Rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite. Metoda Picard Metoda Picard de aproximări succesive

Această metodă este un reprezentant al clasei de metode aproximative

Ideea metodei este extrem de simplă și se rezumă la o procedură

aproximări pentru rezolvarea ecuaţiei integrale, la care

este dată ecuația diferențială inițială.

Să se stabilească problema Cauchy

,

Integram ecuatia scrisa

. (5.2)

Procedura de aproximări succesive ale metodei Picard este implementată conform următoarei scheme

, (5.3)

Exemplu . Rezolvați ecuația Picard

,

Rezolvarea acestei ecuații nu este exprimată în termeni de funcții elementare.

,

Se poate observa că pentru , seria converge rapid. Metoda este convenabilă dacă integralele pot fi luate analitic.

Să demonstrăm convergența metodei Picard. Lasă în unele limitate

regiunea, partea dreaptă este continuă și, în plus, satisface condiția Lipschitz față de variabilă, i.e.

unde este o constantă.

Datorită delimitării regiunii, inegalităților

Scădem formula (5.2) din (5.3), obținem pentru modulele din dreapta și din stânga

,

.

În final, folosind condiția de continuitate Lipschitz, obținem

, (5.4)

unde este eroarea soluției aproximative.

Aplicarea succesivă a formulei (5.4) la oferă următorul lanț de relații, ținând cont de faptul că

,

,

.

Deoarece , atunci noi avem

.

Înlocuind cu formula Stirling, obținem în final o estimare pentru eroarea soluției aproximative

. (5.5)

Din (5.4) rezultă că pentru modulul de eroare, i.e.

soluția aproximativă converge uniform către cea exactă.

5.2.2. Metode Runge-Kutta

Aceste metode sunt numerice.

În practică, sunt utilizate metodele Runge-Kutta, oferind post-

scheme de diferențe de roi (metode) de diverse ordine de precizie. Cel mai

scheme (metode) comune de ordinul doi și al patrulea. Noi și ei

luați în considerare mai jos.

Să introducem mai întâi câteva noțiuni și definiții. plasă pe

segmentul este un set fix de puncte ale acestui segment.

Funcția definită în aceste puncte se numește funcție grilă.

Coordonatele punctelor satisfac condițiile

Punctele sunt nodurile grilei. O grilă uniformă este un set de puncte

, ,

unde este distanța dintre grile.

La hotărâre ecuatii diferentiale metoda aproximativă este problema principală a convergenței. Așa cum este aplicat metodelor de diferență, conceptul de convergență pentru este în mod tradițional mai comun. Să notăm valorile funcției grilei ca fiind valorile soluției exacte a ecuației diferențiale (5.1) la nodul - (sunt valori aproximative). Convergența înseamnă următoarele. Fixăm un punct și construim un set de grile în așa fel încât (în care). Atunci se consideră că metoda numerică converge într-un punct dacă

la ,. Metoda converge pe un segment dacă acesta converge în fiecare punct. Se spune că o metodă are ordinul al treilea al preciziei dacă un număr poate fi găsit astfel încât la.

În continuare, introducem conceptul de eroare reziduală sau de aproximare a unei ecuații diferențiale care înlocuiește o ecuație diferențială dată pe soluția ecuației originale, adică, discrepanța este rezultatul înlocuirii soluției exacte a ecuației (5.1) în ecuația diferențelor. De exemplu, (5.1) poate fi înlocuită cu următoarea ecuație de diferență simplă

, .

Apoi discrepanța este determinată de următoarea expresie

.

Soluția aproximativă nu coincide, în general, cu , deci discrepanța în al-lea punct nu este egală cu zero. Se introduce următoarea definiție: metoda numerică aproximează ecuația diferențială inițială dacă , și are ordinul al treilea de precizie dacă .

Se demonstrează că ordinea acurateței metodei numerice de rezolvare a unei ecuații diferențiale coincide cu ordinea aproximării în ipoteze destul de generale.

Acum să trecem la analiza schemelor Runge-Kutta. Să ne întoarcem mai întâi la

scheme de ordinul doi de precizie.

Folosind formula Taylor, rezolvarea ecuației diferențiale

(5.1) poate fi reprezentat ca

, (5.6)

unde este indicat, ,.

Rețineți că conform (5.1) ,.

derivat după cum urmează

,

unde sunt cantități necunoscute. Lăsa

Să notăm valoarea aproximativă a soluției la nodul cu numărul prin (această soluție va fi obținută după ce restrângem seria la termeni cu un ordin nu mai mare decât al doilea).

Parametrii introduși aici urmează a fi determinați.

Extindem partea dreaptă într-o serie Taylor și aducem termeni similari, obținem

rand pe rand

Condiția pentru alegerea parametrilor și stabilim proximitatea expresiei

relația (5.7) cu seria (5.6), apoi

, ,.

Un parametru rămâne liber. Să fie atunci

, ,

iar în final din (5.7), ținând cont de relațiile găsite pentru și

Relația (5.8) descrie o familie cu un parametru de formule Runge-Kutta cu doi termeni.

În literatura de specialitate, se dovedește că dacă este continuă și mărginită împreună cu derivatele sale secundare, atunci soluția aproximativă a schemei (5.8) converge uniform către soluția exactă cu o eroare. , adică schema (5.8) are al doilea ordin de precizie.

În practica calculelor, formulele (5.8) sunt utilizate pentru valorile parametrului ,.

Din (5.8) deducem

Aplicarea formulei (5.9) se reduce la următoarea secvență de pași:

1. Valoarea funcției este calculată aproximativ (conform schemei cu linii întrerupte)

2. Se determină panta curbei integrale în punctul ().

3. Se găsește valoarea medie a derivatei funcției la pas

4. Valoarea funcției este calculată la nodul ()-al-lea

Această schemă are o denumire specială „predictor-corector”.

Conform (5.8), obținem

Problema este rezolvată prin următorii pași:

1. Se calculează valoarea funcției la jumătatea nodului

.

2. Se determină valoarea derivatei la nod

.

3. Valoarea funcției se găsește în nodul ()-al-lea

În plus față de schemele cu doi termeni considerate mai sus, schemele Runge-Kutta de ordinul al patrulea de precizie sunt utilizate pe scară largă în practica calculelor. Formulele corespunzătoare sunt date mai jos fără derivare.

(5.10)

Schemele cu un număr mare de membri practic nu sunt utilizate. Cinci-

formulele membre oferă al patrulea ordin de precizie, formulele cu șase termeni au ordinul al șaselea, dar forma lor este foarte complicată.

Erorile schemelor Runge-Kutta de mai sus sunt determinate de maxim

valorile derivatelor corespunzătoare.

Este ușor de obținut o estimare a erorilor pentru cazul special al dreptului

părți ale unei ecuații diferențiale

.

În acest caz, soluția ecuației poate fi redusă la cuadratura și

toate schemele de soluții ale diferențelor sunt convertite în formule de integrare numerică

rătăcire. De exemplu, schema (5.9) ia forma

,

adică are forma formulei trapezoidale, iar schema (5.10) trece în schemă

care este formula lui Simpson cu pasul .

Estimările de eroare majoră pentru formulele trapezoid și Simpson sunt cunoscute (vezi Secțiunea 3.2). Din (3.4) și (3.5) se poate observa că acuratețea schemelor Runge-Kutta este destul de mare.

Alegerea uneia sau alteia dintre schemele de mai sus pentru rezolvarea unei probleme specifice

dacha este determinată de următoarele considerații. Dacă funcția în

partea dreaptă a ecuației este continuă și mărginită, precum și continuă și

derivatele sale a patra sunt limitate, atunci se obține cel mai bun rezultat

la utilizarea schemei (5.10). În cazul în care funcţia

nu are derivatele de mai sus, de ordinul limitativ (al patrulea).

schema (5.10) nu poate fi realizată și se dovedește a fi oportună

folosind scheme mai simple.

Pe lângă schemele Runge-Kutta, metodele în mai multe etape prezintă un interes practic, care pot fi descrise prin următorul sistem de ecuații

Unde , a - coeficienți numerici, ,.

Conform acestei ecuații, calculul începe cu . În acest caz, obținem o relație de formă

acestea. pentru a începe să numărați trebuie să aveți valori inițiale. Aceste valori trebuie calculate printr-o altă metodă, de exemplu, metoda Runge-Kutta.

Dintre metodele cu mai multe etape, cea mai comună este metoda Adams, a cărei schemă de implementare rezultă din (5.11) cu si pentru :

.

Pentru , metoda Adams se dovedește a fi explicită, în timp ce pentru , este implicită.

Scopul lucrării: să formeze înțelegerea studenților cu privire la aplicarea telecomenzii în diverse domenii; pentru a insufla capacitatea de a rezolva problema Cauchy pentru telecomanda la" = f(X,y) pe segmentul [ A, b] pentru o condiție inițială dată la 0 = f(X 0) metodele Picard, Euler, Runge-Kutta, Adams; dezvolta abilitatile de verificare a rezultatelor obtinute cu ajutorul programelor aplicative.

metoda Picard

Exemplul 5.1.

: la h= 0,1 prin metoda Picard cu un pas h.

În raport, prezentați: progresul lucrării, programul - funcția, eroarea, o ilustrare grafică a soluției.

Soluţie.

1. Introduceți datele (Fig. 5.1)

A= 1,7 b= 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3 i = 0..n

Fig.5.1. Setarea datelor inițiale

2. Setăm o funcție care returnează valorile primei derivate în raport cu variabila la(fig.5.2).

f deriva( y) =

Fig.5.2. O funcție care returnează valoarea primei derivate a unei funcții

3. Compuneți o funcție care returnează soluția DE prin metoda

Picard. Aici: f- funcția originală; f deriv –

Derivată a unei funcții în raport cu la; A,b- capete ale segmentului; h- Etapa; la 0 –

valoarea initiala a variabilei la.

4. Aflați soluția DE prin metoda Picard (Fig. 5.3).

fnPikan(fn, fn derivă, a, b, h, y0)=

Orez. 5.3. Specificarea unei funcții care returnează o soluție la DE

Metoda Picard (fișier fnPikar.mcd)

fnPikar(f, f derivă, a, b, 0,1, y0) =

Orez. 5.4. Găsirea unei soluții numerice a DE prin metoda Picard

Metoda Euler și modificările acesteia

Exemplul 5.2.

la(1.7) = 5.3 și pasul de integrare h= 0,1 prin metoda Euler și metoda Euler îmbunătățită cu pași hȘi h/2.

Soluţie.

Cursul rezolvării problemei prin metoda Euler este prezentat în Fig. 5,5 - 5,7.

a = 1,7 b = 2,7 y0 = 5,3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05

Fig5.5. Fragment de foaie de lucru Mathcad cu soluție

ecuații prin metoda Euler cu un pas hȘi h/2 și grafică

vizualizarea metodei Euler.

1. Să creăm un program care implementează metoda Euler (Fig.

Fig.5.6. Lista de programe care implementează metoda Euler

2. Obținem soluția DE prin metoda Euler (Fig. 5.7.).

ES h = eyler(f, a, b, h, y0)

ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)

Orez. 5.7. Găsirea unei soluții numerice a DE prin metoda Euler

Notă

Compuneți singur funcția returnând soluția DE prin metoda Euler îmbunătățită.

Orez. 5.8. Decizia telecomenzii printr-o metodă îmbunătățită

Euler cu trepte hȘi h/2

5.3. Metoda Runge-Kutta

În practică, metoda Runge-Kutta de ordinul al patrulea este cel mai des folosită.

Exemplul 5.3.

Rezolvați problema Cauchy pentru DE pe un segment pentru un NU dat la(1.7) = 5.3 și pasul de integrare h= 0,1 prin metoda Runge-Kutta de ordinul al patrulea cu un pas hși 2 h.

În raport, prezentați: progresul lucrării, programul, funcția, eroarea, o ilustrare grafică a soluției și o estimare a erorii de aproximare.

Soluţie.

1. Introduceți datele sarcinii (Fig. 5.9).

A = 1,7 b = 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3

i= 0..n

Fig.5.9. Setarea datelor inițiale

2. Să compunem o funcție care returnează soluția DE de ordinul întâi prin metoda Runge-Kutta. Aici: fn – funcţie dată; A, b- capete ale segmentului; h- Etapa; y 0 este valoarea inițială a funcției.

3. Să găsim soluția DE de ordinul întâi folosind funcțiile încorporate ale Mathcad (Fig. 5.10).

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)

Orez. 5.10. Listarea unei funcții care returnează o valoare numerică

Soluție DE prin metoda Runge–Kutta

metoda Adams

Exemplul 5.4.

Rezolvați problema Cauchy pentru DE pe un segment pentru un NU dat la(1.7) = 5.3 și pasul de integrare h= 0,1 metoda Adams cu pas h.

În raport, trimiteți: un cont manual, un program - o funcție, o eroare, o ilustrare grafică a soluției și o estimare a erorii de aproximare.

Soluţie.

1. Găsiți primele patru numere folosind formula Runge-Kutta (Fig. 5.11).

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i

Orez. 5.11. Calculul primelor patru valori ale soluției numerice folosind formula Runge-Kutta

2. Să compunem o funcție care implementează metoda Adams (Fig. 2.10.3). Aici A, b- capete ale segmentului; y 1 – valoarea inițială a funcției; h- Etapa.

Orez. 5.12. O funcție care returnează o soluție numerică

Metoda DE de Adams

3. O ilustrare grafică a soluției DE prin diferite metode este prezentată în fig. 5.13.

Orez. 5.13. Vizualizarea soluției DE prin diferite metode

Întrebări înrudite

1. Ce înseamnă să rezolvi problema Cauchy pentru un DE de ordinul întâi?

2. Interpretarea grafică a soluției numerice a DE.

3. Care sunt metodele de rezolvare a DE în funcție de

forma de solutie?

4. Care este esența principiului compresivului

cartografii?

5. Formula recursiva a metodei Picard.

6. Care este esența metodei Euler întrerupte?

7. Aplicație, ce formule vă permite să obțineți valori

funcția dorită folosind metoda Euler?

8. Interpretarea grafică a metodei Euler și

metoda Euler îmbunătățită. Care este diferența lor?

9. Care este esența metodei Runge-Kutta?

10. Cum să determinați numărul de cifre corecte dintr-un număr,

care este soluția DE prin metoda Euler,

metoda îmbunătățită a lui Euler, Picard, Runge–

Misiunea pentru lucru de laborator nr. 5

Sarcina 5.1.

Rezolvați problema Cauchy pentru DE y’ = f(X, y) pe segmentul [ A, b] la un NU dat la(A) = Cuși etapa de integrare h(parametrii inițiali sunt dați în Tabelul 2.10.1):

1) metoda Euler și metoda Euler îmbunătățită cu un pas hȘi h/2;

2) prin metoda Runge–Kutta cu un pas hși 2 h;

3) metoda Adams;

4) prin metoda Picard.

Soluția trebuie să conțină: progresul lucrării, programul metodei, soluția grafică a ecuației și estimarea erorii de aproximare. În numere, lăsați 5 cifre după virgulă.

Tabelul 5.1. Opțiuni pentru sarcini de finalizat muncă independentă

№	f( X, y)	[A, b]	y 0	h
	3X 2 + 0,1hu		la(0) = 0,2	0,1
	0,185(X 2 + cos(0,7 X)) + 1,843y		la(0,2) = 0,25	0,1
			la(1,6) = 4,6	0,1
			la(0,2) = 1,1	0,1
			la(1,4) = 2,5	0,1
			la(1,7) = 5,3	0,1
			la(2,6) = 3,5	0,2
			la(2) = 2,3	0,1
	1,6 + 0,5y2		la(0) = 0,3	0,1
			la(1,8) = 2,6	0,1
			la(2,1) = 2,5	0,1
	e 2X + 0,25y 2		la(0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	la(-2) = 3	0,1
	0,133 ( x2+ păcat(2 X)) + 0,872y		la(0,2) = 0,25	0,1
	păcat( X + y) +1,5		la(1,5) = 4,5	0,1
			la(0,4) = 0,8	0,1
	2,5X+ cos( y + 0,6)		la(1) = 1,5	0,2
	cos(1,5 y +X) 2 + 1,4		la(1) = 1,5	0,1
			la(1,5) = 2,1	0,05
	cos y + 3X		la(0) = 1,3	0,1
	cos(1,5 X – y 2) – 1,3	[-1; 1]	la(-1) = 0,2	0,2
			la(1,6) = 4,6	0,1
	e -(y – 1) + 2X		la(0) = 0,3	0,05
	1 + 2y păcat X – y 2		la(1) = 0	0,1
			la(0) = 0	0,1
	0,166(X 2 + sin(1,1 X)) + 0,883y		la(0,2) = 0,25	0,1
			la(1,7) = 5,6	0,1
			la(1,4) = 2,5	0,1
			la(0,6) = 0,8	0,1
			la(1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8y păcat X - 2y 2		la(0) = 0	0,1
			la(0,5) = 1,8	0,1
			la(1,2) = 1,8	0,1
	1 + 2,2 sin X + 1,5y 2		la(0) = 0	0,1
			la(0) = 0	0,1
			la(0) = 0	0,1
			la(0) = 0	0,1
	0,2X 2 + y 2		la(0) = 0,8	0,1
	X 2+y		la(0) = 0,4	0,1
	X y + 0,1y 2		la(0) = 0,5	0,1

Literatură

Literatura principală:

Alekseev G.V., Voronenko B.A., Lukin N.I. Metode matematice în

Ingineria alimentară: manual. - Sankt Petersburg: „Lan”, 2012. - 212 p.

Alekseev G.V. Metode matematice în inginerie: Metoda de studiu. indemnizatie. - Sankt Petersburg: NRU ITMO; IHiBT. 2012. - 39 p.

Alekseev G.V., Kholiavin I.I. Modelare și optimizare numerică economică și matematică: tutorial pentru universități, GIEFPT, 2011, 211 p.

Makarov E.G. Mathcad: Curs de pregatire. - Sankt Petersburg: Peter, 2009. - 384 p.

literatură suplimentară:

Porshnev S.V., Belenkova I.V. Metode numerice bazate pe Mathcad. -

Sankt Petersburg: BHV-Petersburg, 2005. - 464 p.

Agapiev B.D., Belov V.N., Kesamanly F.P., Kozlovsky V.V., Markov S.I. Prelucrarea datelor experimentale: Proc. indemnizație / SPbGTU. SPb., 2001.

Gorelova G.V. Teoria probabilității și statistici matematiceîn exemple și sarcini folosind Excel. - M.: Phoenix, 2005. - 476 p.

Adler Yu.P., Markov E.V., Granovsky Yu.V. Planificarea unui experiment în căutarea condițiilor optime.-M .: Nauka, 1976

Asaturyan V.I. Teoria planificării experimentelor.-M .: Radio și comunicare, 1983

Brodsky V.Z. Introducere în planificarea factorială a experimentului - M .: Nauka, 1976

Demidenko E.Z. Regresia liniară și neliniară.-M.: Finanțe și statistică, 1981

Krasovsky G.I., Filaretov G.F. Planificarea experimentului.-Minsk: BGU, 1982

Markova E.V., Lisenkov A.N. Planuri combinatorii în sarcinile unui experiment multifactorial - M .: Nauka, 1979

Frolkis V.A. Optimizare liniară și neliniară.-Sankt Petersburg. 2001. 306 p.

Kuritsky B.Ya. Căutați soluții optime folosind Excel 7.0.-St. Petersburg: BHV, 1997, 384c

software și resurse de internet:

http://www.open-mechanics.com/journals - Procese și aparate de producție alimentară

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Mecanica fluidelor și gazelor, hidraulice și mașini hidraulice

http://elibrary.ru/defaultx.asp - științific bibliotecă digitală bibliotecă

Introducere

1.Lucrări de laborator#1: Teoria aproximării

1.1. Erori absolute și relative

1.2. Eroare de rotunjire

1.3. Erori aritmetice

1.4. Erori ale funcţiilor elementare

1.5. Calea frontierelor

1.6. Problema inversă a teoriei erorilor

1.7. Întrebări înrudite

1.8. Sarcini pentru munca de laborator Nr. 1

2. Lucrări de laborator Nr. 2: Metode numerice de soluţionare

ecuații scalare

1.1. metoda acordurilor

1.2. Metoda tangentei

1.3. Metodă simplă de iterație

1.4. Întrebări înrudite

1.5. Sarcini pentru munca de laborator Nr.2

3. Lucrare de laborator Nr. 3: Metode numerice de rezolvare a sistemelor

ecuații neliniare

3.1. metoda lui Newton

3.2. Întrebări înrudite

3.3. Misiunea pentru lucru de laborator nr. 3

4. Laboratorul #4: Integrare numerică

4.1. Metoda dreptunghiului

4.2. Metoda Simpson

4.3. Metoda trapezoidală

4 .4. Metoda Monte Carlo

4.5. Întrebări înrudite

4.6. Misiunea pentru lucru de laborator nr. 4

5. Laboratorul #5: Rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite

5.1. metoda Picard

5.2. Metoda Euler și modificările acesteia

5.3. Metoda Runge-Kutta

Reamintim binecunoscutele teoreme Picard și Peano privind existența și unicitatea unei soluții la o problemă dată (problema Cauchy).

Teorema PEANO afirmă că o soluție la problema Cauchy există în vreo vecinătate a punctului X o dacă funcția f(x,Y) este continuă în vecinătatea punctului (X 0 ,Y 0).

Teorema PICARD spune că dacă nu numai funcția f (x, Y), ci și derivata ei parțială f "y (x, Y) este și continuă în vecinătatea punctului (X 0, Y 0), atunci soluția a problemei Cauchy este unică pe un anumit segment, care conține punctul X 0 .

Dovada teoremei lui Picard rezultă din principiu general contractarea cartografiilor, nu este usoara, dar are un avantaj semnificativ – este constructiva. Mai mult decât atât, șirul de funcții Y n (x), care este construit în ea, converge către soluția uniform pe segmentul cu viteza unei progresii geometrice. În metoda Picard, succesiunea de funcții Y n (x) este construită după formula recursivă:

Pentru n= 0,1,2,...,

iar aproximarea zero este constanta Y 0: Y 0 (х)ºY 0 .

Pentru a înțelege originea acestei formule recurente, observăm că ecuația integrală

este echivalentă cu problema Cauchy inițială, deoarece orice funcție Y (x), care este soluția sa, satisface condiția inițială Y (X o) \u003d Y o și ecuația Y "(x) \u003d f (x, Y ( x)) și invers.

Întrebare: De ce este cu adevărat așa?

Exemplul 4.1 Să folosim metoda Picard pentru a rezolva ecuația Y"=Y cu condiția inițială Y(0)=1. Această problemă este echivalentă cu găsirea unei soluții la ecuația integrală Y=1+òY(t)dt.

Ca o aproximare inițială, luăm funcția Y o =1.

Atunci Y 1 =1+òY o (t)dt= 1+òdt= 1+x.

Y 3 = 1+òY 2 (t)dt= 1+ò(1+t+t 2/2)dt= 1+x+x 2/2+x 3/6.

Vă puteți asigura că Y n = 1+х+x 2 /2+ ... +x n /n!.

Exercițiul 4.1 Demonstrați riguros ultima egalitate folosind principiul inducției matematice.

Exercițiul 4.2 În exemplul 4.1, găsiți soluția exactă Y(X) și estimați rata de convergență uniformă Y n (x) -> Y(X) pe segmentul .

În general, metodele aproximative pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite pot fi împărțite în 3 tipuri:

· analitic, permițând obținerea unei soluții aproximative Y(x) sub forma unei formule,

· grafic, făcând posibilă aproximarea graficului soluției Y(x), adică. curba integrala,

· numeric, în urma căruia se obține un tabel de valori aproximative ale funcției Y(x),

deşi o astfel de împărţire este oarecum arbitrară.

Pe lângă metoda Picard, metodele analitice includ și

metoda de extindere a funcției necunoscute Y(x) într-o serie,

pe care acum ne vom concentra.

Să scriem expansiunea formală a lui Y(X) într-o serie Taylor în punctul a:

Această egalitate include derivatele funcției necunoscute Y(X) în punctul a, totuși, în acest punct, folosind condițiile problemei, putem găsi succesiv orice număr de derivate și obținem aproximarea necesară a soluției. . ÎN vedere generala arată astfel: Y o (a)=Y(a)= Y o; Y "(a) \u003d f (a, Y (a)) \u003d f (a, Y o)

Diferențiând ecuația dată nouă față de X, obținem

Y "" (X) \u003d f " x (x, Y (x)) + f" y (x, Y (x)) * Y "(x), de unde Y "" (a) \u003d f " x (a ,Yo)+f" y (a,Yo)*f(a,Yo).

În mod similar, obținem valorile derivatelor a treia și ulterioare la punctul a - diferențiem de numărul necesar de ori ecuația inițială și înlocuim valorile derivatelor obținute mai devreme la punctul a.

Exemplul 4.2 Să scriem primii termeni ai expansiunii într-o serie a funcției Y(x) care satisface ecuația Y "=2xY și condiția inițială Y(0)=1.

Y"""(x)=2 Y"(x)+2 Y"(x)+2x*Y""(x)= 4Y"(x)+2xY""(x), de unde Y"""( 0)=0.

Y (4) (x)=4Y""(x)+2xY"""(x), de unde Y (4) (0)=6.

Obținem o soluție aproximativă Y(x)»1+x 2 +0.5x 4 .

Exercițiul 4.3 Folosind formula Leibniz pentru a găsi derivata n-a a produsului funcțiilor, scrieți expansiunea funcției căutate în Exemplul 4.2 într-o serie Taylor.

Exercițiul 4.4 Aflați soluția exactă din Exemplul 4.2 și evaluați calitatea aproximării din Exemplul 4.2 pe intervalul [-0.5,0.5].

Metodele descrise mai sus nu sunt adesea folosite în practică, deoarece în metoda Picard la fiecare pas este necesar să se calculeze integrala, ceea ce complică calculele și înrăutățește acuratețea, iar în metoda de extindere a seriei este extrem de dificilă formalizarea procesului. de a găsi derivate în orice limbă ordin înalt, iar pentru un număr mic de termeni de expansiune această metodă oferă o bună aproximare numai în apropierea punctului a.

Printre GRAFICI ia în considerare

Metoda Picard Picard Charles Emile (1856-1941) matematician francez.

Această metodă permite obținerea unei soluții aproximative a ecuației diferențiale (1) sub forma unei funcții prezentate analitic.

Fie, în condițiile teoremei existenței, se cere să se găsească o soluție la ecuația (1) cu condiția inițială (2). Să integrăm părțile din stânga și din dreapta ecuației (1) în limitele de la până la:

Rezolvarea ecuației integrale (9) va satisface ecuația diferențială (1) și condiția inițială (2). Într-adevăr, la , obținem:

În același timp, ecuația integrală (9) face posibilă aplicarea metodei aproximărilor succesive. Vom considera partea dreaptă a formulei (9) ca un operator care mapează orice funcție (din clasa de funcții pentru care există integrala inclusă în (9)) într-o altă funcție din aceeași clasă:

Dacă acest operator este contractiv (ceea ce decurge din condiția teoremei lui Picard), atunci este posibil să se construiască o succesiune de aproximări convergente către soluția exactă. Pe măsură ce se ia aproximarea inițială și se găsește prima aproximare

Integrala din partea dreaptă conține doar variabila x; după găsirea acestei integrale se va obține o expresie analitică pentru aproximarea în funcție de variabila x. În continuare, înlocuim y în partea dreaptă a ecuației (9) cu valoarea găsită și obținem a doua aproximare

etc. În cazul general, formula iterativă are forma

(n=1, 2…) (10)

Aplicarea ciclică a formulei (10) oferă succesiunea funcțiilor

convergând către soluția ecuației integrale (9) (și, în consecință, a ecuației diferențiale (1) cu condiții inițiale (2)). Aceasta înseamnă și că al k-lea termen secvența (11) este o aproximare a soluției exacte a ecuației (1) cu un anumit grad de precizie controlat.

Rețineți că atunci când se utilizează metoda aproximărilor succesive, analiticitatea părții drepte a ecuației diferențiale nu este necesară, astfel încât această metodă poate fi utilizată și în cazurile în care extinderea soluției ecuației diferențiale într-o serie de puteri este imposibilă.

Eroare Picard

Estimarea erorii pentru aproximația a k-a este dată de formula

unde y(x) este soluția exactă, este constanta Lipschitz din inegalitatea (4).

În practică, metoda Picard este folosită foarte rar. Unul dintre motive este că integralele care trebuie calculate la construirea aproximărilor succesive nu sunt cel mai adesea găsite analitic, iar utilizarea lor pentru a calcula metode numerice complică atât de mult soluția încât devine mult mai convenabil să se aplice direct alte metode care sunt inițial numeric.

Exemple de rezolvare a unei probleme în Maple

Sarcina 1: Folosind metoda aproximărilor succesive, găsiți valoarea, unde este soluția ecuației diferențiale: îndeplinirea condiției inițiale, pe segment, făcând un pas (calculați la a doua aproximare).

Dat: - ecuație diferențială

Condiția inițială

Interval

Găsi: sens

Soluţie:

> y1:=simplificare(1+int(x+1, x=0…x));

> y2:= simplifica (1+int (x+simplifica (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Găsiți valoarea la x=0,5:

Sarcina #2: Folosind metoda aproximărilor succesive, găsiți o soluție aproximativă a ecuației diferențiale pentru care satisface condiția inițială.

Dat: - ecuație diferențială

Condiția inițială

Găsi: sens

Soluţie:

Vom găsi o soluție aproximativă a acestui DE pe un segment cu o treaptă (aleasă arbitrar).

Să scriem pentru acest caz o formulă de forma (10)

> y1:=simplificare(1+int(x*1, x=0…x));

>y2:=simplificare (1+int (x*simplificare (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

În mod similar, găsim a treia aproximare:

>y3:=simplificare (1+int (x*simplificare (1+int (x*simplificare (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0… X));

Să găsim o soluție aproximativă a acestui DE la, pentru aceasta, în a treia aproximare în loc de x, înlocuiți și obțineți:

Să comparăm rezultatul aproximativ obținut cu soluția exactă a ecuației diferențiale:

Conform rezultatelor tabelului, se poate observa că eroarea de calcul este foarte mică.

Vom lua în considerare o ecuație diferențială obișnuită (ODE) de ordinul întâi

cu starea initiala

y(x 0) \u003d y 0, (2)

unde f(x) este o funcție dată, în cazul general, neliniară a două variabile. Vom presupune că pentru o problemă dată (1)-(2), numită problemă inițială sau problema Cauchy, sunt îndeplinite cerințele care asigură existența și unicitatea pe segmentul [x 0 ,b] a soluției sale y=y (X).

În ciuda simplității exterioare a ecuației (1), rezolvați-o analitic, i.e. găsi decizie comună y \u003d y (x, C) pentru a selecta apoi din ea curba integrală y \u003d y (x) care trece printr-un punct dat (x 0; y 0), este posibil doar pentru unele tipuri speciale astfel de ecuații. Prin urmare, ca și în problema calculării integralelor legate de (1)-(2), trebuie să ne bazăm pe metode aproximative pentru rezolvarea problemelor inițiale pentru EDO, care pot fi împărțite în trei grupuri:

1) metode analitice aproximative;

2) metode grafice sau computer-grafice;

3) metode numerice.

Metodele primului grup le includ pe cele care permit să se găsească imediat o aproximare a soluției y(x) sub forma unei funcții „bune” φ (X). De exemplu, binecunoscutul metoda seriei de putere, una dintre implementările cărora se bazează pe reprezentarea funcției dorite y(x) de către un segment din seria Taylor, unde coeficienții Taylor care conțin derivate de ordin superior se găsesc prin diferențierea succesivă a ecuației (1) însăși. Un alt reprezentant al acestui grup de metode este metoda aproximărilor succesive, a cărei esență este prezentată mai jos.

Nume metode grafice vorbește despre o reprezentare aproximativă a soluției dorite y(x) pe interval sub formă de grafic, care poate fi construită după anumite reguli legate de interpretarea grafică a acestei probleme. Interpretarea fizică sau, poate, ar fi mai corect să spunem, a problemelor inițiale pentru anumite tipuri de ecuații stă la baza metodelor grafice computerizate de soluție aproximativă. Realizând procesele electrice date la nivel fizic și tehnic, pe ecranul osciloscopului se observă comportamentul soluțiilor ecuațiilor diferențiale care descriu aceste procese. Modificarea parametrilor ecuației duce la o modificare adecvată a comportamentului soluțiilor, care stă la baza calculatoarelor analogice specializate (ACM).

În sfârșit, cele mai semnificative în prezent, caracterizate prin dezvoltarea și pătrunderea rapidă în toate sferele activității umane a calculului digital, sunt metodele numerice de rezolvare a ecuațiilor diferențiale, care presupun obținerea unui tabel numeric cu valorile aproximative y i ale soluției dorite y (x) pe o anumită grilă
valorile argumentului x. Aceste metode vor face obiectul următoarei discuții. Ce să faceți cu valorile numerice rezultate ale soluției depinde de formularea aplicată a problemei. Dacă vorbim despre găsirea doar a valorii lui y(b), atunci punctul b este inclus ca punct final în sistemul de puncte calculate x i și toate valorile aproximative y i ≈y(x i), cu excepția ultimei unul, participă doar ca intermediari, adică. nu necesită memorare sau prelucrare. Dacă trebuie să aveți o soluție aproximativă y(x) în orice punct x, atunci la tabelul numeric rezultat de valori y i puteți aplica oricare dintre metodele de aproximare a funcțiilor tabelului discutate mai devreme, de exemplu, interpolarea sau interpolarea spline . Sunt posibile și alte utilizări ale datelor numerice despre soluție.

Să atingem o metodă analitică aproximativă pentru rezolvarea problemei inițiale (1)-(2), în care soluția dorită y \u003d y (x) într-o vecinătate dreaptă a punctului x 0 este limita șirului de funcţiile y n (x) obţinute într-un anumit mod.

Integram părțile din stânga și dreapta ale ecuației (1) în limitele de la x 0 la x:

Prin urmare, ținând cont de faptul că una dintre antiderivatele pentru y"(x) este y(x), obținem

sau, folosind condiția inițială (2),

(3)

Astfel, această ecuație diferențială (1) cu condiția inițială (2) a fost transformată într-o ecuație integrală (aici, funcția necunoscută intră sub semnul integral).

Ecuația integrală rezultată (3) are forma unei probleme de punct fix pentru operator
Formal, metoda iterațiilor simple poate fi aplicată acestei probleme

considerat suficient de detaliat în raport cu sistemele de ecuaţii algebrice şi transcendentale liniare şi neliniare. Luând ca funcție inițială y 0 (x) constanta y 0 specificată în (2), conform formulei (4) la n=0 găsim prima aproximare

Înlocuirea lui în (4) cu n=1 dă a doua aproximare

etc. Astfel, această metodă aproximativ-analitică, numită metoda aproximărilor succesive sau metoda Picard, este definită prin formula

(5)

unde n=0,1, 2,... și y 0 (x)=y 0 .

Remarcăm două caracteristici ale metodei lui Picard de aproximări succesive, care pot fi clasificate drept negative. În primul rând, din cauza problemelor bine-cunoscute cu găsirea eficientă a antiderivatelor, metoda (5) este rareori implementată în forma sa pură. În al doilea rând, după cum se poate observa din afirmația de mai sus, această metodă ar trebui considerată locală, potrivită pentru aproximarea soluției într-o mică vecinătate dreaptă a punctului inițial. Metoda lui Picard este mai importantă pentru a demonstra existența și unicitatea unei soluții la problema Cauchy decât pentru a o găsi în practică.

Lecția numărul 17. Metode Euler.

țintă - pentru a familiariza elevii cu metodele lui Euler de rezolvare a problemei Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale ordinare.