, chiar și sarcinile simple de calcul devin o problemă pentru mulți.

În același timp, sarcinile de examen și materialele pentru examen conțin multe sarcini, a căror rezolvare necesită capacitatea subiecților de testare de a organiza rațional calculele.

În acest articol, vom lua în considerare câteva metode de optimizare a calculelor și aplicarea acestora pentru sarcini competitive.

Cel mai adesea, metodele de optimizare a calculelor sunt asociate cu aplicarea legilor de bază pentru efectuarea operațiilor aritmetice.

De exemplu:

125 24 = 125 8 3 = 1000 3 = 3000; sau

98 16(100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 etc.

O alta directie - utilizarea formulelor de înmulțire abreviate.

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; sau

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Următorul exemplu este interesant pentru calcule.

Calculati:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Acestea sunt modalități aproape standard de optimizare a calculelor. Uneori sunt oferite altele mai exotice. Ca exemplu, luați în considerare metoda de înmulțire a numerelor din două cifre, a căror suma de unități este 10.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 sau

43 87 = 40 90 + 3 (87 - 40) = 3600 + 141 = 3741.

Schema de înmulțire poate fi înțeleasă din figură.

De unde o astfel de schemă de înmulțire?

Numerele noastre după condiție au forma: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Să creăm o lucrare:

M K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m - 10mn + 10nk + 10n - n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) (10 (k + 1)) + n (K – 10m) și metoda este justificată.

Există multe modalități ingenioase de a transforma calcule destul de complexe în sarcini mentale. Dar nu poți crede că toată lumea trebuie să-și amintească acestea și o grămadă de alte moduri ingenioase de a simplifica calculele. Este important doar să înveți câteva dintre cele de bază. Analiza celorlalți are sens doar pentru dezvoltarea abilităților în aplicarea metodelor de bază. Aplicația lor creativă face posibilă rezolvarea rapidă și corectă a problemelor de calcul.

Uneori, atunci când rezolvați exemple pentru calcul, este convenabil să treceți de la transformarea unei expresii cu numere la transformarea polinoamelor. Luați în considerare următorul exemplu.

Calculați în cel mai rațional mod:

3 1 / 117 4 1 / 110 -1 110 / 117 5 118 / 119 - 5 / 119

Soluţie.

Fie a = 1/117 și b = 1/119. Atunci 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 - a, 5 118 / 119 = 6 - b.

Astfel, expresia dată poate fi scrisă ca (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b.

După efectuarea transformărilor simple ale polinomului, obținem 10a sau 10 / 117 .

Aici am obținut că valoarea expresiei noastre nu depinde de b. Și asta înseamnă că am calculat nu numai valoarea acestei expresii, ci și oricare alta obținută din (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b prin înlocuirea valorilor de a și b. Dacă, de exemplu, a = 5/329, atunci în răspuns obținem 50 / 329 , oricare ar fi b.

Să luăm în considerare un alt exemplu, care este aproape imposibil de rezolvat cu un calculator, iar răspunsul este destul de simplu dacă cunoașteți modalitatea de rezolvare a exemplelor de acest tip.

calculati

1 / 6 7 1024 – (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ( 7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

Soluţie.

Să transformăm starea

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1) ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 8 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) · (7 16) – 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

Luați în considerare unul dintre exemple, care a devenit deja manual în materialele de examen pentru cursul școlii de bază.

Calculați suma:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Adică, metoda de înlocuire a fiecărei fracții cu diferența a două fracții ne-a permis să rezolvăm această problemă. Suma s-a dovedit a fi perechi de numere opuse tuturor, cu excepția primului și ultimului.

Dar acest exemplu poate fi generalizat. Luați în considerare suma:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n + ( m – 1)k) (n + mk))

Pentru aceasta, toate aceleași raționamente care au fost efectuate în exemplul anterior sunt valabile. Într-adevăr:

1/n – 1/(n + k) = k/(n (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) etc.

Apoi construim răspunsul după aceeași schemă: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

Și mai multe despre sumele „lungi”.

Cantitate

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

poate fi calculată ca suma a 11 membri ai unei progresii geometrice cu numitorul 1/2 și primul membru 1. Dar aceeași sumă poate fi calculată de un elev de clasa a V-a care habar nu are despre progresii. Pentru a face acest lucru, este suficient să alegem cu succes un număr pe care îl adăugăm la suma X. Acest număr va fi 1/1024 aici.

Calcula

X + 1 / 1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Acum este evident că X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

A doua metodă nu este mai puțin promițătoare. Cu el, puteți calcula suma:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999.

Aici numărul „norocos” este 11. Adăugându-l la S și distribuiți-l uniform între toți cei 11 termeni. Fiecare dintre ei va primi apoi 1. Atunci avem:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Prin urmare, S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

În trecutul îndepărtat, când sistemul de calcul nu fusese încă inventat, oamenii numărau totul pe degete. Odată cu apariția aritmeticii și a elementelor de bază ale matematicii, a devenit mult mai ușor și mai practic să ținem evidența bunurilor, produselor și articolelor de uz casnic. Totuși, cum arată sistem modern calcul: în ce tipuri sunt împărțite numerele existente și ce înseamnă „forma rațională a numerelor”? Să ne dăm seama.

Câte tipuri de numere există în matematică?

Însuși conceptul de „număr” denotă o anumită unitate a oricărui obiect, care îi caracterizează indicatorii cantitativi, comparativi sau ordinali. Pentru a calcula corect numărul anumitor lucruri sau pentru a efectua anumite operații matematice cu numere (adunare, înmulțire etc.), ar trebui în primul rând să vă familiarizați cu varietățile acestor numere.

Deci, numerele existente pot fi împărțite în următoarele categorii:

Numerele naturale sunt acele numere cu care numărăm numărul de obiecte (cel mai mic număr natural este 1, este logic ca seria numerelor naturale este infinită, adică nu există cel mai mare număr natural). Setul de numere naturale este de obicei notat cu litera N.
Numere întregi. Acest set include toate, în timp ce este adăugat și valori negative, inclusiv numărul „zero”. Desemnarea mulțimii de numere întregi este scrisă sub forma literei latine Z.
Numerele raționale sunt acelea pe care le putem transforma mental într-o fracție, al căror numărător va aparține mulțimii numerelor întregi, iar numitorul va aparține numerelor naturale. Mai jos vom analiza mai detaliat ce înseamnă „număr rațional” și vom da câteva exemple.
- o mulțime care include toate raționale și Această mulțime este notată cu litera R.
Numerele complexe conțin o parte din real și o parte din variabilă. Ele sunt utilizate în rezolvarea diverselor ecuații cubice, care, la rândul lor, pot avea o expresie negativă în formule (i 2 = -1).

Ce înseamnă „rațional”: îl analizăm cu exemple

Dacă acele numere pe care le putem reprezenta ca o fracție comună sunt considerate raționale, atunci se dovedește că toate numerele întregi pozitive și negative sunt incluse și în mulțimea celor raționale. La urma urmei, orice număr întreg, de exemplu 3 sau 15, poate fi reprezentat ca o fracție, unde numitorul va fi unul.

Fracții: -9/3; 7/5, 6/55 sunt exemple de numere raționale.

Ce înseamnă „exprimare rațională”?

Daţi-i drumul. Am discutat deja ce înseamnă forma rațională a numerelor. Să ne imaginăm acum expresie matematică, care constă din suma, diferența, produsul sau câtul diferitelor numere și variabile. Iată un exemplu: o fracție, în al cărei numărător este suma a două sau mai multe numere întregi, iar numitorul conține atât un număr întreg, cât și o variabilă. Această expresie este numită rațională. Pe baza regulii „nu poți împărți la zero”, poți ghici că valoarea acestei variabile nu poate fi astfel încât valoarea numitorului să devină zero. Prin urmare, atunci când rezolvați o expresie rațională, trebuie mai întâi să determinați intervalul variabilei. De exemplu, dacă numitorul conține următoarea expresie: x+5-2, atunci se dovedește că „x” nu poate fi egal cu -3. Într-adevăr, în acest caz, întreaga expresie se transformă în zero, prin urmare, la rezolvare, este necesar să excludem întregul -3 pentru această variabilă.

Cum să rezolvi corect ecuațiile raționale?

Expresiile raționale pot conține destul de multe un numar mare de numere și chiar 2 variabile, așa că uneori rezolvarea lor devine dificilă. Pentru a facilita rezolvarea unei astfel de expresii, se recomandă efectuarea anumitor operații într-un mod rațional. Deci, ce înseamnă „într-un mod rațional” și ce reguli ar trebui aplicate atunci când decidem?

Primul tip, când este suficient doar pentru a simplifica expresia. Pentru a face acest lucru, puteți recurge la operația de reducere a numărătorului și numitorului la o valoare ireductibilă. De exemplu, dacă numărătorul conține expresia 18x și numitorul 9x, atunci, reducând ambii indicatori cu 9x, obținem doar un număr întreg egal cu 2.
A doua metodă este practică când avem un monom la numărător și un polinom la numitor. Să ne uităm la un exemplu: la numărător avem 5x, iar la numitor - 5x + 20x 2 . În acest caz, cel mai bine este să scoatem variabila din numitor din paranteze, obținem următoarea formă a numitorului: 5x(1+4x). Și acum puteți folosi prima regulă și simplifica expresia reducând 5x în numărător și numitor. Ca rezultat, obținem o fracție de forma 1/1+4x.

Ce operații pot fi efectuate cu numere raționale?

Setul de numere raționale are o serie de particularități proprii. Multe dintre ele sunt foarte asemănătoare cu caracteristica care este prezentă în numerele întregi și naturale, având în vedere faptul că acestea din urmă sunt întotdeauna incluse în mulțimea rațională. Iată câteva proprietăți ale numerelor raționale, știind care, puteți rezolva cu ușurință orice expresie rațională.

Proprietatea comutativității vă permite să însumați două sau mai multe numere, indiferent de ordinea lor. Mai simplu spus, suma nu se schimbă dintr-o modificare a locurilor termenilor.
Proprietatea de distributivitate permite rezolvarea problemelor folosind legea distributivă.
Și în sfârșit, operațiile de adunare și scădere.

Chiar și școlarii știu ce înseamnă „numere raționale” și cum să rezolve probleme pe baza unor astfel de expresii, deci un adult persoană educată trebuie doar să vă amintiți cel puțin elementele de bază ale setului de numere raționale.

Kozhinova Anastasia

BUGET NETIPIC MUNICIPAL

INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT GENERALĂ

"LICEUM №76"

CARE ESTE SECRETUL NUMĂRĂRII RAȚIONALE?

Efectuat:

Elevul 5 clasa „B”.

Kozhinova Anastasia

supraveghetor:

Profesor de matematică

Shiklina Tatiana

Nikolaevna

Novokuznetsk 2013

Introducere………………………………………………………………… 3

Partea principală……………………………………………………… 5-13

Concluzii și concluzii………………………………………………………………………….. 13-14

Referințe………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….

Aplicații……………………………………………………. 16-31

eu. Introducere

Problemă: găsirea valorilor expresiilor numerice

Scopul lucrării: căutarea, studiul metodelor și tehnicilor existente de numărare rațională, aplicarea lor în practică.

Sarcini:

1. Efectuați un mini sondaj sub forma unui chestionar între clasele paralele.

2. Analizați pe tema cercetării: literatura disponibilă în biblioteca școlii, informații din manualul de matematică pentru clasa a 5-a, pe internet.

3.Alegeți cel mai mult metode eficienteşi mijloace de contabilitate raţională.

4. Efectuați o clasificare a metodelor existente de numărare rapidă orală și scrisă.

5. Creați memorii care să conțină tehnici de numărare rațională pentru utilizare în paralele 5 clase.

Obiect de studiu: cont raţional.

Subiect de studiu: modalităţi de numărare raţională.

Pentru eficienta muncă de cercetare Am folosit următoarele tehnici: analiza informațiilor obținute din diverse resurse, sinteză, generalizare; sondaj de opinie sub forma unui chestionar. Chestionarul a fost elaborat de mine în conformitate cu scopul și obiectivele studiului, vârsta respondenților și este prezentat în partea principală a lucrării.

Pe parcursul lucrării de cercetare s-au luat în considerare aspecte legate de metodele și tehnicile de numărare rațională și s-au dat recomandări pentru eliminarea problemelor legate de abilitățile de calcul, pentru a forma o cultură a calculului.

II. Parte principală

Formarea culturii informatice a elevilor

5-6 clase.

Este evident că metodele de numărare rațională sunt un element necesar al culturii computaționale în viața fiecărei persoane, în primul rând din cauza semnificației lor practice, iar elevii au nevoie de el în aproape fiecare lecție.

Cultura computațională este fundamentul studiului matematicii și altele disciplinele academice, deoarece pe lângă faptul că calculele activează memoria, atenția, ajută la organizarea rațională a activităților și afectează semnificativ dezvoltarea umană.

ÎN Viata de zi cu zi, pe sesiuni de antrenament Când fiecare minut este evaluat, este foarte important să efectuați rapid și rațional calcule orale și scrise, fără a face greșeli și fără a utiliza instrumente de calcul suplimentare.

Noi, școlari, ne confruntăm cu această problemă peste tot: la clasă, acasă, în magazin etc. În plus, după clasele a 9-a și a 11-a, va trebui să susținem examene sub forma IGA și a Examenului Unificat de Stat, unde nu este permisă utilizarea unui microcalculator. Prin urmare, problema formării unei culturi computaționale la fiecare persoană, al cărei element este stăpânirea metodelor de numărare rațională, devine extrem de importantă.

Este deosebit de necesar să stăpânești metodele de numărare rațională.

în studiul unor subiecte precum matematica, istoria, tehnologia, informatica etc., adică numărarea rațională ajută la stăpânirea materiilor conexe, la o mai bună navigare a materialului studiat, în situațiile de viață. Deci, ce așteptăm? Să mergem în lumea secretelor metodelor Raționale de numărare!!!

Ce probleme au elevii când fac calcule?

Adesea, colegii de vârsta mea au probleme atunci când îndeplinesc diverse sarcini în care este necesar să efectueze calcule într-un mod rapid și convenabil. . De ce???

Iată câteva presupuneri:

1. Elevul nu a stăpânit bine tema studiată

2. Elevul nu repetă materialul

3. Elevul are abilități slabe de calcul

4. Elevul nu dorește să studieze această temă

5. Elevul crede că nu îi va fi de folos.

Am luat toate aceste presupuneri din experiența mea și a colegilor mei de clasă și a colegilor mei. Cu toate acestea, abilitățile de numărare rațională joacă un rol important în exercițiile de calcul, așa că am studiat, aplicat și vreau să vă prezint câteva tehnici de numărare rațională.

Metode raționale de calcul oral și scris.

La serviciu și acasă, există o nevoie constantă alt fel tehnica de calcul. Folosirea celor mai simple metode de numărare mentală reduce oboseala, dezvoltă atenția și memoria. Utilizarea metodelor de calcul raționale este necesară pentru a crește forța de muncă, precizia și viteza de calcul. Viteza și acuratețea calculelor pot fi realizate numai cu utilizarea rațională a metodelor și mijloacelor de mecanizare a calculelor, precum și cu utilizarea corectă a metodelor de numărare mentală.

eu. Tehnici simplificate de adunare a numerelor

Există patru metode de adăugare care vă permit să accelerați calculele.

Metoda de adăugare secvenţială pe biţi folosit în calculele mentale, deoarece simplifică și accelerează însumarea termenilor. Când utilizați această metodă, adăugarea începe cu cifrele cele mai mari: cifrele corespunzătoare ale celui de-al doilea termen sunt adăugate la primul termen.

Exemplu. Să găsim suma numerelor 5287 și 3564 folosind metoda adunării secvențiale pe biți.

Soluţie. Vom calcula în următoarea ordine:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Răspuns: 8851

Un alt mod de adăugare secvenţială pe biţi constă în faptul că rangul cel mai înalt al celui de-al doilea termen se adaugă la cea mai mare cifră a primului termen, apoi următoarea cifră a celui de-al doilea termen se adaugă la următoarea cifră a primului termen și așa mai departe.

Să luăm în considerare această soluție în exemplul dat, obținem:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Răspuns: 8851.

metoda numerelor rotunde . Un număr care are o cifră semnificativă și se termină cu unul sau mai multe zerouri se numește număr rotund. Această metodă este utilizată atunci când pot fi aleși doi sau mai mulți termeni care pot fi completați până la un număr rotund. Diferența dintre numărul rotund și numărul specificat în condiția de calcul se numește complement. De exemplu, 1000 - 978 = 22. În acest caz, numărul 22 este adunarea aritmetică a numărului de la 978 la 1000.

Pentru a adăuga prin metoda numerelor rotunde, unul sau mai mulți termeni apropiați de numerele rotunde trebuie să fie rotunjiți, adăugați numere rotunde și scădeți adunările aritmetice din suma rezultată.

Exemplu. Aflați suma numerelor 1238 și 193 folosind metoda numerelor rotunjite.

Soluţie. Rotunjiți numărul 193 la 200 și adăugați după cum urmează: 1 238 + 193 \u003d (1 238 + 200) - 7 \u003d 1 431. (lege asociativă)

Metoda de grupare a termenilor . Această metodă este folosită atunci când termenii, atunci când sunt grupați împreună, dau numere rotunde, care sunt apoi adunate.

Exemplu. Aflați suma numerelor 74, 32, 67, 48, 33 și 26.

Soluţie. Să însumăm numerele grupate după cum urmează: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(legea deplasării asociative)

sau, atunci când gruparea numerelor are ca rezultat sume egale:

Exemplu: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(legea deplasării asociative)

II. Tehnici de scădere simplificată a numerelor

Metoda de scădere secvenţială pe biţi. Această metodă scade secvenţial fiecare cifră scăzută din cea redusă. Este folosit când numerele nu pot fi rotunjite.

Exemplu. Găsiți diferența dintre numerele 721 și 398.

Soluţie. Să efectuăm acțiuni pentru a găsi diferența numerelor date în următoarea secvență:

reprezentați numărul 398 ca o sumă: 300 + 90 + 8 = 398;

faceți scăderea pe biți:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

metoda numerelor rotunde . Această metodă este utilizată atunci când subtraend este aproape de un număr rotund. Pentru a calcula, este necesar să scădem scăderea, luată ca număr rotund, din redusă și să adăugați adunarea aritmetică la diferența rezultată.

Exemplu. Să calculăm diferența dintre numerele 235 și 197 folosind metoda numerelor rotunde.

Soluţie. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Tehnici de înmulțire simplificată a numerelor

Înmulțirea cu unu urmată de zerouri. La înmulțirea unui număr cu un număr care include o unitate urmată de zerouri (10; 100; 1.000 etc.), în dreapta îi sunt atribuite atâtea zerouri câte sunt în multiplicatorul după unitate.

Exemplu. Aflați produsul numerelor 568 și 100.

Soluţie. 568 x 100 = 56.800.

metoda de multiplicare pe biți . Această metodă este utilizată la înmulțirea unui număr cu orice număr format dintr-o cifră. Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu două cifre (trei, patru cifre etc.) cu unul cu o singură cifră, atunci mai întâi multiplicatorul cu o singură cifră este înmulțit cu zeci de alt factor, apoi cu unitățile sale și cu rezultatul produsele sunt rezumate.

Exemplu. Aflați produsul numerelor 39 și 7.

Soluţie. 39 x 7 \u003d (30 + 9) x 7 \u003d (30 x 7) + (9 x 7) \u003d 210 + 63 \u003d 273. (legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea)

metoda numerelor rotunde . Această metodă este utilizată numai atunci când unul dintre factori este aproape de un număr rotund. Multiplicatorul este înmulțit cu un număr rotund, apoi cu adunarea aritmetică, iar la sfârșit al doilea se scade din primul produs.

Exemplu. Aflați produsul numerelor 174 și 69.

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12 006. (Legea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea)

O modalitate de a extinde unul dintre factori. În această metodă, unul dintre factori este mai întâi descompus în părți (termeni), apoi al doilea factor este înmulțit pe rând cu fiecare parte a primului factor, iar produsele rezultate sunt însumate.

Exemplu. Aflați produsul numerelor 13 și 325.

Să descompunăm numărul 13 în termeni: 13 \u003d 10 + 3. Să înmulțim fiecare dintre termenii obținuți cu 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975. Însumând produsele rezultate: 3250 + 975 = 4225

Stăpânirea abilităților de numărare mentală rațională vă va face munca mai eficientă. Acest lucru este posibil doar cu o bună stăpânire a tuturor operațiilor aritmetice de mai sus. Utilizarea metodelor raționale de numărare accelerează calculele și oferă precizia necesară. Dar nu trebuie doar să poți calcula, ci trebuie să cunoști și tabla înmulțirii, legile operațiilor aritmetice, clasele și cifrele.

Există sisteme de numărare mentală care vă permit să numărați rapid și rațional oral. Ne vom uita la unele dintre cele mai frecvent utilizate tehnici.

Înmulțirea unui număr din două cifre cu 11.

Am studiat această metodă, dar nu am studiat-o până la capăt. secretul acestei metode este că poate fi considerată legile operațiilor aritmetice.

Exemple:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (legea distributivă și metoda numerelor rotunde)

Am studiat această metodă, dar nu știam alta. Secretul înmulțirii numerelor din două cifre cu 11.

Observând rezultatele obținute la înmulțirea numerelor din două cifre cu 11, am observat că puteți obține răspunsul într-un mod mai convenabil. : la înmulțirea unui număr de două cifre cu 11, cifrele acestui număr sunt depărtate și suma acestor cifre este pusă în mijloc.

a) 23 11=253, deoarece 2+3=5;

b) 45 11=495, deoarece 4+5=9;

c) 57 11=627, deoarece 5+7=12, două au fost puse la mijloc, iar unul a fost adăugat la locul sutelor;

d) 78 11=858, deoarece 7+8=15, atunci numărul zecilor va fi egal cu 5, iar numărul sutelor va crește cu unu și va fi egal cu 8.

Am găsit confirmarea acestei metode pe internet.

2) Produsul numerelor de două cifre care au același număr de zeci și suma unităților este 10, adică 23 27; 34 36; 52 58 etc.

regulă: cifra zecilor se înmulțește cu următoarea cifră din seria naturală, se înregistrează rezultatul și i se atribuie produsul de unități.

a) 23 27 = 621. Cum ai obținut 621? Înmulțim numărul 2 cu 3 („doi” este urmat de „trei”), acesta va fi 6, iar apoi vom atribui produsul unităților: 3 7 \u003d 21, rezultă 621.

b) 34 36 = 1224, deoarece 3 4 = 12, atribuim 24 numărului 12, acesta este produsul unităților acestor numere: 4 6.

c) 52 58 \u003d 3016, deoarece înmulțim numărul zecilor 5 cu 6, acesta va fi 30, atribuim produsul dintre 2 și 8, adică 16.

d) 61 69=4209. Este clar că 6 a fost înmulțit cu 7 și a primit 42. Și de unde vine zero? Am înmulțit unitățile și am obținut: 1 9 \u003d 9, dar rezultatul trebuie să fie din două cifre, așa că luăm 09.

3) Împărțiți numerele din trei cifre care au aceleași cifre cu 37. Rezultatul este suma acestor cifre identice ale numărului din trei cifre (sau un număr egal cu de trei ori cifra numărului din trei cifre).

Exemple: a) 222:37=6. Aceasta este suma lui 2+2+2=6; b) 333:37=9, deoarece 3+3+3=9.

c) 777:37=21, adică până la 7+7+7=21.

d) 888:37=24, deoarece 8+8+8=24.

Luăm în considerare și faptul că 888:24=37.

III. Concluzie

Pentru a dezvălui secretul principal în tema muncii mele, a trebuit să muncesc din greu - să caut, să analizez informații, să întreb colegii de clasă, să repet metodele cunoscute timpurii și să găsesc multe metode necunoscute de numărare rațională și, în cele din urmă, să înțeleg care este secretul lui? Și mi-am dat seama că principalul este să le cunoaștem și să le poți aplica pe cele cunoscute, să găsești noi metode raționale de numărare, tabla înmulțirii, alcătuirea numărului (clasele și cifrele), legile operațiilor aritmetice. In afara de asta,

căutați noi modalități de a face acest lucru:

- Tehnici simplificate de adunare a numerelor: (metoda adunării secvenţiale pe biţi; metoda unui număr rotund; metoda de descompunere a unuia dintre factori în termeni);

-Tehnici de scădere simplificată a numerelor(metoda scăderii secvenţiale pe biţi; metoda numărului rotund);

-Tehnici de înmulțire simplificată a numerelor(înmulțirea cu unu urmată de zerouri; metoda înmulțirii pe biți; metoda numerelor rotunde; metoda extinderii unuia dintre factori ;

- Secretele numărării mentale rapide(înmulțirea unui număr din două cifre cu 11: la înmulțirea unui număr din două cifre cu 11, cifrele acestui număr sunt depărtate și suma acestor cifre este pusă în mijloc; produsul numerelor din două cifre care au același număr de zeci, iar suma unităților este 10. Împărțirea numerelor din trei cifre formate din cifre identice, pe numărul 37. Probabil că există multe mai multe astfel de moduri, așa că voi continua să lucrez la acest subiect anul viitor.

IV. Bibliografie

Savin A. P. Miniaturi matematice / A. P. Savin. - M .: Literatura pentru copii, 1991

2. Zubareva I.I., Matematică, clasa a 5-a: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovici. – M.: Mnemosyne, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. biografia.ru

6. http://www. Matematică-repetiție. ro

V. Aplicații

Mini studiu (sondaj sub forma unui chestionar)

Pentru a identifica cunoștințele elevilor de numărare rațională, am realizat un sondaj sub forma unui chestionar pe următoarele întrebări:

* Știți ce sunt metodele raționale de numărare?

* Dacă da, unde și dacă nu, de ce nu?

* Câte moduri de numărare rațională cunoașteți?

* Aveți dificultăți în numărarea mentală?

* Cum studiezi matematica? a) pe „5”; b) pe „4”; c) pe „3”

* Ce îți place cel mai mult la matematică?

a) exemple; b) sarcini; c) fracţii

* Ce crezi, unde poate fi utilă numărătoarea mentală, în afară de matematică? * Vă amintiți legile operațiilor aritmetice, dacă da, care?

După ce am realizat un sondaj, mi-am dat seama că colegii mei nu cunosc suficient legile operațiilor aritmetice, majoritatea au probleme cu numărarea rațională, mulți elevi numără încet și cu erori și toată lumea vrea să învețe să numere rapid, corect și în o modalitate convenabilă. Prin urmare, tema muncii mele de cercetare este extrem de importantă pentru toți studenții și nu numai.

1. Metode interesante de calcul orale și scrise pe care le-am studiat la lecțiile de matematică, folosind exemplele manualului „matematică, clasa a 5-a”:

Aici sunt câțiva dintre ei:

pentru a înmulți rapid un număr cu 5, este suficient să rețineți că 5=10:2.

De exemplu, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Pentru a înmulți un număr cu 50 , îl poți înmulți cu 100 și împărți cu 2.

De exemplu: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Pentru a înmulți un număr cu 25 , îl poți înmulți cu 100 și împărți cu 4,

De exemplu, 32x25=(32x100):4=3200:4=800

Pentru a înmulți un număr cu 125 , îl poți înmulți cu 1000 și împărți cu 8,

De exemplu: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Pentru a face un număr rotund care se termină cu două 0 împărțite la 25 , îl poți împărți la 100 și înmulți cu 4.

De exemplu: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Pentru a împărți un număr rotund la 50 , poate fi împărțit la 100 și înmulțit cu 2

De exemplu: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Dar nu trebuie doar să fii capabil să calculezi, ci trebuie să cunoști și tabla înmulțirii, legile operațiilor aritmetice, compoziția numărului (clase și cifre) și să ai abilitățile de a le folosi

Legile operațiilor aritmetice.

A + b = b + A

Legea comutativă a adunării

(A + b) + c = A + (b + c)

Legea asociativă a adunării

A · b = b · A

Legea comutativă a înmulțirii

(A · b) · c = A · (b · c)

Legea asociativă a înmulțirii

(A = b) · c = A · c = b · c

Legea distributivă a înmulțirii (cu privire la adunarea)

Tabelul înmulțirii.

Ce este înmulțirea?

Acesta este un plus inteligent.

La urma urmei, este mai inteligent să înmulți ori,

Decât să adunăm totul timp de o oră.

Tabelul înmulțirii

Cu toții avem nevoie de ea în viață.

Și nu fără motiv numit

ÎN MULTIPȚI-O!

Ranguri și clase

Pentru a facilita citirea și amintirea numerelor cu valori mari, acestea ar trebui împărțite în așa-numitele „clase”: începând din dreapta, numărul este împărțit printr-un spațiu în trei cifre „prima clasă”, apoi trei. sunt selectate mai multe cifre, „clasa a doua” și etc. În funcție de valoarea numărului, ultima ora se poate termina cu trei, două sau o cifră.

De exemplu, numărul 35461298 este scris după cum urmează:

Acest număr este împărțit în clase:

482 - clasa întâi (clasa de unități)

630 - clasa a doua (clasa de mii)

35 - clasa a treia (clasa milioanelor)

Descarcare

Fiecare dintre cifrele care alcătuiesc clasa se numește categoria ei, a cărei numărătoare inversă merge tot la dreapta.

De exemplu, numărul 35 630 482 poate fi descompus în clase și cifre:

482 - clasa întâi

2 - prima cifră (cifra unității)

8 - a doua cifră (cifra zecilor)

4 - a treia cifră (cifra de sute)

630 - clasa a doua

0 - prima cifră (cifra de mii)

3 - a doua cifră (cifra de zeci de mii)

6 - a treia cifră (o sută de mii de cifră)

35 - clasa a treia

5 - prima cifră (cifra unităților de milioane)

3 - a doua cifră (cifra de zeci de milioane)

Numărul 35 630 482 spune:

Treizeci și cinci de milioane șase sute treizeci de mii patru sute optzeci și doi.

Probleme cu numărarea rațională și cum să le rezolvi

Metode raționale de memorare.

În urma sondajului și a observațiilor de la lecții, am observat că unii elevi nu rezolvă bine diverse sarciniși exerciții pentru că nu sunt familiarizați cu metodele raționale de calcul.

1. Una dintre metode este de a aduce materialul studiat într-un sistem care este convenabil pentru memorare și stocare în memorie.

2. Pentru ca materialul memorat să fie stocat de memorie într-un anumit sistem, trebuie să se lucreze la conținutul acestuia.

3. Apoi puteți începe să stăpâniți fiecare parte individuală a textului, să o recitiți și să încercați să reproduceți imediat (repetați-vă singur sau cu voce tare) ceea ce citiți.

4. De mare importanță pentru memorare este repetarea materialului. Se spune si asta proverb popular: „Repetarea este mama învăţăturii”. Dar trebuie și repetat în mod rezonabil și corect.

Opera de repetare trebuie reînviată prin desen pe ilustrații sau exemple care nu existau înainte sau au fost deja uitate.

Pe baza celor de mai sus, putem formula pe scurt următoarele recomandări pentru asimilarea cu succes a materialului educațional:

1. Stabiliți o sarcină, amintiți-vă rapid și ferm material educativ pentru o lungă perioadă de timp.

2. Concentrați-vă pe ceea ce trebuie învățat.

3. Înțelegeți bine materialul de studiu.

4. Realizați un plan al textului memorat, evidențiind gândurile principale din acesta, împărțiți textul în părți.

5. Dacă materialul este mare, asimilați secvențial o parte după alta și apoi spuneți totul ca un întreg.

6. După citirea materialului, este necesară reproducerea acestuia (spuneți ce s-a citit).

7. Repetați materialul până când este uitat.

8. Distribuiți repetarea pe o perioadă mai lungă de timp.

9. Când memorezi, folosește diferite tipuri de memorie (în primul rând semantică) și unele caracteristici individuale memorie (vizuală, auditivă sau motorie).

10. Materialul dificil trebuie repetat înainte de culcare, iar apoi dimineața, „pentru memorie proaspătă”.

11. Încercați să aplicați în practică cunoștințele dobândite. Acest Cel mai bun mod păstrarea lor în memorie (nu fără motiv ei spun: „Adevărata mamă a doctrinei nu este repetarea, ci aplicarea”).

12. Este necesar să dobândești mai multe cunoștințe, să înveți ceva nou.

Acum ați învățat cum să memorați rapid și corect materialul studiat.

O tehnică interesantă de înmulțire a unor numere cu 9 în combinație cu adăugarea numerelor naturale consecutive de la 2 la 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Joc interesant „Ghicește numărul”

Ai jucat jocul Guess the Number? Acesta este un joc foarte simplu. Să presupunem că mă gândesc la un număr natural mai mic de 100, notează-l pe hârtie (ca să nu existe nicio modalitate de a înșela) și încerci să-l ghiciți punând întrebări la care se poate răspunde doar cu „da” sau „nu”. . Apoi ghiciți numărul și eu încerc să-l ghicesc. Cine poate ghici pentru număr mai mic a câștigat întrebările.

De câte întrebări ai nevoie pentru a-mi ghici numărul? Nu stiu? Mă angajez să vă ghicesc numărul punând doar șapte întrebări. Cum? Dar, de exemplu, cum. Lăsați-vă să ghiciți numărul. Întreb: „Este mai puțin de 64?” - "Da". – „Mai puțin de 32?” - "Da". - "Mai putin de 16?" - "Da". – „Mai puțin de 8?” - "Nu". - "Mai putin de 12?" - "Nu". - "Mai putin de 14?" - "Da". - "Mai putin de 13?" - "Nu". - „Numărul 13 este conceput”.

Este clar? Împărțim setul de numere posibile în jumătate, apoi jumătatea rămasă din nou în jumătate și așa mai departe, până când restul este un număr.

Dacă ți-a plăcut jocul sau, dimpotrivă, vrei mai mult, atunci mergi la bibliotecă și ia cartea „A. P. Savin (Miniaturi matematice). În această carte veți găsi o mulțime de lucruri interesante și interesante. Poza carte:

Vă mulțumesc tuturor pentru atenție

Si iti doresc succes!!!

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrări slide-uri:

Care este secretul numărării raționale?

Scopul lucrării: căutarea informațiilor, studiul metodelor și tehnicilor existente de numărare rațională, aplicarea lor în practică.

Sarcini: 1. Realizarea unui mini sondaj sub forma unui chestionar între clasele paralele. 2. Analizați pe tema cercetării: literatura disponibilă în biblioteca școlii, informații din manualul de matematică pentru clasa a 5-a, precum și pe internet. 3. Alegeți cele mai eficiente metode și mijloace de numărare rațională. 4. Efectuați o clasificare a metodelor existente de numărare rapidă orală și scrisă. 5. Creați memorii care să conțină tehnici de numărare rațională pentru utilizare în paralele 5 clase.

După cum am spus deja, tema numărării raționale este relevantă nu numai pentru elevi, ci pentru fiecare persoană, pentru a mă asigura de acest lucru, am realizat un sondaj în rândul elevilor de clasa a V-a. Întrebările și răspunsurile la sondaj vă sunt prezentate în aplicație.

Ce este un cont rațional? Un cont rațional este un cont convenabil (cuvântul rațional înseamnă convenabil, corect)

De ce au elevii dificultăți?

Iată câteva ipoteze: Elevul: 1. nu a stăpânit bine tema studiată; 2. nu repetă materialul; 3. are abilități slabe de numărare; 4 . crede că nu va avea nevoie.

Metode raționale de calcul oral și scris. În muncă și în viață, apare în mod constant nevoia de diferite tipuri de calcule. Folosirea celor mai simple metode de numărare mentală reduce oboseala, dezvoltă atenția și memoria.

Există patru metode de adăugare care vă permit să accelerați calculele. I. Tehnici de adunare simplificată a numerelor

Metoda de adunare secvențială pe biți este utilizată în calculele mentale, deoarece simplifică și accelerează însumarea termenilor. Când utilizați această metodă, adăugarea începe cu cifrele cele mai mari: cifrele corespunzătoare ale celui de-al doilea termen sunt adăugate la primul termen. Exemplu. Găsiți suma numerelor 5287 și 3564 folosind această metodă. Soluţie. Vom calcula în următoarea succesiune: 5.287 + 3.000 = 8.287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851 . Răspuns: 8851.

O altă modalitate de adăugare succesivă pe biți este aceea că cea mai mare cifră a celui de-al doilea termen este adăugată la cea mai mare cifră a primului termen, apoi următoarea cifră a celui de-al doilea termen este adăugată la următoarea cifră a primului termen și așa mai departe. Să luăm în considerare această soluție în exemplul dat, obținem: 5.000 + 3.000 = 8.000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Răspuns: 8851.

metoda numerelor rotunde. Un număr care se termină cu unul sau mai multe zerouri se numește număr rotund. Această metodă este utilizată atunci când pot fi aleși doi sau mai mulți termeni care pot fi completați până la un număr rotund. Diferența dintre numărul rotund și numărul specificat în condiția de calcul se numește complement. De exemplu, 1000 - 978 = 22. În acest caz, numărul 22 este complementul aritmetic al numărului de la 978 la 1000. Pentru a adăuga prin metoda numerelor rotunde, unul sau mai mulți termeni apropiați de numerele rotunde trebuie să fie rotunjiți, adăugați numere rotunde și scădeți adunările aritmetice din suma rezultată. Exemplu. Aflați suma numerelor 1238 și 193 folosind metoda numerelor rotunjite. Soluţie. Rotunjiți numărul de la 193 la 200 și adăugați după cum urmează: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

Metoda de grupare a termenilor. Această metodă este folosită atunci când termenii, atunci când sunt grupați împreună, dau numere rotunde, care sunt apoi adunate. Exemplu. Aflați suma numerelor 74, 32, 67, 48, 33 și 26. Rezolvare. Să însumăm numerele grupate după cum urmează: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Metoda de adunare bazată pe gruparea termenilor. Exemplu: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Tehnici de scădere simplificată a numerelor

Metoda de scădere secvenţială pe biţi. Această metodă scade secvenţial fiecare cifră scăzută din cea redusă. Este folosit când numerele nu pot fi rotunjite. Exemplu. Găsiți diferența dintre numerele 721 și 398. Să efectuăm acțiuni pentru a găsi diferența numerelor date în următoarea succesiune: reprezentăm numărul 398 ca sumă: 300 + 90 + 8 = 398; efectuați o scădere pe biți: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

metoda numerelor rotunde. Această metodă este utilizată atunci când subtraend este aproape de un număr rotund. Pentru a calcula, este necesar să scădem scăderea, luată ca număr rotund, din redusă și să adăugați adunarea aritmetică la diferența rezultată. Exemplu. Să calculăm diferența dintre numerele 235 și 197 folosind metoda numerelor rotunde. Soluţie. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Tehnici de înmulțire simplificată a numerelor

Înmulțirea cu unu urmată de zerouri. La înmulțirea unui număr cu un număr care include o unitate urmată de zerouri (10; 100; 1.000 etc.), în dreapta îi sunt atribuite atâtea zerouri câte sunt în multiplicatorul după unitate. Exemplu. Aflați produsul numerelor 568 și 100. Rezolvare. 568 x 100 = 56.800.

Metoda înmulțirii secvențiale pe biți. Această metodă este utilizată la înmulțirea unui număr cu orice număr format dintr-o cifră. Dacă trebuie să înmulțiți un număr de două cifre (trei, patru cifre etc.) cu unul singur, atunci mai întâi unul dintre factori este înmulțit cu zeci de celălalt factor, apoi cu unitățile sale și produsele rezultate sunt pe scurt. Exemplu. Să găsim produsul numerelor 39 și 7. Soluţie. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

metoda numerelor rotunde. Această metodă este utilizată numai atunci când unul dintre factori este aproape de un număr rotund. Multiplicatorul este înmulțit cu un număr rotund, apoi cu adunarea aritmetică, iar la sfârșit al doilea se scade din primul produs. Exemplu. Să găsim produsul numerelor 174 și 69. Soluţie. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12.180 - 174 = 12.006.

O modalitate de a extinde unul dintre factori. În această metodă, unul dintre factori este mai întâi descompus în părți (termeni), apoi al doilea factor este înmulțit pe rând cu fiecare parte a primului factor, iar produsele rezultate sunt însumate. Exemplu. Să găsim produsul numerelor 13 și 325. Soluţie. Să descompunăm numărul în termeni: 13 \u003d 10 + 3. Să înmulțim fiecare dintre termenii obținuți cu 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975 Însumăm produsele obținute: 3.250 + 975 = 4.225.

Secretele numărării mentale rapide. Există sisteme de numărare mentală care vă permit să numărați rapid și rațional oral. Ne vom uita la unele dintre cele mai frecvent utilizate tehnici.

Înmulțirea unui număr din două cifre cu 11.

Exemple: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253(legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (legea distributivă și metoda numerelor rotunde) Noi am studiat această metodă, dar nu știam încă un secret al înmulțirii numerelor din două cifre cu 11.

Observând rezultatele obținute la înmulțirea numerelor de două cifre cu 11, am observat că puteți obține răspunsul într-un mod mai convenabil: la înmulțirea unui număr de două cifre cu 11, cifrele acestui număr sunt îndepărtate și suma acestora. cifrele sunt puse în mijloc. Exemple. a) 23 11=253, deoarece 2+3=5; b) 45 11=495, deoarece 4+5=9; c) 57 11=627, deoarece 5+7=12, două au fost puse la mijloc, iar unul a fost adăugat la locul sutelor; Am găsit confirmarea acestei metode pe internet.

2) Produsul numerelor de două cifre care au același număr de zeci și suma unităților este 10, adică 23 27; 34 36; 52 58 etc. Regula: cifra zecilor se înmulțește cu următoarea cifră din seria naturală, rezultatul se notează și i se atribuie produsul unităților. Exemple. a) 23 27 = 621. Cum ai obținut 621? Înmulțim numărul 2 cu 3 („doi” este urmat de „trei”), acesta va fi 6, iar apoi vom atribui produsul unităților: 3 7 \u003d 21, rezultă 621. b) 34 36 = 1224, deoarece 3 4 = 12, atribuim 24 numărului 12, acesta este produsul unităților acestor numere: 4 6.

3) Împărțirea numerelor din trei cifre formate din aceleași cifre la numărul 37. Rezultatul este egal cu suma acestor cifre identice ale numărului din trei cifre (sau un număr egal cu de trei ori cifra numărului din trei cifre). ). Exemple. a) 222:37=6. Aceasta este suma lui 2+2+2=6 . b) 333:37=9, deoarece 3+3+3=9. c) 777:37=21, deoarece 7+7+7=21. d) 888:37=24, deoarece 8+8+8=24. Luăm în considerare și faptul că 888:24=37.

Concluzie Pentru a dezvălui principalul secret din subiectul muncii mele, a trebuit să muncesc din greu - să caut, să analizez informații, să întreb colegii de clasă, să repet metodele cunoscute timpurii și să găsesc multe metode nefamiliare de numărare rațională și, în cele din urmă, să înțeleg care este aceasta. secret? Și mi-am dat seama că principalul este să le cunoaștem și să le poți aplica pe cele cunoscute, să găsesc noi metode raționale de numărare, să cunoști tabla înmulțirii, compoziția numărului (clase și cifre), legile operațiilor aritmetice. În afară de asta, căutați noi modalități de a face acest lucru:

Tehnici de adunare simplificată a numerelor: (metoda adunării secvenţiale pe biţi; metoda unui număr rotund; metoda de descompunere în termeni a unuia dintre factori); - Tehnici de scădere simplificată a numerelor (metoda scăderii secvenţiale pe biţi; metoda unui număr rotund); - Tehnici de înmulțire simplificată a numerelor (înmulțirea cu unu urmată de zerouri; metoda înmulțirii secvențiale pe biți; metoda unui număr rotund; metoda de extindere a unuia dintre factori; - Secretele numărării mentale rapide (înmulțirea unui număr de două cifre prin 11: la înmulțirea unui număr din două cifre cu 11, cifrele acestui număr sunt depărtate și în mijloc se pun suma acestor cifre; produsul numerelor din două cifre care au același număr de zeci și suma de unități este 10. Împărțirea numerelor din trei cifre formate din aceleași cifre cu numărul 37. Probabil că există încă o mulțime de astfel de moduri, așa că voi continua să lucrez la acest subiect anul viitor.

În concluzie, aș dori să închei discursul meu cu următoarele cuvinte:

Va multumesc tuturor pentru atentie, va doresc succes!!!

ÎN această lecție sunt luate în considerare adunarea și scăderea numerelor raționale. Subiectul este clasificat ca fiind complex. Aici este necesar să folosiți întregul arsenal de cunoștințe dobândite anterior.

Regulile de adunare și scădere a numerelor întregi sunt valabile și pentru numerele raționale. Amintiți-vă că numerele raționale sunt numere care pot fi reprezentate ca o fracție, unde A - este numărătorul unei fracții b este numitorul fracției. în care, b nu trebuie să fie nulă.

În această lecție, ne vom referi din ce în ce mai mult la fracții și numere mixte ca o frază comună - numere rationale.

Navigarea lecției:

Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii:

Introducem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale. Luăm în considerare că plusul care este dat în expresie este semnul operației și nu se aplică fracțiilor. Această fracție are propriul semn plus, care este invizibil datorită faptului că nu este scrisă. Dar o vom nota pentru claritate:

Aceasta este adunarea numerelor raționale cu semne diferite. Pentru a adăuga numere raționale cu semne diferite, trebuie să scădeți un modul mai mic dintr-un modul mai mare și să puneți semnul numărului rațional al cărui modul este mai mare în fața răspunsului. Și pentru a înțelege care modul este mai mare și care este mai mic, trebuie să puteți compara modulele acestor fracții înainte de a le calcula:

Modulul unui număr rațional este mai mare decât modulul unui număr rațional. Prin urmare, am scăzut din . Am un răspuns. Apoi, reducând această fracție cu 2, am obținut răspunsul final.

Unele acțiuni primitive, cum ar fi punerea numerelor între paranteze și depunerea modulelor, pot fi omise. Acest exemplu poate fi scris într-un mod mai scurt:

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii:

Introducem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale. Luăm în considerare că minusul dintre numerele raționale și este semnul operației și nu se aplică fracțiilor. Această fracție are propriul semn plus, care este invizibil datorită faptului că nu este scrisă. Dar o vom nota pentru claritate:

Să înlocuim scăderea cu adunarea. Amintiți-vă că pentru aceasta trebuie să adăugați la minuend numărul opus subtraendului:

Am obținut adunarea numerelor raționale negative. Pentru a adăuga numere raționale negative, trebuie să adăugați modulele lor și să puneți un minus înainte de răspuns:

Notă. Nu este necesar să includeți fiecare număr rațional între paranteze. Acest lucru se face pentru comoditate, pentru a vedea clar ce semne au numerele raționale.

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii:

În această expresie, fracțiile numitori diferiti. Pentru a ne ușura lucrurile, reducem aceste fracții la numitor comun. Nu vom intra în detalii despre cum să facem acest lucru. Dacă întâmpinați dificultăți, asigurați-vă că repetați lecția.

După reducerea fracțiilor la un numitor comun, expresia va lua următoarea formă:

Aceasta este adunarea numerelor raționale cu semne diferite. Scădem modulul mai mic din modulul mai mare, iar înainte de răspunsul primit punem semnul numărului rațional, al cărui modul este mai mare:

Să notăm soluția acestui exemplu într-un mod mai scurt:

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii

Calculăm această expresie în felul următor: adunăm numerele raționale și , apoi scădem numărul rațional din rezultatul obținut.

Prima acțiune:

A doua acțiune:

Exemplul 5. Găsiți valoarea unei expresii:

Să reprezentăm întregul −1 ca o fracție și să traducem numărul mixt într-o fracție improprie:

Introducem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale:

Am obținut adunarea numerelor raționale cu semne diferite. Scădem modulul mai mic din modulul mai mare, iar înainte de răspunsul primit punem semnul numărului rațional, al cărui modul este mai mare:

Am un răspuns.

Există și o a doua soluție. Constă în asamblarea separată a părților întregi.

Deci, revenind la expresia originală:

Introduceți fiecare număr între paranteze. Pentru acest număr mixt temporar:

Să calculăm părțile întregi:

(−1) + (+2) = 1

În expresia principală, în loc de (−1) + (+2), scriem unitatea rezultată:

Expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, scrieți împreună unitatea și fracția:

Să scriem soluția în acest fel într-un mod mai scurt:

Exemplul 6 Găsiți valoarea unei expresii

Convertiți numărul mixt într-o fracție improprie. Restul îl rescriem fără modificări:

Introducem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale:

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

Să notăm soluția acestui exemplu într-un mod mai scurt:

Exemplul 7 Găsiți expresia valorii

Să reprezentăm întregul −5 ca o fracție și să traducem numărul mixt într-o fracție improprie:

Să aducem aceste fracții la un numitor comun. După ce le aducem la un numitor comun, vor lua următoarea formă:

Introducem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale:

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

Am obținut adunarea numerelor raționale negative. Adăugăm modulele acestor numere și punem un minus înainte de răspunsul primit:

Astfel, valoarea expresiei este .

Să rezolvăm acest exemplu în al doilea mod. Să revenim la expresia originală:

Să scriem numărul mixt în formă extinsă. Restul îl rescriem fără modificări:

Introducem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale:

Să calculăm părțile întregi:

În expresia principală, în loc să scrieți numărul rezultat −7

Expresia este o formă extinsă de scriere a unui număr mixt. Să scriem împreună numărul −7 și fracția, formând răspunsul final:

Să scriem această soluție în scurt timp:

Exemplul 8 Găsiți valoarea unei expresii

Introducem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale:

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

Am obținut adunarea numerelor raționale negative. Adăugăm modulele acestor numere și punem un minus înainte de răspunsul primit:

Astfel, valoarea expresiei este

Acest exemplu poate fi rezolvat în al doilea mod. Constă în adăugarea separată a părților întregi și fracționale. Să revenim la expresia originală:

Introducem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale:

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

Am obținut adunarea numerelor raționale negative. Adăugăm modulele acestor numere și punem un minus înainte de răspunsul primit. Dar de data aceasta adăugăm separat părțile întregi (−1 și −2) și fracționalul și

Să scriem această soluție în scurt timp:

Exemplul 9 Găsiți expresii de expresie

Convertiți numere mixte în fracții improprii:

Introducem numărul rațional între paranteze împreună cu semnul său. Un număr rațional nu trebuie să fie inclus între paranteze, deoarece este deja între paranteze:

Am obținut adunarea numerelor raționale negative. Adăugăm modulele acestor numere și punem un minus înainte de răspunsul primit:

Astfel, valoarea expresiei este

Acum să încercăm să rezolvăm același exemplu în al doilea mod, și anume prin adăugarea separată a părților întregi și fracționale.

De data aceasta, pentru a obține o soluție scurtă, să încercăm să omitem câteva acțiuni, cum ar fi scrierea unui număr mixt în formă extinsă și înlocuirea scăderii cu adunarea:

Rețineți că părțile fracționale au fost reduse la un numitor comun.

Exemplul 10 Găsiți valoarea unei expresii

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

Expresia rezultată nu numere negative care sunt cauza principală a erorilor. Și, deoarece nu există numere negative, putem elimina plusul din fața subtraendei și, de asemenea, putem elimina parantezele:

Rezultatul este o expresie simplă care este ușor de calculat. Să o calculăm în orice mod convenabil pentru noi:

Exemplul 11. Găsiți valoarea unei expresii

Aceasta este adunarea numerelor raționale cu semne diferite. Să scădem modulul mai mic din modulul mai mare și să punem semnul numărului rațional, al cărui modul este mai mare, în fața răspunsurilor primite:

Exemplul 12. Găsiți valoarea unei expresii

Expresia constă din mai multe numere raționale. Potrivit, în primul rând, trebuie să efectuați acțiunile dintre paranteze.

Mai întâi, calculăm expresia , apoi expresia Adunăm rezultatele obținute.

Prima acțiune:

A doua acțiune:

A treia acțiune:

Răspuns: valoarea expresiei egală

Exemplul 13 Găsiți valoarea unei expresii

Convertiți numere mixte în fracții improprii:

Introducem numărul rațional între paranteze împreună cu semnul său. Un număr rațional nu trebuie să fie inclus între paranteze, deoarece este deja între paranteze:

Să dăm aceste fracții la un numitor comun. După ce le aducem la un numitor comun, vor lua următoarea formă:

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

Am obținut adunarea numerelor raționale cu semne diferite. Să scădem modulul mai mic din modulul mai mare și să punem semnul numărului rațional, al cărui modul este mai mare, în fața răspunsurilor primite:

Astfel, valoarea expresiei egală

Luați în considerare adunarea și scăderea fracțiilor zecimale, care sunt, de asemenea, numere raționale și care pot fi atât pozitive, cât și negative.

Exemplul 14 Aflați valoarea expresiei −3,2 + 4,3

Introducem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale. Luăm în considerare că plusul care este dat în expresie este semnul operației și nu se aplică fracției zecimale 4.3. Această zecimală are propriul semn plus, care este invizibil datorită faptului că nu este scrisă. Dar o vom nota pentru claritate:

(−3,2) + (+4,3)

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Modulul lui 4.3 este mai mare decât modulul lui -3.2, așa că am scăzut 3.2 din 4.3. Am primit răspunsul 1.1. Răspunsul este da, deoarece răspunsul trebuie precedat de semnul numărului rațional al cărui modul este mai mare. Și modulul lui 4,3 este mai mare decât modulul lui -3,2

Astfel, valoarea expresiei −3,2 + (+4,3) este 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Exemplul 15 Aflați valoarea expresiei 3,5 + (−8,3)

Aceasta este adunarea numerelor raționale cu semne diferite. Ca și în exemplul anterior, îl scădem pe cel mai mic din modulul mai mare și punem semnul numărului rațional, al cărui modul este mai mare, înainte de răspuns:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Astfel, valoarea expresiei 3,5 + (−8,3) este egală cu −4,8

Acest exemplu poate fi scris mai scurt:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Exemplul 16 Aflați valoarea expresiei −7,2 + (−3,11)

Aceasta este adunarea numerelor raționale negative. Pentru a adăuga numere raționale negative, trebuie să adăugați modulele lor și să puneți un minus înainte de răspuns.

Puteți sări peste intrarea cu module pentru a evita aglomerarea expresiei:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Astfel, valoarea expresiei −7,2 + (−3,11) este egală cu −10,31

Acest exemplu poate fi scris mai scurt:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Exemplul 17. Aflați valoarea expresiei −0,48 + (−2,7)

Aceasta este adunarea numerelor raționale negative. Adăugăm modulele lor și punem un minus înainte de răspunsul primit. Puteți sări peste intrarea cu module pentru a evita aglomerarea expresiei:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Exemplul 18. Aflați valoarea expresiei −4,9 − 5,9

Introducem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale. Luăm în considerare că minusul care se află între numerele raționale −4,9 și 5,9 este semnul operației și nu se aplică numărului 5,9. Acest număr rațional are propriul său semn plus, care este invizibil datorită faptului că nu este scris. Dar o vom nota pentru claritate:

(−4,9) − (+5,9)

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

(−4,9) + (−5,9)

Am obținut adunarea numerelor raționale negative. Adăugăm modulele lor și punem un minus înainte de răspunsul primit:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Astfel, valoarea expresiei −4,9 − 5,9 este egală cu −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Exemplul 19. Aflați valoarea expresiei 7 − 9.3

Introduceți între paranteze fiecare număr împreună cu semnele sale

(+7) − (+9,3)

Să înlocuim scăderea cu adunarea

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Astfel, valoarea expresiei 7 − 9,3 este −2,3

Să notăm soluția acestui exemplu într-un mod mai scurt:

7 − 9,3 = −2,3

Exemplul 20. Aflați valoarea expresiei −0,25 − (−1,2)

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

−0,25 + (+1,2)

Am obținut adunarea numerelor raționale cu semne diferite. Scădem modulul mai mic din modulul mai mare, iar înainte de răspuns punem semnul numărului al cărui modul este mai mare:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Să notăm soluția acestui exemplu într-un mod mai scurt:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Exemplul 21. Aflați valoarea expresiei -3,5 + (4,1 - 7,1)

Efectuați acțiunile dintre paranteze, apoi adăugați răspunsul primit cu numărul -3,5

Prima acțiune:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

A doua acțiune:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Răspuns: valoarea expresiei −3,5 + (4,1 − 7,1) este −6,5.

Exemplul 22. Aflați valoarea expresiei (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)

Să facem parantezele. Apoi, din numărul rezultat din execuția primelor paranteze, scădeți numărul rezultat din execuția celor doua paranteze:

Prima acțiune:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

A doua acțiune:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Act al treilea

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Răspuns: valoarea expresiei (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) este 6.

Exemplul 23. Găsiți valoarea unei expresii −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Introduceți între paranteze fiecare număr rațional împreună cu semnele sale

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Expresia constă din mai mulți termeni. Conform legii asociative a adunării, dacă expresia constă din mai mulți termeni, atunci suma nu va depinde de ordinea acțiunilor. Aceasta înseamnă că termenii pot fi adăugați în orice ordine.

Nu vom reinventa roata, ci vom adăuga toți termenii de la stânga la dreapta în ordinea în care apar:

Prima acțiune:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

A doua acțiune:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

A treia acțiune:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Răspuns: valoarea expresiei −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 este egală cu 1.

Exemplul 24. Găsiți valoarea unei expresii

Să convertim fracția zecimală -1,8 într-un număr mixt. Restul îl vom rescrie fără modificare: