Perimetrul și aria unui triunghi. Perimetrul și aria unui triunghi Cum să găsiți laturile unui triunghi isoscel cunoscând perimetrul

Informații preliminare

Perimetrul oricărei figuri geometrice plate din plan este definit ca suma lungimilor tuturor laturilor sale. Triunghiul nu face excepție de la aceasta. În primul rând, dăm conceptul de triunghi, precum și tipurile de triunghiuri în funcție de laturi.

Definiția 1

Vom numi un triunghi o figură geometrică, care este compusă din trei puncte legate prin segmente (Fig. 1).

Definiția 2

Punctele din Definiția 1 vor fi numite vârfuri ale triunghiului.

Definiția 3

Segmentele din cadrul Definiției 1 vor fi numite laturile triunghiului.

Evident, orice triunghi va avea 3 vârfuri precum și 3 laturi.

În funcție de raportul laturilor între ele, triunghiurile sunt împărțite în scalen, isoscel și echilateral.

Definiția 4

Se spune că un triunghi este scalen dacă niciuna dintre laturile sale nu este egală cu oricare alta.

Definiția 5

Vom numi un triunghi isoscel dacă două dintre laturile sale sunt egale între ele, dar nu sunt egale cu a treia latură.

Definiția 6

Un triunghi se numește echilateral dacă toate laturile lui sunt egale între ele.

Puteți vedea toate tipurile de aceste triunghiuri în Figura 2.

Cum se află perimetrul unui triunghi scalen?

Să ni se dă un triunghi scalen cu lungimile laturilor egale cu $α$, $β$ și $γ$.

Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi scalen, adunați toate lungimile laturilor sale.

Exemplul 1

Aflați perimetrul unui triunghi scalen egal cu $34$ cm, $12$ cm și $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Răspuns: 57 USD vezi.

Exemplul 2

Aflați perimetrul unui triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt $6$ și $8$ cm.

În primul rând, găsim lungimea ipotenuzelor acestui triunghi folosind teorema lui Pitagora. Se notează cu $α$, atunci

$α=10$ Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi scalen, obținem

$P=10+8+6=24$ cm

Răspuns: 24 USD vezi.

Cum se află perimetrul unui triunghi isoscel?

Să ni se dă un triunghi isoscel ale cărui lungimi laturi vor fi egale cu $α$, iar lungimea bazei va fi egală cu $β$.

Prin definiția perimetrului unui apartament figură geometrică, înțelegem asta

$P=α+α+β=2α+β$

Concluzie: Pentru a găsi perimetrul triunghi isoscel adăugați de două ori lungimea laturilor sale la lungimea bazei sale.

Exemplul 3

Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă laturile sale sunt $12$ cm și baza lui este $11$ cm.

Din exemplul de mai sus, vedem asta

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Răspuns: 35 USD vezi.

Exemplul 4

Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă înălțimea lui trasată la bază este $8$ cm și baza este $12$ cm.

Luați în considerare cifra în funcție de starea problemei:

Deoarece triunghiul este isoscel, $BD$ este și o mediană, deci $AD=6$ cm.

După teorema lui Pitagora, din triunghiul $ADB$, găsim partea laterală. Se notează cu $α$, atunci

Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi isoscel, obținem

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Răspuns: 32 USD vezi.

Cum se află perimetrul unui triunghi echilateral?

Să ni se dă un triunghi echilateral cu lungimile tuturor laturilor egale cu $α$.

Prin definiția perimetrului unei figuri geometrice plate, obținem asta

$P=α+α+α=3α$

Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi echilateral, înmulțiți lungimea laturii triunghiului cu $3$.

Exemplul 5

Aflați perimetrul unui triunghi echilateral dacă latura lui este $12$ cm.

Din exemplul de mai sus, vedem asta

$P=3\cdot 12=36$ cm

Orice triunghi este egal cu suma lungimilor celor trei laturi ale sale. Formula generală pentru găsirea perimetrului triunghiurilor este:

P = A + b + c

Unde P este perimetrul triunghiului A, bȘi c- lateralele lui.

Poate fi găsit adunând lungimile laturilor sale în serie sau înmulțind lungimea laturii cu 2 și adăugând lungimea bazei la produs. Formula generală pentru găsirea perimetrului triunghiurilor isoscele va arăta astfel:

P = 2A + b

Unde P este perimetrul unui triunghi isoscel, A- oricare dintre laturi, b- baza.

Îl puteți găsi adunând lungimile laturilor sale în serie sau înmulțind lungimea oricăreia dintre laturile sale cu 3. Formula generală pentru găsirea perimetrului triunghiurilor echilaterale va arăta astfel:

P = 3A

Unde P este perimetrul unui triunghi echilateral, A- oricare dintre laturile sale.

Pătrat

Pentru a măsura aria unui triunghi, o puteți compara cu un paralelogram. Luați în considerare un triunghi ABC:

Dacă luați un triunghi egal cu el și îl atașați astfel încât să obțineți un paralelogram, obțineți un paralelogram cu aceeași înălțime și bază ca și acest triunghi:

În acest caz, latura comună a triunghiurilor pliate împreună este diagonala paralelogramului format. Din proprietatea paralelogramelor, știm că diagonala împarte întotdeauna paralelogramul în două triunghi egal, deci aria fiecărui triunghi este egală cu jumătate din aria paralelogramului.

Deoarece aria unui paralelogram este egală cu produsul bazei și înălțimea acestuia, aria unui triunghi va fi egală cu jumătate din acest produs. Deci pentru Δ ABC aria va fi egală cu

Acum considerăm un triunghi dreptunghic:

Două triunghiuri dreptunghiulare egale pot fi pliate într-un dreptunghi dacă sunt sprijinite unul de celălalt de ipotenuză. Deoarece aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale adiacente, aria unui triunghi dat este:

Din aceasta putem concluziona că aria oricărui triunghi dreptunghic este egală cu produsul catetelor împărțit la 2.

Din aceste exemple se poate concluziona că aria oricărui triunghi este egală cu produsul dintre lungimea bazei și înălțimea scăzută la bază, împărțit la 2. Formula generală pentru găsirea ariei triunghiurilor va arăta astfel:

S =	ah a
	2

Unde S este aria triunghiului, A- fundația sa h a- inaltime coborata pana la baza A.

Perimetrul unui triunghi, ca și în alte lucruri și în orice figură, se numește suma lungimilor tuturor laturilor. Destul de des, această valoare ajută la găsirea zonei sau este folosită pentru a calcula alți parametri ai figurii.
Formula pentru perimetrul unui triunghi arată astfel:

Un exemplu de calcul al perimetrului unui triunghi. Să fie dat un triunghi cu laturile a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Înlocuiți datele din formula: cm

Formula pentru calculul perimetrului triunghi isoscel va arata asa:

Formula pentru calculul perimetrului triunghi echilateral:

Un exemplu de calcul al perimetrului unui triunghi echilateral. Când toate laturile figurii sunt egale, atunci ele pot fi pur și simplu înmulțite cu trei. Să zicem dat triunghi dreptunghic cu latura de 5 cm in acest caz: cm

În general, când toate părțile sunt date, găsirea perimetrului este destul de ușoară. În alte situații, este necesar să se găsească dimensiunea părții lipsă. Într-un triunghi dreptunghic, puteți găsi a treia latură teorema lui Pitagora. De exemplu, dacă lungimile catetelor sunt cunoscute, atunci puteți găsi ipotenuza folosind formula:

Luați în considerare un exemplu de calcul al perimetrului unui triunghi isoscel, cu condiția să cunoaștem lungimea catetelor dintr-un triunghi isoscel dreptunghic.
Având în vedere un triunghi cu catete a \u003d b \u003d 5 cm. Aflați perimetrul. Mai întâi, să găsim partea lipsă cu . cm
Acum să calculăm perimetrul: cm
Perimetrul unui triunghi dreptunghic isoscel va fi de 17 cm.

În cazul în care ipotenuza și lungimea unui catete sunt cunoscute, cea care lipsește poate fi găsită folosind formula:
Dacă ipotenuza și unul dintre unghiurile ascuțite sunt cunoscute într-un triunghi dreptunghic, atunci latura lipsă se găsește prin formula.

Perimetrul este suma tuturor laturilor unei figuri. Această caracteristică, împreună cu zona, este la fel de solicitată pentru toate figurile. Formula pentru perimetrul unui triunghi isoscel decurge logic din proprietățile sale, dar formula nu este la fel de complicată precum obținerea și consolidarea abilităților practice.

Formula perimetrului

Laturile unui triunghi isoscel sunt egale între ele. Aceasta rezultă din definiție și este clar vizibil chiar și din numele figurii. Din această proprietate rezultă formula perimetrului:

P=2a+b, unde b este baza triunghiului, a este valoarea laturii.

Orez. 1. Triunghi isoscel

Din formula se vede că pentru a găsi perimetrul este suficient să cunoaștem dimensiunea bazei și a uneia dintre laturi. Luați în considerare câteva probleme privind găsirea perimetrului unui triunghi isoscel. Vom rezolva problemele pe măsură ce complexitatea crește, acest lucru ne va permite să înțelegem mai bine modul de gândire care trebuie urmat pentru a găsi perimetrul.

Sarcina 1

Într-un triunghi isoscel, baza este 6, iar înălțimea desenată la această bază este 4. Trebuie să găsiți perimetrul figurii.

Orez. 2. Desen pentru sarcina 1

Înălțimea unui triunghi isoscel trasat la bază este, de asemenea, mediana și înălțimea. Această proprietate este foarte des folosită în rezolvarea problemelor legate de triunghiuri isoscele.

Triunghiul ABC de înălțime VM este împărțit în două triunghiuri dreptunghiulare: ABM și BCM. În triunghiul AVM, cateta VM este cunoscută, cateta AM este egală cu jumătate din baza triunghiului ABC, deoarece VM este mediana bisectoarei și a înălțimii. Folosind teorema lui Pitagora, găsim valoarea ipotenuzei AB.

$$AB^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Aflați perimetrul: P=AC+AB*2=6+5*2=16

Sarcina 2

Într-un triunghi isoscel, înălțimea trasă la bază este de 10, iar unghiul ascuțit la bază este de 30 de grade. trebuie să găsiți perimetrul triunghiului.

Orez. 3. Desen pentru sarcina 2

Această sarcină este complicată de lipsa de informații despre laturile triunghiului, dar cunoscând valoarea înălțimii și a unghiului, se poate găsi catetul AH în triunghiul dreptunghic ABH, iar apoi soluția va urma același scenariu ca în problemă. 1.

Să găsim AH prin valoarea sinusului:

$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - sinusul de 30 de grade este o valoare de tabel.

Să exprimăm partea dorită:

$$AB=((BH\peste (1\peste 2))) =BH*2=10*2=20$$

Prin cotangente găsim valoarea lui AH:

$$ctg(BAH)=(AH\peste BH)=(1\peste\sqrt(3))$$

$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17,32$$ - rotunjește valoarea rezultată la cea mai apropiată sutime.

Să găsim baza:

AC=AH*2=17,32*2=34,64

Acum că au fost găsite toate valorile necesare, să definim perimetrul:

P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64

Sarcina 3

în isoscel triunghiul ABC se cunoaște aria, care este egală cu $$16\over\sqrt(3)$$ și unghiul ascuțit la bază este de 30 de grade. Aflați perimetrul triunghiului.

Valorile din condiție sunt adesea date ca produs al rădăcinii și al numărului. Acest lucru se face pentru a proteja cât mai mult posibil decizia ulterioară de erori. Este mai bine să rotunjiți rezultatul la sfârșitul calculelor

Cu o astfel de formulare a problemei, poate părea că nu există soluții, deoarece este dificil de exprimat una dintre laturi sau înălțimea din datele disponibile. Să încercăm să decidem altfel.

Să notăm înălțimea și jumătatea bazei cu litere latine: BH=h și AH=a

Atunci baza va fi: AC=AH+HC=AH*2=2a

Zona: $$S=(1\peste 2)*AC*BH=(1\peste 2)*2a*h=ah$$

Pe de altă parte, valoarea lui h poate fi exprimată din triunghiul ABH în termeni de tangente unghi ascutit. De ce tangenta? Pentru că în triunghiul ABH am marcat deja două catete a și h. Unul trebuie exprimat în termenii celuilalt. Două picioare împreună leagă tangenta și cotangenta. În mod tradițional, cotangenta și cosinusul sunt folosite numai atunci când tangenta sau sinusul nu se potrivesc. Aceasta nu este o regulă, puteți decide cât de convenabil este, este doar acceptată.

$$tg(BAH)=(h\peste(a))=(1\peste\sqrt(3))$$

$$h=(a\peste\sqrt(3))$$

Înlocuiți valoarea rezultată în formula zonei.

$$S=a*h=a*(a\peste\sqrt(3))=((a^2)\peste\sqrt(3))$$

Exprima a:

$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$

Înlocuiți valoarea lui a în formula zonei și determinați valoarea înălțimii:

$$S=a*h=(16\peste\sqrt(3))$$

$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2,31$$- valoarea primită rotunjită în sus la sutimi.

Prin teorema lui Pitagora găsim latura triunghiului:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2,31^2)=4,62$$

Înlocuiți valorile în formula perimetrului:

P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24

Ce am învățat?

Am descoperit în detaliu toate complexitățile găsirii perimetrului unui triunghi isoscel. Am rezolvat trei probleme de diferite niveluri de complexitate, arătând prin exemplu cum se rezolvă problemele tipice pentru rezolvarea unui triunghi isoscel.

Test cu subiecte

Evaluarea articolului

Rata medie: 4.4. Evaluări totale primite: 83.

Informații preliminare

Definiția 1

Vom numi un triunghi o figură geometrică, care este compusă din trei puncte legate prin segmente (Fig. 1).

Definiția 2

Punctele din Definiția 1 vor fi numite vârfuri ale triunghiului.

Definiția 3

Segmentele din cadrul Definiției 1 vor fi numite laturile triunghiului.

Evident, orice triunghi va avea 3 vârfuri precum și 3 laturi.

În funcție de raportul laturilor între ele, triunghiurile sunt împărțite în scalen, isoscel și echilateral.

Definiția 4

Se spune că un triunghi este scalen dacă niciuna dintre laturile sale nu este egală cu oricare alta.

Definiția 5

Vom numi un triunghi isoscel dacă două dintre laturile sale sunt egale între ele, dar nu sunt egale cu a treia latură.

Definiția 6

Un triunghi se numește echilateral dacă toate laturile lui sunt egale între ele.

Puteți vedea toate tipurile de aceste triunghiuri în Figura 2.

Cum se află perimetrul unui triunghi scalen?

Să ni se dă un triunghi scalen cu lungimile laturilor egale cu $α$, $β$ și $γ$.

Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi scalen, adunați toate lungimile laturilor sale.

Exemplul 1

Aflați perimetrul unui triunghi scalen egal cu $34$ cm, $12$ cm și $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Răspuns: 57 USD vezi.

Exemplul 2

Aflați perimetrul unui triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt $6$ și $8$ cm.

În primul rând, găsim lungimea ipotenuzelor acestui triunghi folosind teorema lui Pitagora. Se notează cu $α$, atunci

$α=10$ Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi scalen, obținem

$P=10+8+6=24$ cm

Răspuns: 24 USD vezi.

Cum se află perimetrul unui triunghi isoscel?

Să ni se dă un triunghi isoscel ale cărui lungimi laturi vor fi egale cu $α$, iar lungimea bazei va fi egală cu $β$.

Prin definiția perimetrului unei figuri geometrice plate, obținem asta

$P=α+α+β=2α+β$

Concluzie: Pentru a găsi perimetrul unui triunghi isoscel, adăugați de două ori lungimea laturilor sale la lungimea bazei sale.

Exemplul 3

Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă laturile sale sunt $12$ cm și baza lui este $11$ cm.

Din exemplul de mai sus, vedem asta

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Răspuns: 35 USD vezi.

Exemplul 4

Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă înălțimea lui trasată la bază este $8$ cm și baza este $12$ cm.

Luați în considerare cifra în funcție de starea problemei:

Deoarece triunghiul este isoscel, $BD$ este și o mediană, deci $AD=6$ cm.

După teorema lui Pitagora, din triunghiul $ADB$ găsim latura. Se notează cu $α$, atunci

Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi isoscel, obținem

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Răspuns: 32 USD vezi.

Cum se află perimetrul unui triunghi echilateral?

Să ni se dă un triunghi echilateral cu lungimile tuturor laturilor egale cu $α$.

Prin definiția perimetrului unei figuri geometrice plate, obținem asta

$P=α+α+α=3α$

Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi echilateral, înmulțiți lungimea laturii triunghiului cu $3$.

Exemplul 5

Aflați perimetrul unui triunghi echilateral dacă latura lui este $12$ cm.

Din exemplul de mai sus, vedem asta

$P=3\cdot 12=36$ cm