Integrală triplă în coordonate cilindrice. Calculul integralei triple. Sisteme de coordonate curbilinie. Modificarea variabilelor în coordonatele triple integrale și cilindrice

Exemple de soluții la integrale triple arbitrare.
Aplicații fizice ale integralei triple

În partea a 2-a a lecției, vom elabora tehnica de rezolvare a integralelor triple arbitrare , al cărui integrand funcţia a trei variabileîn cazul general, este diferit de o constantă și continuă în regiune; și, de asemenea, să se familiarizeze cu aplicațiile fizice ale integralei triple

Recomand vizitatorilor nou sosiți să înceapă cu partea 1, unde am trecut în revistă conceptele de bază și problema găsirii volumului unui corp folosind o integrală triplă. În rest, vă sugerez să repetați puțin funcţii derivate a trei variabile, deoarece în exemplele acestui articol vom folosi operația inversă - integrare parțială funcții .

În plus, există un alt punct important: dacă nu te simți bine, atunci este mai bine să amâni citirea acestei pagini dacă este posibil. Și ideea nu este doar că complexitatea calculelor va crește acum - majoritatea integralelor triple nu au metode fiabile de verificare manuală, prin urmare este extrem de nedorit să începeți să le rezolvați într-o stare obosită. Potrivit pentru tonuri joase rezolva ceva mai devreme sau doar ia o pauza (am rabdare, astept =)), ca alta data cu cap proaspat sa continui masacrul integralelor triple:

Exemplul 13

Calculați integrala triplă

În practică, corpul este de asemenea notat cu litera , dar aceasta nu este o opțiune foarte bună, deoarece „ve” este „rezervat” pentru desemnarea volumului.

Lasă-mă să-ți spun ce să NU faci. Nu este nevoie să utilizați proprietăți de liniaritateși reprezintă integrala ca . Deși dacă vrei cu adevărat, poți. În cele din urmă, există un mic plus - înregistrarea va fi lungă, dar mai puțin aglomerată. Dar această abordare încă nu este standard.

În algoritm solutii va fi puțină noutate. Mai întâi trebuie să vă ocupați de zona de integrare. Proiecția corpului pe un plan este un triunghi dureros de familiar:

Corp limitat de sus avion, care trece prin origine. În avans, apropo, ai nevoie asigurați-vă că verificați(mental sau pe ciornă) dacă acest plan „taie” o parte a triunghiului. Pentru a face acest lucru, găsim linia sa de intersecție cu planul de coordonate, adică. rezolva cel mai simplu sistem: - nu, dat Drept (nu pe desen)„trece”, iar proiecția corpului pe plan este într-adevăr un triunghi.

Nici desenul spațial nu este complicat aici:

De fapt, s-ar putea limita doar la ele, deoarece proiecția este foarte simplă. …Ei bine, sau doar desenarea unei proiecții, deoarece corpul este și simplu =) Totuși, să nu desenezi nimic, îți reamintesc, este o alegere proastă.

Și, desigur, nu pot să nu vă mulțumesc cu sarcina finală:

Exemplul 19

Aflați centrul de greutate al unui corp omogen delimitat de suprafețe, . Realizați desene ale corpului dat și proiecția acestuia în plan.

Soluţie: corpul dorit este limitat de planurile de coordonate și de planul , ceea ce este convenabil pentru construcția ulterioară prezent pe segmente: . Să alegem „a” ca unitate de scară și să facem un desen tridimensional:

Desenul a stabilit deja punctul final al centrului de greutate, însă până acum nu îl știm.

Proiecția corpului pe plan este evidentă, dar, totuși, permiteți-mi să vă reamintesc cum să o găsiți analitic - la urma urmei, așa cazuri simple nu sunt întotdeauna găsite. Pentru a găsi linia de-a lungul căreia se intersectează planurile, trebuie să rezolvați sistemul:

Inlocuim valoarea din prima ecuatie: si obtinem ecuatia „plat” drept:

Calculați coordonatele centrului de greutate al corpului prin formule
, unde este volumul corpului.

Să avem două sisteme de coordonate dreptunghiulare în spațiu și
, și un sistem de funcții

(1)

care stabilesc o corespondenţă unu-la-unu între punctele unor zone
Și
în aceste sisteme de coordonate. Să presupunem că funcțiile sistemului (1) au în
derivate parțiale continue. Determinantul alcătuit din aceste derivate parțiale

,

se numește jacobian (sau determinant jacobi) al sistemului de funcții (1). Vom presupune că
V
.

Conform ipotezelor făcute mai sus, se aplică următoarea formulă generală pentru modificarea variabilelor în integrala triplă:

Ca si in cazul integrală dublă, unicitatea sistemului (1) și condiția
poate fi încălcat în puncte individuale, pe linii individuale și pe suprafețe individuale.

Sistem de funcții (1) pentru fiecare punct
se potrivește cu un singur punct
. Aceste trei numere
se numesc coordonatele curbilinii ale punctului . Puncte de spațiu
, pentru care una dintre aceste coordonate rămâne constantă, formează așa-numitele. suprafata coordonata.

II Integrală triplă în coordonate cilindrice

Sistemul de coordonate cilindrice (CCS) este definit de plan
, în care sistemul de coordonate polare și axa
perpendicular pe acest plan. Coordonatele punctului cilindric
, Unde
– coordonatele polare ale punctului – proiecții t ochelari la avion
, A sunt coordonatele de proiecție ale punctului pe axă
sau
.

In avion
introducem coordonatele carteziene în mod obișnuit, direcționăm axa aplicată de-a lungul axei
CSK. Acum nu este dificil să obții formule care să le facă coordonate cilindrice cu carteziană:

(3)

Aceste formule mapează zona cu întregul spațiu
.

Suprafețele de coordonate în acest caz vor fi:

1)
- suprafete cilindrice cu generatoare paralele cu axa
, ale căror ghidaje sunt cercuri în plan
, centrat într-un punct ;

2)

;

3)
- planuri paralele cu planele
.

Sistemul iacobian (3):

.

Formula generală în cazul CSC ia forma:

Observația 1 . Trecerea la coordonatele cilindrice este recomandată atunci când zona de integrare este un cilindru circular sau un con, sau un paraboloid de revoluție (sau părți ale acestuia), iar axa acestui corp coincide cu axa aplicației.
.

Observația 2. Coordonatele cilindrice pot fi generalizate în același mod ca și coordonatele polare din plan.

Exemplul 1 Calculați integrala triplă a unei funcții

pe regiune
, care este interiorul cilindrului
, delimitat de un con
și paraboloid
.

Soluţie. Am considerat deja această zonă în §2, exemplul 6, și am obținut o notație standard în DPSC. Cu toate acestea, calculul integralei în această regiune este dificil. Să mergem la CSK:

.

Proiecție
corp
la avion
este un cerc
. Prin urmare, coordonata se schimba de la 0 la
, A – de la 0 la R. Printr-un punct arbitrar
trageți o linie paralelă cu axa
. Intrare directă în
pe un con, dar va ieși pe un paraboloid. Dar conul
are ecuația în CSK
, și paraboloidul
- ecuația
. Deci avem

III Integrală triplă în coordonate sferice

Sistemul de coordonate sferice (SCS) este definit de plan
, în care este specificat UCS și axa
, perpendicular pe plan
.

Coordonatele punctului sferic spațiul se numește triplu de numere
, Unde este unghiul polar al proiecției punctului pe plan
,- unghiul dintre axe
și vector
Și
.

In avion
introducerea axelor de coordonate carteziene
Și
în mod obișnuit, iar axa aplicată este compatibilă cu axa
. Formulele care raportează coordonatele sferice la carteziene sunt:

(4)

Aceste formule mapează zona cu întregul spațiu
.

Jacobian al sistemului de funcții (4):

.

Suprafețele de coordonate alcătuiesc trei familii:

1)
– sfere concentrice centrate la origine;

2)
- semiplane care trec prin ax
;

3)
sunt conuri circulare cu un vârf la origine, a căror axă este axa
.

Formula pentru trecerea la SSC în integrala triplă:

Observația 3. Trecerea la SSC este recomandată atunci când zona de integrare este o minge sau o parte a acesteia. În acest caz, ecuația sferei
intră în. La fel ca CSC discutat mai devreme, CSC este „legat” de axă
. Dacă centrul sferei este deplasat cu o rază de-a lungul axei de coordonate, atunci cea mai simplă ecuație sferică se va obține cu o deplasare de-a lungul axei
:

Observația 4. Este posibil să se generalizeze SSC:

cu Jacobian
. Acest sistem de funcții va traduce elipsoidul

într-un paralelipiped

Exemplul 2 Aflați distanța medie a punctelor bilei de rază din centrul ei.

Soluţie. Amintiți-vă că valoarea medie a funcției
în zonă
este integrala triplă a funcției pe suprafață împărțită la volumul ariei. În cazul nostru

Deci avem

Procedura de calcul a integralei triple este similară cu operația corespunzătoare pentru integrala dublă. Pentru a-l descrie, introducem conceptul de domeniu tridimensional obișnuit:

Definiție 9.1. O regiune tridimensională V delimitată de o suprafață închisă S se numește regulată dacă:

1. orice linie dreaptă paralelă cu axa Oz și trasată prin punctul interior al regiunii intersectează S în două puncte;
2. întreaga regiune V este proiectată pe planul Oxy într-o regiune regulată bidimensională D;
3. orice parte a domeniului V, tăiată de acesta printr-un plan paralel cu oricare dintre planurile de coordonate, are proprietățile 1) și 2).

Considerăm o regiune regulată V mărginită de sus și de jos de suprafețele z=χ(x,y) și z=ψ(x,y) și proiectată pe planul Oxy într-o regiune regulată D, în interiorul căreia x variază de la a la b, delimitată de curbele y=φ1(x) și y=φ2(x) (Fig. 1). Să definim o funcție continuă f(x, y, z) în domeniul V.

Definiție 9.2. Numim integrala triplă a funcției f(x, y, z) peste domeniul V o expresie de forma:

Integrala triplă are aceleași proprietăți ca și integrala dublă. Le enumerăm fără dovezi, deoarece sunt dovedite în mod similar în cazul unei integrale duble.

Calculul integralei triple.

Teorema 9.1. Integrala triplă a funcției f(x,y,z) pe domeniul corect V este egală cu integrala triplă pe același domeniu:

. (9.3)

Dovada.

Împărțim regiunea V prin planuri paralele cu planurile de coordonate în n regiuni regulate. Apoi din proprietatea 1 rezultă că

unde este integrala triplă a funcției f(x,y,z) peste domeniul .

Folosind formula (9.2), egalitatea anterioară poate fi rescrisă ca:

Din condiția de continuitate pentru funcția f(x,y,z) rezultă că limita sumei integrale de pe partea dreaptă a acestei egalități există și este egală cu integrala triplă. Apoi, trecând la limita de la , obținem:

Q.E.D.

Cometariu.

Similar cu cazul integralei duble, se poate demonstra că schimbarea ordinii de integrare nu schimbă valoarea integralei triple.

Exemplu. Să calculăm integrala în care V este o piramidă triunghiulară cu vârfuri în punctele (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) și (0, 0, 1). Proiecția sa pe planul Oxy este un triunghi cu vârfuri (0, 0), (1, 0) și (0, 1). De jos, regiunea este mărginită de planul z = 0, iar de sus - de planul x + y + z = 1. Să trecem la integrala triplă:

Factorii care nu depind de variabila de integrare pot fi scoși din semnul integralei corespunzătoare:

Sisteme de coordonate curbilinie în spațiul tridimensional.

1. Sistem de coordonate cilindric.

Coordonatele cilindrice ale punctului Р(ρ,φ,z) sunt coordonatele polare ρ, φ ale proiecției acestui punct pe planul Oxy și aplicația acestui punct z (Fig. 2).

Formulele de conversie de la coordonatele cilindrice la coordonate carteziene pot fi specificate după cum urmează:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9,4)

1. Sistem de coordonate sferice.

În coordonatele sferice, poziția unui punct în spațiu este determinată de coordonata liniară ρ - distanța de la punct la origine Sistemul cartezian coordonatele (sau polii sistemului sferic), φ - unghiul polar dintre semiaxa pozitivă Ox și proiecția punctului pe planul Oxy și θ - unghiul dintre semiaxa pozitivă a axei Oz și segmentul OP (Fig. 3). în care

Să setăm formulele pentru trecerea de la coordonatele sferice la coordonatele carteziene:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9,5)

Jacobian și al lui sens geometric.

Luați în considerare cazul general al unei modificări de variabile într-o integrală dublă. Fie dat în planul Oxy un domeniu D mărginit de o dreaptă L. Să presupunem că x și y sunt funcții cu o singură valoare și diferențiabile continuu ale noilor variabile u și v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9,6)

Să considerăm un sistem de coordonate dreptunghiular Оuv, al cărui punct Р΄(u, v) corespunde punctului Р(х, y) din regiunea D. Toate aceste puncte formează regiunea D΄ în planul Оuv mărginit de dreapta L΄. Putem spune că formulele (9.6) stabilesc o corespondență unu-la-unu între punctele domeniilor D și D΄. În acest caz, liniile u = const și

v = const în planul Ouv va corespunde unor linii din planul Oxy.

Să considerăm o zonă dreptunghiulară ΔS΄ în planul Оuv mărginită de dreptele u = const, u+Δu = const, v = const și v+Δv = const. Va corespunde zonei curbilinii ΔS din planul Oxy (Fig. 4). Zonele siturilor luate în considerare vor fi de asemenea notate cu ΔS΄ și ΔS. În acest caz, ΔS΄ = Δu Δv. Să găsim aria ∆S. Să notăm vârfurile acestui patrulater curbiliniu P1, P2, P3, P4, unde

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Să înlocuim incrementele mici Δu și Δv cu diferențele corespunzătoare. Apoi

În acest caz, patrulaterul P1 P2 P3 P4 poate fi considerat un paralelogram și aria lui poate fi determinată folosind formula din geometria analitică:

(9.7)

Definiție 9.3. Determinantul se numește determinant funcțional sau jacobian al funcțiilor φ(x, y) și ψ(x, y).

Trecând la limita la în egalitate (9.7), obținem sensul geometric al jacobianului:

adică modulul jacobian este limita raportului dintre ariile ariilor infinit de mici ΔS și ΔS΄.

Cometariu. Conceptul de jacobian și semnificația lui geometrică pentru un spațiu n-dimensional pot fi definite într-un mod similar: dacă x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn = φ(u1, u2,…, un), atunci

(9.8)

În acest caz, modulul jacobian dă limita raportului „volumelor” regiunilor mici ale spațiilor x1, x2,…, xn și u1, u2,…, un.

Modificarea variabilelor în integrale multiple.

Să studiem cazul general al schimbării variabilelor folosind integrala dublă ca exemplu.

Fie dată o funcție continuă z = f(x,y) în domeniul D, a cărei valoare corespunde aceleiași valori a funcției z = F(u, v) în domeniul D΄, unde

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Luați în considerare suma integrală

unde suma integrală din dreapta este preluată asupra domeniului D΄. Trecând la limita de la , obținem formula de transformare a coordonatelor în integrală dublă.

Transformarea integrală dublă a coordonatelor dreptunghiulare, la coordonatele polare
, raportat la coordonatele dreptunghiulare prin relații
,
, se efectuează conform formulei

Dacă zona de integrare
limitat la două fascicule
,
(
) care iese din pol și două curbe
Și
, atunci integrala dublă se calculează prin formula

.

Exemplul 1.3. Calculați aria figurii delimitată de aceste drepte:
,
,
,
.

Soluţie. Pentru a calcula aria unei zone
hai sa folosim formula:
.

.

1.2. Integrale triple

Principalele proprietăți ale integralelor triple sunt similare cu cele ale integralelor duble.

În coordonatele carteziene, integrala triplă este de obicei scrisă astfel:

.

Dacă
, apoi integrala triplă peste zonă egal numeric cu volumul corpului :

.

Calcularea integralei triple

Lasă zona de integrare delimitat de sus și respectiv de jos de suprafețe continue cu o singură valoare
,
, și proiecția zonei la planul de coordonate
există o zonă plată
(Fig. 1.6).

.

Exemplul 1.4. calculati
, Unde - un corp delimitat de planuri:

Integrală triplă în coordonate cilindrice

La trecerea de la coordonatele carteziene
la coordonatele cilindrice
(Fig. 1.9) asociat cu
rapoarte
,
,
, și

Regiune
, delimitat de o curbă
, ia forma sau
, în timp ce unghiul polar
. Ca urmare, avem

.

2. Elemente de teoria câmpului

Să ne amintim mai întâi metodele de calcul a integralelor curbilinii și de suprafață.

Calculul unei integrale curbilinii peste coordonatele funcțiilor definite pe o curbă , se reduce la calculul unei integrale definite a formei

dacă curba parametrice
corespunde punctului de pornire al curbei , A
- punctul său final.

Calculul integralei de suprafață a unei funcții
definite pe o suprafață cu două fețe , se reduce la calculul unei integrale duble, de exemplu, a formei

dacă suprafaţa , dat de ecuație
, este proiectat în mod unic pe plan
spre regiune
. Aici - unghiul dintre vectorul normal al unității la suprafata si axa
:

Partea suprafeței cerută de condițiile problemei se determină prin alegerea semnului corespunzător în formula (2.3).

Definiție 2.1. Câmp vectorial
se numește funcție vectorială a punctului
împreună cu domeniul său de aplicare:

câmp vectorial
caracterizat printr-o valoare scalară - divergenţă:

Definiție 2.2. curgere câmp vectorial
prin suprafata se numeste integrala de suprafata:

Unde - vector normal unitar pe partea selectată a suprafeței , A
- produsul scalar al vectorilor Și .

Definiție 2.3. circulaţie câmp vectorial

De curbă închisă se numeste integrala curbilinie

Unde
.

Formula Ostrogradsky-Gauss stabilește o legătură între fluxul câmpului vectorial printr-o suprafață închisă și divergența câmpului:

Unde - o suprafata delimitata de un contur inchis , A este vectorul normal unitar la această suprafață. Direcția normalului trebuie să se potrivească cu direcția conturului .

Exemplul 2.1. Calculați integrala de suprafață

,

Unde - partea exterioară a conului
(
) tăiat de avion
(Figura 2.1).

Soluţie. Suprafaţă proiectat unic în zonă
avion
, iar integrala se calculează prin formula (2.2).

Regiune
există un cerc
. Prin urmare, în ultima integrală trecem la coordonatele polare, în timp ce
,
:

Exemplul 2.2. Găsiți divergența și curba unui câmp vectorial
.

Soluţie. Prin formula (2.4) obținem

Rotorul acestui câmp vectorial se găsește prin formula (2.5)

Exemplul 2.3. Găsiți fluxul unui câmp vectorial
peste o parte a avionului :
situat în primul octant (formele normale colt ascutit cu ax
).

Unde
- proiecția avionului pe
(Fig. 2.4).

Exemplul 2.4. Calculați fluxul unui câmp vectorial printr-o suprafață închisă format din avion
și o parte a conului
(
) (Fig. 2.2).

Soluţie. Folosim formula Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Aflați divergența câmpului vectorial prin formula (2.4):

Unde
este volumul conului peste care se realizează integrarea. Folosim formula binecunoscută pentru calcularea volumului unui con
(este raza bazei conului, - susul lui). În cazul nostru, obținem
. În sfârșit, obținem

.

Exemplul 2.5. Calculați circulația câmpului vectorial
de-a lungul conturului formate prin intersectia suprafetelor
Și
(
). Verificați rezultatul folosind formula Stokes.

Soluţie. Intersecția acestor suprafețe este un cerc
,
(Fig. 2.1). Direcția ocolirii este de obicei aleasă astfel încât zona delimitată de aceasta să rămână la stânga. Scriem ecuațiile parametrice ale conturului :

unde parametrul modificări de la inainte de
. Prin formula (2.7), ținând cont de (2.1) și (2.10), obținem

.

Acum aplicăm formula Stokes (2.9). Ca suprafață , cuprinse de contur , poți lua parte din avion
. Direcția normală
la această suprafață este în concordanță cu direcția de traversare a conturului . Curl acestui câmp vectorial este calculat în exemplul 2.2:
. Prin urmare, circulația dorită

Unde
- zona regiunii
.
- cerc cu raza
, Unde

Să fie dat un corp material, care este o regiune spațială P plină cu masă. Se cere să se afle masa m a acestui corp cu condiția ca în fiecare punct P € P să fie cunoscută densitatea de distribuție a masei. Să împărțim regiunea P în părți cube care nu se suprapun (adică având volum) cu volume, respectiv. În fiecare dintre regiunile parțiale ft* alegem un punct arbitrar P*. Să presupunem aproximativ că în limitele regiunii parțiale ft* densitatea este constantă și egală cu /*(P*). Then the mass Amk of this part of the body will be expressed by the approximate equality Ampk and the mass of the whole body will be approximately equal to Triple integral Properties of triple integrals Calculation of the triple integral in Cartesian coordinates Calculation of the triple integral in cylindrical and spherical coordinates € ft*, then this limit is taken as the mass m of the given body. Let a bounded function be defined in a closed cubed domain ft. În fiecare subdomeniu parțial P*, alegem în mod arbitrar punctul Pk(xk, yk, zk) și compunem suma integrală.Fie d cel mai mare dintre diametrele domeniilor parțiale.Definiție. Dacă, pentru d 0, sumele integrale a au o limită care nu depinde nici de metoda de împărțire a domeniului A în subdomenii parțiale П*, nici de alegerea punctelor Pk ∈ П*, atunci această limită se numește trinitatea de integrale a funcției f(x) y, z) peste domeniul Q și se notează cu simbolul. Proprietăţile integralelor triple Proprietăţile integralelor triple sunt asemănătoare cu cele ale integralelor duble. Să le enumerăm pe cele principale. Fie ca funcțiile să fie integrabile într-un domeniu cub L. 1. Liniaritate. În acest caz, funcția se numește integrabilă în domeniul Q. Astfel, prin definiție, avem Revenind la problema calculării masei unui corp, observăm că limita (2) este integrala triplă a funcției p(P) peste domeniul P. Prin urmare, Aici dx dy dz este elementul de volum dv în coordonate dreptunghiulare. unde a și (3 sunt constante reale arbitrare. peste tot în domeniul P, atunci 3. Dacă f(P) = 1 în domeniul P, atunci n unde V este volumul domeniului Q. Dacă funcția f(P) este continuă în domeniul cub închis ft și cea mai mică valoareîn ft, atunci unde V este volumul ariei ft. 5. Aditivitate. Dacă domeniul ft este împărțit în domenii cubabile fără puncte interioare comune și f(P) este integrabil în domeniul ft, atunci f(P) este integrabil pe fiecare dintre domeniile ft| și ft2 și 6. Teorema valorii medii. Teorema 7 (asupra valorii medii). Dacă funcția f(P) este continuă într-un domeniu cub închis ft, atunci există un Pc € ft subțire astfel încât formula să fie valabilă unde V este volumul domeniului ft (reamintim că domeniul este o mulțime conexă). § 7. Calculul integralei triple în coordonate carteziene La fel ca în calculul integralelor duble, problema se reduce la calculul integralelor iterate. Să presupunem că funcția este continuă într-un anumit domeniu ft. primul caz. Aria ft este un paralelipiped dreptunghiular proiectat pe planul yOz într-un dreptunghi i2; Apoi obținem Înlocuirea integralei duble prin cea repetată, în final obținem. Astfel, în cazul în care aria П este un paralelipiped dreptunghiular, am redus calculul integralei triple la calculul succesiv a trei integrale ordinare. Formula (2) poate fi rescrisă așa cum se află dreptunghiul proiecție ortogonală paralelipiped P pe planul xOy. al 2-lea caz. Să considerăm acum o zonă Q astfel încât suprafața ei de limită 5 intersectează orice linie dreaptă paralelă cu axa Oz cel mult în două puncte sau de-a lungul unui întreg segment (Fig. 22). Fie z = tpi(x, y) ecuația suprafeței 5 care mărginește domeniul Π de jos și suprafața S2 care mărginește domeniul Π de sus are ecuația z = y). Lăsați ambele suprafețe S1 și S2 să se proiecteze pe aceeași regiune a planului x0y. Să-l notăm cu D, iar curba care o delimitează cu L. Restul limitei 5 a corpului Q se află pe o suprafață cilindrică cu generatoare paralele cu axa Oz și cu curba L ca ghid. Apoi, prin analogie cu formula (3), obținem Dacă regiunea D a planului xOy este trapez curbiliniu , mărginită de două curbe, atunci integrala dublă din formula (4) poate fi redusă la una iterată și în final obținem această formulă.Această formulă este o generalizare a formulei (2). Fig-23 Exemplu. Calculați volumul unui tetraedru mărginit de plane Proiecția unui tetraedru pe planul xOy este un triunghi format din drepte astfel încât x se schimbă de la 0 la 6, iar la un fix x (0 ^ x ^ 6) y se schimbă de la 0 la 3 - | (Fig. 23). Dacă ambele x și y sunt fixe, atunci punctul se poate deplasa vertical de la un plan la altul și variază de la 0 la 6 - x - 2y. Conform formulei, obținem §8. Calculul integralei triple în coordonate cilindrice și sferice Problema schimbării variabilelor în integrala triplă se rezolvă în același mod ca și în cazul integralei duble. Fie funcția /(x, y, z) continuă într-un domeniu cub închis ft, iar funcțiile să fie continue împreună cu derivatele lor parțiale de ordinul întâi într-un domeniu cub închis ft*. Să presupunem că funcțiile (1) stabilesc o corespondență unu-la-unu între toate punctele rj, () ale ariei ft*, pe de o parte, și toate punctele (x, y, z) ale zonei ft, pe de altă parte. Atunci este valabilă formula pentru modificarea variabilelor în integrala triplă - unde este jacobianul sistemului de funcții (1). În practică, atunci când se calculează integrale triple, se folosește adesea înlocuirea coordonatelor dreptunghiulare cu coordonate cilindrice și sferice. 8.1. Integrală triplă în coordonate cilindrice Într-un sistem de coordonate cilindric, poziția punctului P în spațiu este determinată de trei numere p, unde p și (p sunt coordonatele polare ale proiecției P1 ale punctului P pe planul xOy, iar z este aplicația punctului P (fig. 24). Numerele se numesc coordonatele cilindrice ale acelei coordonate punctuale. te suprafețe În coordonate cilindrice și respectiv sferice, ele descriu: un cilindru circular a cărui axă coincide cu axa Oz, un semiplan adiacent axei Oz și un plan paralel cu planul xOy.Coordonatele cilindrice sunt legate de următoarele formule carteziene (vezi expresia elementului de volum din Fig. Această expresie pentru elementul de volum poate fi obținută și din considerente geometrice. Să împărțim domeniul П în subdomenii elementare după suprafețe de coordonate și să calculăm volumele prismelor curbilinii rezultate (Fig. 25). Se poate observa că Renunțând la valoarea infinitezimală a mai multor ordin înalt, obținem Aceasta ne permite să luăm următoarea valoare pentru elementul de volum în coordonate cilindrice.Exemplu 1. Aflați volumul unui corp delimitat de suprafețe 4 În coordonate cilindrice, suprafețele date vor avea ecuații (vezi formulele (3)). Aceste suprafețe se intersectează de-a lungul liniei r, care este descrisă de sistemul de ecuații (cilindru), (plan), Fig. 26 și proiecția sa pe planul xOy de către sistem.Astfel, volumul dorit se calculează prin formula (4), în care. Integrală triplă în coordonate sferice Într-un sistem de coordonate sferice, poziția punctului P(x, y, z) în spațiu este determinată de trei numere, unde r este distanța de la originea coordonatelor până la unghiul punctului dintre axa Ox și proiecția vectorului rază OP al punctului P pe planul xOy, iar θ din raza punctului Pxi este unghiul dintre punctul Ox și unghiul dintre raza Pxi, OP și unghiul OP. Axa Oz (Fig. 27). Este clar că. Suprafețele de coordonate din acest sistem de coordonate: r = const - sfere centrate la origine; ip = semiplanuri const emanate de pe axa Oz; c = const - conuri circulare cu axa Oz. Orez. 27 Din figură se poate observa că coordonatele sferice și carteziene sunt legate prin următoarele relații Să calculăm iacobianul funcțiilor (5). Avem Prin urmare, iar formula (2) ia forma Element de volum în coordonate sferice - Expresia pentru elementul de volum poate fi obținută și din considerente geometrice. Să considerăm o regiune elementară din spațiu delimitată de sfere cu raze r și r + dr, conuri β și β + d$ și semiplane.Aproximativ, această regiune poate fi considerată cuboid cu măsurători. Apoi proprietățile integrale triple ale integralelor triple Calculul unei integrale triple în coordonate carteziene Calculul unei integrale triple în coordonate cilindrice și sferice Din a treia ecuație găsim limitele unghiului modificat 9: de unde