Tipuri de trapez de proprietăți ale trapezului unui trapez isoscel. Ce este un trapez: proprietățile unui patrulater, teoreme și formule. Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin baze, laturi și unghiuri de la bază

"APROBA"

Şeful unei discipline separate

(matematică, informatică și TIC)

Yu. V. Krylova _____________

„___” ____________ 2015

« Trapezul și proprietățile sale»

Dezvoltare metodică

profesor de matematică

Şatalina Elena Dmitrievna

Considerat şi

la ședința PMO din data de _______________

Protocol nr.______

Moscova

2015

Cuprins

Introducere 2

Definitii 3

Proprietățile unui trapez isoscel 4

Cercuri înscrise și circumscrise 7

Proprietățile trapezelor înscrise și circumscrise 8

Valori medii într-un trapez 12

Proprietățile unui trapez arbitrar 15

Semne ale unui trapez 18

Construcții suplimentare într-un trapez 20

Zona trapezoidală 25

10. Concluzie

Bibliografie

Aplicație

Demonstrațiile unor proprietăți ale unui trapez 27

Sarcini pentru munca independentă

Sarcini pe tema „Trapez” de complexitate crescută

Test de verificare pe tema „Trapezoid”

Introducere

Această lucrare este dedicată unei figuri geometrice numită trapez. „O figură obișnuită”, spui, dar nu este. Conține multe secrete și mistere, dacă te uiți cu atenție și te aprofundezi în studiul lui, vei descoperi o mulțime de lucruri noi în lumea geometriei, sarcini care nu au fost rezolvate până acum ți se vor părea ușoare.

Trapez - cuvântul grecesc trapez - „masă”. Împrumuturi. în secolul al XVIII-lea din lat. lang., unde trapezul este grecesc. Este un patrulater cu două laturi opuse paralele. Trapezul este găsit pentru prima dată de savantul grec antic Posidonius (secolul al II-lea î.Hr.). Există multe figuri diferite în viața noastră. În clasa a VII-a am cunoscut triunghiul îndeaproape, în clasa a VIII-a, curiculumul scolar am început să studiem trapezul. Această cifră ne-a interesat, iar în manual se scrie imposibil de puțin despre ea. Prin urmare, am decis să luăm această problemă în propriile noastre mâini și să găsim informații despre trapez. proprietățile sale.

Lucrarea discută proprietățile familiare elevilor din materialul abordat în manual, dar într-o mai mare măsură proprietăți necunoscute care sunt necesare pentru rezolvarea problemelor complexe. Cu cât este mai mare numărul de sarcini de rezolvat, cu atât apar mai multe întrebări la rezolvarea acestora. Răspunsul la aceste întrebări pare uneori un mister, învățând noi proprietăți ale trapezului, metode neobișnuite de rezolvare a problemelor, precum și tehnica construcțiilor suplimentare, descoperim treptat secretele trapezului. Pe Internet, dacă punctați într-un motor de căutare, există foarte puțină literatură despre metode de rezolvare a problemelor pe tema „trapez”. În procesul de lucru la proiect, s-a găsit o cantitate mare de informații care îi vor ajuta pe elevi într-un studiu profund al geometriei.

Trapez.

Definiții

Trapez Un patrulater cu o singură pereche de laturi paralele (și cealaltă pereche de laturi nu este paralelă).

Laturile paralele ale unui trapez se numesc temeiuri. Celelalte doua - laturi .
Dacă laturile sunt egale, se numește trapez isoscel.

Un trapez care are unghiuri drepte pe latura sa se numeste dreptunghiular .

Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numeștelinia mediană a trapezului.

Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului.

2 . Proprietățile unui trapez isoscel

3. Diagonalele unui trapez isoscel sunt egale.

4

1
0. Proiecția laturii laterale a unui trapez isoscel pe baza mai mare este egală cu jumătatea diferenței bazelor, iar proiecția diagonalei este egală cu suma bazelor.

3. Cerc înscris și circumscris

Dacă suma bazelor unui trapez este egală cu suma laturilor, atunci poate fi înscris un cerc în el.

E
Dacă trapezul este isoscel, atunci un cerc poate fi circumscris în jurul lui.

4 . Proprietățile trapezelor înscrise și circumscrise

2. Dacă un cerc poate fi înscris într-un trapez isoscel, atunci

suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor. Prin urmare, lungimea laturii este egală cu lungimea linia de mijloc trapez.

4 . Dacă un cerc este înscris într-un trapez, atunci laturile din centrul său sunt vizibile la un unghi de 90 °.

E dacă un cerc este înscris într-un trapez, care atinge una dintre laturi, îl împarte în segmente m si n , atunci raza cercului înscris este egală cu media geometrică a acestor segmente.

1

0 . Dacă cercul este construit pe baza mai mică a trapezului ca diametru, trece prin punctele medii ale diagonalelor și atinge baza inferioară, atunci unghiurile trapezului sunt 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Valori medii într-un trapez

medie geometrică

În orice trapez cu baze A Și b Pentru A > binegalitatea :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Proprietățile unui trapez arbitrar

1
. Punctele de mijloc ale diagonalelor trapezului și punctele de mijloc ale laturilor se află pe aceeași linie dreaptă.

Punctul de intersecție al prelungirii laturilor unui trapez arbitrar, punctul de intersecție al diagonalelor sale și punctele medii ale bazelor se află pe o singură dreaptă.

6. Suma pătratelor diagonalelor unui trapez arbitrar este egală cu suma pătratelor laturilor, adăugată la dublul produsului bazelor.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. Într-un trapez dreptunghiular, diferența dintre pătratele diagonalelor este egală cu diferența pătratelor bazelor d 1 2 - d 2 2 = A 2 – b 2

8 . Liniile drepte care intersectează laturile unghiului decupează segmentele proporționale din laturile unghiului.

9. Un segment paralel cu bazele și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor este împărțit de acesta din urmă la jumătate.

7. Semne ale unui trapez

8 . Construcții suplimentare într-un trapez

1. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor este linia mediană a trapezului.

2
. Un segment paralel cu una dintre laturile unui trapez, al cărui capăt coincide cu mijlocul celeilalte laturi, celălalt aparține liniei care conține baza.

3
. Având în vedere toate laturile unui trapez, se trasează o linie dreaptă prin vârful bazei mai mici, paralelă cu latura laterală. Rezultă un triunghi cu laturile egale cu laturile trapezului și diferența bazelor. Conform formulei lui Heron, se găsește aria triunghiului, apoi înălțimea triunghiului, care este egală cu înălțimea trapezului.

4

. Înălțimea unui trapez isoscel, trasă de la vârful bazei mai mici, împarte baza mai mare în segmente, dintre care unul este egal cu jumătatea diferenței bazelor, iar celălalt cu jumătatea sumei bazelor trapez, adică linia mediană a trapezului.

5. Înălțimile trapezului, coborâte de la vârfurile unei baze, se decupează pe o linie dreaptă care conține cealaltă bază, un segment egal cu prima bază.

6
. Un segment paralel cu una dintre diagonalele unui trapez este trasat printr-un vârf - un punct care este capătul altei diagonale. Rezultatul este un triunghi cu două laturi egale cu diagonalele trapezului, iar a treia - egală cu suma bazelor

7
.Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor este egal cu semidiferența bazelor trapezului.

8. Bisectoarele unghiurilor adiacente uneia dintre laturile trapezului, sunt perpendiculare și se intersectează într-un punct situat pe linia mediană a trapezului, adică atunci când se intersectează, se formează un triunghi dreptunghic cu o ipotenuză egală cu latură.

9. Bisectoarea unghiului trapezului se taie triunghi isoscel.

1
0. Diagonalele unui trapez arbitrar la intersecție formează două triunghiuri similare cu un coeficient de asemănare egal cu raportul bazelor și două triunghiuri egale adiacente laturilor.

1
1. Diagonalele unui trapez arbitrar la intersecție formează două triunghiuri similare cu un coeficient de asemănare egal cu raportul bazelor și două triunghiuri egale adiacente laturilor.

1
2. Continuarea laturilor trapezului până la intersecție face posibilă luarea în considerare a triunghiurilor similare.

13. Dacă un cerc este înscris într-un trapez isoscel, atunci se trasează înălțimea trapezului - produsul mediu geometric al bazelor trapezului sau de două ori produsul mediu geometric al segmentelor laterale în care este împărțit la punctul de a lua legatura.

9. Aria unui trapez

1 . Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea S = ½( A + b) h sau

P

Aria unui trapez este egală cu produsul dintre linia mediană a trapezului și înălțimea S = m h .

2. Aria unui trapez este egală cu produsul unei laturi și o perpendiculară trasă de la mijlocul celeilalte laturi la linia care conține prima latură.

Aria unui trapez isoscel cu o rază a cercului înscris egală cu rși unghiul de la bazăα :

10. Concluzie

UNDE, CUM SI PENTRU CE SE UTILIZA UN TRAPEZ?

Trapezul în sport: Trapezul este cu siguranță o invenție progresivă a omenirii. Este conceput pentru a ne ușura mâinile, pentru a face mersul pe un windsurfer confortabil și ușor. Mersul pe o placă scurtă nu are deloc sens fără un trapez, deoarece fără acesta este imposibil să distribuiți corect tracțiunea între pași și picioare și să accelerați eficient.

Trapezul la modă: Trapezul în haine era popular în Evul Mediu, în epoca romanică a secolelor IX-XI. La acea vreme, baza îmbrăcămintei femeilor era tunicile până la podea, tunica extinsă foarte mult spre partea de jos, ceea ce crea efectul unui trapez. Reînvierea siluetei a avut loc în 1961 și a devenit imnul tinereții, al independenței și al rafinamentului. Un rol uriaș în popularizarea trapezului l-a jucat fragilul model Leslie Hornby, cunoscut sub numele de Twiggy. O fată scundă, cu un fizic anorexic și cu ochi uriași a devenit un simbol al epocii, iar ținutele ei preferate erau rochiile scurte trapez.

Trapez în natură: Trapezul se găsește și în natură. O persoană are un mușchi trapez, la unii oameni fața are forma unui trapez. Petalele de flori, constelațiile și, desigur, Muntele Kilimanjaro au și forma unui trapez.

Trapezul în viața de zi cu zi: Trapezul este folosit și în viața de zi cu zi, deoarece forma lui este practică. Se găsește în articole precum: cupă de excavator, masă, șurub, mașină.

Trapezul este un simbol al arhitecturii Inca. Forma stilistică dominantă în arhitectura incasă este simplă, dar grațioasă, trapezul. Are nu doar o valoare funcțională, ci și un design artistic strict limitat. Ușile, ferestrele și nișele de perete trapezoidale se găsesc în clădiri de toate tipurile, atât în ​​temple, cât și în clădiri mai puțin semnificative, clădiri mai crude, ca să spunem așa. Trapezul se găsește și în arhitectura modernă. Această formă de clădiri este neobișnuită, așa că astfel de clădiri atrag întotdeauna privirile trecătorilor.

Trapez în inginerie: Trapezul este utilizat în proiectarea pieselor în tehnologia spațială și în aviație. De exemplu, unele panouri solare stații spațiale au forma unui trapez, deoarece au o suprafață mare, ceea ce înseamnă că acumulează mai mult solar en

În secolul 21, oamenii cu greu se gândesc la semnificația forme geometrice in vietile lor. Nu le pasă deloc ce formă au masa, paharele sau telefonul lor. Pur și simplu aleg forma care este practică. Dar utilizarea obiectului, scopul său, rezultatul lucrării pot depinde de forma cutare sau cutare lucru. Astăzi v-am prezentat una dintre cele mai mari realizări ale omenirii - trapezul. Ți-am deschis ușa lume minunata figuri, v-a spus secretele trapezului și a arătat că geometria este în jurul nostru.

Bibliografie

Bolotov A.A., Prokhorenko V.I., Safonov V.F., Teoria și problemele matematicii. Cartea 1 Tutorial pentru solicitanţi M.1998 Editura MPEI.

Bykov A.A., Malyshev G.Yu., Facultatea de formare preuniversitară. Matematică. Ajutor didactic 4 părți M2004

Gordin R.K. Planimetrie. Caiet de sarcini.

Ivanov A.A.,. Ivanov A.P., Matematică: un ghid pentru pregătirea pentru examenul unificat de stat și intrarea în universități-M: Editura MIPT, 2003-288s. ISBN 5-89155-188-3

Pigolkina T.S., Ministerul Educației și Științei al bugetului statului federal al Federației Ruse instituție educațională educatie suplimentara copii „ZFTSh de la Institutul de Fizică și Tehnologie din Moscova ( universitate de stat)". Matematică. Planimetrie. Sarcini nr.2 pentru clasele a X-a (anul universitar 2012-2013).

Pigolkina T.S., Planimetrie (partea 1), Enciclopedia Matematică a Participantului. M., editura Universității Ruse deschise 1992.

Sharygin I.F. Probleme selectate în geometria examenelor de concurs în universități (1987-1990) revista Lvov Quantor 1991.

Enciclopedia „Avanta plus”, Matematică M., World of Encyclopedias Avanta 2009.

Aplicație

1. Dovada unor proprietăți ale unui trapez.

1. O linie dreaptă care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor unui trapez paralel cu bazele sale intersectează laturile trapezului în puncteK Și L . Demonstrați că dacă bazele unui trapez sunt egale A Și b , Acea lungimea segmentului KL egală cu media geometrică a bazelor trapezului. Dovada

LăsaDESPRE - punctul de intersecție al diagonalelor,ANUNȚ = un soare = b . Direct KL paralel cu bazaANUNȚ , prin urmare,K DESPRE║ ANUNȚ , triunghiuriÎN K DESPRE Șirău asemănătoare, deci

(1)

(2)

Înlocuiți (2) în (1) , obținem KO=

În mod similar LO= Atunci K L = KO + LO =

ÎN despre orice trapez, punctele medii ale bazelor, punctul de intersecție al diagonalelor și punctul de intersecție al prelungirii laturilor se află pe aceeași dreaptă.

Dovada: Lăsați prelungirile laturilor să se intersecteze într-un punctLA. Prin punctLA și punctDESPRE intersecții diagonaletrage o linie dreaptă KO.

K

Să arătăm că această linie împarte bazele în jumătate.

DESPRE desemnaVM = x, MS = y, UN = Și, ND = v . Avem:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

X

B

C

Y

Definiție

Trapez este un patrulater $A B C D$, ale cărui două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu sunt paralele (Fig. 1).

Se numesc laturile paralele ale trapezului ($B C$ si $A D$). bazele unui trapez, nu paralel ($A B$ și $C D$) - laturi. Perpendiculara ($B H$) trasată din orice punct al unei baze pe o altă bază sau continuarea acesteia se numește înălțimea trapezului.

proprietatea unui trapez

Suma unghiurilor adiacente laturii laterale este $180^(\circ)$:

$\angle A+\angle B=180^(\circ), \angle C+\angle D=180^(\circ)$ (Figura 1)

Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor trapezului se numește linia mediană a trapezului. Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei lor:

$$M N=\frac(A D+B C)(2)$$

Dintre toate trapezele, pot fi alese două clase speciale de trapeze: trapeze dreptunghiulare și isoscele.

Definiție

Dreptunghiular Un trapez se numește dacă unul dintre unghiurile sale este un unghi drept.

echilateral se numește trapez, în care laturile sunt egale.

Proprietățile unui trapez isoscel

1. Într-un trapez isoscel, unghiurile de la bază sunt perechi egale cu $\angle A=\angle D, \angle B=\angle C$.
2. Diagonalele unui trapez isoscel sunt egale cu $A C=B D$.

Semne ale unui trapez isoscel

1. Dacă unghiurile de la baza unui trapez sunt egale, atunci trapezul este isoscel.
2. Dacă diagonalele unui trapez sunt egale, atunci acesta este isoscel.

Zona trapezului:

$$S=\frac(a+b)(2) \cdot h$$

unde $a$ și $b$ sunt bazele trapezului și $h$ este înălțimea acestuia.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplu

Exercițiu.Înălțimea unui trapez isoscel desenat dintr-un unghi obtuz împarte baza în segmente de 5 cm și 11 cm lungime.Aflați perimetrul trapezului dacă înălțimea lui este de 12 cm.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 3)

$ABCD$ - trapez isoscel, $BH$ - înălțime, $BH = 12$ cm, $AH = 5$ cm, $HD = 11$ cm.

Luați în considerare $\Delta A B H$, este dreptunghiular ($\angle H=90^(\circ)$). Conform teoremei lui Pitagora

$$A B=\sqrt(B H^(2)+A H^(2))$$

înlocuind datele inițiale, obținem

$A B=\sqrt(12^(2)+5^(2))$

$A B=\sqrt(144+25)=\sqrt(169) \Rightarrow A B=13$ (cm)

Întrucât trapezul $A B C D$ este isoscel, atunci laturile sale sunt egale: $A B=C D=13$ cm Baza mai mare a trapezului este egală cu: $A D=A H+H D$, $A D=5+11= 16$ (cm). Baza mai mică a trapezului va fi: $B C=A D-2 A H, B C=16-2 \cdot 5=6$ (cm). Perimetrul unui trapez este:

$P_(A B C D)=A B+B C+C D+A D$

$P_(A B C D)=13+6+13+16$

$P_(A B C D)=48$ (cm)

Răspuns.$P_(A B C D)=48$ cm

Exemplu

Exercițiu.Într-un trapez dreptunghiular, două laturi mai mici sunt egale cu 2 dm, iar unul dintre unghiuri este $45^(\circ)$. Găsiți aria trapezului.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 4)

$K L M N$ - trapez dreptunghiular, $K L=L M=2$ dm, $L K \perp K N$, $\angle M L K=45^(\circ)$. De la vârful $M$ coborâm înălțimea $MP$ la baza $KN$. Considerăm $\Delta M N P$, este dreptunghiular ($\angle M P N=90^(\circ)$). Deoarece $\angle M L K=45^(\circ)$, atunci

$\unghi N M P=180^(\circ)-\unghi M P N-\unghi M L K$

$\unghi N M P=180^(\circ)-90^(\circ)-45^(\circ)=45^(\circ)$

Astfel, $\angle M L K=\angle N M P$ și $\Delta M N P$ este de asemenea isoscel. Prin urmare $M P=P N$. Deoarece $L K=M P=2$ dm, deci $P N=2$ dm. Baza mai mare este $K N=K P+P N$, deoarece $L M=K P$, obținem $K N=2+2=4$ (dm).

Aria trapezului se calculează cu formula:

$$S=\frac(a+b)(2) \cdot h$$

În cazul nostru, va lua forma:

$$S_(K L M N)=\frac(L M+K N)(2) \cdot M P$$

Înlocuind valorile cunoscute, obținem

$S_(K L M N)=\frac(2+4)(2) \cdot 2=6$ (dm 2)

Răspuns.$S_(K L M N)=6$ dm 2

Definiții înrudite

Elemente de trapez

• Laturile paralele se numesc temeiuri trapez.
• Celelalte două părți sunt numite laturi.
• Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linia mediană a trapezului.
• Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului.

Tipuri de trapez

Trapez dreptunghiular

Trapez isoscel

• Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel sau isoscel.
• Un trapez care are unghiuri drepte pe partea laterală se numește dreptunghiular.

Proprietăți generale

• Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma acestora.
• Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor este egal cu jumătate de diferență a bazelor.
• Liniile drepte paralele care intersectează laturile unghiului decupează segmente proporționale din laturile unghiului.
• Un cerc poate fi înscris într-un trapez dacă suma bazelor trapezului este egală cu suma laturilor acestuia.

Proprietăți și semne ale unui trapez isoscel

• Linia care trece prin punctele medii ale bazelor este perpendiculară pe baze și este axa de simetrie a trapezului.
• Înălțimea coborâtă de la vârf la baza mai mare o împarte în două segmente, dintre care unul este egal cu jumătate din suma bazelor, celălalt este jumătate din diferența bazelor.
• Într-un trapez isoscel, unghiurile de la orice bază sunt egale.
• Într-un trapez isoscel, lungimile diagonalelor sunt egale.
• Dacă un trapez poate fi înscris într-un cerc, atunci este isoscel.
• Un cerc poate fi circumscris unui trapez isoscel.
• Dacă diagonalele unui trapez isoscel sunt perpendiculare, atunci înălțimea este jumătate din suma bazelor.

Cerc înscris și circumscris

Pătrat

Aceste formule sunt aceleași, deoarece jumătatea sumei bazelor este egală cu linia mediană a trapezului.

Luați în considerare mai multe direcții pentru rezolvarea problemelor în care un trapez este înscris într-un cerc.

Când poate fi înscris un trapez într-un cerc? Un patrulater poate fi înscris într-un cerc dacă și numai dacă suma unghiurilor sale opuse este de 180º. De aici rezultă că într-un cerc poate fi înscris doar un trapez isoscel.

Raza unui cerc circumscris unui trapez poate fi găsită ca raza unui cerc circumscris unuia dintre cele două triunghiuri în care trapezul este împărțit cu diagonala sa.

Unde este centrul cercului circumscris trapezului? Depinde de unghiul dintre diagonala trapezului și latura acestuia.

Dacă diagonala unui trapez este perpendiculară pe latura sa laterală, atunci centrul cercului circumscris trapezului se află în mijlocul bazei sale mai mari. Raza cercului descris în apropierea trapezului în acest caz este egală cu jumătate din baza sa mai mare:

Dacă diagonala unui trapez formează un unghi ascuțit cu latura laterală, atunci centrul cercului circumscris trapezului se află în interiorul trapezului.

Dacă diagonala unui trapez se formează cu o latură unghi obtuz, centrul cercului circumscris trapezului se află în afara trapezului, în spatele bazei mari.

Raza unui cerc circumscris unui trapez poate fi găsită din corolarul teoremei sinusului. Din triunghiul ACD

Din triunghiul ABC

O altă opțiune de a găsi raza cercului circumscris este −

Sinusurile unghiului D și unghiului CAD pot fi găsite, de exemplu, din triunghiuri dreptunghiulare CFD și ACF:

Când rezolvați probleme pentru un trapez înscris într-un cerc, puteți utiliza și faptul că unghiul înscris este egal cu jumătate din unghiul central corespunzător. De exemplu,

Apropo, puteți folosi unghiurile COD și CAD pentru a găsi aria unui trapez. Conform formulei pentru găsirea ariei unui patrulater prin diagonalele sale

Prin urmare, vom numi unul dintre ei mare , al doilea - bază mică trapez. Înălţime un trapez poate fi numit orice segment al unei perpendiculare trasate de la vârfuri la latura opusă corespunzătoare (pentru fiecare vârf sunt două laturi opuse), închise între vârful luat și latura opusă. Dar este posibil să se evidențieze un „tip special” de înălțimi.
Definiția 8. Înălțimea bazei unui trapez este segmentul unei linii drepte perpendiculare pe baze, închis între baze.
Teorema 7 . Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma acestora.
Dovada. Să fie date trapezul ABCD și linia mediană KM. Desenați o linie prin punctele B și M. Continuăm latura AD prin punctul D până se intersectează cu BM. Triunghiurile BCm și MPD sunt egale în latură și două unghiuri (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - suprapunere, ∠ BMC=∠ DMP - vertical), prin urmare VM=MP sau punctul M este punctul de mijloc al BP. KM este linia mediană a triunghiului ABP. Conform proprietății liniei de mijloc a triunghiului, KM este paralel cu AP și în special AD și este egal cu jumătate din AP:

Teorema 8 . Diagonalele împart trapezul în patru părți, dintre care două, adiacente laturilor, sunt egale.
Permiteți-mi să vă reamintesc că cifrele se numesc egale dacă au aceeași zonă. Triunghiurile ABD și ACD sunt egale ca suprafață și au înălțimi egale(indicat cu galben) și o bază comună. Aceste triunghiuri au o parte comună AOD. Zona lor poate fi extinsă după cum urmează:

Tipuri de trapez:
Definiția 9. (Figura 1) Un trapez cu unghi ascuțit este un trapez în care unghiurile adiacente bazei mai mari sunt acute.
Definiția 10. (Figura 2) Un trapez obtuz este un trapez în care unul dintre unghiurile adiacente bazei mai mari este obtuz.
Definiția 11. (Figura 4) Un trapez se numește dreptunghiular, în care o latură este perpendiculară pe baze.
Definiția 12. (Figura 3) Isoscel (isoscel, isoscel) este un trapez, în care laturile sunt egale.

Proprietățile unui trapez isoscel:
Teorema 10 . Unghiurile adiacente fiecăreia dintre bazele unui trapez isoscel sunt egale.
Dovada. Să demonstrăm, de exemplu, egalitatea unghiurilor A și D cu o bază mai mare AD a unui trapez isoscel ABCD. În acest scop, trasăm o dreaptă prin punctul C paralel cu latura laterală AB. Ea va intersecta baza mare în punctul M. Patrulaterul ABCM este un paralelogram, deoarece prin constructie are doua perechi de laturi paralele. Prin urmare, segmentul CM al dreptei secante cuprinse în interiorul trapezului este egal cu latura sa laterală: CM=AB. De aici este clar că CM=CD, triunghiul CMD este isoscel, ∠CMD=∠CDM, și, prin urmare, ∠A=∠D. Unghiurile adiacente bazei mai mici sunt de asemenea egale, deoarece sunt pentru cele găsite interne unilaterale și au o sumă de două linii.
Teorema 11 . Diagonalele unui trapez isoscel sunt egale.
Dovada. Luați în considerare triunghiurile ABD și ACD. Este egal pe două laturi și unghiul dintre ele (AB=CD, AD este comun, unghiurile A și D sunt egale conform teoremei 10). Prin urmare AC=BD.

Teorema 13 . Diagonalele unui trapez isoscel sunt împărțite de punctul de intersecție în segmente egale corespunzător. Luați în considerare triunghiurile ABD și ACD. Este egal pe două laturi și unghiul dintre ele (AB=CD, AD este comun, unghiurile A și D sunt egale conform teoremei 10). Prin urmare, ∠ ОАD=∠ ОDA, prin urmare unghiurile ОВС și OSV sunt egale ca unghiuri suprapuse corespunzător ODA și ОАD. Reamintim teorema: dacă două unghiuri dintr-un triunghi sunt egale, atunci acesta este isoscel, prin urmare triunghiurile ОВС și ОAD sunt isoscele, ceea ce înseamnă OS=OB și ОА=OD etc.
Un trapez isoscel este o figură simetrică.
Definiția 13. Axa de simetrie a unui trapez isoscel se numește linie dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor sale.
Teorema 14 . Axa de simetrie a unui trapez isoscel este perpendiculară pe bazele sale.
În teorema 9, am demonstrat că dreapta care unește punctele medii ale bazelor unui trapez trece prin punctul de intersecție al diagonalelor. În continuare (Teorema 13) am demonstrat că triunghiurile AOD și BOC sunt isoscele. OM și OK sunt medianele acestor triunghiuri, respectiv, prin definiție. Reamintim proprietatea unui triunghi isoscel: mediana unui triunghi isoscel, coborât la bază, este și înălțimea triunghiului. Datorită perpendicularității bazelor părților dreptei KM, axa de simetrie este perpendiculară pe baze.
Semne care disting un trapez isoscel printre toate trapezele:
Teorema 15 . Dacă unghiurile adiacente uneia dintre bazele unui trapez sunt egale, atunci trapezul este isoscel.
Teorema 16 . Dacă diagonalele unui trapez sunt egale, atunci trapezul este isoscel.
Teorema 17 . Dacă laturile laterale ale trapezului, extinse până la intersecție, formează împreună cu baza sa mare un triunghi isoscel, atunci trapezul este isoscel.
Teorema 18 . Dacă un trapez poate fi înscris într-un cerc, atunci este isoscel.
Semnul unui trapez dreptunghiular:
Teorema 19 . Orice patrulater cu doar două unghiuri drepte la vârfuri adiacente este un trapez dreptunghic (este evident că cele două laturi sunt paralele, deoarece unilaterale sunt egale. în cazul în care trei unghiuri drepte sunt dreptunghi)
Teorema 20 . Raza unui cerc înscris într-un trapez este egală cu jumătate din înălțimea bazei.
Dovada acestei teoreme este de a explica că razele trasate la baze se află la înălțimea trapezului. Din punctul O - centrul cercului ABCD înscris în acest trapez, trasăm razele până la punctele de contact cu bazele sale ale trapezului. După cum știți, raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe tangente, deci OK ^ BC și OM ^ AD. Amintiți-vă teorema: dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe a doua. Prin urmare, dreapta OK este de asemenea perpendiculară pe AD. Astfel, prin punctul O trec două drepte perpendiculare pe dreapta AD, care nu poate fi, prin urmare aceste drepte coincid și alcătuiesc perpendiculara comună KM, care este egală cu suma a două raze și este diametrul cercului înscris, deci r=KM/2 sau r=h/2.
Teorema 21 . Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea bazelor.

Dovada: Fie ABCD un trapez dat și AB și CD bazele sale. Fie și AH înălțimea coborâtă de la punctul A la linia CD. Atunci S ABCD = S ACD + S ABC .
Dar S ACD = 1/2AH CD și S ABC = 1/2AH AB.
Prin urmare, S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

A doua formulă s-a mutat din patrulater.