Fundamentele termodinamice ale termoelasticității. Condiții de limită și inițiale Condiții de limită și inițiale ale unei ecuații diferențiale

respectiv zona luată în considerare.

De obicei, o ecuație diferențială nu are o singură soluție, ci o întreagă familie de ele. Condițiile inițiale și de limită vă permit să alegeți dintre ele unul care corespunde unui proces sau fenomen fizic real. În teoria ecuațiilor diferențiale obișnuite se demonstrează o teoremă privind existența și unicitatea unei soluții la o problemă cu o condiție inițială (așa-numita problemă Cauchy). Pentru ecuațiile cu diferențe parțiale, unele teoreme de existență și unicitate pentru soluții sunt obținute pentru anumite clase de probleme de valoare inițială și limită.

Terminologie

Uneori, condițiile inițiale din problemele non-staționare, cum ar fi soluția ecuațiilor hiperbolice sau parabolice, sunt denumite și condiții la limită.

Pentru problemele staționare, există o împărțire a condițiilor la limită în principalȘi natural.

Condițiile principale au de obicei forma , unde este limita regiunii.

Condițiile naturale conțin și derivata soluției față de normala la limită.

Exemplu

Ecuația descrie mișcarea unui corp în câmpul gravitațional al pământului. Este îndeplinită de orice funcție pătratică de forma , unde - numere arbitrare. Pentru a izola o lege specifică a mișcării, este necesar să se indice coordonata inițială a corpului și viteza acestuia, adică condițiile inițiale.

Corectitudinea stabilirii condițiilor la limită

Problemele de fizică matematică descriu procese fizice reale și, prin urmare, afirmația lor trebuie să îndeplinească următoarele cerințe naturale:

Decizia ar trebui existaîn orice clasă de funcții;
Soluția trebuie să fie singuraîn orice clasă de funcții;
Decizia ar trebui dependentă permanent de date(condiții inițiale și la limită, termen liber, coeficienți etc.).

Cerința unei dependențe continue a soluției se datorează faptului că datele fizice, de regulă, sunt determinate aproximativ din experiment și, prin urmare, trebuie să fii sigur că rezolvarea problemei în cadrul modelului matematic ales va nu depind semnificativ de eroarea de măsurare. Din punct de vedere matematic, această cerință poate fi scrisă, de exemplu, după cum urmează (pentru independență față de termenul liber):

Lasă doi ecuatii diferentiale: cu aceiași operatori diferențiali și aceleași condiții la limită, atunci soluțiile lor vor depinde continuu de termenul liber dacă:

soluții ale ecuațiilor corespunzătoare.

Se numește setul de funcții pentru care sunt îndeplinite cerințele enumerate clasa de corectitudine. Stabilirea incorectă a condițiilor la limită este bine ilustrată de exemplul lui Hadamard.

Vezi si

Condiții la limită de primul fel (problema Dirichlet) , en:Condiția la limită Dirichlet
Condiții la limită de al 2-lea fel (problema Neumann) , en:Condiție la limită Neumann
Condiții la limită de al 3-lea fel (problema Robin), ro: Condiție la limită Robin
Condiții pentru contact termic perfect , ro: Contact termic perfect

Literatură

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce sunt „Condițiile inițiale și limită” în alte dicționare:

În teoria ecuațiilor diferențiale, condițiile inițiale și la limită sunt un adaos la ecuația diferențială principală (derivate obișnuite sau parțiale), care precizează comportamentul acesteia la momentul inițial de timp sau la limita de ... ... Wikipedia

Problema Neumann în ecuațiile diferențiale este o problemă de valoare la limită cu condiții la limită date pentru derivata funcției dorite la limita regiunii, așa-numitele condiții la limită de al doilea fel. După tipul de zonă, problema Neumann poate fi împărțită în două ... Wikipedia

condiţiile de frontieră- conditii fizice formalizate la limita zonei de deformare sau modelul matematic al acestora, care, alaturi de altele, fac posibila obtinerea unei solutii unica la problemele tratarii sub presiune. Condițiile limită sunt împărțite în...

condiții inițiale- descrierea stării corpului înainte de deformare. De obicei, în momentul inițial, sunt date coordonatele Euler ale punctelor xi0 ale suprafeței corpului, stresul, viteza, densitatea, temperatura în orice punct M al corpului. Zona Diya a spațiului, ...... Dicţionar enciclopedicîn metalurgie

conditii de captare- un anumit raport în timpul rulării, care raportează unghiul de prindere și coeficientul sau unghiul de frecare, la care se asigură prinderea primară a metalului de către role și umplerea zonei de deformare; Vezi și: condiții de muncă... Dicţionar enciclopedic de metalurgie

Condiții- : Vezi și: condiții de lucru condiții de echilibru diferențial condiții tehnice (TS) condiții inițiale ... Dicţionar enciclopedic de metalurgie

conditii de lucru- un ansamblu de caracteristici sanitare și igienice ale mediului exterior (temperatură și umiditate, praf, zgomot etc.) în care se desfășoară procese tehnologice; reglementat în Rusia de muncă ...... Dicţionar enciclopedic de metalurgie

Cărți

Metode numerice pentru rezolvarea problemelor inverse de fizică matematică, Samarskiy A.A. Cursurile tradiționale privind metodele de rezolvare a problemelor de fizică matematică tratează probleme directe. În acest caz, soluția este determinată din ecuații cu diferențe parțiale, care sunt completate cu ...

După cum sa menționat în introducere, ecuațiile diferențiale parțiale de ordinul doi au un număr infinit de soluții în funcție de două funcții arbitrare. Pentru a determina aceste funcții arbitrare sau, cu alte cuvinte, pentru a izola soluția particulară de care avem nevoie, trebuie să impunem condiții suplimentare funcției dorite. Cititorul a întâlnit deja un fenomen similar la rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite, când selectarea unei soluții comune dintr-una generală a constat în procesul de găsire a constantelor arbitrare în funcție de condiții inițiale date.

Când se ia în considerare problema vibrațiilor corzilor, condițiile suplimentare pot fi de două tipuri: inițiale și de limită (sau de limită).

Condițiile inițiale arată în ce stare se afla șirul în momentul în care a început oscilația. Cel mai convenabil este să considerăm că șirul a început să oscileze în momentul de față. Poziția inițială a punctelor șirului este dată de condiție

si viteza initiala

unde sunt date funcții.

Notația și înseamnă că funcția este luată la o valoare arbitrară și la , adică în mod similar . Această formă de înregistrare este utilizată constant în viitor; deci, de exemplu, etc.

Condițiile (1.13) și (1.14) sunt similare cu condițiile inițiale din cea mai simplă problemă de dinamică punct material. Acolo, pentru a determina legea mișcării unui punct, pe lângă ecuația diferențială, trebuie să cunoașteți poziția inițială a punctului și viteza sa inițială.

Condițiile la limită au un caracter diferit. Ele arată ce se întâmplă la capetele șirului în timpul întregului timp de vibrație. În cel mai simplu caz, când capetele șirului sunt fixe (începutul șirului este la origine, iar sfârșitul este la punct, funcția va respecta condițiile

Cititorul a îndeplinit exact aceleași condiții în cursul privind rezistența materialelor atunci când a studiat îndoirea unei grinzi așezate pe două suporturi sub acțiunea unei sarcini statice.

Semnificația fizică a faptului că stabilirea condițiilor inițiale și limită determină complet procesul poate fi urmărită cel mai ușor pentru caz vibratii libere siruri de caractere.

Să fie, de exemplu, un șir fixat la capete să fie tras într-un fel înapoi, adică se setează o funcție - ecuația forma initialașiruri și eliberat fără viteza inițială (aceasta înseamnă că ) ecuație omogenă in conditiile corespunzatoare. Puteți face coarda să oscileze într-un alt mod, și anume dând punctelor șirului o viteză inițială. Este clar din punct de vedere fizic că în acest caz procesul ulterioar de oscilații va fi complet determinat. Acordarea vitezei inițiale a punctelor coardei se poate face prin lovirea coardei (cum este cazul când cântați la pian); prima modalitate de a excita coarda este folosită atunci când se cântă la instrumente ciupite (de exemplu, la chitară).

Să finalizăm acum problema de matematica, ceea ce duce la studiul vibrațiilor libere ale unei corzi fixate la ambele capete.

Este necesar să se rezolve o ecuație diferențială parțială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți

), care precizează comportamentul său la momentul inițial de timp sau, respectiv, la limita regiunii luate în considerare.

Terminologie

Uneori, condițiile inițiale din problemele non-staționare, cum ar fi soluția ecuațiilor hiperbolice sau parabolice, sunt denumite și condiții la limită.

Pentru problemele staționare, există o împărțire a condițiilor la limită în principalȘi natural.

Condițiile principale iau de obicei forma u (∂ Ω) = g (\displaystyle u(\partial \Omega)=g), Unde ∂ Ω (\displaystyle \partial \Omega )- granița zonei Ω (\displaystyle \Omega ).

Condițiile naturale conțin și derivata soluției față de normala la limită.

Exemplu

Ecuația d 2 y d t 2 = - g (\displaystyle (\frac (d^(2)y)(dt^(2)))=-g) descrie mișcarea unui corp în câmpul gravitațional al pământului. Este satisfăcută de orice funcție pătratică a formei y (t) = − g t 2 / 2 + a t + b , (\displaystyle y(t)=-gt^(2)/2+at+b,) Unde a , b (\displaystyle a,b)- numere arbitrare. Pentru a izola o lege specifică a mișcării, este necesar să se indice coordonata inițială a corpului și viteza acestuia, adică condițiile inițiale.

Corectitudinea stabilirii condițiilor la limită

Problemele de fizică matematică descriu procese fizice reale și, prin urmare, afirmația lor trebuie să îndeplinească următoarele cerințe naturale:

Decizia ar trebui existaîn orice clasă de funcții;
Soluția trebuie să fie singuraîn orice clasă de funcții;
Decizia ar trebui dependentă permanent de date(condiții inițiale și la limită, termen liber, coeficienți etc.).

Să fie date două ecuații diferențiale: L u = F 1 , L u = F 2 (\displaystyle Lu=F_(1),~Lu=F_(2)) cu aceiași operatori diferențiali și aceleași condiții la limită, atunci soluțiile lor vor depinde continuu de termenul liber dacă:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0: (‖ F 1 − F 2 ‖< δ) ⇒ (‖ u 1 − u 2 ‖ < ε) {\displaystyle \forall \varepsilon >0~\există \delta >0:~\left(\|F_(1)-F_(2)\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1}-u_{2}\|<\varepsilon \right)} , Unde u 1 (\displaystyle u_(1)), u 2 (\displaystyle u_(2))- soluţii ale ecuaţiilor corespunzătoare.

Se numește setul de funcții pentru care sunt îndeplinite cerințele enumerate clasa de corectitudine. Setarea incorectă a condițiilor la limită este bine ilustrată de

O ecuație a mișcării (1.116) nu este suficientă pentru o descriere matematică a unui proces fizic. Este necesar să se formuleze condiții suficiente pentru definirea fără ambiguitate a procesului. Când se analizează problema vibrațiilor corzilor, condițiile suplimentare pot fi de două tipuri: inițiale și de limită (limită).

Să formulăm condiții suplimentare pentru un șir cu capete fixe. Deoarece capetele șirului de lungime sunt fixe, abaterile lor în puncte și trebuie să fie egale cu zero pentru orice:

, .

(1.119)

Sunt numite condiții (1.119). limite conditii; ele arată ce se întâmplă la capetele corzii în timpul procesului de vibrație.

Evident, procesul de oscilație va depinde de modul în care coarda este scoasă din echilibru. Este mai convenabil să considerăm că șirul a început să oscileze în momentul de față. În momentul inițial de timp, tuturor punctelor șirului li se dau niște deplasări și viteze:

(1.120)

unde și sunt date funcții.

Sunt numite condiții (1.120). iniţială conditii.

Deci, problema fizică a vibrațiilor corzilor a fost redusă la următoarea problemă matematică: a găsi o soluție la ecuația (1.116) (sau (1.117) sau (1.118)), care să satisfacă condițiile la limită (1.119) și condițiile inițiale ( 1.120). Această problemă se numește o problemă cu valori la limită mixtă deoarece include atât condițiile la limită, cât și condițiile inițiale. Se dovedește că sub unele restricții impuse funcțiilor și , problema mixtă are o soluție unică.

Rezultă că, pe lângă problema vibrațiilor corzilor, multe alte probleme fizice pot fi reduse la problema (1.116), (1.119), (1.120): vibrații longitudinale ale unei tije elastice, vibrații de torsiune ale unui arbore, vibrații ale lichide și gaze într-o țeavă etc.

Pe lângă condițiile la limită (1.119), sunt posibile și alte tipuri de condiții la limită. Cele mai frecvente sunt următoarele:

eu. , ;

II. , ;

III. , ,

unde , sunt funcții cunoscute și , sunt constante cunoscute.

Condițiile la limită date sunt numite, respectiv, condițiile la limită de primul, al doilea și al treilea fel. Condiții I au loc dacă capetele obiectului (snur, tijă etc.) se mișcă după o lege dată; condiţiile II - dacă la capete se aplică forţele specificate; conditii III - in cazul fixarii elastice a capetelor.

Dacă funcțiile date în partea dreaptă a egalităților sunt egale cu zero, atunci condițiile la limită se numesc omogen. Astfel, condițiile la limită (1.119) sunt omogene.

Combinând diferitele tipuri de condiții la limită enumerate, obținem șase tipuri de probleme de valoare la limită cele mai simple.

Pentru ecuația (1.116), se poate pune și o altă problemă. Lasă sfoara să fie suficient de lungă și ne interesează oscilația punctelor sale, suficient de îndepărtate de capete, și pentru o perioadă scurtă de timp. În acest caz, modul de la capete nu va avea un efect semnificativ și, prin urmare, nu este luat în considerare; se presupune că șirul este infinit. În loc de o problemă completă, ei pun o problemă limită cu condiții inițiale pentru o regiune nemărginită: găsiți o soluție pentru ecuația (1.116) pentru la care îndeplinește condițiile inițiale:

, .

Condițiile inițiale răspund la întrebarea care era câmpul de temperatură la momentul luat drept origine. Ele sunt descrise prin expresia . Foarte des, temperatura componentelor subsistemelor tehnologice la momentul inițial de timp poate fi luată egală cu temperatura ambiantă, adică . În acest caz, este convenabil, așa cum s-a menționat mai sus, să se efectueze calculul în așa-numitele temperaturi în exces, presupunând în mod convențional că , și apoi adăugând la rezultat la sfârșitul calculului. Condițiile la limită sunt condițiile de interacțiune a suprafețelor corpurilor cu mediul sau cu alte corpuri. Există mai multe tipuri de condiții la limită. În condiții la limită de primul fel (GU1), se presupune că legea distribuției temperaturii pe suprafețele limită ale corpului este cunoscută. . Să fie, de exemplu, necesar să se determine câmpul de temperatură din interiorul unei piese sau unealte. Este destul de dificil să faceți acest lucru experimental fără a distruge obiectul de măsurare, dar este mult mai ușor să măsurați experimental temperatura pe suprafața unei piese, unealte sau alt corp solid, acest lucru se poate face fără a deteriora obiectul. Dacă cunoaștem GU1 sub forma legii distribuției temperaturii pe suprafețele corpului, atunci, prin rezolvarea ecuației diferențiale a conducției căldurii, putem calcula câmpul de temperatură din interiorul piesei, sculei etc. Un caz special al GU1 este condiția a izotermității suprafețelor corpului, adică .

Condițiile la limită de al doilea fel (BC2) prevăd că legea de distribuție a densității fluxului de căldură este cunoscută trecând prin suprafeţele de limită. Într-un caz anume. Aceasta înseamnă că suprafața luată în considerare nu schimbă căldură cu mediul, adică este adiabatică. Atunci când se efectuează calcule termice legate de subsisteme tehnologice, în multe cazuri, cu suficientă precizie pentru practică, se poate neglija schimbul de căldură al unei anumite suprafețe (sau al secțiunii acesteia) cu mediul, adică se acceptă, ceea ce simplifică calculul.

Condițiile limită de al treilea fel (GUZ) sunt utilizate atunci când schimbul de căldură dintre suprafață și mediu nu poate fi neglijat. În acest caz, temperatura mediului cu care corpul dat este în contact și așa-numitul coeficient de transfer de căldură, W / (m 2 × ° C), care caracterizează transferul de căldură între mediu și suprafață, trebuie să fie dat.

Conform legii Newton-Richmann, densitatea fluxului de căldură este proporțională cu diferența de temperatură dintre suprafață și mediul său, adică.

Formula (2.1) face posibilă determinarea cantității de căldură , W / m 2, care pe unitatea de timp de la o suprafață unitară este descărcată în mediu. După cum rezultă din legea Fourier, un flux este furnizat la suprafața corpului

Prin urmare,

sau . (2.2)

Expresia (2.2) este o descriere matematică a condițiilor la limită de al treilea fel.

Condițiile limită de al patrulea fel (BC4) apar atunci când corpul solid considerat este în contact fără goluri cu un alt corp solid și are loc schimbul de căldură între ele. Această variantă a condițiilor la limită este destul de comună în fizica termică a proceselor tehnologice. De exemplu, la prelucrarea prin presiune, detaliile ștampilei sunt în contact aproape fără întreruperi cu piesa de prelucrat; la tăierea metalului, suprafața sculei în anumite zone este în contact cu așchiile și piesa de prelucrat. În condiții de limită de al patrulea fel, când contactul dintre corpuri este ideal, temperatura în orice punct al suprafeței de contact, atât din partea unuia cât și din partea celuilalt corp, este aceeași, adică.

Pentru a simplifica calculele, în loc de egalitatea temperaturilor în fiecare punct de contact, egalitatea temperaturilor medii pe suprafața de contact este adesea luată ca GU4, adică, în loc de formula (2.3), presupunem

Condițiile limită de al patrulea fel sunt utilizate în rezolvarea problemelor de echilibru, adică în analiza distribuției căldurii între corpurile în contact. După ce s-a distribuit căldura generată pe suprafața de contact între corpurile de contact și s-a calculat densitatea fluxului de căldură în fiecare dintre corpuri, se folosesc condițiile limită de al doilea fel.

Încheind luarea în considerare a problemei condițiilor la limită, observăm că diferite secțiuni ale corpurilor reale pot avea condiții la limită diferite. Luați în considerare, de exemplu, procesul de șlefuire a suprafeței unei piese de prelucrat cu fața de capăt a unei roți cupe (vezi Fig. 2.5). Dacă se rezolvă problema distribuției căldurii de măcinare între roată și piesa de prelucrat, atunci în raport cu piesa de prelucrat avem următoarele condiții limită: GU3 - pe suprafața de contact cu lichidul; GU2 - pe suprafața de contact cu un cerc, unde se cunoaște densitatea fluxului de căldură, și la capătul piesei de prelucrat, care poate fi considerată adiabatică dacă transferul său de căldură în aer este neglijat; GU4 - pe suprafața unde piesa de prelucrat este în contact cu masa magnetică a mașinii.