Aducerea sistemului de forțe la cea mai simplă formă. Cazuri de reducere a unui sistem plat de forțe la cea mai simplă formă Reducerea unui sistem de forțe la cel mai simplu sistem

Teoremă (despre transferul paralel al forței în orice punct).Forța aplicată ATT, fără a-și modifica acțiunea asupra corpului, poate fi transferată paralel cu ea însăși în orice punct al ATT, adăugând în același timp o pereche de forțe cu un moment egal cu momentul forței transferate față de punctul în care este transferat.

Dovada. Dai drumul ATT forța acționează F, aplicat la un punct A. Conform axiomei 2 a staticii, în orice punct al corpului, putem aplica un sistem echilibrat de forțe F, F" de exemplu la punct ÎN(Fig. 4.1).

Orez. 4.1

Lăsa F"= F. Atunci sistemul rezultat de trei forțe poate fi considerat ca un sistem format din forță F"și a adăugat pereche de forțe F, F cu clipa T = m B (F). ?

Prezentăm încă două teoreme care pot fi utile în rezolvarea problemelor. Prima dintre acestea este Teorema Euler-Somov.

Teorema.Un sistem spațial arbitrar de forțe care acționează asupra ATT poate fi redus la două forțe (cruce de forțe), dintre care una se aplică într-un punct A TT ales în mod arbitrar.

Al doilea - Teorema lui Varignon pentru un arbitrar sistem plat putere, care este un caz special al teoremei Euler-Somov.

Teorema.Un sistem de forțe plan arbitrar este echivalent cu un sistem de două forțe situate în acest plan.

? Aducerea sistemului de forțe la un centru Teorema (teorema de bază a staticii).Acțiunea oricărui sistem arbitrar de forțe asupra A TT este echivalentă cu acțiunea într-un punct arbitrar A al acestui ATT al vectorului principal 1 F din acest sistem de forțe și o pereche de forțe cu un moment M A, care este egal cu momentul principal al sistemului de forțe relativ la centrul de reducere A 2 .

Dovada. Dai drumul ATT un sistem arbitrar de forţe F ( _ n . Alegeți un punct arbitrar A corpul ca centru de reducere (Fig. 4.2) și transferați toate forțele în acest punct conform teoremei privind transferul paralel al forței.

Orez. 4.2.La teorema fundamentală a staticii: reducerea la cea mai simplă formă a unui sistem arbitrar de forțe

Cu un astfel de transfer la punct A vor fi atașate două grupuri de vectori:

1) vectori de forță F(_ n = F x _ nși 2) vectori ai momentelor adăugate # și LO b,1 = m A (F\_„). CCC F x „_ n poate fi înlocuit cu rezultatul F = ^Fj, iar sistemul de perechi este echivalent cu o pereche cu moment

m l = !

În cazul particular al poziționării tuturor forțelor într-un singur plan - un sistem plat de forțe - sistemul de forțe este redus la vectorul principal și momentul principal scalar (deoarece este cunoscută direcția vectorului momentului principal, acesta este perpendicular la planul forţelor).

Forta F, egal cu suma geometrică/vectorală a tuturor forțelor din sistem se numește vector principal sisteme de forță.

Moment M A, egală cu suma geometrică/vectorală a momentelor tuturor forțelor în jurul centrului A, numit a evidentia sisteme de forță.

Astfel, acțiunea mecanică a oricărui sistem spațial de forțe asupra ATT este caracterizată de doi parametri generalizați -

• 1 Pentru definirea vectorului principal și a momentului principal al sistemului de forțe, vezi mai târziu în acest capitol.
• 2 În același timp F nu depinde de alegerea centrului L(cu alte cuvinte, vârsta principală torul sistemului de forţe este un invariant al sistemului de forţe), iar valorile M A depinde în general de poziția centrului de reducere (cu alte cuvinte, momentul principal al sistemului de forțe nu este un invariant al sistemului de forțe).

ramie: vector principal și punct principal. Aceste valori pot fi determinate fie construcție geometrică, sau calcule numerice folosind formulele:

Dacă trebuie să găsiți unghiurile, atunci cosinusurile de direcție ale vectorilor principali sunt calculate:

? Cazuri speciale de reducere a sistemelor de forțe

Aceste cazuri sunt legate formal de egalitatea la zero a valorilor vectorilor principali ai sistemului de forțe.

eu caz. Aducerea unui sistem plat arbitrar de forțe:

• 1) F= DESPRE, M L - 0 - sistemul de forţe este în echilibru;
• 2) F- DESPRE, M A F M A,
• 3) FF DESPRE, M A - 0 - sistemul de forțe este redus la un vector principal (aplicat în centrul reducerii A), care în acest caz este forța rezultantă;
• 4) F F DESPRE, M A F 0 - sistemul de forțe se reduce la o singură forță - vectorul principal al sistemului de forțe aplicat în punct ÎN(Fig. 4.3), care în acest caz este forța rezultantă.

Orez. 4.3.

Pe fig. 4.3 distanta LV = d, care este umărul forței, se calculează din condiție M A - F ?d.

Cazul II. Aducerea unui sistem spațial arbitrar de forțe:

• 1)F= DESPRE, M A= 0 - sistemul de forțe este în echilibru;
• 2) F= DESPRE, M AF 0 - sistemul de forțe se reduce la o pereche cu momentul M A, a cărui valoare nu depinde de alegerea centrului de reducere;
• 3) FF DESPRE, M A = 0 - sistemul de forte se reduce la o rezultanta F
• 4) Gf Oh, M AF 0:
  • A) F A.M A - sistemul de forțe se reduce la o rezultantă, care se aplică în punct ÎN astfel încât LV = d = MJF(vezi fig. 4.3);
  • b) F M A - sistemul de forţe (Fig. 4.4) în acest caz se numeşte șurub dinamic / de putere, sau pur și simplu dinam. Linia dreaptă de-a lungul căreia este îndreptat vectorul principal se numește axa dinamului sau axa centrală a sistemului de forțe.

Orez. 4.4.

Sub acțiunea unui astfel de sistem de forțe, un corp liber efectuează o mișcare elicoidală. Cu o specificație analitică, axa dinamului care trece prin stâlp A, are ecuatiile:

Unde - parametru dinamic, având dimensiunea lungimii.

Într-adevăr, să M 0\u003d ^G (#;. x / s) - momentul principal al sistemului de forțe F i cu rezultatul F(X,Y, Z)= relativ la centru DESPREȘi M A\u003d ^ (i, x / D - momentul principal al aceluiași sistem de forțe atunci când este adus în centru A(Fig. 4.5, A). Din moment ce /*, = OA+ i, atunci M L \u003d M 0 -OAX^F i\u003d M 0 -OA X F. Condiția de coliniaritate a vectorului principal și a momentului principal pentru un punct A este înregistrată în felul următor: pF = M A, Unde R este un parametru șurub având dimensiunea lungimii. Unde ajungem

și, echivalând coeficienții la vectorii unitari din stânga și din dreapta, obținem ecuația necesară pentru axa centrală a dinamului;

Orez. 4.5,A. La derivarea ecuației axei centrale a dinamului

c) dacă vectorul principal și momentul principal formează un unghi φ diferit de zero și n/2, atunci sistemul de forțe se reduce la un dinam F, M p a cărui axă trece prin punct ÎN astfel încât AB=MJF( orez. 4.5 ,b).

Orez. 4.5,b. Dispunerea arbitrară a vectorului principal al sistemului de forțe și a momentului principal

După cum puteți vedea, elementele dinamului sunt vectorul principal F sisteme de forţe şi moment de dinamism M p M A pe direcția vectorului principal, adică = M A soBf.

Unde ajungem

Principal invarianți statici 1 sistemele de forţe sunt vectorul principal Ri moment dinamic, egală cu proiecția momentului principal M A pe direcția vectorului principal. Pentru vector F această afirmație este evidentă. Pentru momentul dinamismului, se vede asta MA = M 1( + M ± , Unde M A F= M l( F+ M L F, sau M A F = M p F.

Deoarece vectorul /' este constant, rezultă că proiecția momentului principal pe direcția sa este și ea constantă.

? Condiții de echilibru

Sistemele de forțe în funcție de caracteristicile geometrice sunt împărțite în următoarele tipuri:

• 1) sistem de forțe convergente acestea. forțe ale căror linii de acțiune se intersectează într-un punct;
• 2) arbitrar sistem de forță plat, acestea. forțe ale căror linii de acțiune sunt situate în același plan;
• 3)sistem de forțe paralele- plat și spațial, de ex. forțe ale căror linii de acțiune sunt paralele;
• 4) arbitrar sistem spațial de forțe.

Dacă, pe lângă sistemul de forțe, sistemul de momente acționează asupra LTT, atunci fiecare moment al acestui sistem poate fi reprezentat ca o pereche de forțe și, astfel, sistemul de momente poate fi redus la un sistem de forțe.

Condiția principală pentru echilibrul staticii(în formă vectorială):

Pentru echilibrul LTT sub acțiunea unui sistem spațial de forțe, este necesar și suficient ca vectorul principal și momentul principal al acestui sistem de forțe relativ la orice centru de reducere să fie egal cu zero 1:

Proiectarea acestor două ecuații vectoriale pe axele de coordonate ale celei alese CO, obținem șase ecuații scalare sau forma analitica a conditiilor de echilibru:

Prin urmare, pentru echilibrul ATT sub acțiunea unui sistem spațial de forțe, este necesar și suficient ca suma proiecțiilor tuturor forțelor pe fiecare dintre cele trei axe de coordonate și suma momentelor tuturor forțelor în jurul acestor axe să fie egală cu zero. .

Aceleași condiții pot fi formulate sub formă geometrică:pentru echilibrul ATT sub acțiunea unui sistem spațial de forțe este necesar și suficient ca poligonul de forță și poligonul de moment să fie închise.

Condițiile de echilibru exprimate în formă analitică (4.1a) sunt adesea numite și ecuații de echilibru. Dacă numărul de necunoscute depășește numărul de ecuații de echilibru, atunci problema este static nedeterminat. După cum puteți vedea, în cazul general, problema echilibrului corpului poate avea șase cantități necunoscute.

Sfat!Pentru a obține la maximum ecuații simple echilibre (fiecare conține numărul minim de necunoscute) este posibil să se deseneze axe de coordonate perpendiculare pe cel mai mare număr de forțe necunoscute și să se aleagă puncte de la intersecția liniilor de acțiune ca centru de reducere cel mai mare număr forțe necunoscute.

• ? Cazuri speciale de condiții de echilibru
• 1. Sistem de forțe convergente cu centrul de forțe într-un punct A. Condiția de echilibru pentru aceasta în formă vectorială este redusă la o ecuație

1a. Sistemul spațial al forțelor convergente. Ecuațiile de echilibru pentru un astfel de sistem în formă analitică vor lua forma:

16. Sistem plat de forțe convergente. Ecuații de echilibru pentru un astfel de sistem în formă analitică, presupunând că forțele sunt situate într-un plan paralel cu planul Ohu va lua forma:

2. Sistem plan de forțe cu forțe situate în plan Ohu:

Pentru certitudinea statică în acest caz, numărul de necunoscute nu trebuie să depășească trei. Aceleași ecuații pot fi date în alte forme analitice echivalente:

unde este linia soare nu perpendicular pe axa Oh.

O altă formă de condiții de echilibru:

Unde A, B, C nu vă culcați pe o linie dreaptă și aparțin unui plan Ohu.

3. Sisteme de forțe paralele:

In spate. Sisteme paralele de forțe în spațiu, considerându-le situate paralel cu axa OU. Apoi, dintre cele șase ecuații (4.1a), prima, a treia și a șasea se vor transforma într-o identitate (indiferent dacă sistemul dat de forțe este în echilibru sau nu):

36. Sisteme paralele de forţe pe un plan, considerându-le situate în acelaşi plan Ohu paralel cu axa OU:

sau sub alta forma:

4. Pentru un sistem spațial arbitrar de forțe, condiția de echilibru a fost deja prezentată mai devreme în acest capitol - aceasta este principala condiție de echilibru pentru statică (4.1).

Exemplul 1 (reducerea sistemului de forțe la forma cea mai simplă). Definiți vectorul principal R*și punctul principal M 0 sistem de forțe dat P x, P 2, P 2, P 4 relativ la centru DESPREși determinați cea mai simplă formă la care poate fi redus acest sistem. Dimensiunile paralelipipedului (Fig. 4.6), precum și modulele și direcțiile forțelor sunt indicate în tabel.

Când finalizați o sarcină, trebuie să faceți următoarele:

• 1) descrieți un anumit sistem de forțe construind un paralelipiped pe o scară, arătând unghiul hoyîn desen egal cu 135°; reducerea axei Oh luați egal cu 1:2;
• 2) după ce ați ales un sistem de axe de coordonate, determinați modulul și direcția vectorului principal al sistemului dat de forțe prin proiecțiile sale pe axele de coordonate și reprezentați R* pe desen;

Orez. 4.6. Exemplul 1: cutie originală

• 3) calculați momentul principal al unui anumit sistem de forțe în jurul centrului DESPRE conform proiecţiilor sale pe axele de coordonate şi înfăţişează M 0 pe desen;
• 4) calculați cel mai mic moment principal al unui sistem de forțe dat;
• 5) pe baza rezultatelor calculelor vectorului principal și a celui mai mic moment principal M* determina cea mai simplă formă a unui anumit sistem de forțe. Procedând astfel, trebuie să faceți următoarele:
  • a) dacă un anumit sistem de forțe este redus la o pereche de forțe, atunci arătați momentul acestei perechi aplicând-o la un punct DESPRE;
• 6) dacă un anumit sistem de forțe este redus la o rezultantă, atunci găsiți ecuațiile dreptei de acțiune a rezultantei, determinați punctele de intersecție ale planurilor de coordonate prin această dreaptă și reprezentați-o pe desen;
• c) dacă un anumit sistem de forțe este redus la un dinam (șurub de putere), atunci găsiți ecuațiile axei centrale, determinați punctele de intersecție ale planurilor de coordonate cu această axă și reprezentați /? * și M * pe desen .

Soluţie. 1. Determinarea vectorului principal al unui sistem de forţe dat. Sistemul de forțe dat este prezentat în fig. 4.7.

Orez. 4.7. Exemplul 1: sistem de forță aplicată

În acest caz, cos a \u003d 0,6 și sin a \u003d 0,8.

Proiecții ale vectorului principal pe axele de coordonate:

Modulul vectorial principal Cosinus de directie:

În conformitate cu datele inițiale, obținem X= 10,6 N, Y= 10,0 N; Z= -12,8 N; R* = 19,4 N; cos (R, i) = 0,547 cos (R, j) = 0,515 cos (R, k) == -0,660.

Vectorul principal este prezentat în fig. 4.8.

Orez. 4.8.

2. Determinarea momentului principal al unui sistem dat de forțe relativ la centrul O.

Momentele principale ale unui sistem dat de forțe în raport cu axele de coordonate:

Modulul de moment principal:

Cosinus de directie:

Ca rezultat al calculelor, avem: M x= -200 N cm; M= 384 N cm; M,= -200 N cm; cos (M 0 , i) = -0,419; cos (M0,j)= 0,805; cos (M0, k) - - -0,419.

Punctul principal este prezentat în Fig. 4.8.

3. Calculul celui mai mic moment principal al unui sistem dat de forțe:

Conform acestei formule se obtine: LG = 221 N cm.

4. Deoarece R * F 0 și L/* * 0, atunci sistemul de forțe dat este redus la un dinam (șurub de putere).

Ecuația axei centrale este:

Dintre aceste trei ecuații, doar două sunt independente. Înlocuind valorile numerice găsite ale mărimilor în două dintre aceste ecuații, găsim:

Valorile coordonatelor punctelor de intersecție ale axei centrale a planurilor de coordonate, determinate cu ajutorul acestor ecuații, sunt date în tabel.

Axa centrală a sistemului este prezentată în fig. 4.8.

Notă. Dacă forțele sunt reduse la rezultantă, i.e. R* f 0 și M"= 0, atunci ecuațiile dreptei de acțiune a rezultantei:

Unde X, Y, Z - proiecții ale forței rezultante pe axele de coordonate; M x, M y, M. - momentele principale ale unui sistem dat de forțe în raport cu axele de coordonate. Dintre aceste trei ecuații, doar două sunt independente.

• O valoare invariantă este o mărime care nu depinde de alegerea SC și, prin urmare, rămâne constantă sub diferite transformări ale sistemelor de coordonate. În acest caz, aceste valori rămân constante pentru diferite opțiuni ale centrului de referință.
• Aceste condiții vor fi suficiente pentru echilibrul ATT, dacă la momentul inițial de timp acesta era în repaus în cadrul inerțial ales. De obicei, în practica inginerească, CO asociat cu Pământul este ales ca un astfel de sistem.

Sistemul plan de forțe este de asemenea redus la o forță egală și aplicată într-un centru O ales arbitrar și o pereche cu un moment

în acest caz, vectorul poate fi determinat fie geometric prin construirea unui poligon de forță (vezi Secțiunea 4), fie analitic. Astfel, pentru un sistem plat de forțe

R x = F kx , R y = F ky ,

unde toate momentele din ultima egalitate sunt algebrice iar suma este tot algebrică.

Să găsim cea mai simplă formă la care poate fi redus un anumit sistem plat de forțe care nu este în echilibru. Rezultatul depinde de valorile lui R și MO.

• 1. Dacă pentru un sistem dat de forțe R = 0, un M O ?0, atunci acesta se reduce la o pereche cu un moment M O, a cărui valoare nu depinde de alegerea centrului O.
• 2. Dacă pentru un sistem dat de forțe R? 0, atunci acesta se reduce la o singură forță, adică la rezultanta. În acest caz, sunt posibile două cazuri:
  • a) R?0, MO =0. În acest caz, sistemul, care este imediat evident, este redus la rezultanta R care trece prin centrul O;
  • b) R?0, MO?0. În acest caz, o pereche cu un moment М O poate fi reprezentată prin două forțe R" și R", luând R"=R și R"= - R. În acest caz, dacă d=OC este brațul perechii , atunci ar trebui să fie Rd=|M O | .

Acum eliminând forțele R și R „ca echilibrate, constatăm că întregul sistem de forțe este înlocuit cu rezultanta R” = R care trece prin punctul C. Poziția punctului C este determinată de două condiții: 1) distanța OC = d () trebuie să satisfacă egalitatea Rd = | M O |; 2) semnul momentului relativ la centrul O al forței R „aplicat în punctul C, adică semnul lui m O (R”) trebuie să coincidă cu semnul lui M O.

Cazul I.

Dacă vectorul principal al sistemului de forțe este egal cu zero și momentul său principal față de centrul de reducere este egal cu zero, atunci forțele sunt echilibrate reciproc.

Cazul II.

Dacă vectorul principal al sistemului de forțe este egal cu zero, iar momentul său principal față de centrul de reducere nu este egal cu zero, atunci forțele sunt reduse la o pereche de forțe. Momentul acestei perechi de forțe este egal cu momentul principal al sistemului de forțe relativ la centrul de reducere.

În acest caz, momentele principale ale sistemului de forțe în raport cu toate punctele din spațiu sunt egale din punct de vedere geometric.

Cazul III.

Dacă vectorul principal al sistemului de forțe nu este egal cu zero, iar momentul său principal relativ la centrul de reducere este egal cu zero, atunci forțele sunt reduse la rezultanta, a cărei linie de acțiune trece prin centrul de fantoma.

Cazul IV. Și .

Dacă momentul principal al sistemului de forțe relativ la centrul de reducere este perpendicular pe vectorul principal, atunci forțele sunt reduse la rezultanta, a cărei linie de acțiune nu trece prin centrul de reducere (Fig. 145) .

Cazul V. și .

Dacă momentul principal al sistemului de forțe relativ la centrul de reducere nu este perpendicular pe vectorul principal, atunci forțele sunt reduse la două forțe de încrucișare sau la un șurub de putere (dinam), adică. la o combinație a unei forțe și a unei perechi de forțe al căror plan este perpendicular pe forță.

Reducerea la două forțe de încrucișare (Fig. 147):

Ecuații de echilibru diverse sisteme forte

Pentru forțele situate în mod arbitrar în spațiu, corespund două condiții de echilibru:

Modulele momentului principal și vectorului principal pentru sistemul de forțe considerat sunt determinate de formulele:

Condițiile sunt îndeplinite numai cu cele șase ecuații de bază corespunzătoare ale balanței de forțe, situate arbitrar în spațiu:

Primele trei ecuații se numesc ecuații ale momentelor forțelor raportate la axele de coordonate, iar ultimele trei sunt ecuațiile proiecțiilor forțelor pe axă.

Forme de ecuații de echilibru pentru un sistem plan de forțe

Pentru forțele situate în mod arbitrar pe un plan, există două condiții de echilibru:

Două condiții pentru echilibrul forțelor situate arbitrar pe un plan pot fi exprimate ca un sistem de trei ecuații:

Aceste ecuații sunt numite ecuații de bază pentru echilibrul unui sistem plan de forțe. Centrul momentelor și direcția axelor de coordonate pentru acest sistem de ecuații pot fi alese în mod arbitrar.

Există alte două sisteme de trei ecuații ale sistemului de forțe.

În același timp, axa din sistem u nu trebuie să fie perpendiculară pe dreapta care trece prin punctele A și B.

Deoarece momentele principale ale sistemului de forțe față de doi centre sunt egale cu zero, sistemul de forțe considerat nu se reduce la o pereche de forțe. Proiecția rezultantei pe orice axă este egală cu suma proiecțiilor forțelor componente, i.e. prin urmare, presupusa rezultanta.Astfel, sistemul de forte nu se reduce nici la o pereche de forte, nici la o rezultanta si, prin urmare, este echilibrat.

unde punctele A, B, C nu se află pe o singură dreaptă. În acest caz, forțele nu sunt reduse la o pereche de forțe, deoarece momentele principale ale forțelor în jurul celor trei centre sunt egale cu zero. Nici forțele nu se reduc la o rezultantă, deoarece dacă aceasta există, atunci linia de acțiune a acesteia nu poate trece prin trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă. Astfel, sistemul de forțe nu se reduce nici la o pereche de forțe, nici la o rezultantă și, prin urmare, este echilibrat.

Centrul Forțelor Paralele

Când se adaugă două forțe paralele, două forțe paralele sunt reduse la o singură forță - rezultanta, a cărei linie de acțiune este îndreptată paralel cu liniile de acțiune ale forțelor. Rezultanta se aplică într-un punct care împarte linia dreaptă, la distanțe invers proporționale cu mărimea forțelor.

Deoarece forța poate fi transferată de-a lungul liniei de acțiune, punctul de aplicare al rezultantei nu este definit. Dacă forțele sunt rotite prin același unghi și forțele sunt adăugate din nou, atunci obținem o direcție diferită a liniei de acțiune a rezultantei. Punctul de intersecție al acestor două drepte rezultante poate fi considerat ca punct de aplicare al rezultantei, care nu își schimbă poziția atunci când toate forțele sunt rotite simultan prin același unghi. Un astfel de punct se numește centrul forțelor paralele.

Cazuri de reducere la forma cea mai simplă

Aducerea la un cuplu

Fie, ca urmare a aducerii forțelor în centrul O, s-a dovedit că vectorul principal este egal cu zero, iar momentul principal este diferit de zero: . Apoi, în virtutea teoremei fundamentale a staticii, putem scrie

Aceasta înseamnă că sistemul original de forțe în acest caz este echivalent cu o pereche de forțe cu moment.

Momentul unui cuplu nu depinde de care punct este ales ca centru de momente atunci când se calculează momentul unui cuplu. Prin urmare, în acest caz, momentul principal nu ar trebui să depindă de alegerea centrului de reducere. Dar tocmai la această concluzie relația

legând punctele principale cu privire la două centre diferite. Pentru , termenul suplimentar este, de asemenea, egal cu zero și obținem

Reducere la rezultat

Să fie acum vectorul principal nu este egal cu zero, iar momentul principal este egal cu zero: . În virtutea teoremei fundamentale a staticii, avem

adică sistemul de forțe se dovedește a fi echivalent cu o singură forță - vectorul principal. Prin urmare, în acest caz, sistemul inițial de forțe este redus la rezultantă, iar această rezultantă coincide cu vectorul principal aplicat la centrul de reducere: .

Sistemul de forțe se reduce la rezultantă chiar și în cazul în care vectorul principal și momentul principal sunt ambele nenule, dar reciproc perpendiculare: . Dovada se realizează folosind următoarea secvență de acțiuni.

Prin centrul de reducere O trasăm un plan perpendicular pe momentul principal (Fig. 50, a). În figură, acest plan este aliniat cu planul desenului, iar vectorul principal este situat în el. În acest plan, construim o pereche cu un moment și alegem forțele perechii egale în valoare absolută cu vectorul principal; atunci pârghia perechii va fi egală cu . În continuare, deplasăm perechea în planul ei în așa fel încât una dintre forțele perechii să fie aplicată la centrul de reducere O opus celui principal; a doua forță a perechii se va aplica în punctul C, care se află departe de centrul O în direcția dorită, determinată de direcția, la o distanță OS egală cu umărul perechii h (Fig. 50, b). Acum, eliminând forțele echilibrate R și - aplicate în punctul O, ajungem la o forță aplicată în punctul C (Fig. 50, c). Va servi ca rezultat al acestui sistem de forțe.

Se poate observa că rezultanta este încă egală cu vectorul principal, dar diferă de vectorul principal în punctul său de aplicare. Dacă vectorul principal este aplicat la centrul de reducere O, atunci rezultanta este în punctul C, a cărui poziție necesită o definiție specială. Modul geometric de găsire a punctului C este vizibil din construcția de mai sus.

Pentru momentul rezultantei relativ la centrul de reducere O, se poate scrie (vezi Fig. 50):

sau, omițând valorile intermediare:

Dacă proiectăm această egalitate vectorială pe orice axă care trece prin punctul O, obținem egalitatea corespunzătoare în proiecții:

Reamintind că proiecția momentului de forță în jurul unui punct de pe axa care trece prin acest punct este momentul de forță în jurul axei, rescriem această egalitate după cum urmează:

Egalitățile rezultate exprimă teorema lui Varignon în ea vedere generala(în cursul 2, teorema a fost formulată doar pentru forțele convergente): dacă un sistem de forțe are o rezultantă, atunci momentul acestei rezultante (relativ la un punct, raportat la o axă) este egal cu suma momentelor de toate forțele date - componente (relativ la același punct, aceeași axă). Este clar că în cazul unui punct însumarea momentelor este vectorială, în cazul unei axe este algebrică.

Aducerea la dinam

Un dinam sau un șurub dinamic este o combinație între o pereche de forțe și o forță direcționată perpendicular pe planul de acțiune al perechii. Se poate arăta că în cazul general al reducerii, când și nu este perpendicular pe , sistemul original de forțe este echivalent cu un anumit dinam.

După cum s-a dovedit mai sus, un sistem arbitrar de forțe, situat arbitrar în spațiu, poate fi redus la o forță egală cu vectorul principal al sistemului și aplicat într-un centru arbitrar de reducere. DESPRE, și o pereche cu un moment egal cu momentul principal al sistemului aproximativ același centru. Prin urmare, în viitor sistem arbitrar forțele pot fi înlocuite cu o mulțime echivalentă de doi vectori - forța și momentul aplicate într-un punct DESPRE. La schimbarea poziţiei centrului de referinţă DESPRE vectorul principal va menține magnitudinea și direcția, iar momentul principal se va schimba. Să demonstrăm că dacă vectorul principal este diferit de zero și este perpendicular pe momentul principal, atunci sistemul de forțe se reduce la o singură forță, pe care în acest caz o vom numi rezultanta (Fig. 8). Momentul principal poate fi reprezentat ca o pereche de forțe ( , ) cu un umăr , apoi forțele și vectorul principal formează un sistem de două

forțe echivalente cu zero, care pot fi aruncate. Va exista o singură forță care acționează de-a lungul unei linii drepte paralele cu principala

Figura 8 la vector și trecând la distanță

h= din planul format de vectorii si . Cazul luat în considerare arată că dacă de la bun început alegem centrul de reducere pe linie L atunci sistemul de forțe ar duce imediat la rezultanta, momentul principal ar fi egal cu zero. Acum să demonstrăm că dacă vectorul principal este diferit de zero și nu perpendicular pe momentul principal, atunci un astfel de punct poate fi ales ca centru de reducere DESPRE* că momentul principal despre acest punct și vectorul principal vor fi situate pe o singură dreaptă. Pentru a demonstra acest lucru, descompunem momentul în două componente - una direcționată de-a lungul vectorului principal, iar cealaltă - perpendiculară pe vectorul principal. Astfel, perechea de forțe se descompune în două perechi cu momente: și , iar planul primei perechi este perpendicular pe, atunci planul celei de-a doua perechi, perpendicular pe vector (Fig. 9) conține vectorul . Combinația unei perechi cu un moment și o forță formează un sistem de forțe, care poate fi redus la o singură forță (Fig. 8), trecând prin punctul O*. Astfel (Fig. 9), combinația dintre vectorul principal și momentul principal în punct DESPRE redusă la o forță care trece printr-un punct DESPRE*, și o pereche cu un moment paralel cu această dreaptă , care trebuia să fie demonstrată. Combinația dintre o forță și o pereche al cărei plan este perpendicular pe linia de acțiune a forței se numește dinam (Fig. 10). O pereche de forțe poate fi reprezentată de două forțe egale ( , ), situate așa cum se arată în Fig. 10. Dar, adunând cele două forțe și , obținem suma lor și forța rămasă , din care rezultă (Fig. 10) că combinația dintre vectorul principal și momentul principal în punct DESPRE, poate fi redus la două forțe care nu se intersectează și .

Să luăm în considerare câteva cazuri de reducere a sistemului de forțe.

1. Sistem plat de forțe. Să fie, pentru certitudine, toate forțele într-un plan OXY. Apoi, în cazul cel mai general

Vectorul principal este diferit de zero, momentul principal este diferit de zero, produsul lor punctual este zero, într-adevăr

în consecință, vectorul principal este perpendicular pe momentul principal: un sistem plat de forțe se reduce la o rezultantă.

2. Sistem de forţe paralele. Fie ca, pentru certitudine, toate forțele să fie paralele cu axa oz. Apoi, în cazul cel mai general

Aici, de asemenea, vectorul principal este diferit de zero, momentul principal este diferit de zero și produsul lor scalar este zero, într-adevăr

prin urmare, in acest caz, vectorul principal este perpendicular pe momentul principal: sistemul de forte paralele se reduce la rezultanta. Într-un caz particular, dacă este egal cu zero, atunci vectorul principal de forțe este egal cu zero, iar sistemul de forțe este redus la o pereche de forțe, al căror vector de moment este în plan. OXY. Acum sistematizăm cazurile luate în considerare. Amintiți-vă că un sistem spațial arbitrar de forțe aplicate corp solid, este echivalent static cu o forță egală cu vectorul principal aplicată într-un punct arbitrar al corpului (centrul de reducere) și o pereche de forțe cu un moment egal cu momentul principal al sistemului de forțe relativ la centrul de reducere specificat.