Paralelepiped și cub. Ghid vizual (2019). §22. Paralepiped dreptunghiular. Piramidă Cum se numesc vârfurile fețelor unui paralelipiped dreptunghic

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Când erai mic și te jucai cu cuburi, este posibil să fi adăugat cifrele prezentate în Figura 154. Aceste cifre dau o idee despre cuboid. Forma unui paralelipiped dreptunghiular este, de exemplu, o cutie de ciocolată, o cărămidă, o cutie de chibrituri, o cutie de ambalare, o pungă de suc.

Figura 155 prezintă un paralelipiped dreptunghiular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

cuboid limitat la șase chipuri. Fiecare față este un dreptunghi, adică. suprafața unui cuboid este formată din șase dreptunghiuri.

Laturile fețelor se numesc marginile unui paralelipiped dreptunghiular, vârfurile feței − vârfurile unui paralelipiped dreptunghiular. De exemplu, segmentele AB, BC, A 1 B 1 sunt muchii, iar punctele B, A 1 , C 1 sunt vârfurile paralelipipedului ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 155).

Un cuboid are 8 vârfuri și 12 muchii.

Fețele AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C nu au vârfuri comune. Astfel de muchii sunt numite opus. Paralelepipedul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 mai are două perechi de fețe opuse: dreptunghiuri ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 , precum și dreptunghiuri AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C.

Fețele opuse ale unui cuboid sunt egale.

În figura 155, se numește fața ABCD bază cuboid ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Aria suprafeței unui paralelipiped este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Pentru a avea o idee despre dimensiunile unui cuboid, este suficient să luați în considerare oricare trei margini care au un vârf comun. Lungimile acestor muchii se numesc măsurători paralelipiped dreptunghiular. Pentru a distinge între ele, utilizați numele: lungime, lăţime, înălţime(Fig. 156).

Se numește paralelipiped dreptunghic în care toate dimensiunile sunt egale cub(Fig. 157). Suprafața unui cub este formată din șase pătrate egale.

Dacă cutia, care are forma unui paralelipiped dreptunghiular, este deschisă ( fig. 158) și tăiată de-a lungul a patru margini verticale ( fig. 159) și apoi desfășurată, atunci obținem o figură formată din șase dreptunghiuri ( fig. 160) . Această cifră se numește dezvoltarea unui paralelipiped dreptunghiular.

Figura 161 prezintă o figură formată din șase pătrate egale. Este dezvoltarea unui cub.

Folosind o măturare, puteți realiza un model de paralelipiped dreptunghiular.

Acest lucru se poate face, de exemplu, așa. Desenați-i conturul pe hârtie. Decupați-l, îndoiți-l de-a lungul segmentelor corespunzătoare marginilor paralelipipedului dreptunghiular (vezi fig. 159) și lipiți-l.

Un cuboid este un tip de poliedru - o figură a cărei suprafață este formată din poligoane. Figura 162 prezintă poliedre.

Un tip de poliedru este piramidă.

Această cifră nu este nouă pentru tine. Studiind cursul lumii antice, te-ai familiarizat cu una dintre cele șapte minuni ale lumii - piramidele egiptene.

Figura 163 prezintă piramidele MABC, MABCD, MABCDE. Suprafața piramidei este fetele laterale− triunghiuri având un vârf comun, și temeiuri(Fig. 164). Vârful comun al fețelor laterale se numește marginile bazei piramidei, iar laturile fețelor laterale care nu aparțin bazei − nervurile laterale ale piramidei.

Piramidele pot fi clasificate în funcție de numărul de laturi ale bazei: triunghiulare, patrulatere, pentagonale (vezi fig. 163) etc.

Suprafața unei piramide triunghiulare este formată din patru triunghiuri. Oricare dintre aceste triunghiuri poate servi drept bază a unei piramide. Această bază este un tip de piramidă, orice față poate servi drept bază.

Figura 165 prezintă o figură care poate servi dezvoltarea unei piramide patruunghiulare. Este format dintr-un pătrat și patru triunghiuri isoscele egale.

Figura 166 prezintă o figură formată din patru triunghiuri echilaterale egale. Folosind această figură, puteți realiza un model al unei piramide triunghiulare, în care toate fețele sunt − triunghiuri echilaterale.

Poliedrele sunt exemple corpuri geometrice.

Figura 167 prezintă corpuri geometrice familiare care nu sunt poliedre. Veți afla mai multe despre aceste corpuri în clasa a VI-a.

Prisma se numește paralelipiped dacă bazele sale sunt paralelograme. Cm. Fig.1.

Proprietățile cutiei:

Fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele (adică se află în planuri paralele) și egale.

Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și bisectează acel punct.

Fețele adiacente ale unei cutii sunt două fețe care au o margine comună.

Fețe opuse ale unui paralelipiped– fețe care nu au margini comune.

Vârfurile opuse ale casetei sunt două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.

Diagonala cutiei Un segment de linie care leagă vârfuri opuse.

Dacă marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor, atunci se numește paralelipiped direct.

Un paralelipiped drept ale cărui baze sunt dreptunghiuri se numește dreptunghiular. Se numește o prismă ale cărei fețe sunt pătrate cub.

Paralelipiped O prismă ale cărei baze sunt paralelograme.

Paralepipedul drept- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planul bazei.

cuboid este un paralelipiped drept ale cărui baze sunt dreptunghiuri.

cub este un paralelipiped dreptunghic cu muchii egale.

Paralelipiped se numește o prismă, a cărei bază este un paralelogram; astfel, paralelipipedul are șase fețe și toate sunt paralelograme.

Fețele opuse sunt egale și paralele pe perechi. Paralepipedul are patru diagonale; toate se intersectează într-un punct și se împart la jumătate. Orice față poate fi luată ca bază; volumul este egal cu produsul dintre aria bazei și înălțimea: V = Sh.

Un paralelipiped ale cărui patru fețe laterale sunt dreptunghiuri se numește paralelipiped drept.

Un paralelipiped drept, în care toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri, se numește dreptunghiular. Cm. Fig.2.

Volumul (V) al unui paralelipiped drept este egal cu produsul dintre aria bazei (S) și înălțimea (h): V = Sh .

Pentru un paralelipiped dreptunghiular, în plus, formula V=abc, unde a,b,c sunt muchii.

Diagonala (d) a unui cuboid este legată de marginile sale prin relația d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2 .

cuboid- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe baze, iar bazele sunt dreptunghiuri.

Proprietățile unui cuboid:

Într-un cuboid, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

Toate unghiurile diedrice ale unui cuboid sunt unghiuri drepte.

Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale (lungimi a trei muchii care au un vârf comun).

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Un paralelipiped dreptunghic, ale cărui fețe sunt pătrate, se numește cub. Toate muchiile unui cub sunt egale; volumul (V) al unui cub se exprimă prin formula V=a 3, unde a este muchia cubului.

cuboid

Un cuboid este un cuboid drept în care toate fețele sunt dreptunghiuri.

Este suficient să privim în jurul nostru, și vom vedea că obiectele din jurul nostru au o formă asemănătoare unui paralelipiped. Ele pot diferi în culoare, au o mulțime de detalii suplimentare, dar dacă aceste subtilități sunt aruncate, atunci putem spune că, de exemplu, un dulap, o cutie etc., au aproximativ aceeași formă.

Întâlnim aproape în fiecare zi conceptul de paralelipiped dreptunghiular! Uită-te în jur și spune-mi unde vezi cutii dreptunghiulare? Uită-te la carte, pentru că este doar o astfel de formă! O cărămidă, o cutie de chibrituri, un bloc de lemn au aceeași formă și chiar și acum ești în interiorul unui cuboid dreptunghiular, deoarece sala de clasă este cea mai strălucitoare interpretare a acestui lucru. figură geometrică.

Exercițiu: Ce exemple de paralelipiped poți numi?

Să aruncăm o privire mai atentă la cuboid. Și ce vedem?

În primul rând, vedem că această figură este formată din șase dreptunghiuri, care sunt fețele unui cuboid;

În al doilea rând, cuboidul are opt vârfuri și douăsprezece muchii. Marginile unui cuboid sunt laturile fețelor sale, iar vârfurile cuboidului sunt vârfurile fețelor.

Exercițiu:

1. Cum se numește fiecare dintre fețele unui paralelipiped dreptunghic? 2. Datorită ce parametri se poate măsura un paralelogram? 3. Definiți fețele opuse.

Tipuri de paralelipipede

Dar paralelipipedele nu sunt doar dreptunghiulare, ci pot fi și drepte și înclinate, iar liniile drepte sunt împărțite în dreptunghiulare, nedreptunghiulare și cuburi.

Sarcină: Privește imaginea și spune ce paralelipipede sunt afișate în ea. Cum este un cuboid diferit de un cub?

Proprietățile unui cuboid

Un paralelipiped dreptunghiular are o serie de proprietăți importante:

În primul rând, pătratul diagonalei acestei figuri geometrice este egal cu suma pătratelor celor trei parametri principali ai săi: înălțime, lățime și lungime.

În al doilea rând, toate cele patru diagonale ale sale sunt absolut identice.

În al treilea rând, dacă toți cei trei parametri ai paralelipipedului sunt aceiași, adică lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale, atunci un astfel de paralelipiped se numește cub și toate fețele sale vor fi egale cu același pătrat.

Exercițiu

1. Un paralelipiped dreptunghiular are fețe egale? Dacă există, atunci arată-le în imagine. 2. Din ce forme geometrice sunt formate fețele unui paralelipiped dreptunghic? 3. Care este aranjarea fețelor egale între ele? 4. Numiți numărul de perechi de fețe egale ale acestei figuri. 5. Găsiți muchiile din cuboid care indică lungimea, lățimea, înălțimea acestuia. Cati ai numarat?

Sarcină

Pentru a aranja frumos un cadou de ziua mamei ei, Tanya a luat o cutie in forma de paralelipiped dreptunghiular. Dimensiunea acestei cutii este de 25cm*35cm*45cm. Pentru a face acest pachet frumos, Tanya a decis să-l acopere cu hârtie frumoasă, al cărei cost este de 3 grivne pe 1 dm2. Câți bani trebuie să cheltuiți pe hârtie de împachetat?

Știați că celebrul iluzionist David Blaine, în cadrul unui experiment, a petrecut 44 de zile într-o cutie de sticlă suspendată deasupra Tamisei. Aceste 44 de zile nu a mâncat, ci a băut doar apă. În penitenciarul său voluntar, David a luat doar instrumente de scris, o pernă și o saltea și batiste.

REPETAREA TEORIEI

260. Completează teoria.

1) Fiecare față a unui paralelipiped dreptunghiular este dreptunghi.
2) Latura fețelor unui paralelipiped dreptunghiular se numește nervuri, vârfurile fețelor sunt vârfurile unui paralelipiped dreptunghiular.
3) Paralepipedul are 6 fețe, 12 muchii, 8 vârfuri.
4) Se numesc fețele unui paralelipiped dreptunghic care nu au vârfuri comune opus.
5) Fețele opuse ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.
6) Aria suprafeței unui paralelipiped se numește suma suprafețelor fețelor sale.
7) Lungimile a trei muchii ale unui cuboid care au un vârf comun se numesc măsurători ale cuboidului.
8) Pentru a distinge între măsurătorile unui paralelipiped dreptunghic, utilizați numele: lungime, latime si inaltime.
9) Un cub se numește paralelipiped dreptunghiular, în care toate dimensiunile sunt egale.
10) Suprafața cubului este formată din șase pătrate egale.

REZOLVAREA PROBLEMELOR

261. Figura prezintă un paralelipiped dreptunghiular ABCDMKEF. Completează spațiile.

1) Vârful B aparține fețelor AMKB, ABCD, KVSE.
2) Muchia EF este egală cu muchiile KM, AB, CD.
3) Fața superioară a paralelipipedului este un dreptunghi MKEF.
4) Muchia DF este o muchie comună a fețelor AMFD și FECD.
5) Fața AMKB este egală cu fața FECD.

262. Calculați aria suprafeței unui cub și o muchie de 6 cm.

Soluţie:
Zona unei fețe este
6 2 -6 * 6 \u003d 36 (cm 2)
Suprafața este egală cu
6 * 36 \u003d 216 (cm 2)

Răspuns: Suprafața este de 216 cm 2 .

263. Figura prezintă o cutie dreptunghiulară MNKPEFCD, ale cărei dimensiuni sunt 8 cm, 5 cm și 3 cm.Calculează suma lungimilor tuturor marginilor sale și a suprafeței.

Soluţie:
Suma marginilor
4*(8+5+3) = 64 (cm)
Suprafața este:
2*(8*3+8*5+5*3) = 158 (cm 2)

Răspuns: suma lungimilor tuturor marginilor sale este de 64 cm, aria suprafeței este de 158 cm2.

264. Completați golurile.

1) Suprafața piramidei este formată din fețe laterale - triunghiuri având un vârf și o bază comune.
2) Vârful comun al fețelor laterale se numește vârful piramidei.
3) Laturile bazei piramidei se numesc coaste de bază, și părțile laterale ale fețelor laterale care nu aparțin bazei - coaste laterale.

265. Figura prezintă piramida SABCDE. Completează spațiile.

1) Figura prezintă o piramidă cu 5 laturi.
2) Fețele laterale ale piramidei sunt triunghiuri SAB, SBC, SCD, SDE, SEA, iar baza este un 5-gon, ABCDE.
3) Vârful piramidei este punctul S.
4) Marginile bazei piramidei sunt segmentele AB, BC, CD, DE, EA, marginile laterale sunt segmentele SA, SB, SC, SD, SE.

266. Figura prezintă o piramidă DABC, ale cărei fețe sunt toate triunghiuri echilaterale cu laturile de 4 cm.Care este suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei?

Soluţie:
Suma lungimilor marginilor este
6*4=24(cm)

Răspuns: 24 cm

267. Figura prezintă piramida MABCD ale cărei fețe laterale sunt triunghiuri isoscele cu laturile de 7 cm, iar baza este un patrat cu latura de 8 cm.Care este suma lungimilor tuturor marginilor piramidei?

Soluţie:
Suma lungimilor nervurilor laterale este
4*7=28(cm)
Suma lungimilor marginilor bazei este
4*8=32(cm)
Suma lungimilor tuturor muchiilor
28+32 = 60 (cm)

Răspuns: suma lungimilor tuturor marginilor piramidei este de 60 cm.

268. Poate avea (da, nu) forma unui paralelipiped dreptunghiular:
1) un măr; 2) cutie; 3) tort; 4) copac; 5) o bucată de brânză; 6) un săpun?

Răspuns: 1) nu; 2) da; 3) da; 4) nu; 5) da; 6) da.

269. Figura prezintă succesiunea pașilor în imaginea unui paralelipiped dreptunghic. Desenați același paralelipiped.

270. Figura arată succesiunea pașilor din imaginea piramidei. Desenați aceeași piramidă.

271. Care este muchia unui cub dacă aria lui este de 96 cm 2 .

Soluţie:
1) 96:6 \u003d 16 (cm 2) - aria feței osoase a cubului.
2) 4 * 4 \u003d 16, deci marginea cubului este de 4 cm.

Răspuns: 4 cm

272. Notați formula de calcul a ariei S a suprafeței:

1) un cub a cărui muchie este egală cu a;
2) un paralelipiped dreptunghiular ale cărui dimensiuni sunt a, b, c.

Răspuns: 1) S = 6а 2 ; 2) S \u003d 2 (ab + ac + bc)

273. Pentru a picta cubul prezentat în figura din stânga, sunt necesare 270 g de vopsea. Tăiați o parte din cub. Câte grame de vopsea vor fi necesare pentru a picta partea de suprafață a corpului rezultat, evidențiată în albastru.

Soluţie:
1) 270:6:9 = 45:9 = 5 (d) - pentru pictarea unei singure fețe
2) 5 * 12 \u003d 60 (g) - pentru pictarea unei suprafețe albastre

Răspuns: ai nevoie de 60 g de vopsea

274. Care dintre figurile A, B, C, D, E completează figura E la un paralelipiped?

275. Un cuboid și un cub au zone egale suprafete. Înălțimea paralelipipedului este de 4 cm, care este de 3 ori mai mică decât lungimea și cu 5 cm mai mică decât lățimea. Găsiți marginea cubului.

Soluţie:
1) 4 * 3 \u003d 12 (cm) lungimea dreptunghiului
2) 4+5 = 9 (cm) latime paralelipiped
3) 2 * (4 * 12 + 4 * 9 + 12 * 9) \u003d 384 (cm 2) suprafață a paralelipipedului
4) 384:6 \u003d 64 (cm 2) aria feței cubului
5) 64 \u003d 8 * 8 \u003d 8 2, atunci marginea cubului este de 8 cm.

Răspuns: marginea cubului este de 8 cm.

276. Încercuiește marginile vizibile de pe imaginea cubului cu un creion colorat astfel încât cubul să fie vizibil: 1) de sus și în dreapta; 2) jos și stânga.

277. Fețele cubului sunt numerotate de la 1 la 6. În figura sunt prezentate două variante ale dezvoltării unuia și aceluiași cub, obținute cu o tăietură egală. Ce număr ar trebui să înlocuiască semnul întrebării?