Cazuri particulare ale ecuației căldurii. Probleme de conducere a căldurii în diferite sisteme de coordonate. Sistemul de coordonate carteziene Ecuația căldurii în sistemul de coordonate dreptunghiulare
Pagina 4
. (2.24)
Ecuația (2.24) se numește ecuația diferențială a căldurii (sau ecuația diferențială Fourier) pentru un câmp de temperatură nestaționar tridimensional în absența surselor interne de căldură. Este principalul în studierea problemelor de încălzire și răcire a corpurilor în procesul de transfer de căldură prin conductivitate termică și stabilește o relație între schimbările de temperatură temporală și spațială în orice punct al câmpului. Aplicarea laserului de otorinolaringologie a laserelor.
Difuzitatea termică este un parametru fizic al unei substanțe și are unitatea m2/s. În procesele termice nestaționare, a caracterizează viteza de schimbare a temperaturii.
Din ecuația (2.24) rezultă că modificarea temperaturii în timp pentru orice punct al corpului este proporțională cu valoarea lui a. Prin urmare, în aceleași condiții, temperatura corpului care are o difuzivitate termică mai mare crește mai repede.
Ecuația diferențială a conducerii căldurii cu o sursă de căldură în interiorul corpului are forma:
, (2.25)
unde qV este puterea specifică a sursei, adică cantitatea de căldură eliberată per unitate de volum a substanței pe unitate de timp.
Această ecuație este scrisă în coordonate carteziene. În alte coordonate, operatorul Laplace are o formă diferită, deci se schimbă și forma ecuației. De exemplu, în coordonate cilindrice ecuația diferențială pentru conducerea căldurii cu o sursă de căldură internă este:
, (2.26)
unde r este vectorul rază într-un sistem de coordonate cilindric;
unghi polar.
2.5 Condiții la limită
Ecuația diferențială Fourier rezultată descrie fenomenele de transfer de căldură prin conducție termică în vedere generala. Pentru a o aplica într-un anumit caz, este necesar să se cunoască distribuția temperaturii în organism sau condiții inițiale. În plus, trebuie cunoscute următoarele:
forma geometrică și dimensiunile corpului,
parametrii fizici ai mediului și ai corpului,
· condiții la limită care caracterizează distribuția temperaturilor pe suprafața corpului, sau interacțiunea corpului studiat cu mediul.
Toate aceste caracteristici particulare împreună cu ecuația diferențială dau Descriere completa proces specific de conducere a căldurii și sunt numite condiții de unicitate sau condiții la limită.
De obicei, condițiile inițiale pentru distribuția temperaturii sunt date pentru timpul t = 0.
Condițiile limită pot fi specificate în trei moduri.
Condiția la limită de primul fel este dată de distribuția temperaturii pe suprafața corpului pentru orice moment de timp.
Condiția la limită de al doilea fel este dată de densitatea fluxului de căldură la suprafață în fiecare punct al suprafeței corpului pentru orice moment de timp.
Condiția limită de al treilea fel este dată de temperatura mediului care înconjoară corpul și legea transferului de căldură între suprafața corpului și mediu.
Rezolvarea ecuației diferențiale a conducției căldurii în condiții date de unicitate face posibilă determinarea câmpului de temperatură în întregul volum al corpului pentru orice moment de timp sau găsirea funcției 
.
2.6 Conducerea căldurii printr-un perete sferic
Ținând cont de terminologia descrisă în secțiunile 2.1 - 2.5, sarcina acesteia termen de hârtie poate fi formulat astfel. Un flux de căldură constant este direcționat prin peretele sferic, iar sursa de căldură este sfera interioară cu raza R1. Puterea sursei P este constantă. Mediul dintre sferele limită este izotrop, deci conductivitatea sa termică c este o funcție a unei variabile - distanța de la centrul sferelor (raza) r. Conform sarcinii 
. Ca urmare, temperatura mediului este și în acest caz o funcție a unei variabile - raza r: T = T(r), iar suprafețele izoterme sunt sfere concentrice. Astfel, câmpul de temperatură dorit este staționar și unidimensional, iar condițiile la limită sunt condiții de primul fel: T(R1) = T1, T(R2) = T2.
Din unidimensionalitatea câmpului de temperatură rezultă că densitatea fluxului de căldură j, precum și conductibilitatea termică și temperatura, sunt în acest caz funcții ale unei variabile - raza r. Funcțiile necunoscute j(r) și T(r) pot fi determinate în unul din două moduri: fie rezolvați ecuația diferențială Fourier (2.25), fie folosiți legea Fourier (2.11). În această lucrare, se alege a doua metodă. Legea Fourier pentru câmpul de temperatură simetric sferic unidimensional investigat are forma:1 4
1. Ecuația de căldură diferențială fără surse interne de căldură ( = 0) :
2. Ecuația de căldură diferențială fără surse interne de căldură în coordonate cilindrice.
În coordonate cilindrice, unde r este vectorul rază, este unghiul polar, ecuația va arăta ca
Condiții de unicitate pentru procesele de conducție a căldurii. Ecuația diferențială a conducerii căldurii descrie nu unul, ci o întreagă clasă de fenomene de conducere a căldurii. Pentru a obține o descriere analitică a unui anumit proces, este necesar să se indice caracteristicile sale particulare, care, împreună cu ecuația diferențială, oferă o descriere matematică completă a unui anumit proces de conducere a căldurii și sunt numite condiții de unicitate sau condiții la limită.
Condițiile de unicitate includ:
Condiții geometrice care caracterizează forma și dimensiunile corpului în care are loc procesul;
Condiții fizice care caracterizează proprietățile fizice ale mediului și ale corpului;
Condiții temporale sau inițiale care caracterizează distribuția temperaturii în corp la momentul inițial de timp;
Condiţii la limită care caracterizează condiţiile de interacţiune dintre organismul considerat şi mediu.
Condițiile limită pot fi specificate în mai multe moduri.
Condițiile limită de primul fel definesc distribuția temperaturii pe suprafața corpului pentru fiecare moment de timp:
Condițiile limită de al doilea tip stabilesc valorile fluxului de căldură pentru fiecare punct al suprafeței corpului și în orice moment de timp:
Condițiile limită de al treilea fel sunt date de temperatură mediu inconjuratorși legea transferului de căldură între corp și mediu, care este folosită ca lege a transferului de căldură (ecuația Newton-Richmann):
Conform acestei legi, densitatea fluxului de căldură la suprafață
corpul este proporțional cu diferența de temperatură dintre suprafața peretelui și mediu. Factorul de proporționalitate din această ecuație se numește coeficient de transfer de căldură și este notat cu a, [W / (m 2 × K)]. Caracterizează intensitatea schimbului de căldură între suprafața corpului și mediu.
Pe de altă parte, aceeași densitate a fluxului de căldură poate fi găsită din ecuația:
unde indicele „c” indică faptul că gradientul de temperatură este calculat pe suprafața corpului. Obținem o expresie analitică pentru condițiile la limită de al treilea fel:
Condițiile de limită ale celui de-al patrulea fel iau în considerare cazul când două sau mai multe corpuri sunt în contact strâns unul cu celălalt. În acest caz, fluxul de căldură care a trecut prin suprafața unui corp va trece și prin suprafața altui corp (nu există pierderi de căldură la punctul de contact).
Cursul 2. Secțiunea 2. Conductibilitatea termică în regim staționar
Propagarea căldurii prin conducție termică în pereți plani și cilindrici în modul staționar (condiții limită de primul tip)
Perete plat omogen cu un singur strat. Să luăm în considerare propagarea căldurii prin conducție termică într-un perete plat omogen monostrat de grosime 8, cu lățimea și lungimea sa nelimitată.
Axă X direcționați-l perpendicular pe perete (Fig. 7.4). Pe ambele suprafețe ale peretelui ca și în direcția axei y, cât şi în direcţia axei G datorită furnizării și eliminării uniforme a căldurii, temperaturile sunt distribuite uniform.
Deoarece peretele în direcția acestor axe are dimensiuni infinit de mari, gradienții de temperatură corespunzători W / yu \u003d (k / (k= = 0 și, prin urmare, nu există nicio influență asupra procesului de conductivitate termică a suprafețelor de capăt ale peretelui. În aceste condiții de simplificare, câmpul staționar de temperatură este o funcție numai a coordonatei X, acestea. se consideră o problemă unidimensională. După cum se aplică în acest caz, ecuația diferențială a conducției căldurii va lua forma (at d^dh = 0)
Condițiile limită de primul fel sunt date: 
Orez. 7.4.
Să găsim ecuația câmpului de temperatură și să determinăm fluxul de căldură Ф care trece prin secțiunea peretelui cu arie A(pe fig. 1L peretele nu este indicat, deoarece este situat într-un plan perpendicular pe planul figurii). Prima integrare dă
acestea. gradientul de temperatură este constant pe toată grosimea peretelui.
După a doua integrare, obținem ecuația dorită a câmpului de temperatură
Unde AȘi b - constante de integrare.
Astfel, urmează modificarea temperaturii de-a lungul grosimii peretelui legea liniară, iar suprafețele izoterme sunt plane paralele cu fețele peretelui.
Pentru a determina constantele arbitrare de integrare, folosim condițiile la limită:
Deoarece? > ? CT2 , apoi proiecția gradientului pe axă X la fel de negativ ca
acest lucru era de așteptat pentru direcția aleasă a axei, care coincide cu direcția vectorului de densitate a fluxului de căldură la suprafață.
Înlocuind valoarea constantelor din (7.24), obținem expresia finală pentru temperatura zero
Linia a-bîn fig. 7.4, așa-numitul curba temperaturii, arată modificarea temperaturii în funcție de grosimea peretelui.
Cunoscând gradientul de temperatură, este posibil, folosind ecuația Fourier (7.10), să găsim cantitatea de căldură 8 () care trece prin elementul de suprafață ?? 4, perpendicular pe axă. T.
si pentru o suprafata A
Formula (7.28) pentru fluxul de căldură și densitatea fluxului de căldură la suprafață ia forma
Luați în considerare propagarea căldurii prin conducție termică într-un perete plat multistrat format din mai multe (de exemplu, trei) straturi apropiate (vezi Fig. 7.5).
Orez. 7.5.
Evident, în cazul unui câmp de temperatură staționar, fluxul de căldură care trece prin suprafețele aceleiași zone A, va fi la fel pentru toate straturile. Prin urmare, ecuația (7.29) poate fi utilizată pentru fiecare dintre straturi.
Pentru primul strat
pentru al doilea și al treilea strat
Unde X 2, A 3 - conductivitatea termică a straturilor; 8 1? 8 2 , 8 3 - grosimea stratului.
La limitele exterioare ale peretelui cu trei straturi, temperaturile sunt considerate cunoscute? St1 si? ST4. Temperaturile sunt stabilite de-a lungul interfețelor straturilor? ST2 Și? STZ, care sunt considerate necunoscute. Ecuațiile (7.31) - (7.33) vor fi rezolvate în raport cu diferențele de temperatură:
și apoi adăugați termen cu termen și astfel eliminăm temperaturile intermediare necunoscute:
Generalizând (7.36) pentru un perete cu strat z, se obține
Pentru a determina temperaturile intermediare? ST2, ? STz pe planurile de separare a straturilor, folosim formulele (7.34):
În cele din urmă, generalizând derivația la un perete cu strat în U, obținem o formulă pentru temperatura la limita straturilor i-lea și (r + 1)-lea:
Uneori folosesc conceptul de conductivitate termică echivalentă R echiv. Pentru densitatea suprafeței fluxului de căldură care trece printr-un perete multistrat plat,
unde este grosimea totală a tuturor straturilor peretelui multistrat. Comparând expresiile (7.37) și (7.40), concluzionăm că
Pe fig. 7.5 sub forma unei linii întrerupte arată un grafic al schimbărilor de temperatură pe grosimea unui perete multistrat. În interiorul stratului, așa cum sa demonstrat mai sus, schimbarea temperaturii urmează o lege liniară. Tangenta pantei cp, linia dreaptă a temperaturii la orizontală
acestea. egal cu valoarea absolută a gradientului de temperatură ^1 "ac1 Astfel, conform pantei dreptelor ab, BC si cu
Prin urmare,
acestea. gradienții de temperatură pentru straturile individuale ale unui perete plat multistrat sunt invers proporționali cu conductivitățile termice ale acestor straturi.
Aceasta înseamnă că pentru a obține gradienți mari de temperatură (ceea ce este necesar, de exemplu, la izolarea conductelor de abur etc.), sunt necesare materiale cu valori scăzute de conductivitate termică.
Perete cilindric monostrat omogen. Să găsim câmpul de temperatură și densitatea fluxului de căldură la suprafață pentru un mod staționar de conducere a căldurii pentru un perete cilindric omogen cu un singur strat (Fig. 7.6). Pentru a rezolva problema, folosim ecuația diferențială a conducției căldurii în coordonate cilindrice.
Axa 2 va fi îndreptată de-a lungul axei conductei. Să presupunem că lungimea țevii este infinit de mare în comparație cu diametrul. În acest caz, putem neglija efectul capetelor conductei asupra distribuției temperaturii de-a lungul axei 2. Presupunem că, datorită furnizării și eliminării uniforme a căldurii, temperatura de pe suprafața interioară este peste tot. ST1, iar pe suprafața exterioară -? ST2 (condiții la limită de primul fel). Cu aceste simplificări (k/ = 0, și având în vedere simetria câmpului de temperatură față de orice diametru (d), unde G- raza de curent a peretelui cilindric.
Orez. 7.6.
Ecuația diferențială a conducerii căldurii (7.19) în condiția dt/d m = 0 ia forma
Să introducem o nouă variabilă
care este gradientul de temperatură (grad ?).
Înlocuirea unei variabile Șiîn (7.43), obținem o ecuație diferențială de ordinul întâi cu variabile separabile
sau 
Integrarea, obținem
Pentru un perete cilindric, gradientul de temperatură este o variabilă care crește odată cu descreșterea razei G. Prin urmare, gradientul de temperatură pe suprafața interioară este mai mare decât pe cea exterioară.
Înlocuirea valorii Și de la (7.44) la (7.45), obținem 
Și
Unde un b- constante de integrare.
Prin urmare, curba de distribuție a temperaturii pe grosimea peretelui este o curbă logaritmică (curba a-bîn fig. 7.6).
Să definim constantele AȘi b, incluse în ecuația câmpului de temperatură, pe baza condițiilor la limită de primul fel. Notăm raza interioară a suprafeței r x,în aer liber - g 2 . Notăm diametrele corespunzătoare (1 lȘi (1 2 . Atunci avem un sistem de ecuații
Rezolvând acest sistem de ecuații, obținem
Ecuația temperaturii zero va lua forma 
Gradientul de temperatură este determinat de formula (7.45):
Deoarece? ST1 > ? CT2 , și r, r 2 , apoi gradul de proiecție? pe raza vectorului are o valoare negativă.
Acesta din urmă arată că în acest caz fluxul de căldură este direcționat de la centru spre periferie.
Pentru a determina fluxul de căldură care trece printr-o secțiune a unei suprafețe cilindrice cu o lungime b, utilizați ecuația
Din (7.46) rezultă că fluxul de căldură care trece prin suprafața cilindrică depinde de raportul dintre razele exterioare și interioare r 2 / g x(sau diametre c1 2 / (1 {), nu grosimea peretelui.
Densitatea fluxului de căldură la suprafață pentru o suprafață cilindrică poate fi găsită raportând fluxul de căldură Ф la aria suprafeței interioare Un vp sau la suprafața exterioară Și np.În calcule, densitatea fluxului de căldură liniar este uneori utilizată:
Din (7.47)-(7.49) rezultă
Perete cilindric multistrat. Luați în considerare propagarea căldurii prin conductivitate termică într-un perete (conductă) cilindric cu trei straturi de lungime A (Fig. 7.7) cu un diametru interior c1 x si diametrul exterior (1 l. Diametre intermediare ale straturilor individuale - c1 2şi X2, X3.
Orez. 7.7.
Se cunosc temperaturile? st) internă și temperatură? Suprafața exterioară CT4. Fluxul de căldură Ф și temperatura trebuie determinate? ST2 Și? STz la limitele stratului. Să compunem o ecuație de forma (7.46) pentru fiecare strat:
Rezolvând (7.51)-(7.53) cu privire la diferențele de temperatură, și apoi adunând termen cu termen, obținem
Din (7.54) avem o expresie de calcul pentru determinarea fluxului de căldură pentru un perete cu trei straturi:
Să generalizăm formula (7.55) la peretele țevii cu strat în U: 
Unde i- numărul de serie al stratului.
Din (7.51)-(7.53) găsim o expresie pentru determinarea temperaturii la limitele straturilor intermediare:
temperatura? Artă. +) la hotar?-lea si (G+ 1)-al-lea strat poate fi determinat printr-o formulă similară
Literatura conține soluții ale ecuației diferențiale de căldură pentru o bilă goală în condiții la limită de primul fel, precum și soluții pentru toate corpurile considerate în condiții la limită de al treilea fel. Nu luăm în considerare aceste probleme. Problemele conductivității termice staționare în tije (nervuri) de secțiuni transversale constante și variabile, precum și problemele conductivității termice nestaționare, au rămas, de asemenea, în afara domeniului cursului nostru.
zX
PRELEZA 4
Probleme de conducere a căldurii în diferite sisteme de coordonate.
Sistemul de coordonate carteziene
T
T
T
q
i
j
k
T T x, y, z, t
y
X
X
y
T
T T T
c
qV
t x x y y z z
c
T T
qV
t x x
(1)
(2)
(3)
În practică, există adesea astfel de condiții care duc la necesitatea scrierii ecuației
conductivitate termică într-o formă diferită, mai convenabilă pentru reprezentarea soluției și a fizicii acesteia
interpretări.
Dependența tipului de ecuație
din sistemul utilizat
coordonatele pot fi excluse,
folosind notația operatorului
1T
q
T V
un t
2
X
2
2
y
2
2
z2
a c
T
c
div gradT qV
t
sau
c
T
T qV
t
(4)
Termenii care exprimă degajarea de căldură și stocarea energiei sunt invarianți în raport cu
sisteme de coordonate (adică, neschimbate); dar termenii care exprimă conductivul rezultat
fluxul de căldură depinde de geometrie și, în consecință, de sistemul de coordonate. Sistem de coordonate cilindric
z
c
dr
r
dz
r, z
z
X
T
divq q
t
q T
x r cos
y
r, z
(5)
y r păcat
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r
z
d
y
dr
d
dy
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r 2 2 2
a t r r r
z
X
1 T 1 T
r
qV
a t r r
T
1T
T
; q
; qz
r
r
z
A
(9)
T Ts
c
(8)r,
Sistem de coordonate sferice
z
dr
r,
r
d
X
1T
divq q
un t
q T
y
1 2
1
1
2
2r
2
păcat
2
r păcat 2
r r r r păcat
T
1T
1T
; q
; q
r
r
r păcat
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2T qV
2r
2
păcatul 2
2
a t r r r r sin
r păcat
(11)
d
qr
1 T 1 2 T qV
2r
a t r r
x r sin cos
y r păcatul
z
(12)
z r cos
y
X Ecuații de conducere a căldurii pentru corpuri de formă canonică
Scrierea ecuațiilor în diferite sisteme de coordonate este deosebit de convenabilă,
când trebuie să găsiți distribuția temperaturii în corpurile canonicei
forme – într-un cilindru sau o minge. În aceste cazuri, ecuațiile sunt în esență
sunt simplificate când se specifică condiții speciale, când câmpul de temperatură
depinde doar de o coordonata.
paralelipiped
farfurie
cilindru
sferă
c
T T T T
qV
t x x y y z z
1 T 2T qV
2
a t x
qe
1 T 1 T qV
r
a t r r
1 T 1 2 T qV
r
2
a t r r
T Ts
z
y
X 1 T 1 n T qV
r
n
a t r r
Ultimele trei
ecuații împreună:
n 0
n 2
n 1 cilindru
avion
T T0
T* T0
t
t*
(13)
sferă
r
r*
1 1n
qV
n
Fo
Pe birou
numărul Fourier
la*
Pentru 2
r*
qV1:
la*
la
1: 2
2
r*
r*
(14)
qV r*2
qV
T* T0
q
T* T0 V r*2
1n
1
n
Fo Probleme staționare ale conducerii căldurii în diferite sisteme de coordonate
Perete cilindric: proces staționar de conducere a căldurii în
perete cilindric (conducta) cu raza interioara r1;
d1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r
a t r r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
u
dr
du 1
tu 0
Dr-r
T C1 log r C2
q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
dr
r
d 2T
1dT
0
2 dr
dr
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Fluxul de căldură specific nu este
constantă în grosime și scăzând în
spre suprafața exterioară
În condiții staționare, fluxul total de căldură care trece
o secțiune a unei țevi cilindrice cu lungimea l și egală cu
Q q F q 2 rl
Fluxul termic specific
scade cu raza
!!!
(19)
Suprafață
crește cu raza
Temperatura de-a lungul grosimii țevii variază neliniar chiar și la o constantă
conductivitate termică
Constantele de integrare pot fi găsite din condițiile la limită.
r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 log r1 C2 ,
Sistem liniar
ecuații
T2 C1 log r2 C2 ,
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
q
Q
Flux liniar de căldură
qp
(20)
dT
C
1
dr
r
dT
T
l 2 r
2 l,
dr
log r2 r1
mar
Q
2
T, T T1 T2
l ln r2 r1
(21)
(22)
(temperaturile peretelui sunt necunoscute)
T C1 log r C2
Putem face la fel:
r r1:
Să o facem altfel:
(23)
T
T
1e T Te1 ; r r2:
2e Te2 T
r
r
Flux de căldură convectiv pe unitate de lungime
conductele trebuie să fie egale cu fluxul de căldură liniar
datorita conductibilitatii termice:
qp 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qp
log r2 r1
qp Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(M K)
1
1r
1
ln 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qp 2e T2 Te2 2 r2
Coeficient de transfer termic pt
perete cilindric
Rc
1
1
1r
1
ln 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
perete plat
R
1 L 1
1 2
1 L 1
K
1
2
1
W/(M2 K)
Din sistemul de ecuații (23) putem găsi
și temperatura peretelui și înlocuiți în (20)
Termică completă
rezistența conductei
(24)
(25)
(26)
Dimensiune
difera de
dimensiunea K pentru
perete plat!
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
Poate sa
Pe birou În variabile adimensionale
r1
d2
d
r2
2
1d
0
d
(27)
d
Bi
d
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Exercițiu
pe casa:
1:
T Te 2
r
; r* r2
Te1 Te2
r2
d
Bi 1
d
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 log C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Treceți cu atenție la variabilele adimensionale
B) Găsiți constante de integrare din sistem (30)
B) construi pentru valori diferite parametrii
10.
Principiiconsistent
Și
paralel
conexiuni ale rezistențelor termice într-un circuit,
valabil pentru un perete plat într-un dreptunghiular
sistem de coordonate, poate fi aplicat și la problema de
conducerea căldurii într-un cilindru gol.
Analogie electrică
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
log r2 r1
2l
Lichidul curge într-o conductă, R 1 1
0
F 2 r1l
acoperit cu izolator
material
dT
T
l 2 r
2l,
dr
log r2 r1
T
Q
,
log r2 r1 2 l
In forma
Legea lui Ohm
Rezistenta termica
cilindru gol
termică convectivă
rezistență la fluide
Avem o legătură în serie a rezistenței convective a lichidului cu două
rezistențe termice conductoare. Dacă este dată temperatura lichidului și temperatura
suprafata exterioara:
T0 Ts
T
Q
A)
R
deplin
r
r
1
1
1
ln 2
ln 3
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Rezistenţă
izolare
Dacă sunt date temperaturile suprafeţelor interioare şi exterioare
B)
T
Q
Rfull
T1 Ts
r
r
1
1
ln 2
ln 3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)
11.
Exemplu1 185
Într-o țeavă de aluminiu cu conductivitate termică
W/(m K), vapori de apă care curg
◦
la o temperatură de 110 C. Diametrul interior al țevii este de 10 cm, diametrul exterior este de 12
Te
vezi Conducta este situată într-o cameră cu o temperatură
30◦С; coeficient
e
transferul convectiv de căldură din conductă
spre aer
egal cu 15 W/(m2K). 1) Obligatoriu
găsiți fluxul de căldură pe unitatea de lungime a conductei dacă conducta nu este izolată termic.
2) Pentru a reduce pierderile de căldură din conductă, aceasta a fost acoperită cu un strat de izolație termică
(2 0,2 W / (m K)) 5 cm grosime Aflați fluxul de căldură pe unitatea de lungime de la
conducta izolata termic. Să presupunem că termica convectivă
rezistența la vapori este neglijabilă.
Soluţie. Pentru o conductă fără izolație termică, cele mai semnificative sunt
rezistența termică conductivă a conductei în sine și termică convectivă
rezistența aerului din încăpere. Din moment ce termic convectiv
rezistența la vapori poate fi neglijată, temperatura suprafeței interioare
conductelor este egală cu temperatura aburului. Fluxul de căldură pe unitatea de lungime a conductei rezultă din
relații T T
110 30
80
q
0
e
log r2 r1
1
2 1
2 r2 e
ln 6 5
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/m.
Pentru o țeavă cu izolație termică, trebuie să adăugați rezistență termică
izolarea termică, iar raportul pentru fluxul de căldură ia forma
q
T0 Te
80
138
ln r3 r2 1,57 10 4 0,096 0,482
log r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
W/m
12.
Perete cilindric multistratqc
Tn T1 1
n
d
1
log i 1
2 i
di
, d i 2r1
qc
eu 1
Conceptul rămâne valabil.
coeficient echivalent
conductivitate termică
echivalentul
log d n 1 d1
n
eu 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d i 1
ln
eu di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Temperatura Ti 1
Ti 1 Ti
2 echiv T1 Tn 1
log d n 1 d1
la limita dintre straturile i-lea și i+1
qc 1 d 2 1 d3
1d
ln ln ... ln i 1
2 1 d1 2 d 2
i
di
(35)
Coeficient de transfer termic:
Kc
1
1
1d1
n
eu 1
1 di 1
1
ln
2 i di 2 d 2
(36)
13.
r1
Fluxul radial de căldură în conductă este invers proporțional cu logaritmul
raza exterioară (rezistența conducției radiale crește);
r2
Disiparea căldurii de pe suprafața exterioară este direct proporțională cu aceasta
raza (aria suprafeței de răcire crește)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Prin urmare, există o anumită rază, la
unde pierderea de căldură este cea mai mare.
Dacă, pentru o rază interioară fixă (mică), crește
grosimea peretelui țevii (adică, creșterea razei exterioare r2), apoi acțiunea
logaritmul în formula pentru rezistența termică va fi mai mare
mai puternic decât cu o rază interioară mai mare
14.
Diametrul critic al izolației termiceqc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Stare extrema:
dă
r2*1
2
Raza critică
Caz special de rezistență internă zero, 1 1 0
y
q
2 Te1 Te 2
1
r
,x2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Rezistența externă este, de asemenea, zero
r1 r2
Grosimea peretelui este 0
1:x2r2
Pentru o rază interioară dată, valoarea criticului
raza exterioară crește dacă crește
conductivitatea termică a conductei sau dacă coeficientul scade
transfer de căldură pe suprafața exterioară
(37)
Bi 1
15.
izolatieExistența unei raze exterioare critice duce la faptul că la
unele condiții reale, contrar ideilor obișnuite,
pierderea de căldură a conductei izolate poate fi efectiv redusă
prin reducerea grosimii izolatiei
d1
d2
Rezistența termică totală pentru o țeavă cu două straturi, a cărei secțiune transversală
prezentat în figură, este determinat de formulă
d3
Rc
1 2
teava
Condiție
extremum:
d2 d3*
d3 d2
(39)
- grosimea izolației
Rezistența termică a conductibilității termice a izolației (I) crește odată cu creșterea
grosimea stratului izolator; rezistența termică a izolației cu transfer de căldură
(II) - cade (deoarece suprafața de transfer de căldură crește)
RDC
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3*
1
1
1d2
1d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(eu)
d3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
nu depinde de
d2
(40)
(adică nu depinde de diametrul conductei în sine)
ÎN punct critic complet termic
rezistenta este minima.
creșterea grosimii izolației reduce transferul de căldură
aplicarea stratului selectat va avea ca rezultat inițial o creștere
transferul de căldură și numai când este atins diametrul critic, fluxul de căldură va fi
scădea; atunci va ajunge la valoarea care a fost fără izolație, și abia atunci
va duce la efectul dorit.
16.
Problemă pentru o minge goală(peretele mingii)
d 2T
dr
2
2dT
0
r dr
(41)
Considerăm un staționar spațial unidimensional
problema conducerii căldurii într-un perete sferic cu dat
razele suprafețelor interioare și exterioare. Unidimensionalitate
problema înseamnă că distribuția temperaturii în perete
depinde doar de raza
Prin înlocuire
variabile
r1
dT
u
dr
du
2u
Decizie comună
dr
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21 ; Tr1C2;
2
r
Dr-r
r
r2
Condiții la limită de primul fel
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
Tr 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Densitatea fluxului termic
Debitul total de căldură
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
q
2C1
dr
1 r1 1 r2
r
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
dr
1 r1 1 r2
(46)
17.
Condiții limită de al treilea felT r
Decizie comună
nu se schimba
C1
C2
r
T
r r1: -
1TTe1
r
T
r r2: -
2 Te2 T
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
Dr-r
C2
(48)
Fluxul total de căldură Q nu este
depinde de raza curentului
1r1 T 1r12 T
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
În limita transferului de căldură ideal al mediilor cu temperaturi date și
perete sferic (adică la coeficienți de transfer de căldură infiniti) soluția problemei cu
condiţiile la limită de al treilea fel trece în soluţionarea unei probleme cu condiţii la limită
conditii de primul fel.
4
Q
T T
1 1 1 2
r1 r2
=
flux de caldura,
4 r1 2 1 Te1 T
vin la
perete interior
=
flux de caldura,
4 r 2 2 2 T Te 2
plecând
perete exterior
18.
Distribuția temperaturii într-un perete sfericpentru condiţiile limită de al treilea fel
Acasă:
reda toate
soluţie
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
T r
1 1
r1 r2
Temperaturile peretelui:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1Te 2
T2
Conductivitate peretelui bilei:
s
1 1
r1 r2
r1r2
r 2 r1
19.
Rezolvarea celor mai simple probleme în formă adimensionalăSă colectăm soluții de probleme staționare pentru corpuri de formă canonică cu
condiţii la limită de primul fel împreună
T p T1 T1 T2
r
r2
Acasă: Joacă!
Tc
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r2
T1 log r 2 r T 2 log r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T2
r
r2
0,8
p1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
c
p
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
Într-un perete plat, distribuția calitativă
temperatura (liniară) nu depinde de ea
grosime. Dar în cilindric și sferic -
variază neliniar cu raza;
caracter
distribuţia (curbura curbei) depinde de
raportul dintre razele exterioare și interioare.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Distribuția temperaturii în plat
(1), cilindric (2) și bilă (3)
perete. linii continue
;
10
linii punctate - . 5
20.
În cazul condițiilor la limită de al treilea fel, soluții la cele mai simple problemedepind de parametrii care caracterizează transferul de căldură.
Pentru aceiași coeficienți de transfer de căldură.
T Te 2
Te1 Te2
r
r2
1 2
0,8
pentru farfurie
1
p 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
pentru cilindru:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 log 2 log
ln
1 1
2
1 biln
1 biln
c
pentru sfera:
s
1
1 1 1 2
1
1 Bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Distribuția temperaturii
de-a lungul coordonatei în plan (1),
cilindric (2) şi sferic
(3) pereți în condiții
transfer de căldură convectiv.
Linii continue - Bi 2 ;
punctat - Bi 1 0
21.
Exemple: sticla DewarO particulă de metal acoperită cu o peliculă de oxid
Teme pentru acasă:
1. Formulați problema distribuției temperaturii în două straturi
înveliș sferic în timpul răcirii sale convective, folosind materialul
prelegeri. Se presupune că contactul termic dintre straturi este ideal. Conduce
problemă la o formă adimensională. Construiți o soluție analitică exactă
aceasta sarcina.
2.*Calculați temperatura suprafețelor interioare și exterioare ale mingii
cochilii din problema 1, precum și temperatura la contact; determina complet
fluxul de căldură care părăsește suprafața mingii, presupunând că temperaturile
mediu în interiorul carcasei - 175 C, temperatura mediului - 25 C;
coeficienții de transfer de căldură sunt aceiași și egali - 28,8 kcal / (m2 oră grade);
raze interioare și exterioare ale carcasei - 3 cm și 5 cm, grosime
carcasă interioară - 25 mm. Carcasa interioară este realizată din
material cu o conductivitate termică de 1,45 kcal/(m oră grade); exterior de
material cu un coeficient de conductivitate termică de 0,137 kcal/(m h deg). Cum
fluxul de căldură se va modifica odată cu modificarea grosimii exteriorului
cochilii variind de la 25 mm la 300 mm?
22.
d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
G.u. primul fel: r r1:
qV const
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
G.u. al treilea fel:
r r1:
-
T
1 T Te1 ;
r
r r2:
-
T
2 Te2 T
r
Primul „mod” al soluției:
Problema este rezolvată prin integrare elementară:
qV x 2
T x
C1x C2
2
dT
q
V x C1;
dx
(4)
Înlocuind decizie comunăîn g.c., găsim constantele integrării.
Maximul este la o oarecare distanță de suprafețe.
Poziția maximă poate fi găsită din condiție (condiție extremă)
dT
q x
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)
23.
Sarcini cu surse interne de căldurăPERETE PLAT CONDUCTOR DE CĂLDURĂ CU VOLUM DE DEMISIE DE CĂLDURĂ
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Hai să o facem puțin diferit. (A doua cale
solutii)
qV x 2
T x
C1x C2
general
soluţie
2
(4)
Punem originea coordonatelor în punctul în care
temperatura este maxima
T2
1; 2
- distanta de la maxim pana la marginile placii
0
C10
Rescriem condiția la limită din dreapta după cum urmează:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
Deoarece planul x=0 poate fi considerat izolat termic, toată căldura eliberată în
placa din dreapta pe unitatea de timp trebuie redirecționată către mediu
prin transfer de căldură de la peretele drept. În caz contrar, condiția va fi încălcată
staționaritate
qV 2 - cantitatea de căldură eliberată în volumul plăcii cu grosime \u003d 1 pe unitate de timp
În stânga - expresia fluxului de transfer de căldură pe unitatea de suprafață a plăcii
24.
Raționament similar pentru stratul stâng al plăcii cu grosime1 2
duce la expresie
2
q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
Folosind egalitățile (6), (7), găsim poziția
maxim
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
Determinând constanta C2, (oricare dintre egalități este potrivită), găsim soluția generală.
Ia cea mai simplă formă dacă
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
Apoi
qV qV 2
C2
Te
2
8
Și
2
q
qV
2
T x
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Cu cât este mai mică, cu atât conductivitatea termică a plăcii este mai mare
Tmax T x 0
Te
8
2
q
Temperatura peretelui Ts T1 T2 V Te crește odată cu deteriorarea transferului de căldură
2
25.
Condiții la limită de primul felT1
2
1
T2
0
qv 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
T x T2
X
1
2
2 2
qV
Pentru valori foarte mari
x2:
qV x 2
T x
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Condițiile la limită de al treilea fel sunt transformate în condiții la limită
conditii de primul fel. Prin urmare, avem aceeași soluție
folosiți soluția anterioară
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
În consecință, dintr-o problemă simetrică cu condiții la limită de al treilea fel (10) găsim
2
qV
2
T x
x Ts
2 2
Tmax T x 0
q
V Ts
8
2
Temperatura
ziduri
(14)
Din soluția anterioară rezultă aceeași egalitate, cu condiția ca temperaturile pereților să fie egale
26.
Luați în considerare un cilindru solid infinit încălzit uniform (sau
răcit) de pe suprafaţa laterală. Sursa de căldură este situată în volumul cilindrului
intensitate constantă. Este necesar să se găsească distribuția temperaturii pt
modul stabilit.
d 2T 1 dT q
dr
u dT dr
2
r dr
q r
du
r
u V 0
dr
V
sau
0
(1)
d ru qV r
0
dr
qV r 2
ro
C1
2
q r C
dT
V 1
dr
2
r
Decizie comună
Primul
integrală
(3)
qV r 2
T
C1 log r C2
4
Stare in centru pt
cilindru solid
dTdr0; r0
(2)
(4)
C10
27.
Cilindru cu disipare volumetrică a călduriidT
T Te
r R
dr
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
r
Te
C2
Te
4
2
2
4
q
q R
q R
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Stare exterioara:
densitatea fluxului de căldură pe suprafața cilindrului:
fluxul total de căldură de la suprafața cilindrului:
q Ts Te
QqF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Problema răcirii unui cilindru cu degajare volumetrică de căldură este, în
în special, de interes pentru găsirea distribuției temperaturii în catozi,
utilizate în torțele cu plasmă pentru a genera fluxuri de ioni. In practica
aplicație, această problemă poate fi reformulată astfel: găsiți puterea
sursă suficientă pentru a pulveriza catodul, cu condiția ca acest lucru să necesite
ajunge la punctul de topire al materialului catodic
Folosind soluția generală (4), se poate găsi distribuția temperaturii pe grosime
pereții unui cilindru gol sau în funcție de grosimea unui cilindru acoperit cu un strat protector
(vom lua în considerare în continuare). În primul caz, trebuie să setați condițiile pe suprafața interioară
cilindru. În al doilea caz, este necesară o condiție suplimentară la interfață
două materiale cu proprietăți diferite, de ex. condiție limită de al patrulea fel.
28.
Sferă cu disipare volumetrică a călduriiqV r 2 C1
Acasă: spectacol
T
C2(2)
(1)
care este solutia generala
6
r1
dr2
(1) are forma (2)
dT
Conditii:
dTdr0; r 0 şi dr T Te ; r R
q
q
da C1 0 și
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R1
3
6
R
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Temperatura maxima
3
6
q
q
Temperatura suprafeței
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R2dT
1
Fluxul total de căldură prin suprafață
Q
R 3qV
4 dr r R 3
minge
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
cilindru
s
2
4
2
Comparaţie
d 2T
2 dT qV
0
r dr
Strat plat Tmax
qV qV 2
Te
2
8
q
T s V Te
2
cu (4), (5)
29.
Exemplul 1. Aflați curentul maxim prin care poate fi trecutsârmă de aluminiu (λ = 204 W / (m K)) cu diametrul de 1 mm, astfel încât
temperatura nu a depăşit 200 C. Firul este suspendat în aer cu
temperatura 25 C. Coeficientul de transfer de căldură convectiv de la sârmă la
aerul este de 10 W/(m2 K). Rezistenta electrica Re/l pe unitate
lungimea firului este de 0,037 ohm/m.
Soluţie. Să folosim formula (66), din care urmează
qV
Re I 2
R2l
Tmax
qV R R
I 2 Re
Te
1
Te
2
2
2Rl
R
1 2
Înlocuim valorile date ale mărimilor fizice:
200 25
eu
2
2 1 0 3
De aici găsim puterea actuală:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
I 12,2 A
30.
Sârmă cu izolațieFormularea matematică strictă a problemei:
d 2T1
dr
2
d 2T2
Prima condiție este condiția de simetrie;
al doilea spune că termicul
contactul dintre fir și izolație
perfect, iar al treilea corespunde
fire de schimb de căldură convectiv cu
izolare de mediu.
dr
2
1dT2
0
r dr
r0: dT dr0
r R: 1
r R
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2 ; T1 T2
dr
dr
r R: 2
Solutia generala a problemei:
1 dT1 qV
0
r dr
1
dT2
T2 Te
dr
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Acasă: spectacol
justiţie
31.
Sârmă cu izolațieqV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Solutia generala a problemei:
T2 C3 l n r C 4
Din condiția (3) avem:
C10
qR
C
1 V 2 3
R
2 1
Condițiile (4) dau:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Condiția (5) implică:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
ln R C 4 Te
R
R22
2 2
Găsim:
qV R 2
q R
C 4 Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C 2 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R
32.
Prin urmare, distribuția temperaturii în fir cu izolațieeste descris prin formule
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R41
Și
qV R 2 2 qV R 2 R
T 2 Te
ln
2 2 R
2 2
r
Prezentăm soluția finală sub forma:
T Te
eu i
T Te
qV R 2
T Te
1
r
R
1
Bi K
2
1 1 2
jurnalul 1
4
K2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Determinați fluxul de căldură de la suprafață
conductor
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Du-te acasă la
variabile adimensionale
0 1
Bi
1 1
K
Q
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- izolația nu elimină căldura din conductorul purtător de curent
- posibila racire a conductorului datorita pierderilor de caldura in
mediu inconjurator
R
33.
Exemplul 2. Lăsați un fir lung de aluminiu cu diametrul de 1 cmcurgere electricitate puterea curentului 1000 A. Firul este acoperit cu un strat
izolație din cauciuc de 3 mm grosime (λ2=0,15 W/(m K)). Temperatura
suprafața exterioară a izolației 30 C. Aflați temperatura interiorului
suprafata de izolare. Rezistența ohmică a firului pe unitate
lungime 3,7 10-4 Ohm/m.
Soluţie. Pentru a rezolva această problemă, folosim a doua formulă pentru Т2
considerată problemă adjunctă. Având în vedere că temperatura este setată
2
suprafața exterioară a izolației, adică
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
Rl
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Folosind valoarea conductibilității termice a firului de aluminiu
1 232 W / (m K) și formula pentru T, putem calcula temperatura din centru
1
fire. În condițiile luate în considerare, avem
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2
34.
Temă pentru acasă.1. Curentul cu o putere de I \u003d 200A este trecut printr-un fir de oțel inoxidabil
cu diametrul de 2 mm şi lungimea de 1 m. Rezistenţa electrică a firului este
0,125 Ohm, conductivitate termică 17W/(m K). Temperatura
suprafața firului 150 C. Este necesar să se calculeze temperatura pe axă
sârmă.
2. Presupuneți în aceeași problemă că firul este acoperit cu un strat de izolație
(coeficientul de conductivitate termică a izolației 0,15 W/(m K)), iar coeficientul
transferul de căldură pe suprafața izolatoare este de 60 W/(m2K). După cum este necesar
modifica puterea curentului (creștere sau scădere) astfel încât temperatura
suprafața firului a rămas egală cu 150 C.
35.
Proprietăți termofizice eficiente (echivalente).Folosit cu adevărat în inginerie mecanică și materiale din jurul nostru
sunt multicomponente și multifazate. Acest lucru se aplică oțelului
aliaje, compozite intermetalice, materiale sinterizate,
compozite din fibre, compozite pe bază de polimeri, amestecuri,
solutii etc.
Dacă pentru componentele inițiale (din care compozitele sunt sintetizate în
tehnologii diferite) sau date fiind materialele folosite cu proprietăţile tuturor
mai mult sau mai puțin clar, apoi pentru materialele nou dezvoltate
definirea proprietăților este o problemă majoră.
Este posibil ca metodele experimentale standard să nu funcționeze sau să devină
costisitoare sau intensivă în muncă
Pentru calcul, este necesar să se cunoască proprietățile componentelor, structura și reciproce
influență fenomene fizice Reciproc.
Nu există date despre proprietăți fizice ah nu este posibil nici o stiinta
sau calcul ingineresc
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Conductibilitatea termică a amestecurilor și compozitelor
materiale
36.
Modele pentru calcularea proprietăților:corpuscular (molecular), continuu și combinat
În modelele corpusculare, proprietățile sunt studiate pe baza cunoașterii naturii,
structura și natura interacțiunii particulelor. Calculul proprietăților fizice în
În acest caz, este posibil numai cu utilizarea datelor despre alte proprietăți.
Clasificarea structurilor eterogene:
Dulnev, pp.10-52 (deschis)
Compozite: pp.106-130
37.
Există numeroase moduri de a calcula coeficienții efectiviconductivitatea termică a materialelor eterogene și poroase
În cea mai simplă aproximare pentru procesul de conducere a căldurii în mod separat
microdomeniu (care este considerat un volum reprezentativ)
ecuațiile fizice sunt valabile
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Condiții de limită pe interfețele regiunilor cu ideal
contactul termic are forma:
T
T
k k k 1 k 1 ; Tk Tk 1
n
n
Pentru a determina conductivitatea termică efectivă a unui material (constând din
diferite faze), este necesar să se determine distribuţiile câmpurilor fizice în timpul
toate microdomeniile, iar apoi trece la un mediu cvasi-omogen, pt
care relaţiile
JT*T
1
J k dV ;
V
1
Tk d
T
V
V
Stabilirea tipului de aceasta
Coeficient efectiv: f k , k ;
dependențe și este
sarcina principala
- fracţiuni de fază
diverse teorii.
JT
T
38.
Sistem bifazat1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V, 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
k
T1 T1
2T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Urmează din
anterior
, k 1,2
- gradient mediu de volum
Sistemul a două ecuații (1) conține trei necunoscute. Pentru e închidere
necesar Informații suplimentare, de exemplu, structura informațiilor
sistem eterogen, datele unui experiment special conceput.
Rezolvarea problemei închiderii unor astfel de sisteme a dus la apariția tuturor
varietate de metode pentru determinarea coeficienților de transfer (nu numai
coeficient de conductivitate termică), care este cunoscut în literatură
39.
1. În cazul celei mai simple structuri, care este un sistemplăci nelimitate paralele cu fluxul J
1 2 1
Și
1 1 2 2
2. Dacă straturile sunt perpendiculare pe flux
1 T1 2 T2 ;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Tipurile de structuri ale mediilor neomogene sunt foarte diverse. Deci, în caz
medii în două faze, la care faze (microregiuni care conțin diferite faze)
poate fi distribuit în spațiu atât aleatoriu, cât și ordonat,
se pot distinge structuri care conțin una dintre faze sub formă de izolate
incluziuni izomerice (1) sau orientate anizotrop (2) în
continuă altă fază, sisteme granulare cu un cadru continuu (3) și
pori (4), sisteme fibroase de fibre (5) și pori (6), statistic
sisteme neomogene (microomogene) de dimensiuni similare
componente (7), sisteme stratificate de paralele (8) și perpendiculare
(9) straturi de curgere. Ne putem imagina sisteme formate din indivizi
subsisteme cu diverse structuri de tipul descris. În plus
fiecare dintre fazele incluse în structuri poate fi atât multicomponentă cât şi
și o singură componentă. În orice caz, este necesar să se calculeze proprietățile fiecăreia dintre faze
sau definirea lor experimentală.
40.
Ecuația Kondorsky3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevsky (metoda
1
mediu eficient)
4
16
2
2 1
1 V1 V, 2 V2 V
13
2 1
1 2
metoda integrală
Estimări bilaterale (estime
Hashin-Shtrikhman)
Shermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Indicele 1 se referă la matrice și „2” se referă la incluziuni
În ciuda modelelor media simplificate, unele dintre formulele binecunoscute
fac posibilă efectuarea unor estimări destul de fiabile, deși numărul de formule pentru
diverse cazuri speciale de media crește rapid cu creșterea numărului de faze.
41.
Acasă:Există un compozit. Matricea este un aliaj pe bază de wolfram (o considerăm
conductivitate termică egală cu conductivitatea termică a tungstenului).
Particule (incluziuni) carbură de titan.
Folosind formulele de mai sus, calculați dependențele
coeficienții efectivi de conductivitate termică a compozitului pe fracție
incluziuni (ξ= de la 0 la 0,75). Trasează pe o singură diagramă.
Ce concluzie se poate trage?
42.
Proprietățile materialelor granulare și poroaseDespre conductivitatea termică efectivă a materialelor poroase, celelalte lucruri fiind egale
condiţiile este influenţată de conductivitatea termică a fazei solide. În același timp, pentru
pentru unele materiale poroase (pe baza A12O3, BeO, MgO etc.) coeficient
conductivitatea termică scade odată cu creșterea temperaturii, în timp ce pt
altele, realizate pe baza de SiO2, ZrO2, - crește. Decisiv
porozitatea are un efect asupra conductivității termice efective, deoarece
porii înșiși, datorită conductivității scăzute a gazului, sunt eficienți
barieră în calea răspândirii căldurii. Cu toate acestea, există și altele
mecanisme de transfer de căldură (convecție, radiație).
Cele mai simple modele se bazează pe reprezentarea unui poros sau
material dispersat sub formă de straturi alternative plate, compuse și
cadru solid (miez) și aer.
1
1
2
2
1
1 1 2
- proportia porilor; porozitate
- conductivitatea termică a aerului sau a umplerii cu alte substanțe
spațiu poros
43.
Modelele prezentate în figura din centru sunt asociate cu numeMaxwell–Eucken (Maxwell-Aiken). Rezultatul arata ca
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
cadrul solid este continuu
continuu este poros
spaţiu
modelul teoriei medii eficiente
Se încarcă...
