Soluție generală a mâlului neomogen. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, metode de rezolvare, exemple. Controlul dezvoltării materialului acoperit

Soluţie găsiți cu un calculator. Algoritmul de soluție este același ca pentru sistemele liniare ecuații omogene.
Operând numai cu rânduri, găsim rangul matricei, minorul de bază; declarăm necunoscute dependente și libere și găsim soluția generală.

Exemplul 2 . Aflați soluția generală și sistemul fundamental de soluții ale sistemului
Soluţie.



,
rezultă că rangul matricei este 3 și este egal cu numărul necunoscut. Aceasta înseamnă că sistemul nu are necunoscute gratuite și, prin urmare, are o soluție unică - una trivială.

Exercițiu . Explorează și rezolvă sistemul ecuatii lineare.
Exemplul 4

Exercițiu . Găsiți soluții generale și particulare pentru fiecare sistem.
Soluţie. Scriem matricea principală a sistemului:

Sarcina . Găsiți un set fundamental de soluții pentru un sistem omogen de ecuații liniare.

Sistem m ecuații liniare c n necunoscut este numit sistem de omogen liniar ecuații dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero. Un astfel de sistem arată astfel:

Unde şi ij (eu = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - numere date; x i- necunoscut.

Sistemul de ecuații liniare omogene este întotdeauna consistent, deoarece r(A) = r(). Are întotdeauna cel puțin zero ( banal) soluție (0; 0; ...; 0).

Să considerăm în ce condiții sistemele omogene au soluții diferite de zero.

Teorema 1. Un sistem de ecuații liniare omogene are soluții diferite de zero dacă și numai dacă rangul matricei sale principale r mai mic decât numărul necunoscut n, adică r < n.

□ 1). Fie că sistemul de ecuații liniare omogene are o soluție diferită de zero. Deoarece rangul nu poate depăși dimensiunea matricei, este evident că r ≤ n. Lăsa r = n. Apoi unul dintre minorii de mărime n n diferit de zero. Prin urmare, sistemul corespunzător de ecuații liniare are o soluție unică: , , . Prin urmare, nu există alte soluții decât cele banale. Deci, dacă există o soluție non-trivială, atunci r < n.

2). Lăsa r < n. Atunci un sistem omogen, fiind consistent, este nedefinit. Prin urmare, are un număr infinit de soluții, adică are și soluții diferite de zero. ■

Luați în considerare un sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscut:

(2)

Teorema 2. sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscute (2) are soluții diferite de zero dacă și numai dacă determinantul său este egal cu zero: = 0.

□ Dacă sistemul (2) are o soluție diferită de zero, atunci = 0. Pentru la , sistemul are doar o soluție unică zero. Dacă = 0, atunci rangul r matricea principală a sistemului este mai mică decât numărul de necunoscute, adică r < n. Și, prin urmare, sistemul are un număr infinit de soluții, adică. are și soluții diferite de zero. ■

Indicați soluția sistemului (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ca o sfoară .

Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

1. Dacă sfoara este o soluție pentru sistemul (1), atunci șirul este și o soluție pentru sistemul (1).

2. Dacă liniile și sunt soluții ale sistemului (1), apoi pentru orice valoare Cu 1 și Cu 2 combinația lor liniară este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1).

Puteți verifica validitatea acestor proprietăți prin înlocuirea lor directă în ecuațiile sistemului.

Din proprietățile formulate rezultă că orice combinație liniară de soluții la un sistem de ecuații liniare omogene este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.

Sistem de soluții liniar independente e 1 , e 2 , …, e r numit fundamental, dacă fiecare soluție a sistemului (1) este o combinație liniară a acestor soluții e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Dacă rang r matrice de coeficienţi pentru variabile de sistem ecuațiile liniare omogene (1) este mai mică decât numărul de variabile n, atunci orice sistem fundamental de soluții la sistemul (1) constă din n–r solutii.

De aceea decizie comună sistemul de ecuații liniare omogene (1) are forma:

Unde e 1 , e 2 , …, e r este orice sistem fundamental de soluții pentru sistemul (9), Cu 1 , Cu 2 , …, cu p – numere arbitrare, R = n–r.

Teorema 4. Soluție generală de sistem m ecuații liniare c n necunoscute este egală cu suma soluției generale a sistemului corespunzător de ecuații liniare omogene (1) și a unei soluții particulare arbitrare a acestui sistem (1).

Exemplu. Rezolvați sistemul

Soluţie. Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant

prin teorema 2, sistemul are doar o soluție banală: X = y = z = 0.

Exemplu. 1) Găsiți soluții generale și particulare ale sistemului

2) Găsiți un sistem fundamental de soluții.

Soluţie. 1) Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant

prin teorema 2, sistemul are soluții diferite de zero.

Deoarece există o singură ecuație independentă în sistem

X + y – 4z = 0,

apoi din ea exprimam X =4z- y. De unde obținem un set infinit de soluții: (4 z- y, y, z) este soluția generală a sistemului.

La z= 1, y= -1, obținem o soluție particulară: (5, -1, 1). Punând z= 3, y= 2, obținem a doua soluție particulară: (10, 2, 3), etc.

2) În soluția generală (4 z- y, y, z) variabile yȘi z sunt libere, iar variabila X- dependent de ele. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, atribuim valori variabilelor libere: mai întâi y = 1, z= 0, atunci y = 0, z= 1. Obținem soluții particulare (-1, 1, 0), (4, 0, 1), care formează sistemul fundamental de soluții.

Ilustrații:

Orez. 1 Clasificarea sistemelor de ecuații liniare

Orez. 2 Studiul sistemelor de ecuații liniare

Prezentări:

Rezolvarea metodei SLAE_matrix

Soluție Metoda SLAU_Cramer

Soluție Metoda SLAE_Gauss

· Pachete de soluții probleme de matematică Mathematica: căutarea analitice şi solutie numerica sisteme de ecuații liniare

Întrebări de control:

1. Definiți o ecuație liniară

2. Ce fel de sistem face m ecuații liniare cu n necunoscut?

3. Cum se numește soluția sistemelor de ecuații liniare?

4. Ce sisteme se numesc echivalente?

5. Ce sistem se numește incompatibil?

6. Ce sistem se numește articulație?

7. Ce sistem se numește definit?

8. Ce sistem se numește nedefinit

9. Enumeraţi transformările elementare ale sistemelor de ecuaţii liniare

10. Enumeraţi transformările elementare ale matricelor

11. Prezentați teorema aplicației transformări elementare la sistemul de ecuații liniare

12. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda matricei?

13. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda lui Cramer?

14. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda Gauss?

15. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss

16. Descrieți metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

17. Descrieți metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

18. Descrieți metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

19. Ce sisteme pot fi rezolvate folosind matrice inversă?

20. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer

Literatură:

1. matematică superioară pentru economiști: Manual pentru universități / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 p.

2. Curs general de matematică superioară pentru economiști: Manual. / Ed. IN SI. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 p.

3. Culegere de probleme de matematică superioară pentru economiști: Tutorial/ Sub redacția V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 p.

4. V. E. Gmurman, Ghid pentru rezolvarea problemelor în teoria probabilității și statistica magmatică. - M.: facultate, 2005. - 400 p.

5. Gmurman. V.E. Teoria probabilității și statistici matematice. - M.: Liceu, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematică superioară în exerciții și sarcini. Partea 1, 2. - M .: Onix secolul XXI: Lumea și educația, 2005. - 304 p. Partea 1; – 416 p. Partea 2

7. Matematică în economie: Manual: În 2 ore / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Finanțe și statistică, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematică superioară: manual pentru elevi. universități - M .: Liceu, 2007. - 479 p.

Informații similare.

6.3. SISTEME OMOGENE DE ECUAȚII LINEARE

Lăsați acum în sistem (6.1).

Un sistem omogen este întotdeauna consistent. Soluție () se numește zero, sau banal.

Sistemul omogen (6.1) are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă rangul său ( ) este mai mic decât numărul de necunoscute. În special, un sistem omogen în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă determinantul său este zero.

Pentru că de data aceasta totul, în loc de formulele (6.6) obținem următoarele:

(6.7)

Formulele (6.7) conțin orice soluție a sistemului omogen (6.1).

1. Mulțimea tuturor soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare (6.1) formează un spațiu liniar.

2. Spațiul liniarRa tuturor soluţiilor sistemului omogen de ecuaţii liniare (6.1) cunnecunoscute și rangul matricei principale egal cur, are dimensiunen–r.

Orice set de (n–r) soluțiile liniar independente ale sistemului omogen (6.1) formează o bază în spațiuRtoate deciziile. Se numeste fundamental mulţimea soluţiilor sistemului omogen de ecuaţii (6.1). A evidentia "normal" setul fundamental de soluții ale sistemului omogen (6.1):

(6.8)

Prin definiția unei baze, orice soluție X sistem omogen (6.1) poate fi reprezentat sub forma

(6.9)

Unde sunt constante arbitrare.

Deoarece formula (6.9) conține orice soluție a sistemului omogen (6.1), ea dă decizie comună acest sistem.

Exemplu.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect al cursului algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii sunt reduse la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul creării acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

• alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
• studiază teoria metodei alese,
• rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare, luând în considerare în detaliu soluțiile exemplelor și problemelor tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile și conceptele necesare și introducem unele notații.

În continuare, avem în vedere metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, să ne concentrăm pe metoda Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării succesive a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în diferite moduri.

După aceea, ne întoarcem la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare vedere generala, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este degenerată. Să formulăm teorema Kronecker - Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE. Să analizăm soluția sistemelor (în cazul compatibilității lor) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Asigurați-vă că vă opriți asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, luăm în considerare sistemele de ecuații care se reduc la cele liniare, precum și diverse sarcini, a cărui soluție dă naștere SLAE-urilor.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n ) de forma

Variabile necunoscute, - coeficienți (unii reali sau numere complexe), - membri liberi (de asemenea, numere reale sau complexe).

Această formă de SLAE se numește coordona.

ÎN formă matriceală acest sistem de ecuații are forma ,
Unde - matricea principală a sistemului, - matricea-coloana de variabile necunoscute, - matricea-coloana de membri liberi.

Dacă adăugăm la matricea A ca (n + 1)-a coloană coloana matricei de termeni liberi, atunci obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea mărită este desemnată cu litera T, iar coloana de membri liberi este separată printr-o linie verticală de restul coloanelor, adică

Prin rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute, care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute se transformă și ea într-o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă sistemul de ecuații nu are soluții, atunci se numește incompatibil.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații de sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci vom numi astfel de SLAE-uri elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE-uri în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda lui Cramer.

Să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și sunt determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu o astfel de notație, variabilele necunoscute sunt calculate prin formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Exemplu.

Metoda Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Calculați determinantul acestuia (dacă este necesar, consultați articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Compuneți și calculați determinanții necesari (determinantul se obține prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de membri liberi, determinantul - prin înlocuirea coloanei a doua cu o coloană de membri liberi, - prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de membri liberi ):

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații ale sistemului este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei (folosind matricea inversă).

Fie sistemul de ecuații algebrice liniare dat sub formă de matrice , unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , atunci matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă . Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu din stânga, atunci obținem o formulă pentru găsirea matricei coloanei de variabile necunoscute. Deci am obținut soluția sistemului de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda matricei.

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

Deoarece

atunci SLAE poate fi rezolvat prin metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice de complemente algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat - matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse pe coloana-matrice a membrilor liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Problema principală în găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât a treia.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în excluderea succesivă a variabilelor necunoscute: mai întâi, x 1 este exclus din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuațiile, începând de la a treia, și așa mai departe, până la doar variabila necunoscută. x n rămâne în ultima ecuație. Se numește un astfel de proces de transformare a ecuațiilor sistemului pentru eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute metoda Gauss directă. După finalizarea executării directe a metodei gaussiene, x n este găsit din ultima ecuație, x n-1 este calculat din penultima ecuație folosind această valoare și așa mai departe, x 1 este găsit din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit metoda Gauss inversă.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Excludem variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, adăugați prima ecuație înmulțită cu la a doua ecuație a sistemului, adăugați prima înmulțită cu la a treia ecuație și așa mai departe, adăugați prima înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un .

Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 în termeni de alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am înlocui expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, acționăm în mod similar, dar numai cu o parte a sistemului rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, adăugați al doilea înmulțit cu la a treia ecuație a sistemului, adăugați al doilea înmulțit cu la a patra ecuație și așa mai departe, adăugați al doilea înmulțit cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, trecem la eliminarea necunoscutului x 3, acționând în același timp cu partea din sistem marcată în figură

Deci continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma

Din acest moment începem cursul invers al metodei Gauss: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea x n obținută găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuaţie.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda gaussiana.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații, adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum excludem x 2 din a treia ecuație prin adăugarea părților din stânga și din dreapta părților din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Pe aceasta, cursul înainte al metodei Gauss este finalizat, începem cursul invers.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat, găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și aceasta completează cursul invers al metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În cazul general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și degenerată.

Teorema Kronecker-Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este incompatibil dă Teorema Kronecker–Capelli:
pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n ) să fie compatibil este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică Rank( A)=Rang(T).

Să considerăm ca exemplu aplicarea teoremei Kronecker-Cappelli pentru determinarea compatibilității unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Soluţie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să trecem peste minorii de ordinul trei care îl înconjoară:

Deoarece toți minorii de ordinul al treilea învecinați sunt egali cu zero, rangul matricei principale este de doi.

La rândul său, rangul matricei augmentate este egal cu trei, deoarece minorul de ordinul al treilea

diferit de zero.

Prin urmare, Rang(A) , prin urmare, conform teoremei Kronecker-Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Nu există un sistem de soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența sistemului folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești soluția SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de teorema privind rangul unei matrice.

Minor ordinul cel mai înalt se numește matricea A care este diferită de zero de bază.

Din definirea bazei minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero, pot exista mai multe minore de bază; există întotdeauna un minor de bază.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece nu sunt zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este r, atunci toate elementele rândurilor (și coloanelor) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor corespunzătoare ale rândurilor (și coloanelor). ) care formează baza minoră.

Ce ne oferă teorema rangului matricei?

Dacă, prin teorema Kronecker-Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice minor de bază al matricei principale a sistemului (ordinea sa este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu formează minorul de bază ales. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca urmare, după eliminarea ecuațiilor excesive ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

.

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul al treilea este egal cu zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker-Capelli, se poate afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2 .

Ca bază minoră, luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:


A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea minorului de bază, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema rangului matricei:


Astfel am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm prin metoda lui Cramer:


Răspuns:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n , atunci lăsăm termenii care formează minorul de bază în părțile din stânga ecuațiilor și transferăm termenii rămași în părțile din dreapta ale ecuațiilor. a sistemului cu semnul opus.

Variabilele necunoscute (există r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor se numesc principal.

Sunt numite variabile necunoscute (există n - r) care au ajuns în partea dreaptă gratuit.

Acum presupunem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele variabile necunoscute r vor fi exprimate în termeni de variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Aflați rangul matricei principale a sistemului prin metoda minorilor limitrofe. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor de ordinul întâi diferit de zero. Să începem să căutăm un minor de ordinul doi diferit de zero în jurul acestui minor:


Așa că am găsit un minor diferit de zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:


Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei augmentate este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Minorul non-zero găsit de ordinul al treilea va fi luat drept cel de bază.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:


Lăsăm termenii care participă la minorul de bază în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:


Oferim variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică luăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE ia forma


Rezolvăm sistemul elementar de ecuații algebrice liniare obținut prin metoda Cramer:


Prin urmare, .

În răspuns, nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Rezuma.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare de formă generală, aflăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker-Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este inconsecvent.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci alegem minorul de bază și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea minorului de bază ales.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute în partea stângă a ecuațiilor sistemului, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și atribuim valori arbitrare. la variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat, găsim principalele variabile necunoscute prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Folosind metoda Gauss, se pot rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără investigația lor preliminară pentru compatibilitate. Procesul de eliminare succesivă a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre inconsecvența SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere al muncii computaționale, este de preferat metoda Gaussiană.

Vezi descrierea sa detaliată și exemplele analizate în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Înregistrarea soluției generale a sistemelor algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectorii sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune, ne vom concentra asupra sistemelor comune omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem de decizie fundamental Un sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o mulțime de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă desemnăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt coloane de matrice de dimensiunea n prin 1 ) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen poate fi reprezentată ca combinație liniară vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari С 1 , С 2 , …, С (n-r) , adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Sensul este simplu: formula stabilește totul solutii posibile SLAE original, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare С 1 , С 2 , …, С (n-r) , conform formulei obținem una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem seta toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții pentru un SLAE omogen.

Alegem minorul de bază al sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse toți termenii care conțin variabile necunoscute libere. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,…,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, prin metoda Cramer. Astfel, se va obține X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (2) . Și așa mai departe. Dacă dăm variabilelor necunoscute libere valorile 0,0,…,0,1 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (n-r) . Așa se va construi sistemul fundamental de soluții al SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată ca

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale prin metoda franjării minorilor. Ca un minor de ordinul întâi, diferit de zero, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Găsiți minorul de ordinul doi care se limitează la zero:

Se găsește un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este de doi. Să luăm minorul de bază. Pentru claritate, notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE originală nu participă la formarea minorului de bază, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea minorului său de bază este două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.

Sisteme omogene ecuații algebrice liniare

În cadrul lecțiilor metoda GaussȘi Sisteme/sisteme incompatibile cu o soluție comună am luat în considerare sisteme neomogene de ecuaţii liniare, Unde membru liber(care este de obicei în dreapta) cel puțin unul a ecuațiilor a fost diferită de zero.
Și acum, după o bună încălzire cu rangul matricei, vom continua să lustruim tehnica transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Conform primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și obișnuit, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea în continuare a tehnicilor, vor exista o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.

Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?

Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toata lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:

Este destul de clar că sistemul omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, așa-zisul banal soluţie . Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă bespontovoe. Nu din punct de vedere academic, desigur, dar inteligibil =) ... De ce să batem în jurul tufișului, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:

Exemplul 1

Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să se scrie matricea sistemului iar cu ajutorul unor transformări elementare aduc-o într-o formă în trepte. Rețineți că nu este nevoie să scrieți aici bara verticală și coloana zero a membrilor liberi - la urma urmei, orice ați face cu zerouri, acestea vor rămâne zero:

(1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -3.

(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -1.

Împărțirea celui de-al treilea rând la 3 nu are prea mult sens.

Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent , și, aplicând mișcarea inversă a metodei gaussiene, este ușor de verificat că soluția este unică.

Răspuns:

Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are singura solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(în acest caz, 3) este egal cu numărul de variabile (în acest caz, 3 buc.).

Ne încălzim și ne acordăm radioul la un val de transformări elementare:

Exemplul 2

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Din articol Cum să găsiți rangul unei matrice? amintim metoda rațională de reducere incidentală a numerelor matricei. În caz contrar, va trebui să măcelăriți pești mari și adesea mușcători. Eșantion Eșantion temă la sfârșitul lecției.

Zerourile sunt bune și convenabile, dar în practică cazul este mult mai frecvent atunci când rândurile matricei sistemului dependent liniar. Și atunci apariția unei soluții generale este inevitabilă:

Exemplul 3

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Soluţie: scriem matricea sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă de pas. Prima acțiune vizează nu numai obținerea unei singure valori, ci și reducerea numerelor din prima coloană:

(1) Al treilea rând a fost adăugat la primul rând, înmulțit cu -1. A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu -2. În stânga sus, am primit o unitate cu un „minus”, care este adesea mult mai convenabil pentru transformări ulterioare.

(2) Primele două rânduri sunt aceleași, unul dintre ele a fost eliminat. Sincer, nu a personalizat soluția - s-a întâmplat. Dacă efectuați transformări într-un șablon, atunci dependență liniară liniile aveau să apară puțin mai târziu.

(3) La a treia linie, se adaugă a doua linie, înmulțită cu 3.

(4) Semnul primei linii a fost schimbat.

Ca rezultat al transformărilor elementare, se obține un sistem echivalent:

Algoritmul funcționează exact la fel ca pentru sisteme eterogene. Variabilele „șezând pe trepte” sunt principalele, variabila care nu a primit „treptele” este liberă.

Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabilă liberă:

Răspuns: decizie comună:

Soluția banală este inclusă în formula generală și nu este necesar să o scrieți separat.

Verificarea se efectuează, de asemenea, conform schemei obișnuite: soluția generală rezultată trebuie înlocuită în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului și se obține un zero legitim pentru toate substituțiile.

Acest lucru ar putea fi încheiat în liniște, dar soluția unui sistem omogen de ecuații trebuie adesea reprezentată sub formă de vector prin utilizarea sistem fundamental de decizie. Vă rugăm să uitați temporar geometrie analitică, întrucât acum vom vorbi despre vectori în sens algebric general, pe care i-am deschis puțin într-un articol despre rangul matricei. Terminologia nu este necesară umbrirea, totul este destul de simplu.