Un cerc care circumscrie un triunghi Un triunghi înscris într-un cerc. Teorema sinusului. Proprietăți ale bisectoarei perpendiculare pe un segment de dreaptă. Punctul de intersecție al bisectoarelor și punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale triunghiului Câte grade sunt egale cu c

Există așa-numitele patru puncte remarcabile într-un triunghi: punctul de intersecție al medianelor. Punctul de intersecție al bisectoarelor, punctul de intersecție al înălțimilor și punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare. Să luăm în considerare fiecare dintre ele.

Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi

Teorema 1

La intersecția medianelor unui triunghi: Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct și împart punctul de intersecție într-un raport de $2:1$ începând de la vârf.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ este mediana acestuia. Deoarece medianele împart laturile în jumătate. Considera linia de mijloc$A_1B_1$ (Fig. 1).

Figura 1. Medianele unui triunghi

După teorema 1, $AB||A_1B_1$ și $AB=2A_1B_1$, deci $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Prin urmare, triunghiurile $ABM$ și $A_1B_1M$ sunt similare conform primului criteriu de similitudine a triunghiului. Apoi

În mod similar, este dovedit că

Teorema a fost demonstrată.

Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi

Teorema 2

La intersecția bisectoarelor unui triunghi: Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $AM,\ BP,\ CK$ sunt bisectoarele sale. Fie punctul $O$ punctul de intersecție al bisectoarelor $AM\ și\ BP$. Desenați din acest punct perpendicular pe laturile triunghiului (Fig. 2).

Figura 2. Bisectoarele unui triunghi

Teorema 3

Fiecare punct al bisectoarei unui unghi neexpandat este echidistant de laturile sale.

Prin teorema 3, avem: $OX=OZ,\ OX=OY$. Prin urmare, $OY=OZ$. Prin urmare, punctul $O$ este echidistant de laturile unghiului $ACB$ și, prin urmare, se află pe bisectoarea sa $CK$.

Teorema a fost demonstrată.

Punct de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi

Teorema 4

Bisectoarele perpendiculare ale laturilor unui triunghi se intersectează într-un punct.

Dovada.

Fie dat un triunghi $ABC$, $n,\ m,\ p$ bisectoarele sale perpendiculare. Fie punctul $O$ punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare $n\ și\ m$ (Fig. 3).

Figura 3. Bisectoare perpendiculare ale unui triunghi

Pentru demonstrație avem nevoie de următoarea teoremă.

Teorema 5

Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele segmentului dat.

Prin teorema 3, avem: $OB=OC,\ OB=OA$. Prin urmare, $OA=OC$. Aceasta înseamnă că punctul $O$ este echidistant de capetele segmentului $AC$ și, prin urmare, se află pe bisectoarea sa perpendiculară $p$.

Teorema a fost demonstrată.

Punctul de intersecție al altitudinilor triunghiului

Teorema 6

Înălțimile unui triunghi sau prelungirile lor se intersectează într-un punct.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ este înălțimea acestuia. Desenați o linie prin fiecare vârf al triunghiului paralel cu latura opusă vârfului. Obținem un nou triunghi $A_2B_2C_2$ (Fig. 4).

Figura 4. Înălțimile unui triunghi

Deoarece $AC_2BC$ și $B_2ABC$ sunt paralelograme cu o latură comună, atunci $AC_2=AB_2$, adică punctul $A$ este punctul de mijloc al laturii $C_2B_2$. În mod similar, obținem că punctul $B$ este punctul de mijloc al laturii $C_2A_2$, iar punctul $C$ este punctul de mijloc al laturii $A_2B_2$. Din construcție avem că $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Prin urmare, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sunt bisectoarele perpendiculare ale triunghiului $A_2B_2C_2$. Apoi, prin teorema 4, avem că înălțimile $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ se intersectează într-un punct.

Glosar de termeni de planimetrie- Aici sunt colectate definiții ale termenilor din planimetrie. Referințele la termeni din acest dicționar (pe această pagină) sunt scrise cu caractere cursive. # A B C D E F F G I K L M N O P R S ... Wikipedia

puncte coliniare

Competitiv direct- Aici sunt colectate definiții ale termenilor din planimetrie. Referințele la termeni din acest dicționar (pe această pagină) sunt scrise cu caractere cursive. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Circumferința lui Apollonius- Aici sunt colectate definiții ale termenilor din planimetrie. Referințele la termeni din acest dicționar (pe această pagină) sunt scrise cu caractere cursive. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Transformarea planului- Aici sunt colectate definiții ale termenilor din planimetrie. Referințele la termeni din acest dicționar (pe această pagină) sunt scrise cu caractere cursive. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Cheviana- Aici sunt colectate definiții ale termenilor din planimetrie. Referințele la termeni din acest dicționar (pe această pagină) sunt scrise cu caractere cursive. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Glosar de planimetrie- Această pagină este un glosar. Vezi și articolul principal: Planimetrie Aici sunt colectate definiții ale termenilor din planimetrie. Referințele la termeni din acest dicționar (pe această pagină) sunt scrise cu caractere cursive... Wikipedia

problema lui Apollonius- Sarcina lui Apollonius este de a construi un cerc tangent la trei cercuri date folosind o busolă și o linie dreaptă. Potrivit legendei, problema a fost formulată de Apollonius din Perga în jurul anului 220 î.Hr. e. în cartea „Touch”, care s-a pierdut... Wikipedia

Diagrama Voronoi- un set aleatoriu de puncte pe plan Diagrama Voronoi a unei multimi finite de puncte S pe plan reprezinta o astfel de partitie a planului, in care ka ... Wikipedia

Demonstrații de teoreme privind proprietățile unui cerc circumscris unui triunghi

Perpendicular la mijloc pe segment

Definiția 1 . Perpendicular la mijloc pe segment numită dreptă perpendiculară pe acest segment și care trece prin mijlocul acestuia (fig. 1).

Teorema 1. Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe segment este la aceeași distanță de capete acest segment.

Dovada . Luați în considerare un punct arbitrar D situat pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB (Fig. 2) și demonstrați că triunghiurile ADC și BDC sunt egale.

Într-adevăr, aceste triunghiuri sunt triunghiuri dreptunghiulare ale căror catete AC și BC sunt egale, în timp ce catetele DC sunt comune. Din egalitatea triunghiurilor ADC și BDC urmează egalitatea segmentelor AD și DB. Teorema 1 este demonstrată.

Teorema 2 (Inversa la Teorema 1). Dacă un punct se află la aceeași distanță de capetele unui segment, atunci se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Dovada . Să demonstrăm teorema 2 prin metoda „prin contradicție”. În acest scop, să presupunem că un punct E este la aceeași distanță de capetele segmentului, dar nu se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment. Să aducem această presupunere într-o contradicție. Să luăm mai întâi în considerare cazul în care punctele E și A se află pe părți opuse ale bisectoarei perpendiculare (Fig. 3). În acest caz, segmentul EA intersectează bisectoarea perpendiculară la un moment dat, pe care o vom nota cu litera D.

Să demonstrăm că segmentul AE este mai lung decât segmentul EB . Într-adevăr,

Astfel, în cazul în care punctele E și A se află pe laturi opuse ale bisectoarei perpendiculare, am obținut o contradicție.

Acum luați în considerare cazul în care punctele E și A se află de aceeași parte a bisectoarei perpendiculare (Fig. 4). Să demonstrăm că segmentul EB este mai lung decât segmentul AE. Într-adevăr,

Contradicția rezultată completează demonstrația teoremei 2

Cercul care circumscrie un triunghi

Definiția 2 . Un cerc care circumscrie un triunghi, numiți cercul care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului (Fig. 5). În acest caz se numește triunghiul un triunghi înscris într-un cerc sau triunghi înscris.

Proprietățile unui cerc circumscris unui triunghi. Teorema sinusului

Figura	Desen	Proprietate
Perpendiculare medii pe laturile triunghiului		se intersectează la un punct .

Centru circumscrisă unui triunghi ascuțit al unui cerc		Centrul descris despre unghiular acut interior triunghi.
Centru cerc circumscris unui triunghi dreptunghic		Centrul descris despre dreptunghiular punctul de mijloc al ipotenuzei .
Centru circumscrisă unui triunghi obtuz al unui cerc		Centrul descris despre obtuz cerc triunghi minciuni in afara triunghi.
		,
Pătrat triunghi		S= 2R 2 păcat A păcat B păcat C ,
Raza cercului circumscris		Pentru orice triunghi, egalitatea este adevărată:

Perpendiculare medii pe laturile unui triunghi

Toate bisectoarele perpendiculare tras de laturile unui triunghi arbitrar, se intersectează la un punct .

Cercul care circumscrie un triunghi

Orice triunghi poate fi circumscris unui cerc. . Centrul cercului circumscris triunghiului este punctul în care se intersectează toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile triunghiului.

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi ascuțit

Centrul descris despre unghiular acut cerc triunghi minciuni interior triunghi.

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic

Centrul descris despre dreptunghiular triunghi cerc este punctul de mijloc al ipotenuzei .

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi obtuz

Centrul descris despre obtuz cerc triunghi minciuni in afara triunghi.

Pentru orice triunghi, egalitățile sunt valabile (teorema sinusului):

unde a, b, c sunt laturile triunghiului, A, B, C sunt unghiurile triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Aria unui triunghi

Pentru orice triunghi, egalitatea este adevărată:

S= 2R 2 păcat A păcat B păcat C ,

unde A, B, C sunt unghiurile triunghiului, S este aria triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Raza cercului circumscris

Pentru orice triunghi, egalitatea este adevărată:

unde a, b, c sunt laturile triunghiului, S este aria triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Demonstrații de teoreme privind proprietățile unui cerc circumscris unui triunghi

Teorema 3. Toate perpendicularele medii desenate pe laturile unui triunghi arbitrar se intersectează într-un punct.

Dovada . Luați în considerare două bisectoare perpendiculare trasate pe laturile AC și AB ale triunghiului ABC și notați punctul de intersecție a acestora cu litera O (Fig. 6).

Deoarece punctul O se află pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AC , atunci, în virtutea teoremei 1, egalitatea este valabilă.

În lecția anterioară, am luat în considerare proprietățile bisectoarei unui unghi, ambele închise într-un triunghi și libere. Triunghiul include trei unghiuri, iar pentru fiecare dintre ele se păstrează proprietățile considerate ale bisectoarei.

Teorema:

Bisectoarele AA 1, BB 1, CC 1 ale triunghiului se intersectează într-un punct O (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Luați în considerare primele două bisectoare BB 1 și СС 1 . Se intersectează, punctul de intersecție O există. Pentru a demonstra acest lucru, presupunem contrariul: bisectoarele date nu se intersectează, caz în care sunt paralele. Atunci dreapta BC este o secantă și suma unghiurilor , aceasta contrazice faptul că în întregul triunghi suma unghiurilor este .

Deci, punctul O de intersecție a două bisectoare există. Luați în considerare proprietățile sale:

Punctul O se află pe bisectoarea unghiului , ceea ce înseamnă că este echidistant de laturile sale BA și BC. Dacă OK este perpendicular pe BC, OL este perpendicular pe BA, atunci lungimile acestor perpendiculare sunt egale cu -. De asemenea, punctul O se află pe bisectoarea unghiului și este echidistant de laturile sale CB și CA, perpendicularele OM și OK sunt egale.

Avem următoarele egalități:

, adică toate cele trei perpendiculare căzute din punctul O spre laturile triunghiului sunt egale între ele.

Ne interesează egalitatea perpendicularelor OL și OM. Această egalitate spune că punctul O este echidistant de laturile unghiului, prin urmare se află pe bisectoarea sa AA 1.

Astfel, am demonstrat că toate cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

În plus, triunghiul este format din trei segmente, ceea ce înseamnă că ar trebui să luăm în considerare proprietățile unui singur segment.

Este dat segmentul AB. Orice segment are un mijloc și o perpendiculară poate fi trasă prin el - o notăm cu p. Astfel p este bisectoarea perpendiculară.

Orez. 2. Ilustrație pentru teoremă

Orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este echidistant de capetele segmentului.

Demonstrați că (Fig. 2).

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Sunt dreptunghiulare și egale, deoarece au un catete comun OM, iar catetele lui AO și OB sunt egale prin condiție, deci avem două triunghiuri dreptunghiulare care sunt egale în două catete. Rezultă că și ipotenuzele triunghiurilor sunt egale, adică ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema inversă este adevărată.

Fiecare punct echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Este dat segmentul AB, bisectoarea perpendiculară pe acesta este p, punctul M este echidistant de capetele segmentului. Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea perpendiculară pe segment (Fig. 3).

Orez. 3. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Să luăm în considerare un triunghi. Este isoscel, ca prin condiție. Luați în considerare mediana triunghiului: punctul O este mijlocul bazei AB, OM este mediana. După proprietate triunghi isoscel, mediana trasată la baza sa este atât înălțimea, cât și bisectoarea. De aici rezultă că . Dar dreapta p este și perpendiculară pe AB. Știm că o singură perpendiculară pe segmentul AB poate fi trasă până la punctul O, ceea ce înseamnă că dreptele OM și p coincid, de aici rezultă că punctul M aparține dreptei p, care se cerea demonstrată.

directă şi teorema inversă poate fi generalizat.

Un punct se află pe bisectoarea perpendiculară a unui segment dacă și numai dacă este echidistant de capetele acestui segment.

Deci, repetăm că există trei segmente într-un triunghi și proprietatea bisectoarei perpendiculare este aplicabilă fiecăruia dintre ele.

Teorema:

Bisectoarele perpendiculare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Se dă un triunghi. Perpendicular pe laturile sale: P 1 pe latura BC, P 2 pe latura AC, P 3 pe latura AB.

Demonstrați că perpendicularele Р 1 , Р 2 și Р 3 se intersectează în punctul O (Fig. 4).

Orez. 4. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Considerăm două perpendiculare medii P 2 și P 3 , ele se intersectează, punctul de intersecție O există. Să demonstrăm acest fapt prin contradicție - să fie paralele perpendicularele P 2 și P 3. Atunci unghiul este drept, ceea ce contrazice faptul că suma celor trei unghiuri ale unui triunghi este . Deci, există un punct O de intersecție a două dintre cele trei bisectoare perpendiculare. Proprietățile punctului O: se află pe bisectoarea perpendiculară pe latura AB, ceea ce înseamnă că este echidistant de capetele segmentului AB:. De asemenea, se află pe bisectoarea perpendiculară pe latura AC, deci . Am obținut următoarele egalități.