Figura piramidală. Figuri geometrice. Piramidă. Proprietățile unei piramide obișnuite

Ipoteză: credem că perfecţiunea formei piramidei se datorează legi matematiceîncorporat în forma sa.

Ţintă: după ce a studiat piramida ca corp geometric, pentru a explica perfecțiunea formei sale.

Sarcini:

1. Dați o definiție matematică a unei piramide.

2. Studiați piramida ca corp geometric.

3. Înțelegeți ce cunoștințe matematice au pus egiptenii în piramidele lor.

Întrebări private:

1. Ce este o piramidă ca corp geometric?

2. Cum poate fi explicată matematic forma unică a piramidei?

3. Ce explică minunile geometrice ale piramidei?

4. Ce explică perfecțiunea formei piramidei?

Definiția piramidei.

PIRAMIDĂ (din greacă pyramis, genul n. pyramidos) - un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun (figura). În funcție de numărul de colțuri ale bazei, piramidele sunt triunghiulare, patrulatere etc.

PIRAMIDĂ - o structură monumentală care are forma geometrică a unei piramide (uneori și în trepte sau în formă de turn). Mormintele gigantice ale faraonilor egipteni antici din mileniul III-II i.Hr. sunt numite piramide. e., precum și vechile socluri americane ale templelor (în Mexic, Guatemala, Honduras, Peru) asociate cu cultele cosmologice.

Este posibil ca cuvânt grecesc„piramidă” provine din expresia egipteană per-em-us, adică dintr-un termen care însemna înălțimea piramidei. Proeminentul egiptolog rus V. Struve credea că grecescul „puram…j” provine din egipteanul antic „p”-mr”.

Din istorie. După ce am studiat materialul din manualul „Geometrie” de către autorii lui Atanasyan. Butozova și alții, am aflat că: Un poliedru compus din n-gon A1A2A3 ... Un și n triunghiuri RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 se numește piramidă. Poligonul A1A2A3 ... An este baza piramidei, iar triunghiurile RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 sunt fețele laterale ale piramidei, P este vârful piramidei, segmentele RA1, RA2, .. ., RAn sunt marginile laterale.

Cu toate acestea, o astfel de definiție a piramidei nu a existat întotdeauna. De exemplu, matematicianul grec antic, autorul tratatelor teoretice de matematică care au ajuns până la noi, Euclid, definește o piramidă ca fiind o figură solidă delimitată de planuri care converg de la un plan la un punct.

Dar această definiție a fost criticată deja în antichitate. Deci Heron a propus următoarea definiție a unei piramide: „Aceasta este o figură delimitată de triunghiuri care converg într-un punct și a cărei bază este un poligon.”

Grupul nostru, comparând aceste definiții, a ajuns la concluzia că nu au o formulare clară a conceptului de „fundație”.

Am studiat aceste definiții și am găsit definiția lui Adrien Marie Legendre, care în 1794 în lucrarea sa „Elemente de geometrie” definește piramida astfel: „Piramida este o figură corporală, format din triunghiuri, convergând într-un punct și se termină pe diferite laturi ale unei baze plate.

Ni se pare că ultima definiție oferă o idee clară a piramidei, deoarece se referă la faptul că baza este plată. O altă definiție a piramidei a apărut într-un manual din secolul al XIX-lea: „o piramidă este un unghi solid intersectat de un plan”.

Piramida ca corp geometric.

Acea. O piramidă este un poliedru, una dintre ale cărui fețe (bază) este un poligon, fețele rămase (laturile) sunt triunghiuri care au un vârf comun (vârful piramidei).

Se numește perpendiculara trasată din vârful piramidei pe planul bazei înalth piramide.

Pe lângă o piramidă arbitrară, există piramida dreapta, la baza căruia se află un poligon regulat şi trunchi de piramidă.

În figură - piramida PABCD, ABCD - baza sa, PO - înălțimea.

Suprafata intreaga O piramidă se numește suma ariilor tuturor fețelor sale.

Plin = Sside + Sbase, Unde Sside este suma suprafețelor fețelor laterale.

volumul piramidei se gaseste dupa formula:

V=1/3Sbază h, unde Sosn. - suprafata de baza h- înălțime.

Aria feței laterale a unei piramide regulate se exprimă după cum urmează: Sside. =1/2P h, unde P este perimetrul bazei, h- inaltimea fetei laterale (apotema unei piramide regulate). Dacă piramida este străbătută de planul A'B'C'D' paralel cu baza, atunci:

1) marginile laterale și înălțimea sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

2) în secţiune se obţine un poligon A'B'C'D' asemănător bazei;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Bazele piramidei trunchiate sunt poligoane similare ABCD și A`B`C`D`, fețele laterale sunt trapeze.

Înălţime trunchi de piramidă - distanța dintre baze.

Volum trunchiat piramida se gaseste dupa formula:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite se exprimă după cum urmează: Sside. = ½(P+P') h, unde P și P’ sunt perimetrele bazelor, h- înălțimea feței laterale (apotema unui obișnuit trunchiat de sărbători

Secțiuni ale piramidei.

Secțiunile piramidei prin planuri care trec prin vârful ei sunt triunghiuri.

Secțiunea care trece prin două margini laterale neadiacente ale piramidei se numește secțiune diagonală.

Dacă secțiunea trece printr-un punct de pe marginea laterală și pe partea bazei, atunci această latură va fi urma sa pe planul bazei piramidei.

O secțiune care trece printr-un punct situat pe fața piramidei și o urmă dată a secțiunii pe planul bazei, atunci construcția trebuie efectuată după cum urmează:

găsiți punctul de intersecție al planului feței date și urma secțiunii piramidei și desemnați-l;

construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat și punctul de intersecție rezultat;

· Repetați acești pași pentru fețele următoare.

, care corespunde raportului catetelor unui triunghi dreptunghic 4:3. Acest raport al catetelor corespunde binecunoscutului triunghi dreptunghic cu laturile 3:4:5, care se numește triunghiul „perfect”, „sacru” sau „egiptean”. Potrivit istoricilor, triunghiului „egiptean” i s-a dat un sens magic. Plutarh a scris că egiptenii comparau natura universului cu un triunghi „sacru”; au asemănat simbolic piciorul vertical cu soțul, baza cu soția, iar ipotenuza cu ceea ce se naște din ambele.

Pentru un triunghi 3:4:5, egalitatea este adevărată: 32 + 42 = 52, care exprimă teorema lui Pitagora. Nu este această teoremă pe care preoții egipteni au vrut să o perpetueze prin ridicarea unei piramide pe baza triunghiului 3:4:5? Este greu de găsit un exemplu mai bun pentru a ilustra teorema lui Pitagora, care era cunoscută egiptenilor cu mult înainte de descoperirea ei de către Pitagora.

Astfel, ingenioșii creatori ai piramidelor egiptene au căutat să impresioneze descendenții îndepărtați cu profunzimea cunoștințelor lor și au reușit acest lucru alegând ca „idee geometrică principală” pentru piramida lui Keops – triunghiul dreptunghic „de aur” și pentru piramida lui Khafre – triunghiul „sacru” sau „egiptean”.

Foarte des, în cercetările lor, oamenii de știință folosesc proprietățile piramidelor cu proporțiile Secțiunii de Aur.

La matematică dicţionar enciclopedic este dată următoarea definiție a secțiunii de aur - aceasta este o împărțire armonică, diviziune în raport extrem și mediu - împărțirea segmentului AB în două părți, astfel încât cea mai mare parte din AC să fie media proporțională între întregul segment AB și partea sa mai mică CB.

Constatarea algebrică a secțiunii de aur a unui segment AB = a reduce la rezolvarea ecuației a: x = x: (a - x), de unde x este aproximativ egal cu 0,62a. Raportul x poate fi exprimat ca fracții 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, unde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sunt numere Fibonacci.

Construcția geometrică a secțiunii de aur a segmentului AB se realizează după cum urmează: în punctul B, perpendiculara pe AB este restabilită, segmentul BE \u003d 1/2 AB este așezat pe acesta, A și E sunt conectate, DE \ u003d BE este amânat și, în final, AC \u003d AD, atunci egalitatea AB este îndeplinită: CB = 2: 3.

ratia de aur adesea folosit în opere de artă, arhitectură, găsite în natură. Exemple vii sunt sculptura lui Apollo Belvedere, Partenonul. În timpul construcției Partenonului s-a folosit raportul dintre înălțimea clădirii și lungimea acesteia și acest raport este de 0,618. Obiectele din jurul nostru oferă, de asemenea, exemple ale raportului de aur, de exemplu, legăturile multor cărți au un raport lățime/lungime apropiat de 0,618. Având în vedere dispunerea frunzelor pe o tulpină comună a plantelor, se poate observa că între fiecare două perechi de frunze, a treia este situată în locul Raportului de Aur (diapozitive). Fiecare dintre noi „poartă” Raportul de Aur cu noi „în mâinile noastre” - acesta este raportul dintre falangele degetelor.

Datorită descoperirii mai multor papirusuri matematice, egiptologii au aflat câte ceva despre sistemele egiptene antice de calcul și măsură. Sarcinile cuprinse în ele erau rezolvate de către cărturari. Unul dintre cele mai faimoase este Papirusul matematic Rhind. Studiind aceste puzzle-uri, egiptologii au învățat cum s-au ocupat egiptenii antici cu diferitele cantități care apăreau la calcularea măsurilor de greutate, lungime și volum, care foloseau adesea fracții, precum și modul în care se ocupau cu unghiurile.

Vechii egipteni foloseau o metodă de calcul a unghiurilor bazată pe raportul dintre înălțimea și baza unui triunghi dreptunghic. Au exprimat orice unghi în limbajul gradientului. Gradientul pantei a fost exprimat ca raport al unui număr întreg, numit „seked”. În Mathematics in the Time of the Pharaohs, Richard Pillins explică: „Sekedul unei piramide regulate este înclinarea oricăreia dintre cele patru fețe triunghiulare față de planul bazei, măsurată cu un al n-lea număr de unități orizontale per unitate verticală de cotă. . Astfel, această unitate de măsură este echivalentă cu cotangentei noastre moderne a unghiului de înclinare. Prin urmare, cuvântul egiptean „seked” este legat de al nostru cuvânt modern"gradient"".

Cheia numerică a piramidelor constă în raportul dintre înălțimea lor și bază. În termeni practici, acesta este cel mai simplu mod de a realiza șabloanele necesare pentru a verifica constant unghiul corect de înclinare pe tot parcursul construcției piramidei.

Egiptologii ar fi bucuroși să ne convingă că fiecare faraon era dornic să-și exprime individualitatea, de aici și diferențele de unghiuri de înclinare pentru fiecare piramidă. Dar ar putea exista un alt motiv. Poate că toți au vrut să întruchipeze diferite asociații simbolice ascunse în proporții diferite. Cu toate acestea, unghiul piramidei lui Khafre (bazat pe triunghi (3:4:5) apare în cele trei probleme prezentate de piramide din Papirusul matematic Rhind). Deci această atitudine era bine cunoscută vechilor egipteni.

Pentru a fi corect cu egiptologii care susțin că egiptenii antici nu cunoșteau triunghiul 3:4:5, să spunem că lungimea ipotenuzei 5 nu a fost niciodată menționată. Dar probleme de matematică, în ceea ce privește piramidele, se rezolvă întotdeauna pe baza unghiului căutat - raportul dintre înălțime și bază. Deoarece lungimea ipotenuzei nu a fost niciodată menționată, s-a ajuns la concluzia că egiptenii nu au calculat niciodată lungimea celei de-a treia laturi.

Raporturile înălțime-bază folosite în piramidele din Giza erau, fără îndoială, cunoscute egiptenilor antici. Este posibil ca aceste rapoarte pentru fiecare piramidă să fi fost alese în mod arbitrar. Totuși, acest lucru contrazice importanța acordată simbolismului numeric în toate tipurile de egiptean Arte vizuale. Este foarte probabil ca astfel de relații să fi avut o importanță semnificativă, deoarece exprimau idei religioase specifice. Cu alte cuvinte, întregul complex din Giza a fost supus unui design coerent, conceput pentru a reflecta un fel de temă divină. Acest lucru ar explica de ce designerii au ales unghiuri diferite pentru cele trei piramide.

În Secretul lui Orion, Bauval și Gilbert au prezentat dovezi convingătoare ale conexiunii dintre piramidele din Giza cu constelația Orion, în special cu stelele centurii lui Orion.Aceeași constelație este prezentă în mitul lui Isis și Osiris și acolo este un motiv pentru a considera fiecare piramidă ca o imagine a uneia dintre cele trei zeități principale - Osiris, Isis și Horus.

MINUNI „GEOMETRICE”.

Printre grandioasele piramide ale Egiptului, un loc aparte îl ocupă Marea Piramidă a faraonului Keops (Khufu). Înainte de a trece la analiza formei și dimensiunii piramidei lui Keops, ar trebui să ne amintim ce sistem de măsuri au folosit egiptenii. Egiptenii aveau trei unități de lungime: „cot” (466 mm), egal cu șapte „palme” (66,5 mm), care, la rândul lor, era egal cu patru „degete” (16,6 mm).

Să analizăm dimensiunea piramidei Cheops (Fig. 2), urmând raționamentul dat în minunata carte a savantului ucrainean Nikolai Vasyutinskiy „Proporția de aur” (1990).

Majoritatea cercetătorilor sunt de acord că lungimea laturii bazei piramidei, de exemplu, GF este egal cu L\u003d 233,16 m. Această valoare corespunde aproape exact la 500 de „coți”. Respectarea deplină a 500 de „coți” va fi dacă lungimea „cotului” este considerată egală cu 0,4663 m.

Înălțimea piramidei ( H) este estimată de cercetători în mod diferit de la 146,6 la 148,2 m. Și în funcție de înălțimea acceptată a piramidei, toate rapoartele elementelor sale geometrice se modifică. Care este motivul diferențelor în estimarea înălțimii piramidei? Cert este că, strict vorbind, piramida lui Keops este trunchiată. Platforma sa superioară are astăzi o dimensiune de aproximativ 10 ´ 10 m, iar în urmă cu un secol avea 6 ´ 6 m. Este evident că vârful piramidei a fost demontat și nu corespunde cu cel inițial.

Atunci când se evaluează înălțimea piramidei, este necesar să se țină cont de acest lucru factor fizic ca un design „ciornă”. In spate perioadă lungă de timp sub influența presiunii colosale (atingând 500 de tone la 1 m2 de suprafață inferioară), înălțimea piramidei a scăzut față de înălțimea inițială.

Care a fost înălțimea inițială a piramidei? Această înălțime poate fi recreată dacă găsiți „ideea geometrică” de bază a piramidei.

Figura 2.

În 1837, colonelul englez G. Wise a măsurat unghiul de înclinare al fețelor piramidei: s-a dovedit a fi egal cu A= 51°51". Această valoare este recunoscută și astăzi de majoritatea cercetătorilor. Valoarea indicată a unghiului corespunde tangentei (tg A), egal cu 1,27306. Această valoare corespunde raportului dintre înălțimea piramidei AC la jumătatea bazei sale CB(Fig.2), adică AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Și aici, cercetătorii au avut o mare surpriză!.png" width="25" height="24">= 1.272. Comparând această valoare cu valoarea tg A= 1,27306, vedem că aceste valori sunt foarte apropiate una de cealaltă. Dacă luăm unghiul A\u003d 51 ° 50", adică pentru a-l reduce cu doar un minut de arc, apoi valoarea A va deveni egal cu 1,272, adică va coincide cu valoarea lui . De remarcat că în 1840 G. Wise și-a repetat măsurătorile și a clarificat că valoarea unghiului A=51°50".

Aceste măsurători i-au condus pe cercetători la următoarea ipoteză foarte interesantă: triunghiul ASV al piramidei lui Keops s-a bazat pe relația AC / CB = = 1,272!

Luați în considerare acum un triunghi dreptunghic ABC, în care raportul picioarelor AC / CB= (Fig.2). Dacă acum lungimile laturilor dreptunghiului ABC notează prin X, y, z, și, de asemenea, să ia în considerare faptul că raportul y/X= , apoi, în conformitate cu teorema lui Pitagora, lungimea z se poate calcula cu formula:

Dacă se acceptă X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figura 3 Triunghi dreptunghic „de aur”.

Un triunghi dreptunghic în care laturile sunt legate ca t:de aur" triunghi dreptunghic.

Apoi, dacă luăm ca bază ipoteza că principala „idee geometrică” a piramidei lui Cheops este triunghiul dreptunghic „de aur”, atunci de aici este ușor să calculăm înălțimea „proiectului” a piramidei lui Cheops. Este egal cu:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Să derivăm acum câteva alte relații pentru piramida lui Keops, care decurg din ipoteza „de aur”. În special, găsim raportul dintre zona exterioară a piramidei și zona bazei sale. Pentru a face acest lucru, luăm lungimea piciorului CB pe unitate, adică: CB= 1. Dar apoi lungimea laturii bazei piramidei GF= 2 și aria bazei EFGH va fi egal cu SEFGH = 4.

Să calculăm acum aria feței laterale a piramidei Keops SD. Pentru că înălțimea AB triunghi AEF este egal cu t, atunci aria feței laterale va fi egală cu SD = t. Apoi, aria totală a tuturor celor patru fețe laterale ale piramidei va fi egală cu 4 t, iar raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și zona de bază va fi egal cu raportul de aur! Asta e - principalul secret geometric al piramidei lui Keops!

Grupul „minunilor geometrice” al piramidei lui Keops include proprietățile reale și artificiale ale relației dintre diferitele dimensiuni din piramidă.

De regulă, ele se obțin în căutarea unor „constante”, în special, numărul „pi” (numărul Ludolf), egal cu 3,14159...; bazele logaritmilor naturali „e” (numărul lui Napier) egale cu 2,71828...; numărul „F”, numărul „secțiunii de aur”, egal, de exemplu, 0,618 ... etc..

Puteți numi, de exemplu: 1) Proprietatea lui Herodot: (Înălțime) 2 \u003d 0,5 st. principal x Apothem; 2) Proprietatea lui V. Pret: Inaltime: 0,5 st. osn \u003d Rădăcina pătrată a lui „Ф”; 3) Proprietatea lui M. Eist: Perimetrul bazei: 2 Inaltime = "Pi"; într-o interpretare diferită - 2 linguri. principal : Înălțime = „Pi”; 4) Proprietatea lui G. Reber: Raza cercului înscris: 0,5 st. principal = "F"; 5) Proprietatea lui K. Kleppish: (Sf. principal.) 2: 2 (st. principal. x Apothem) \u003d (st. principal. W. Apothem) \u003d 2 (st. principal. x Apothem) : (( 2 st. principal X Apothem) + (st. principal) 2). etc. Puteți veni cu o mulțime de astfel de proprietăți, mai ales dacă conectați două piramide învecinate. De exemplu, ca „Proprietățile lui A. Arefiev” se poate menționa că diferența dintre volumele piramidei lui Keops și piramidei lui Khafre este egală cu dublul volumului piramidei lui Menkaure...

Multe prevederi interesante, în special, privind construcția piramidelor conform „secțiunii de aur” sunt expuse în cărțile lui D. Hambidge „Dynamic Symmetry in Architecture” și M. Geek „Aesthetics of Proportion in Nature and Art”. Amintiți-vă că „secțiunea de aur” este împărțirea segmentului într-un astfel de raport, când partea A este de atâtea ori mai mare decât partea B, de câte ori A este mai mică decât întregul segment A + B. Raportul A / B este egal cu numărul „Ф” == 1.618. .. Utilizarea „secțiunii de aur” este indicată nu numai în piramidele individuale, ci și în întregul complex piramidal din Giza.

Cel mai curios lucru, însă, este că una și aceeași piramidă a lui Keops pur și simplu „nu poate” conține atât de multe proprietăți minunate. Luând o anumită proprietate una câte una, o puteți „ajusta”, dar toate dintr-o dată nu se potrivesc - nu coincid, se contrazic. Prin urmare, dacă, de exemplu, la verificarea tuturor proprietăților, se ia inițial una și aceeași parte a bazei piramidei (233 m), atunci înălțimile piramidelor cu proprietăți diferite vor fi și ele diferite. Cu alte cuvinte, există o anumită „familie” de piramide, similară în exterior cu cele ale lui Keops, dar corespunzătoare unor proprietăți diferite. Rețineți că nu există nimic deosebit de miraculos în proprietățile „geometrice” - multe apar pur automat, din proprietățile figurii în sine. Un „miracol” ar trebui considerat doar ceva evident imposibil pentru vechii egipteni. Aceasta include, în special, miracole „cosmice”, în care măsurătorile piramidei Cheops sau ale complexului piramidal Giza sunt comparate cu unele măsurători astronomice și sunt indicate numere „pare”: de un milion de ori, de un miliard de ori mai puțin și așa mai departe . Să luăm în considerare câteva relații „cosmice”.

Una dintre afirmații este aceasta: „dacă împărțim latura bazei piramidei la lungimea exactă a anului, obținem exact 10 milioane de axa pământului". Calculați: împărțim 233 la 365, obținem 0,638. Raza Pământului este de 6378 km.

O altă afirmație este de fapt opusă celei anterioare. F. Noetling a subliniat că, dacă utilizați „cotul egiptean” inventat de el, atunci partea piramidei va corespunde „cei mai precise durate a anului solar, exprimată la cea mai apropiată miliardime dintr-o zi” - 365.540.903.777 .

Afirmația lui P. Smith: „Înălțimea piramidei este exact o miliardime din distanța de la Pământ la Soare”. Deși înălțimea de 146,6 m este de obicei luată, Smith a considerat-o ca 148,2 m. Conform măsurătorilor radar moderne, semi-axa majoră a orbitei pământului este 149.597.870 + 1.6 km. Aceasta este distanța medie de la Pământ la Soare, dar la periheliu este cu 5.000.000 de kilometri mai mică decât la afeliu.

Ultima declarație curioasă:

„Cum să explic că masele piramidelor lui Keops, Khafre și Menkaure sunt legate între ele, ca și masele planetelor Pământ, Venus, Marte?” Să calculăm. Masele celor trei piramide sunt legate astfel: Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Raporturile maselor celor trei planete: Venus - 0,815; Teren - 1.000; Marte - 0,108.

Deci, în ciuda scepticismului, să remarcăm armonia binecunoscută a construcției afirmațiilor: 1) înălțimea piramidei, ca linie „mergând în spațiu” - corespunde distanței de la Pământ la Soare; 2) partea bazei piramidei cea mai apropiată „de substrat”, adică de Pământ, este responsabilă de raza pământului și de circulația pământului; 3) volumele piramidei (citește - mase) corespund raportului dintre masele planetelor cele mai apropiate de Pământ. Un „cifr” similar poate fi urmărit, de exemplu, în limbajul albinelor, analizat de Karl von Frisch. Cu toate acestea, ne abținem de la a comenta acest lucru deocamdată.

FORMA PIRAMIDELOR

Celebra formă tetraedrică a piramidelor nu a apărut imediat. Sciții au făcut înmormântări sub formă de dealuri de pământ - tumule. Egiptenii au construit „dealuri” din piatră – piramide. Acest lucru s-a întâmplat pentru prima dată după unificarea Egiptului de Sus și de Jos, în secolul 28 î.Hr., când întemeietorul dinastiei a III-a, faraonul Djoser (Zoser), s-a confruntat cu sarcina de a întări unitatea țării.

Și aici, potrivit istoricilor, un rol important în întărirea guvernului central a jucat " concept nouîndumnezeire" a regelui. Deși înmormântările regale erau mai splendide, ele nu se deosebeau în principiu de mormintele nobililor de curte, erau aceleași structuri - mastabas. Deasupra camerei cu sarcofagul care conținea mumia, un deal dreptunghiular de mici dimensiuni. s-a turnat pietre, unde apoi o mică clădire făcută din blocuri mari de piatră - „mastaba” (în arabă – „bancă”). Pe locul mastabei predecesorului său, Sanakht, faraonul Djoser a ridicat prima piramidă. A fost treptă și a fost o etapă vizibilă de tranziție de la o formă arhitecturală la alta, de la mastaba la piramidă.

În acest fel, faraonul a fost „crescut” de înțeleptul și arhitectul Imhotep, care mai târziu a fost considerat magician și identificat de greci cu zeul Asclepius. Parcă s-au ridicat șase mastaba la rând. Mai mult, prima piramidă a ocupat o suprafață de 1125 x 115 metri, cu o înălțime estimată de 66 de metri (conform măsurilor egiptene - 1000 de „palmii”). La început, arhitectul a plănuit să construiască o mastaba, dar nu alungită, ci în plan pătrat. Ulterior a fost extins, dar din moment ce prelungirea s-a făcut mai jos, s-au format, parcă, două trepte.

Această situație nu l-a mulțumit pe arhitect, iar pe platforma de sus a unei mastabe plate uriașe, Imhotep a mai plasat trei, scăzând treptat spre vârf. Mormântul era sub piramidă.

Sunt cunoscute mai multe piramide în trepte, dar mai târziu constructorii au trecut la construirea unor piramide tetraedrice mai familiare. De ce, totuși, nu triunghiular sau, să zicem, octogonal? Un răspuns indirect este dat de faptul că aproape toate piramidele sunt perfect orientate către cele patru puncte cardinale și, prin urmare, au patru laturi. În plus, piramida era o „casă”, un înveliș al unei camere funerare patrulatere.

Dar ce a cauzat unghiul de înclinare al fețelor? În cartea „Principiul proporțiilor” un întreg capitol este dedicat acestui lucru: „Ce ar putea determina unghiurile piramidelor”. În special, se indică faptul că „imaginea spre care gravitează marile piramide ale Vechiului Regat este un triunghi cu unghi drept în vârf.

În spațiu, acesta este un semi-octaedru: o piramidă în care marginile și laturile bazei sunt egale, fețele sunt triunghiuri echilaterale„. Anumite considerații sunt date cu privire la acest subiect în cărțile lui Hambidge, Geek și alții.

Care este avantajul unghiului semioctaedrului? Conform descrierilor arheologilor și istoricilor, unele piramide s-au prăbușit sub propria greutate. Ceea ce era nevoie era un „unghi de durabilitate”, un unghi care era cel mai sigur din punct de vedere energetic. Pur empiric, acest unghi poate fi luat din unghiul vârfului într-o grămadă de nisip uscat care se prăbușește. Dar pentru a obține date exacte, trebuie să utilizați modelul. Luând patru bile bine fixate, trebuie să puneți a cincea pe ele și să măsurați unghiurile de înclinare. Cu toate acestea, aici puteți face o greșeală, prin urmare, un calcul teoretic vă ajută: ar trebui să conectați centrele bilelor cu linii (mental). La bază, obțineți un pătrat cu o latură egală cu dublul razei. Pătratul va fi doar baza piramidei, a cărei lungime a marginilor va fi, de asemenea, egală cu dublul razei.

Astfel, un pachet dens de bile de tip 1:4 ne va oferi un semi-octaedru obișnuit.

Totuși, de ce multe piramide, gravitând spre o formă similară, totuși nu o păstrează? Probabil că piramidele îmbătrânesc. Contrar celebrului zical:

„Totul în lume se teme de timp, iar timpul se teme de piramide”, clădirile piramidelor trebuie să îmbătrânească, ele pot și ar trebui să aibă loc nu numai procesele de intemperii externe, ci și procesele de „contracție” internă. , din care piramidele pot deveni mai joase. Contracția este posibilă și pentru că, după cum au descoperit lucrările lui D. Davidovits, egiptenii antici foloseau tehnologia de a face blocuri din așchii de var, cu alte cuvinte, din „beton”. Aceste procese ar putea explica motivul distrugerii piramidei Medum, situată la 50 km sud de Cairo. Are 4600 de ani, dimensiunile bazei sunt 146 x 146 m, inaltimea este de 118 m. „De ce este atât de mutilat?” se întreabă V. Zamarovsky. „Referințele obișnuite la efectele distructive ale timpului și „folosirea pietrei pentru alte clădiri” nu se potrivesc aici.

La urma urmei, majoritatea blocurilor și plăcilor sale de parament rămân încă pe loc, în ruinele de la poalele sale.” După cum vom vedea, o serie de prevederi fac să se creadă chiar că celebra piramidă a lui Keops „s-a micșorat”. , pe toate imaginile antice piramidele sunt ascuțite...

Forma piramidelor ar putea fi generată și prin imitație: niște modele naturale, „perfecțiune miraculoasă”, să zicem, niște cristale sub formă de octaedru.

Astfel de cristale ar putea fi cristale de diamant și aur. În mod caracteristic un numar mare de semne de „intersectare” pentru concepte precum Faraon, Soare, Aur, Diamant. Peste tot - nobil, genial (strălucitor), grozav, fără cusur și așa mai departe. Asemănările nu sunt întâmplătoare.

Cultul solar, după cum știți, era o parte importantă a religiei. Egiptul antic. „Indiferent cum traducem numele celei mai mari piramide”, spune unul dintre manualele moderne, „Sky Khufu” sau „Sky Khufu”, asta însemna că regele este soarele. Dacă Khufu, în strălucirea puterii sale, și-a imaginat că este un al doilea soare, atunci fiul său Jedef-Ra a devenit primul dintre regii egipteni care a început să se numească „fiul lui Ra”, adică fiul lui Ra. Soare. Soarele a fost simbolizat de aproape toate popoarele drept „metal solar”, aur. „Marele disc de aur strălucitor” – așa ne-au numit egiptenii lumina zilei. Egiptenii cunoșteau foarte bine aurul, îi cunoșteau formele native, unde cristalele de aur pot apărea sub formă de octaedre.

Ca „probă de forme” și „piatra soarelui” – un diamant – este interesantă aici. Numele diamantului a venit tocmai din lumea arabă, „almas” – cel mai greu, cel mai greu, indestructibil. Vechii egipteni cunoșteau diamantul și proprietățile sale sunt destul de bune. Potrivit unor autori, ei au folosit chiar și țevi de bronz cu tăietori de diamant pentru găurire.

Africa de Sud este acum principalul furnizor de diamante, dar Africa de Vest este și ea bogată în diamante. Teritoriul Republicii Mali este chiar numit acolo „Țara diamantelor”. Între timp, pe teritoriul Mali locuiesc dogonii, alături de care susținătorii ipotezei paleovizitei pun multe speranțe (vezi mai jos). Diamantele nu puteau fi motivul contactelor vechilor egipteni cu această regiune. Totuși, într-un fel sau altul, este posibil ca tocmai prin copierea octaedrelor de diamant și cristale de aur să-i îndumnezeiască vechii egipteni pe faraoni, „indestructibili” ca diamantul și „străluciți” ca aurul, fiii Soarelui, comparabili. numai cu cele mai minunate creații ale naturii.

Concluzie:

După ce am studiat piramida ca corp geometric, ne-am familiarizat cu elementele și proprietățile sale, ne-am convins de validitatea opiniei despre frumusețea formei piramidei.

În urma cercetărilor noastre, am ajuns la concluzia că egiptenii, după ce au adunat cele mai valoroase cunoștințe matematice, le-au întruchipat într-o piramidă. Prin urmare, piramida este cu adevărat cea mai perfectă creație a naturii și a omului.

BIBLIOGRAFIE

„Geometrie: Proc. pentru 7 - 9 celule. educatie generala instituții \ etc. - ed. a IX-a - M .: Educație, 1999

Istoria matematicii la școală, M: „Iluminismul”, 1982

Geometrie nota 10-11, M: „Iluminism”, 2000

Peter Tompkins „Secretele Marii Piramide a lui Keops”, M: „Centropoligraph”, 2005

Resurse de internet

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Suntem bine conștienți de marile piramide egiptene, toată lumea își poate imagina cum arată. Această reprezentare ne va ajuta să înțelegem trăsăturile unei astfel de figuri geometrice ca o piramidă.

O piramidă este un poliedru format dintr-un poligon plat - baza piramidei, un punct care nu se află în planul bazei - vârful piramidei și toate segmentele care leagă vârful cu punctele bazei. Segmentele care leagă vârful piramidei cu vârful bazei se numesc margini laterale. Pe fig. 1 prezintă piramida SABCD. Patrulaterul ABCD este baza piramidei, punctul S este vârful piramidei, segmentele SA, SB, SC și SD sunt marginile piramidei.

Înălțimea piramidei este perpendiculara coborâtă de la vârful piramidei până la planul bazei. Pe fig. 1 SO este înălțimea piramidei.

O piramidă se numește n-gonală dacă baza ei este un n-gon. Figura 1 prezintă o piramidă patruunghiulară. O piramidă triunghiulară se numește tetraedru.

O piramidă se numește regulată dacă baza ei este un poligon regulat, iar baza înălțimii coincide cu centrul acestui poligon. Marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale și, prin urmare, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele. Într-o piramidă obișnuită, înălțimea feței laterale desenată din vârful piramidei se numește apotema.

Piramida are o serie de proprietăți.

Toate diagonalele unei piramide aparțin fețelor sale.

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci:

• lângă baza piramidei, se poate descrie un cerc, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia;
• marginile laterale formează unghiuri egale cu planul de bază și, invers, dacă marginile laterale formează unghiuri egale cu planul de bază, sau dacă un cerc poate fi descris lângă baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul său, atunci toate marginile laterale ale piramidei sunt egale.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la un unghi, atunci:

• la baza piramidei poate fi înscris un cerc, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia;
• înălțimile fețelor laterale sunt egale;
• aria suprafeței laterale este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

Luați în considerare formulele pentru găsirea volumului, suprafeței piramidei.

Volumul piramidei poate fi calculat folosind următoarea formulă:

unde S este aria bazei și h este înălțimea.

Pentru a afla suprafața totală a unei piramide, utilizați formula:

S p \u003d S b + S o,

unde S p este aria suprafeței totale, S b este aria suprafeței laterale, S o este aria bazei.

O trunchi de piramidă este un poliedru închis între baza piramidei și un plan de tăiere paralel cu baza acesteia. Fețele trunchiului piramidal, situate în planuri paralele, se numesc bazele trunchiului piramidal, fețele rămase se numesc fețe laterale. Bazele unei piramide trunchiate sunt poligoane similare, fețele laterale sunt trapeze. O piramidă trunchiată care este obținută dintr-o piramidă obișnuită se numește piramidă trunchiată obișnuită. Fețele laterale ale unui trapez trunchiat obișnuit sunt trapeze isoscele egale, înălțimile lor se numesc apoteme.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Un desen este primul și foarte important pas în rezolvarea unei probleme geometrice. Care ar trebui să fie desenul unei piramide obișnuite?

Să ne amintim mai întâi proprietăți de proiectare paralele:

- segmentele paralele ale figurii sunt reprezentate ca segmente paralele;

- se păstrează raportul dintre lungimile segmentelor de drepte paralele și ale segmentelor unei linii drepte.

Desenul unei piramide triunghiulare regulate

Mai întâi, desenați baza. Deoarece unghiurile și rapoartele lungimilor segmentelor neparalele nu sunt păstrate în proiectare paralelă, triunghiul regulat de la baza piramidei este reprezentat de un triunghi arbitrar.

Centrul unui triunghi echilateral este punctul de intersecție al medianelor triunghiului. Deoarece medianele din punctul de intersecție sunt împărțite într-un raport de 2: 1, numărând din partea de sus, conectăm mental partea superioară a bazei cu mijlocul părții opuse, o împărțim aproximativ în trei părți și punem un punct la la o distanță de 2 părți de vârf. Desenați o perpendiculară din acest punct în sus. Aceasta este înălțimea piramidei. Desenăm perpendiculara atât de lungă încât marginea laterală să nu acopere imaginea înălțimii.

Desenul unei piramide patruunghiulare regulate

De la bază pornește și desenul unei piramide patruunghiulare obișnuite. Deoarece paralelismul segmentelor este păstrat, dar mărimile unghiurilor nu sunt, pătratul de la bază este reprezentat ca un paralelogram. De dorit colt ascutit faceți acest paralelogram mai mic, apoi fețele laterale sunt mai mari. Centrul unui pătrat este punctul de intersecție al diagonalelor sale. Desenăm diagonale, din punctul de intersecție restabilim perpendiculara. Această perpendiculară este înălțimea piramidei. Alegem lungimea perpendicularei astfel încât marginile laterale să nu se îmbine între ele.

Desenul unei piramide hexagonale regulate

Deoarece proiecția paralelă păstrează paralelismul segmentelor, baza unei piramide hexagonale regulate - un hexagon regulat - este reprezentată ca un hexagon, în care laturile opuse sunt paralele și egale. Centrul unui hexagon regulat este punctul de intersecție al diagonalelor sale. Pentru a nu aglomera desenul, nu desenăm diagonale, dar găsim acest punct aproximativ. Din aceasta restabilim perpendiculara - înălțimea piramidei - astfel încât marginile laterale să nu se îmbine între ele.

Definiție. Fața laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar partea opusă a acestuia coincide cu latura bazei (poligon).

Definiție. Coaste laterale sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are atâtea muchii câte colțuri există într-un poligon.

Definiție. înălțimea piramidei este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.

Definiție. Apotema- aceasta este perpendiculara feței laterale a piramidei, coborâtă din vârful piramidei până în lateralul bazei.

Definiție. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a piramidei printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.

Definiție. Piramida corectă- Aceasta este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea coboară până în centrul bazei.

Volumul și suprafața piramidei

Formulă. volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:

proprietățile piramidei

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi circumscris în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, perpendiculara căzută de sus trece prin centrul bazei (cercului).

Dacă toate nervurile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul de bază la aceleași unghiuri.

Nervele laterale sunt egale atunci când formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la un unghi, atunci un cerc poate fi înscris la baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la un unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.

Proprietățile unei piramide obișnuite

1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.

2. Toate marginile laterale sunt egale.

3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la aceleași unghiuri față de bază.

4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.

5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.

6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).

7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei descrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.

8. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.

9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plate de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π / n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.

Legătura piramidei cu sfera

O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei când la baza piramidei se află un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele medii ale marginilor laterale ale piramidei.

O sferă poate fi întotdeauna descrisă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.

O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Legătura piramidei cu conul

Un con se numește înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid și baza conului este înscrisă în baza piramidei.

Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale.

Se spune că un con este circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.

Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.

Legătura unei piramide cu un cilindru

Se spune că o piramidă este înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.

Un cilindru poate fi circumscris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi circumscris în jurul bazei piramidei.

Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde oricare două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.

Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triedric.

Segmentul care leagă vârful tetraedrului cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).

Bimedian se numește segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).

Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele într-un raport de 3: 1 începând de sus.

Definiție. Piramidă unghiulară acută este o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiție. piramidă obtuză este o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiție. tetraedru regulat Un tetraedru ale cărui patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane regulate. Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrice (la un vârf) sunt egale.

Definiție. Tetraedru dreptunghiular se numește un tetraedru care are un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triedric dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.

Definiție. Tetraedru izoedric Se numește tetraedru în care fețele laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Un astfel de tetraedru are fețe triunghiuri isoscele.

Definiție. tetraedru ortocentric se numește un tetraedru în care toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de la vârf la fața opusă se intersectează într-un punct.

Definiție. piramida stelare Un poliedru a cărui bază este o stea se numește.