„Construcții geometrice cu busolă și dreptar. Construcție cu busolă și riglă Ce construcții se pot face cu o riglă

MICA ACADEMIE DE ȘTIINȚE A ȘCOLARILOR CRIMEEI

„GAȚITOR”

Secțiunea „Matematică”

CONSTRUCȚIE GEOMETRICĂ FOLOSIND RIGLA DUPĂ FACE

Am făcut treaba A

_____________

elev de clasă

Director stiintific

INTRODUCERE………………………………………………………………………..3

I. CONSTRUCȚII GEOMETRICE ÎN AVION …………………..4

I.1. Axiome generale ale geometriei constructive. Axiomele instrumentelor matematice…………………………………………………………………………………..4

I.2. ……………………….....5

I.3. Construcții geometrice cu o riglă ……………………………..7

eu.4. Sarcinile principale pentru construirea unei rigle cu două fețe……..8

I.5. Soluţie diverse sarcini pentru construcții …………………………………………12

I.6. Construcții cu riglă unilaterală………………………………………………..20

I.7. Interschimbabilitatea riglei cu două fețe cu compasul și riglă….21

CONCLUZIE……………………………………………………………………………….24

Lista literaturii utilizate………………………………..………….25

Introducere

Problemele pentru construcția prin mijloace limitate includ probleme pentru construcția numai cu o busolă și o linie dreaptă, care sunt luate în considerare în curiculumul scolar. Este posibil să rezolvi problemele de construcție cu o singură riglă? Adesea nu există busolă la îndemână și o riglă poate fi întotdeauna găsită.

Sarcinile de construcție în geometrie este o secțiune fascinantă. Interesul față de acesta se datorează frumuseții și simplității conținutului geometric. Urgența analizării acestor probleme crește datorită faptului că își găsește aplicare în practică. Capacitatea de a folosi o riglă pentru a rezolva problemele luate în considerare în această lucrare are mare importanțăîn practică, pentru că ne confruntăm constant cu probleme de împărțire a unui segment în jumătate, dublare a unui anumit segment etc.

În această lucrare, luăm în considerare principalele sarcini pentru construcție, care servesc drept suport în rezolvarea unor probleme mai complexe.

După cum arată experiența, sarcinile de construcție trezesc interes, contribuie la activarea activității mentale. La rezolvarea acestora, se utilizează în mod activ cunoștințele despre proprietățile figurilor, se dezvoltă capacitatea de a raționa, se îmbunătățește abilitățile construcțiilor geometrice. Ca urmare, se dezvoltă abilitățile constructive, care este unul dintre scopurile studierii geometriei.

Ipoteza: toate problemele de constructie care pot fi rezolvate cu busola si rigla pot fi rezolvate doar cu o rigla cu doua fete.

Obiectul de studiu: sarcini de construcție și o riglă cu două fețe.

Obiectivele studiului: să demonstreze că toate problemele de construcție pot fi rezolvate numai cu ajutorul unei rigle cu două fețe.

Obiectivele cercetării: a studia baza teoretica rezolvarea problemelor de construcție; rezolvați problemele de bază de construcție cu ajutorul unei rigle cu două fețe; dați exemple de sarcini de construcție mai complexe; sistematizarea materialului teoretic și practic.

I. CONSTRUCȚII GEOMETRICE PE AVION

I.1. Axiome generale ale geometriei constructive. Axiomele instrumentelor matematice

Pentru geometria constructivă, este necesar să existe o precizie și în scopuri matematice descriere completa un instrument sau altul. O astfel de descriere este dată sub formă de axiome. Aceste axiome într-o formă matematică abstractă exprimă acele proprietăți ale instrumentelor de desen reale care sunt folosite pentru construcțiile geometrice.

Cele mai frecvent utilizate instrumente pentru construcții geometrice sunt:riglă (cu o singură parte) , busolă, bilateral riglă (cu margini paralele) si altii unii.

A. Axioma domnitorului.

Rigla vă permite să efectuați următoarele construcții geometrice:
a) construiți un segment care leagă două puncte construite;

b) construiți o dreaptă care trece prin două puncte construite;

c) construiți o rază care emană dintr-un punct construit și trece printr-un alt punct construit.

B. Axioma busolei.

Busola vă permite să efectuați următoarele construcții geometrice:
a) construiți un cerc dacă se construiesc centrul cercului și un segment egal cu raza cercului (sau capetele acestuia);

B. Axioma unui rigl cu două fețe.

Rigla cu două fețe vă permite să:

a) efectuați oricare dintre construcțiile enumerate în axioma A;

b) în fiecare dintre semiplanurile definite de linia construită, construiți o dreaptă paralelă cu această dreaptă și care trece de ea la distanțăA, Unde A - un segment fix pentru o riglă dată (lățimea unei rigle);

c) dacă sunt construite două puncte A și B, atunci determinați dacă AB va fi mai mare decât un segment fixA (lățimea riglei), iar dacă AB >A , apoi construiți două perechi de drepte paralele care trec prin punctele A și, respectiv, B și distanțate una de cealaltă la o distanțăA .

Pe lângă instrumentele de mai sus, puteți folosi și alte instrumente pentru construcții geometrice: un unghi arbitrar, un pătrat, o riglă cu semne, o pereche de unghiuri drepte, diverse dispozitive pentru trasarea curbelor speciale etc.

I.2. Principii generale pentru rezolvarea problemelor de construcție

Sarcina de construire constă în faptul că se cere construirea unei anumite figuri cu instrumentele indicate, dacă se dă o altă figură și se indică anumite relații între elementele figurii dorite și elementele acestei figuri.

Se numește fiecare cifră care îndeplinește condițiile problemeidecizie aceasta sarcina.

Gaseste o solutie sarcina de construcție înseamnă a-l reduce la un număr finit de construcții de bază, adică a indica o succesiune finită de construcții de bază, după care figura dorită va fi deja considerată construită în virtutea axiomelor acceptate ale geometriei constructive. Lista construcțiilor de bază admisibile și, în consecință, cursul rezolvării problemei, depinde în esență de ce fel de instrumente sunt folosite pentru construcții.

Rezolvați problema construcției - Mijloace, gasesti toate solutiile .

Ultima definiție necesită câteva clarificări. Cifrele care satisfac condițiile problemei pot diferi atât ca formă sau dimensiune, cât și ca poziție pe plan. Diferențele de poziție pe plan sunt luate în considerare sau nu în funcție de formularea problemei de construcție în sine, dacă starea problemei prevede sau nu o anumită locație a figurii dorite în raport cu orice dat. cifre.

Dacă se găsește o soluție la o problemă, atunci în viitor este permisă utilizarea acestei soluții „în ansamblu”, adică fără a o împărți în construcții de bază.

Există o serie de probleme simple de construcție geometrică, care sunt incluse în special ca părțile constitutiveîn rezolvarea unor probleme mai complexe. Le vom numi probleme de construcție geometrică elementară. Lista sarcinilor elementare este, desigur, condiționată. Cele mai frecvente sarcini includ următoarele:

Împărțiți acest segment în jumătate.

Împărțiți acest unghi în jumătate.

Construind pe linie dată segment egal cu cel dat.

Construirea unui unghi egal cu unul dat.

Construirea unei drepte care trece printr-un punct dat paralel cu o dreaptă dată.

Construcția unei drepte care trece printr-un punct dat și perpendiculară pe o dreaptă dată.

Divizarea segmentului în acest sens.

Construcția unui triunghi având trei laturi.

Construcția unui triunghi având o latură și două unghiuri adiacente.

Construcția unui triunghi având două laturi și un unghi între ele.

La rezolvarea oricărei probleme de construcție oarecum complexă, se pune întrebarea cum să raționăm pentru a găsi o modalitate de rezolvare a problemei, pentru a obține toate soluțiile la problemă, pentru a afla condițiile posibilității de rezolvare a problemei etc. Prin urmare , la rezolvarea problemelor constructive, ei folosesc schema de rezolvare constând din următorii patru pași:

1) analiza;
2) construcție;
3) dovada;
4) cercetare.

I.3. Construcții geometrice cu o singură riglă

Vom considera conducătorul din două puncte de vedere: ca un conducător și ca un conducător cu două fețe.

1. riglă cu două fețe lăţime A vom numi o riglă cu margini paralele situate la distanță A unul de celălalt, făcând posibilă construirea directă:

a) o linie arbitrară;

b) o dreaptă care trece prin două puncte date sau obţinute în procesul de rezolvare a problemei;

c) drepte paralele, fiecare dintre ele trecând prin unul dintre punctele a căror distanță este mai mare decâtA (în această construcție, rigla este într-o astfel de poziție încât fiecare dintre cele două margini paralele ale sale să aibă unul dintre cele două puncte date; în acest caz, vom vorbi despre construcția directă).

Lățimea riglei în această construcție este considerată constantă și, prin urmare, dacă în procesul de rezolvare a unei anumite probleme devine necesară realizarea unei construcții directe în raport cu unele puncte obținuteAȘi ÎN , atunci trebuie să dovedim că lungimeaAB lungime mai mare A .

Vom considera un punct construit dacă este unul dintre date sau este intersecția a două drepte construite; la rândul nostru, vom considera o dreaptă construită dacă trece prin punctele construite sau date.

Folosind o riglă cu două fețe, puteți construi următoarele.

a) O linie poate fi trasă prin oricare două puncte, dar numai unul.

b) Oricare ar fi dreapta, în plan sunt exact două drepte paralele cu ea și la o distanță de eaA .

c) Prin două puncte A și B la AB A se pot trasa două perechi de paralele direct; la AB = A se poate trasa o pereche de linii paralele a caror distanta este egala cuA .

Dacă se acordă unul, două, trei puncte, atunci nu se pot construi puncte noi

(Figura 1);

dacă sunt date patru puncte, dintre care trei (sau toate patru) se află pe aceeași linie dreaptă, atunci nu se pot construi alte puncte (Fig. 2);

având în vedere patru puncte situate la vârfurile unui paralelogram, se poate construi un singur punct - centrul său. (Fig.3).

Acceptând cele de mai sus, luăm în considerare separat problemele rezolvate de o riglă cu două fețe.

eu.4. Sarcini de bază pentru construirea unei rigle cu două fețe

1
. Construiți bisectoarea unghiului ABC.

Soluţie: (Fig. 4)

A  (ÎN C) Și b  (O bandă  b = D .

Ia-l pe B D- bisectoare  ABC.

Intr-adevar, obtinut din

construcția paralelogramului este

romb, deoarece înălțimile sale sunt egale. ÎND –

diagonala rombului este bisectoarea ABC. Fig.4

2
. Dublați unghiul dat ABC

Soluţie : (Fig. 5) a) A  (AB),

A  (ÎN C)= D , prin punctele B și D

b direct;

b) prin punctele B şiD m  b

direct,b Ç a = F .

obține Ð AB F = 2 Ð ABC .

Fig.5

3 . La această linie M N in acest

trageți o perpendiculară pe punctul A

Soluţie : (Fig.6)

1) (AA 1) || (VV 1) || (SS 1) –

direct (în (M N),

CU Î (M N)); 2) prin A și B

m || n - direct,

m Ç (SS 1) = D .

Primim (A D )  (M N ).

Fig.6.

4
. Printr-un punct dat nu se întinde pe

această linie, trage o perpendiculară

La această linie dreaptă.

Soluţie: Prin acest punct O desenăm

două drepte care intersectează un dat

dreapta AB și dublați unghiurile rezultatului

triunghiuri adiacente unui dat

Drept.  OA N = 2  OAB și

OV N = 2  OVA (Fig. 7).

Fig.7

5. Construiți un punct simetric față de unul dat față de o dreaptă dată.

Soluţie: vezi problema 4. (punctul O este simetric cu punctulN. Fig.7)

6. Desenați o linie dreaptă paralel cu aceasta

P
linia M N , prin punctul A, nu

aparținând liniei M N .

Soluția 1: (Fig. 8)

1)(AA 1) || (VV 1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (KK 1) -

– direct, (CA)Ç (BB 1) \u003d C 2;

2) (C 2 K) Ç (DD 1 ) = F .

(A F ) este linia dorită.

Figura 8

Soluția 2 . În Fig.8 1 este numerotat

succesiune de linii drepte,

dintre care 1, 2 și 3 sunt paralele în

construcție directă;

(A F) || (M N).

Fig.8 1

7
. Împărțiți acest segment AB în jumătate.

Soluția 1 (Fig. 9) (numai pentru cazul în care lățimea riglei este mai mică decât lungimea segmentului dat). Desenați direct două perechi de linii paralele prin

capetele acestui segment și apoi diagonala

rombul rezultat. O este punctul de mijloc al lui AB.

Orez. 9.

Soluția 2 (Fig. 9, a)

1) a || (O bandă b || (AB) - direct;

2) (AR), (AR)Ç a = C, (AP) Ç b = D ;

3) (D ÎN) Ç a = M, (CB) Ç b = N ;

4) (M N ) Ç (AB) = K;

5) (D LA) Ç (A N ) = F ;

6) (În F ) Ç b = D 1, (B F ) Ç a \u003d C 1;

7) (D ÎN ) Ç (A D 1) = X,

(AC 1) Ç (CB) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) = O. Obținem AO = OB.

Fig. 9, a

Soluția 3 .( Orez. 9b)

După cum se știe , în trapezul mijlociu

baze, punct de intersecție

diagonalele și punctul de intersecție

extensii laterale

culcați pe aceeași linie.

1) m || (AB) - direct;

2) C Î m , D Î m , (AC) Ç (ÎN D ) = LA; Fig.9,b

3) (CB) Ç (A D ) = F ; 4) (K F ) Ç (AB) = O. Obținem AO = OB.

I.5. Rezolvarea diferitelor probleme de construcție

În rezolvarea următoarelor probleme pentru construcția numai cu o riglă cu două fețe, se utilizează construcția directă a liniilor paralele și cele șapte probleme principale de mai sus.

1. Desenați două drepte reciproc perpendiculare prin acest punct.

R Soluţie: trece prin acest punct

două linii arbitrare,

iar apoi bisectoarele

colțurile adiacente. (Fig.10)

Fig.10

2. Dat segmentul A D o lungime dată.

Construiți un segment a cărui lungime este .

R
soluţie : Să cheltuim m  AȘi h || m prin

punctul A. f || (A D ) , k || (ANUNȚ) direct.

Să desenăm AB și AC, unde B =f  m ,

a C = m  k . Într-un mod cunoscut

Împărțiți AB și AC în jumătate și

trageți medianele triunghiului

ABC. Prin proprietatea medianelor

triunghi, oh D = - dorit

segment (Fig.11)

Orez. unsprezece

3. Construiți un segment de dreaptă a cărui lungime este

egal cu perimetrul triunghiului.

Soluţie: (Fig. 12). Să construim bisectoare

două colțuri exterioare ale triunghiului și apoi

3 vârfuri ÎN trage perpendiculare

la aceste bisectoare.

DE = a + b + cu

Fig.12

4. Având în vedere un segment de lungime a. Construiți segmente de lungime 2a, 3a.

R Soluţie: (Fig. 13)

1M N) || (AB) și (M 1 N 1 ) || (M N) || (M 2 N 2 ) –

Direct;

2) (CA) și (CB) prin A și B.

Segmentele A 1 B 1 și A 2 B 2 sunt necesare.

O altă soluție la această problemă poate fi

obțineți din soluția problemei 7.

Orez. 13

5. Două segmente sunt date pe o linie dreaptă, ale căror lungimi sunt a și b . Construiți segmente ale căror lungimi sunt egale cu a + b , b - A, ( A + b )/2 și ( b - A )/2 .

Soluţie: si pentru A + b(Fig. 14, a)

Fig. 14, a

b) pentru ( A + b)/2 (Fig. 14, b)

1) (A 1 B 1) || (A 2 B 2) || (AB) - direct;

2) M Î (A 2 B 2), (MX) Ç (A 1 B 1) = N, (M H) Ç (A 1 B 1) = P;

3) (PY) Ç (A 2 B 2) = L, (LZ ) Ç (A 1 B 1) = O

Primim: N O = NP + PO =
.

Orez. 14b

c) pentru b - A(Fig. 14, c)

Orez. 14, în

c) pentru ( b - A )/2 (Fig. 14d)

Orez. 14, g

6
. Construiți centrul acestui cerc.

Soluţie : (Fig. 15) Desenați o linie dreaptă AB,

intersectarea cercului în punctele A și B;

soare  AB, unde C este punctul de intersecție

cu un cerc.

Desenați prin punctul C paralel cu AB

linie dreaptă C D; CUDtraversează cercul

la punctD.

Prin conectareDcu B și A cu C, obținem

punctul dorit este centrul cercului. Orez. 15

Soluția 2: (Fig. 16) Construiți două coarde paralele folosind o riglă cu două fețeANUNȚ Șiî.Hr . Obținem un trapez isoscelABCD. LăsaK ȘiP - punctele de intersecție ale dreptelorAC ȘiBD , AB ȘiDC . Apoi liniaP K trece prin punctele medii ale bazelor trapezului perpendicular pe acestea, ceea ce înseamnă că trece prin centrul cercului dat. După ce am construit în mod similar o altă astfel de linie dreaptă, găsim centrul cercului.

Orez. 16

7. Se dă un arc de cerc. Construiți centrul cercului

Soluţie . (Fig. 17) Să marchem trei puncte A, B și C pe acest arc. Să atașăm o riglă la capetele segmentului AB și să încercuim marginile acestuia. Obținem două drepte paralele. Schimbând poziția riglei, trageți încă două linii drepte paralele. Obținem un romb (paralelogram cu înălțimi egale). Una dintre diagonalele rombului este bisectoarea perpendiculară pe segmentAB , deoarece diagonala rombului se află pe bisectoare perpendiculară spre cealaltă diagonală. În mod similar, construim bisectoarea perpendiculară pe segmentAC . Punctul de intersecție al perpendicularelor medii construite este centrul cercului dorit.

Orez. 17

8. Având în vedere un segment AB, o dreaptă l care nu este paralelă cu acesta și un punct M pe acesta. Folosind o riglă cu două fețe, construiți punctele de intersecție ale dreptei l cu un cerc de rază AB cu centrul M.

Soluţie: (Fig.18)

Să completăm triunghiulABM la paralelogramABNM . Să construim bisectoarele MT șiDOMNIȘOARĂunghiuri întreMNsi directl . Să trecem prin punctN drepte paralele cu aceste bisectoare:NQ || DOMNIȘOARĂ, NR || MT. MT│ DOMNIȘOARĂca bisectoare ale unghiurilor adiacente. Mijloace,NQ │ MT, adică într-un triunghiNMQbisectoarea este înălțimea, deci triunghiul este isoscel:MQ = MN. De asemenea,DOMNUL = MN. puncteQȘiRdorit.

Orez. 18

9. Având în vedere o dreaptă l şi un segment OA paralel cu l. Folosind o riglă cu două fețe, construiți punctele de intersecție ale liniei l cu un cerc de rază OA centrat pe O.

Soluţie: (Fig. 19, a)

Să tragem o linie dreaptăl 1 , paralel cu liniaOA și la distanță de elA . Să o luăm directl punct arbitrarB . LăsaB 1 - punctul de intersecție a dreptelorOB Șil 1 . Să trecem prin punctB 1 drept, paralelAB ; această linie intersectează liniaOA la punctA 1 . Să trecem acum prin puncteO ȘiA 1 o pereche de drepte paralele a căror distanță este egală cuA (pot exista două astfel de perechi de linii); lăsaX ȘiX 1 - punctul de intersecție al dreptei care trece prin punctulO , cu linii dreptel Șil 1 . DeoareceOA 1 = BOU 1 și ∆OA 1 X 1 ∆ OAX , apoi ОА = ОХ, punctX dorit.

În mod similar, construim al doilea punct de intersecție al cercului și al dreptei - punctulY(Fig.18,b).

Orez. 18,a

Orez. 18b

I.6.Construcții cu riglă unilaterală

Z
Aici luăm în considerare un caz special: să fie date punctele P,Q, R 1 ȘiQ 1 . iar ele se află la vârfurile trapezului.

1. Împărțiți segmentul P Q în jumătate

Soluţie prezentat în figura 19

Datele puncte P,Q, R 1 ȘiQ 1 și linii paralele

RQ, R 1 Q 1 . Să cheltuim PQ 1  QR 1 = B , RR 1  QQ 1 = A

Conectați punctele A și B. AB RQ = F- mijloc

segmentul PQ.

Orez. 19

2. Segment dublu R 1 Q 1.

R
soluţie prezentat în Figura 20. Să construim

punctF- mijlocul segmentului RQși conectați-l

CuQ 1. R 1 Q FQ 1 = M. Să efectuăm RM. RM R 1 Q 1 = R

egalitateRQși R 1 Q 1 rezultă din asemănarea

triunghiuri RMFȘi RMQ 1 ,

FMQȘi R 1 MQ 1 , iar egalitatea РFȘiFQ.

Orez. 20

3
. Construiți un segment de lungime n  R 1 Q 1 .

m – 1 segmente egale PQ 2 , Q 2 Q 3, … Q m -1 Q m

Apoi construim (RR 1 ) ȘiQ m Q 1 și conectați

punctul lor de intersecție A cu punctele

Q 2 , Q 3, … Q m Primitm -1 direct

divideR 1 Q 1 pem egal părți.

Pentrum = 4 soluția este prezentată în figura 22

Fig.22

I.7. Interschimbabilitatea riglei cu două fețe cu busolă și riglă

Să demonstrăm că o riglă cu două fețe este interschimbabilă cu o busolă și o riglă. Pentru a face acest lucru, demonstrăm următoarele afirmații:

Afirmația 1: toate construcțiile fezabile cu o busolă și un dreptar sunt fezabile cu un dreptar cu două fețe.

Deoarece atunci când construiește cu o busolă și o riglă, rigla trasează o linie dreaptă prin două puncte, iar compasul construiește un cerc (găsește un set de puncte echidistante de cel dat), atunci toate construcțiile cu busolă și riglă se reduc la construind intersecția a două drepte, două cercuri și un cerc cu o dreaptă.

Intersecția a două linii poate fi trasată folosind o riglă.

Intersecția unui cerc și a unei linii drepte (Fig. 23):

Clădire:Să fie dat segmentul AB - raza cercului, linia dreaptăl , centrul cercului O, atunci:

1) Cheltuim OS ||l , OS = AB.

2) Cheltuim OS ||kși telecomandă pe a.

3) Noi cheltuimOD, OD l = D; OD k) Prin corolarul teoremei Thales

4) Conform legii tranzitivităţii egalităţilor

5) Luați în considerareOMQE. OMQEeste un paralelogram, deoarece OM ||EQși OE ||MC(laturile liniare sunt paralele). Să demonstrăm că acesta este un romb.

5.1) ConduitaQZ OCȘiQG PE, ApoiQG = QZ = A.

5.2)  OMQ =  RQM(încrucișată);  OS =PE, ceea ce urma să fie dovedit.

Intersecția a două cercuri: asemănătoare.

Afirmația 2: toate construcțiile fezabile cu o riglă cu două fețe sunt fezabile cu o busolă și o linie dreaptă.

Pentru a face acest lucru, vom efectua construcții standard pentru o riglă cu două fețe folosind o busolă și o riglă.

1) O linie în două puncte se trasează cu ușurință folosind o riglă.

2) Construcția unei linii drepte, paralelă cu una dată și îndepărtată de aceasta la o distanță dată:

2.1) Fie dată o liniekși un segment de lungimeA.

2.2) Construim o linie arbitrarăb k, lăsak b= B.

2.3) Pornitbde fiecare parte a punctuluiBpe o linie dreaptăbpune deoparte o lungimeA, lasă puncteleCȘiD.

2.4) Printr-un punctCconstruiți o linie dreaptăc k.

2.5) Printr-un punctDconstruiți o linie dreaptăd k.

2.6) DirectcȘid– dorit, din moment ceî.HrȘiBDegalAprin construcție și sunt egale cu distanța dintre linieksi direct

3) Construcția de drepte paralele între ele și care trec prin două puncte date și distanța dintre distanța dintre care este egală cu segmentul dat:

3.1) Să se acorde puncteAȘiBși un segment de lungimeA.

3.2) Desenați un cerc centrat într-un punctAsi razaA.

3.3) Construim o tangentă la un cerc dat printr-un punctB; există două astfel de tangente, dacăBse află în afara cercului (dacăAB> A), unul dacăBse află pe cerc (dacăAB= A), niciunul dacăBse află în interiorul cercului (AB< A). Această tangentă este una dintre liniile dorite; stânga pentru a trece prin punctAlinie dreaptă paralelă cu aceasta.

3.4) Deoarece una dintre drepte este perpendiculară pe raza cercului ca tangentă, a doua este și perpendiculară pe aceasta (deoarece sunt paralele), prin urmare, distanța dintre ele este egală cu raza, care, prin construcție, este egală laAcare este ceea ce s-a cerut.

Astfel, am dovedit interschimbabilitatea unei rigle cu două fețe și a unei busole și a unei rigle.

Concluzie: o riglă cu două fețe este interschimbabilă cu busolele și o riglă.

Concluzie

Deci, problema posibilității de a utiliza o riglă pentru rezolvarea problemelor clasice de construcție cu ajutorul unei busole și a unei rigle a fost luată în considerare și rezolvată. Se pare că problemele de construcție pot fi rezolvate folosind o singură riglă cu margini paralele. La rezolvarea unor probleme mai complexe, ar trebui să se bazeze pe viitor pe așa-numitele construcții de bază luate în considerare în această lucrare.

Materialul prezentat poate fi aplicat direct nu numai în lecțiile de matematică, în orele unui cerc de matematică, ci și în activități practice.

Lista literaturii folosite

Aliyev A.V. Construcții geometrice. Matematica la scoala. 1978 nr. 3

Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. M., Iluminismul. 1981.

Depman I.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. M.. Educaţie.1989.

Elensky Sh. Pe urmele lui Pitagora. M., Detgiz. 1961.

Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician. M., Pedagogie. 1985

În sarcinile de construcție, vom lua în considerare construcția unei figuri geometrice, care poate fi efectuată folosind o riglă și o busolă.

Cu o riglă, puteți:

linie arbitrară;

o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct dat;

o linie dreaptă care trece prin două puncte date.

Folosind o busolă, puteți descrie un cerc cu o rază dată de la un centru dat.

O busolă poate fi folosită pentru a desena un segment pe o linie dată dintr-un punct dat.

Luați în considerare principalele sarcini pentru construcție.

Sarcina 1. Construiți un triunghi cu laturile date a, b, c (Fig. 1).

Soluţie. Cu ajutorul unei rigle, trageți o dreaptă arbitrară și luați pe ea un punct arbitrar B. Cu o deschidere a compasului egală cu a, descriem un cerc cu centrul B și raza a. Fie C punctul de intersecție cu dreapta. Cu o deschidere de busolă egală cu c, descriem un cerc din centrul B, iar cu o deschidere de busolă egală cu b - un cerc de la centrul C. Fie A punctul de intersecție al acestor cercuri. Triunghiul ABC are laturile egale cu a, b, c.

Cometariu. Pentru ca trei segmente de dreaptă să servească drept laturi ale unui triunghi, este necesar ca cea mai mare dintre ele să fie mai mică decât suma celorlalte două (și< b + с).

Sarcina 2.

Soluţie. Acest unghi cu vârful A și fasciculul OM sunt prezentate în Figura 2.

Desenați un cerc arbitrar centrat la vârful A al unghiului dat. Fie B și C punctele de intersecție ale cercului cu laturile unghiului (fig. 3, a). Să desenăm un cerc cu raza AB cu centrul în punctul O - punctul de plecare al acestei raze (Fig. 3, b). Punctul de intersecție al acestui cerc cu raza dată va fi notat ca С 1 . Să descriem un cerc cu centrul C 1 și raza BC. Punctul B 1 al intersecției a două cercuri se află pe partea unghiului dorit. Aceasta rezultă din egalitatea Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).

Sarcina 3. Construiți bisectoarea unghiului dat (Fig. 4).

Soluţie. Din vârful A unui unghi dat, ca din centru, desenăm un cerc de rază arbitrară. Fie B și C punctele de intersecție cu laturile unghiului. Din punctele B și C cu aceeași rază descriem cercuri. Fie D punctul lor de intersecție, diferit de A. Raza AD împarte unghiul A la jumătate. Aceasta rezultă din egalitatea ΔABD = ΔACD (al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).

Sarcina 4. Desenați o mediană perpendiculară pe acest segment (Fig. 5).

Soluţie. Cu o deschidere de busolă arbitrară, dar identică (mare 1/2 AB), descriem două arce cu centre în punctele A și B, care se intersectează în unele puncte C și D. Linia dreaptă CD va fi perpendiculara necesară. Într-adevăr, după cum se poate vedea din construcție, fiecare dintre punctele C și D este la fel de îndepărtat de A și B; prin urmare, aceste puncte trebuie să se afle pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB.

Sarcina 5.Împărțiți această secțiune în jumătate. Se rezolvă în același mod ca problema 4 (vezi Fig. 5).

Sarcina 6. Printr-un punct dat, trageți o dreaptă perpendiculară pe dreapta dată.

Soluţie. Sunt posibile două cazuri:

1) punctul dat O se află pe dreapta dată a (Fig. 6).

Din punctul O desenăm un cerc cu o rază arbitrară care intersectează dreapta a în punctele A și B. Din punctele A și B desenăm cercuri cu aceeași rază. Fie О 1 punctul lor de intersecție diferit de О. Se obține ОО 1 ⊥ AB. Într-adevăr, punctele O și O 1 sunt echidistante de capetele segmentului AB și, prin urmare, se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Constructie cu rigla si busola Geometrie">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Construiți un segment egal cu problema Ú dată A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Construirea unui unghi egal cu unul dat Luați în considerare triunghiuri"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Construirea unei bisectoare Problemă Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Construcția liniilor perpendiculare Ú Problemă dată unei linii"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ !} triunghi isoscel RAB Q este, de asemenea, înălțimea, apoi PM este perpendicular pe a.

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Construirea punctului de mijloc al unui segment Sarcină Ú Construiți punctul de mijloc al unui dat"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Instituție de învățământ bugetar municipal

in medie şcoală cuprinzătoare Nr. 34 cu studiu aprofundat al subiectelor individuale

MAN, Secţia Fizică şi Matematică

„Construcții geometrice folosind o busolă și o linie dreaptă”

Completat de: elev clasa 7 „A”.

Batishcheva Victoria

Șef: Koltovskaya V.V.

Voronej, 2013

3. Construcția unui unghi egal cu unul dat.

P trageți un cerc arbitrar centrat la vârful A al unghiului dat (Fig. 3). Fie B și C punctele de intersecție ale cercului cu laturile unghiului. Cu raza AB, desenăm un cerc centrat în punctul O, punctul de plecare al semiliniei date. Punctul de intersecție al acestui cerc cu semi-linia dată este notat cu C 1 . Descrie un cerc cu centrul C 1 și Fig.3

raza BC. Punctul B 1 intersecția cercurilor construite în semiplanul specificat se află pe partea unghiului dorit.

6. Construirea liniilor perpendiculare.

Desenăm un cerc cu o rază arbitrară r centrat în punctul O Fig.6. Cercul intersectează linia în punctele A și B.Din punctele A și B desenăm cercuri cu raza AB. Fie melancolia C punctul de intersecție al acestor cercuri. Am obținut punctele A și B la primul pas, când construim un cerc cu o rază arbitrară.

Linia dorită trece prin punctele C și O.

Fig.6

probleme cunoscute

1.sarcina lui Brahmagupta

Construiți un patrulater înscris cu patru laturi. O soluție folosește cercul lui Apollonius.Să rezolvăm problema lui Apollonius folosind analogia dintre un triciclu și un triunghi. Cum găsim un cerc înscris într-un triunghi: construim punctul de intersecție al bisectoarelor, aruncăm perpendicularele din el pe laturile triunghiului, bazele perpendicularelor (punctele de intersecție ale perpendicularei cu latura pe care este coborât) și ne dă trei puncte situate pe cercul cerut. Desenăm un cerc prin aceste trei puncte - soluția este gata. La fel vom face și cu problema lui Apollonius.

2. problema lui Apollonius

Utilizați o busolă și o linie dreaptă pentru a construi un cerc tangent la cele trei cercuri date. Potrivit legendei, problema a fost formulată de Apollonius din Perga în jurul anului 220 î.Hr. e. în cartea „Atingerea”, care s-a pierdut, dar a fost restaurată în 1600 de François Vieta, „Apollonius galic”, așa cum îl numeau contemporanii săi.

Dacă niciunul dintre cercurile date nu se află în interiorul celuilalt, atunci această problemă are 8 soluții în esență diferite.

Construirea de poligoane regulate.

P

corect (sau echilateral ) triunghi - Acest poligon regulatcu trei laturi, primul dintre poligoane regulate. Toate laturile unui triunghi echilateral sunt egali, si toate unghiurile sunt de 60°. Pentru a construi un triunghi echilateral, trebuie să împărțiți cercul în 3 părți egale. Pentru a face acest lucru, este necesar să desenați un arc cu o rază R a acestui cerc de la un singur capăt al diametrului, obținem prima și a doua diviziune. A treia diviziune se află la capătul opus al diametrului. Conectând aceste puncte, obținem un triunghi echilateral.

Hexagon obișnuit Poate saconstruiți cu busolă și dreptar. De mai josse da metoda de constructieprin împărțirea cercului în 6 părți. Folosim egalitatea laturilor unui hexagon regulat cu raza cercului circumscris. De la capetele opuse ale unuia dintre diametrele cercului, descriem arce cu raza R. Punctele de intersecție ale acestor arce cu un cerc dat îl vor împărți în 6 părți egale. Conectând în mod constant punctele găsite, se obține un hexagon regulat.

Construcția unui pentagon regulat.

P
pentagonul regulat poate ficonstruit folosind o busolă și o linie dreaptă sau potrivindu-l într-un anumitcerc, sau construind pe baza unei laturi date. Acest proces este descris de Euclidîn Elementele sale, pe la 300 î.Hr. e.

Iată o metodă pentru a construi un pentagon regulat într-un cerc dat:

Construiți un cerc în care va fi înscris pentagonul și desemnați centrul acestuia ca fiindO . (Acesta este cercul verde din diagrama din dreapta).

Alegeți un punct de pe cercA , care va fi unul dintre vârfurile pentagonului. Desenați o linie prinO ȘiA .

Construiți o dreaptă perpendiculară pe dreaptăOA trecând prin punctO . Desemnați una dintre intersecțiile sale cu cercul ca punctB .

Construiește un punctC la jumătatea drumului întreO ȘiB .

C printr-un punctA . Marcați intersecția acesteia cu liniaOB (în interiorul cercului original) ca punctD .

Desenați un cerc centrat peA prin punctul D, marcați intersecția acestui cerc cu originalul (cercul verde) ca puncteE ȘiF .

Desenați un cerc centrat peE printr-un punctA G .

Desenați un cerc centrat peF printr-un punctA . Desemnați cealaltă intersecție cu cercul original ca punctH .

Construiește un pentagon obișnuitAEGHF .

Probleme de nerezolvat

Următoarele trei sarcini de construcție au fost stabilite în antichitate:

Trisecție unghiulară - împărțiți un unghi arbitrar în trei părți egale.

Cu alte cuvinte, este necesar să se construiască trisectoarele unghiului - razele care împart unghiul în trei părți egale. P. L. Vanzel a demonstrat în 1837 că problema este rezolvabilă numai atunci când, de exemplu, trisecția este fezabilă pentru unghiurile α = 360°/n, cu condiția ca întregul n să nu fie divizibil cu 3. Cu toate acestea, în presa publicată din când în când metode (incorecte) pentru trisectarea unui unghi cu o busolă și o linie dreaptă.

Dublarea Cubului - o problemă antică clasică privind construcția unui cub cu o busolă și o riglă, al cărui volum este de două ori mai mare decât volumul unui cub dat.

În notația modernă, problema se reduce la rezolvarea ecuației. Totul se reduce la problema construirii unui segment de lungime. P. Wanzel a dovedit în 1837 că această problemă nu poate fi rezolvată cu ajutorul busolei și al unei linii drepte.

Pătratarea cercului - sarcina de a găsi o construcție folosind o busolă și o riglă a unui pătrat care este egală ca suprafață cu un cerc dat.

După cum știți, cu ajutorul unei busole și a unei rigle, puteți efectua toate cele 4 operații aritmetice și puteți extrage rădăcină pătrată; de aici rezultă că pătrarea unui cerc este posibilă dacă și numai dacă, cu ajutorul unui număr finit de astfel de operații, se poate construi un segment de lungime π. Astfel, imposibilitatea de rezolvare a acestei probleme rezultă din natura nealgebrică (transcendența) numărului π, care a fost dovedită în 1882 de Lindemann.

O altă problemă binecunoscută care nu poate fi rezolvată cu ajutorul unei busole și a unei rigle esteconstruirea unui triunghi cu trei lungimi date de bisectoare .

Mai mult, această problemă rămâne de nerezolvat chiar și în prezența unui trisector.

Abia în secolul al XIX-lea s-a dovedit că toate cele trei probleme erau de nerezolvat folosind doar o busolă și o linie dreaptă. Problema posibilității de construcție este complet rezolvată prin metode algebrice bazate pe teoria Galois.

ȘTII CĂ...

(din istoria construcțiilor geometrice)

Pe vremuri, un sens mistic a fost investit în construcția de poligoane regulate.

Deci, pitagoreenii, adepți ai învățăturilor religioase și filozofice fondate de Pitagora și care au trăit în Grecia antică (V eu-eu Vsecole î.Hr BC), au adoptat ca semn al unirii lor un poligon stelar format din diagonalele unui pentagon regulat.

Regulile pentru construcția geometrică strictă a unor poligoane regulate sunt stabilite în cartea „Începuturi” a matematicianului grec antic Euclid, care a trăit înIIIV. î.Hr. Pentru a efectua aceste construcții, Euclid a sugerat să se folosească doar o riglă și o busolă, care la acea vreme nu aveau un dispozitiv articulat pentru conectarea picioarelor (o astfel de limitare a instrumentelor era o cerință indispensabilă a matematicii antice).

Poligoanele regulate au fost utilizate pe scară largă în astronomia antică. Dacă Euclid a fost interesat de construcția acestor figuri din punctul de vedere al matematicii, atunci pentru astronomul grec antic Claudius Ptolemeu (aproximativ 90 - 160 d.Hr.) s-a dovedit a fi necesar ca instrument auxiliar în rezolvarea problemelor astronomice. Deci, în cartea I a Almagestului, întregul capitol al zecelea este dedicat construcției de pentagoane și decagoane regulate.

Cu toate acestea, pe lângă lucrările pur științifice, construcția de poligoane regulate a fost o parte integrantă a cărților pentru constructori, artizani și artiști. Capacitatea de a descrie aceste figuri a fost mult timp cerută în arhitectură, bijuterii și arte plastice.

„Zece cărți de arhitectură” ale arhitectului roman Vitruvius (care a trăit aproximativ în 63-14 î.Hr.) spune că zidurile orașului ar trebui să arate ca un poligon regulat în plan, iar turnurile cetății „trebuie făcute rotunde sau poligonale, deoarece patrulaterul mai degrabă distrus de armele de asediu.

Planificarea orașelor a fost de mare interes pentru Vitruvius, care credea că este necesar să se planifice străzile, astfel încât vânturile principale să nu bată de-a lungul lor. Se presupunea că sunt opt ​​astfel de vânturi și că bat în anumite direcții.

În timpul Renașterii, construcția poligoanelor regulate, și în special a pentagonului, nu a fost un simplu joc matematic, ci a fost o condiție prealabilă necesară pentru construirea de cetăți.

Hexagonul obișnuit a făcut obiectul unui studiu special al marelui astronom și matematician german Johannes Kepler (1571-1630), despre care vorbește în cartea sa Cadoul de Anul Nou sau Fulgi de zăpadă hexagonali. A discutat despre motivele pentru care fulgii de nea au o formă hexagonală, notează, în special, următoarele: „... planul poate fi acoperit fără goluri doar de următoarele figuri: triunghiuri echilaterale, pătrate și hexagoane regulate. Dintre aceste cifre, hexagonul obișnuit acoperă cea mai mare suprafață.

Unul dintre cei mai faimoși oameni de știință implicați în construcții geometrice a fost marele artist și matematician german Albrecht Dürer (1471 -1528), care le-a dedicat o parte semnificativă a cărții sale „Linii directoare...”. El a propus reguli pentru construirea poligoanelor regulate cu 3. 4, 5 ... 16 laturi. Metodele de împărțire a cercului propuse de Dürer nu sunt universale; în fiecare caz, se utilizează o tehnică individuală.

Dürer a aplicat metodele de construire a poligoanelor regulate în practica artistică, de exemplu, atunci când a creat alt fel ornamente si modele pentru parchet. Schițe ale unor astfel de modele au fost făcute de el în timpul unei călătorii în Olanda, unde s-au găsit parchet în multe case.

Durer a făcut ornamente din poligoane regulate, care sunt conectate în inele (inele de șase triunghiuri echilaterale, patru patrulatere, trei sau șase hexagoane, paisprezece heptagoane, patru octogoane).

Concluzie

Asa de,constructii geometrice este o metodă de rezolvare a unei probleme în care răspunsul se obține grafic. Construcțiile sunt realizate cu instrumente de desen cu acuratețe și acuratețe maximă a muncii, deoarece corectitudinea deciziei depinde de aceasta.

Datorită acestei lucrări, m-am familiarizat cu istoria originii busolei, am cunoscut mai în detaliu regulile de realizare a construcțiilor geometrice, am acumulat noi cunoștințe și le-am pus în practică.
Rezolvarea problemelor de construcție cu o busolă și o riglă este o distracție utilă care vă permite să aruncați o privire nouă asupra proprietăților cunoscute forme geometriceși elementele acestora.În această lucrare, luăm în considerare cele mai urgente probleme asociate construcțiilor geometrice folosind o busolă și o linie dreaptă. Sunt luate în considerare principalele sarcini și sunt oferite soluțiile acestora. Problemele prezentate prezintă un interes practic considerabil, consolidează cunoștințele acumulate în geometrie și pot fi folosite munca practica.
Astfel, scopul muncii este atins, sarcinile stabilite sunt îndeplinite.

Exemplu

Împărțirea unei linii în jumătate

Problema bisectiei. Folosiți o busolă și o linie dreaptă pentru a împărți acest segment ABîn două părți egale. Una dintre soluții este prezentată în figură:

• Compasele desenează cercuri centrate în puncte AȘi B rază AB.
• Găsirea punctelor de intersecție PȘi Q două cercuri (arce) construite.
• Pe o riglă, desenați un segment sau o linie care trece prin puncte PȘi Q.
• Găsirea punctului de mijloc al segmentului AB- punctul de intersecție ABȘi PQ.

Definiție formală

Problemele de construcție iau în considerare mulțimea tuturor punctelor planului, mulțimea tuturor liniilor planului și mulțimea tuturor cercurilor planului, peste care sunt permise următoarele operații:

1. Selectați un punct din setul de toate punctele:
   1. punct arbitrar
   2. punct arbitrar pe o dreaptă dată
   3. punct arbitrar pe un cerc dat
   4. punctul de intersecție a două drepte date
   5. puncte de intersecție/tangență ale unei drepte date și ale unui cerc dat
   6. puncte de intersecție/tangență a două cercuri date
2. "Prin utilizarea conducători» selectați o linie din setul de toate liniile:
   1. linie arbitrară
   2. o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct dat
   3. o linie care trece prin două puncte date
3. "Prin utilizarea busolă» selectați un cerc din setul de toate cercurile:
   1. cerc arbitrar
   2. un cerc arbitrar centrat într-un punct dat
   3. un cerc arbitrar cu o rază egală cu distanța dintre două puncte date
   4. un cerc centrat într-un punct dat și cu o rază egală cu distanța dintre două puncte date

În condițiile problemei, este specificat un anumit set de puncte. Este necesar, folosind un număr finit de operații, să construim un alt set de puncte dintre operațiile permise mai sus, care se află într-o relație dată cu mulțimea inițială.

Soluția problemei de construcție conține trei părți esențiale:

1. Descrierea metodei de construire a unei multimi date.
2. O dovadă că mulțimea construită în modul descris este într-adevăr într-o relație dată cu mulțimea inițială. De obicei, demonstrarea construcției se face ca o demonstrație obișnuită a unei teoreme, bazându-se pe axiome și alte teoreme demonstrate.
3. Analiza metodei de construcție descrise pentru aplicabilitatea acesteia la diferite opțiuni condiții inițiale, precum și pentru unicitatea sau neunichitatea soluției obținute prin metoda descrisă.

probleme cunoscute

• Problema lui Apollonius de a construi un cerc tangent la trei cercuri date. Dacă niciunul dintre cercurile date nu se află în interiorul celuilalt, atunci această problemă are 8 soluții în esență diferite.
• Problema lui Brahmagupta de a construi un patrulater înscris pe cele patru laturi ale sale.

Construirea de poligoane regulate

Geometrii antici știau să construiască corect n-goni pentru , , și .

Construcții posibile și imposibile

Toate construcțiile nu sunt altceva decât soluții ale unei ecuații, iar coeficienții acestei ecuații sunt legați de lungimile segmentelor date. Prin urmare, este convenabil să vorbim despre construcția unui număr - o soluție grafică a unei ecuații de un anumit tip. În cadrul cerințelor de mai sus, sunt posibile următoarele construcții:

• Construcția soluțiilor ecuațiilor liniare.
• Construcția soluțiilor ecuațiilor pătratice.

Cu alte cuvinte, este posibil să se construiască numai numere egale cu expresii aritmetice folosind rădăcina pătrată a numerelor originale (lungimile segmentelor). De exemplu,

Variații și generalizări

• Construcții cu o singură busolă. Conform teoremei Mohr-Mascheroni, cu ajutorul unei busole, puteți construi orice figură care poate fi construită cu un compas și o riglă. În acest caz, o linie este considerată a fi construită dacă pe ea sunt date două puncte.
• Construcții cu o singură riglă. Este ușor de observat că numai construcțiile proiectiv invariante pot fi realizate cu ajutorul unei rigle. În special, este imposibil chiar să împărțiți segmentul în două părți egale sau să găsiți centrul cercului desenat. Dar dacă există un cerc predesenat pe planul cu un centru marcat, folosind o riglă, puteți desena aceleași construcții ca și cu o busolă și o riglă (teorema Poncelet-Steiner ( Engleză)), 1833. Dacă pe riglă sunt două serif, atunci construcțiile care o folosesc sunt echivalente cu construcțiile care folosesc un compas și o riglă (Napoleon a făcut un pas important în demonstrarea acestui lucru).
• Construcții cu unelte limitate.În probleme de acest gen, instrumentele (spre deosebire de formularea clasică a problemei) sunt considerate nu ideale, ci limitate: o linie dreaptă prin două puncte poate fi trasă folosind o riglă numai dacă distanța dintre aceste puncte nu depășește un anumit punct. valoare; raza cercurilor desenate cu o busolă poate fi limitată de sus, de dedesubt sau atât deasupra cât și dedesubt.
• Clădire cu origami plat. vezi regulile Khujit

Vezi si

• Programele de geometrie dinamică vă permit să desenați cu o busolă și o linie dreaptă pe un computer.

Note

Literatură

• A. Adler Teoria construcțiilor geometrice / Traducere din germană de G. M. Fikhtengolts. - A treia editie. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 p.
• I. I. Alexandrov Culegere de probleme geometrice pentru construcție. - Ediția a optsprezecea. - M .: Uchpedgiz, 1950. - 176 p.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. - A doua editie. - M .: Uchpedgiz, 1957. - 268 p.
• A. M. Voroneţ Geometria unei busole. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 p. - (Biblioteca populară de matematică, editată de L.A. Lyusternik).
• V. A. Geiler Probleme de construcție de nerezolvat // lichid de răcire. - 1999. - Nr. 12. - S. 115-118.
• V. A. Kirichenko Construcții cu busole și riglă și teoria Galois // Școală de vară„Matematică modernă”. - Dubna, 2005.
• Yu. I. Manin Cartea IV. Geometrie // Enciclopedia matematicii elementare. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 568 p.
• Y. Petersen Metode și teorii pentru rezolvarea problemelor de construcție geometrică. - M .: Tipografia lui E. Lissner și Yu. Roman, 1892. - 114 p.
• V. V. Prasolov Trei probleme clasice de construcție. Dublarea unui cub, trisecția unui unghi, pătrarea unui cerc. - M .: Nauka, 1992. - 80 p. - (Prelegeri populare despre matematică).
• J. Steiner Construcții geometrice realizate folosind o dreaptă și un cerc fix. - M .: Uchpedgiz, 1939. - 80 p.
• Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M .: Educaţie, 1991. - S. 80. - 383 p. - ISBN 5-09-001287-3

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Construcție cu busolă și riglă” în alte dicționare:

Rigle - obțineți un cupon de reducere funcțional la Akademika VseTools sau cumpărați profitabil rigle cu transport gratuit la reducere la VseTools

Secțiune de geometrie euclidiană, cunoscută din cele mai vechi timpuri. În sarcinile de construcție, sunt posibile următoarele operații: Marcați un punct arbitrar pe plan, un punct pe una dintre liniile construite sau un punct de intersecție a două linii construite. Cu ajutorul ...... Wikipedia

Construcții cu ajutorul busolei și a dreptei O secțiune de geometrie euclidiană cunoscută din cele mai vechi timpuri. În sarcinile de construcție, sunt posibile următoarele operații: Marcați un punct arbitrar pe plan, un punct pe una dintre liniile construite sau un punct ... ... Wikipedia

Ex., s., folosire. comp. adesea Morfologie: (nu) ce? constructie pentru ce? construcție, (vezi) ce? construind ce? clădire, despre ce? despre construcție; pl. Ce? construcție, (nu) ce? constructii, de ce? construcții, (vezi) ce? construcție decât? ...... Dicţionar Dmitrieva