Rezolvarea ecuațiilor cosinus sinus. Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice”

Necesită cunoașterea formulelor de bază ale trigonometriei - suma pătratelor sinusului și cosinusului, expresia tangentei prin sinus și cosinus și altele. Pentru cei care le-au uitat sau nu le cunosc, recomandăm citirea articolului „”.
Așadar, cunoaștem formulele trigonometrice de bază, este timpul să le punem în practică. Soluţie ecuații trigonometrice cu abordarea corectă, este o activitate destul de interesantă, cum ar fi, de exemplu, rezolvarea unui cub Rubik.

Pe baza numelui în sine, este clar că o ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află sub semnul unei funcții trigonometrice.
Există așa-numitele ecuații trigonometrice simple. Iată cum arată: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Considera, cum se rezolvă astfel de ecuații trigonometrice, pentru claritate, vom folosi cercul trigonometric deja familiar.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

pat x = a

Orice ecuație trigonometrică se rezolvă în două etape: aducem ecuația la cea mai simplă formă și apoi o rezolvăm ca cea mai simplă ecuație trigonometrică.
Există 7 metode principale prin care se rezolvă ecuațiile trigonometrice.

1. Substituția variabilă și metoda substituției

Rezolvați ecuația 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Folosind formulele de reducere obținem:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Să înlocuim cos(x + /6) cu y pentru simplitate și să obținem ecuația pătratică obișnuită:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rădăcinile cărora y 1 = 1, y 2 = 1/2

Acum să mergem înapoi

Înlocuim valorile găsite ale lui y și obținem două răspunsuri:

2. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin factorizare

Cum se rezolvă ecuația sin x + cos x = 1?

Să mutăm totul la stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta:

sin x + cos x - 1 = 0

Folosim identitățile de mai sus pentru a simplifica ecuația:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Să facem factorizarea:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Obținem două ecuații

3. Reducere la o ecuație omogenă

O ecuație este omogenă față de sinus și cosinus dacă toți termenii ei față de sinus și cosinus sunt de același grad și același unghi. Pentru a rezolva o ecuație omogenă, procedați după cum urmează:

a) transferă toți membrii săi în partea stângă;

b) scoateți toți factorii comuni dintre paranteze;

c) egalează toți factorii și parantezele cu 0;

d) primite între paranteze ecuație omogenăîntr-un grad mai mic, acesta, la rândul său, este împărțit într-un sinus sau cosinus într-un grad superior;

e) rezolvați ecuația rezultată pentru tg.

Rezolvați ecuația 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Să folosim formula sin 2 x + cos 2 x = 1 și scăpați de cele două deschise din dreapta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Împărțiți la cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Înlocuim tg x cu y și obținem o ecuație pătratică:

y 2 + 4y +3 = 0 ale căror rădăcini sunt y 1 =1, y 2 = 3

De aici găsim două soluții la ecuația inițială:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Rezolvarea ecuațiilor, prin trecerea la jumătate de unghi

Rezolvați ecuația 3sin x - 5cos x = 7

Să trecem la x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Mutând totul la stânga:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Împărțire la cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introducerea unui unghi auxiliar

Pentru a lua în considerare, să luăm o ecuație de forma: a sin x + b cos x \u003d c,

unde a, b, c sunt niște coeficienți arbitrari și x este o necunoscută.

Împărțiți ambele părți ale ecuației la:



Acum coeficienții ecuației, conform formulelor trigonometrice, au proprietățile sin și cos și anume: modulul lor nu este mai mare de 1 și suma pătratelor = 1. Să-i notăm respectiv cos și sin, unde este așa-numitul unghi auxiliar. Atunci ecuația va lua forma:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

sau sin(x + ) = C

Soluția la această ecuație trigonometrică simplă este

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, unde



Trebuie remarcat faptul că denumirile cos și sin sunt interschimbabile.

Rezolvați ecuația sin 3x - cos 3x = 1

În această ecuație, coeficienții sunt:

a \u003d, b \u003d -1, deci împărțim ambele părți la \u003d 2

Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt de obicei rezolvate prin formule. Permiteți-mi să vă reamintesc că următoarele ecuații trigonometrice sunt numite cele mai simple:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x este unghiul care trebuie găsit,
a este orice număr.

Și iată formulele cu care puteți nota imediat soluțiile acestor ecuații simple.

Pentru sinusuri:

Pentru cosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pentru tangentă:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Pentru cotangentă:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

De fapt, aceasta este partea teoretică a rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice. Și, întregul!) Nimic. Cu toate acestea, numărul de erori pe acest subiect doar trece. Mai ales, cu o ușoară abatere a exemplului de la șablon. De ce?

Da, pentru că mulți oameni notează aceste scrisori, fără să le înțelegem deloc sensul! Cu teamă, el scrie, indiferent cum s-ar întâmpla ceva...) Acest lucru trebuie rezolvat. Trigonometrie pentru oameni sau oameni pentru trigonometrie, până la urmă!?)

Să ne dăm seama?

Un unghi va fi egal cu arccos a, al doilea: -arccos a.

Și așa va funcționa întotdeauna. Pentru orice A.

Dacă nu mă credeți, treceți mouse-ul peste imagine sau atingeți imaginea de pe tabletă.) Am schimbat numărul A la unele negative. Oricum, avem un colț arccos a, al doilea: -arccos a.

Prin urmare, răspunsul poate fi întotdeauna scris ca două serii de rădăcini:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Combinăm aceste două serii într-una singură:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Și toate lucrurile. Am obținut o formulă generală pentru rezolvarea celei mai simple ecuații trigonometrice cu cosinus.

Dacă înțelegi că acesta nu este un fel de înțelepciune super-științifică, dar doar o înregistrare prescurtată a două serii de răspunsuri, tu și sarcinile „C” vor fi pe umăr. Cu inegalități, cu selecția rădăcinilor dintr-un interval dat... Acolo, răspunsul cu plus/minus nu se rostogolește. Și dacă tratezi răspunsul în mod business și îl împărți în două răspunsuri separate, totul este decis.) De fapt, pentru asta înțelegem. Ce, cum și unde.

În cea mai simplă ecuație trigonometrică

sinx = a

obține, de asemenea, două serii de rădăcini. Mereu. Și aceste două serii pot fi și înregistrate o linie. Doar această linie va fi mai inteligentă:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Dar esența rămâne aceeași. Matematicienii au construit pur și simplu o formulă pentru a face una în loc de două înregistrări de serii de rădăcini. Si asta e!

Să verificăm matematicienii? Și asta nu este suficient...)

În lecția anterioară, soluția (fără formule) a ecuației trigonometrice cu sinus a fost analizată în detaliu:

Răspunsul s-a dovedit a fi două serii de rădăcini:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Dacă rezolvăm aceeași ecuație folosind formula, obținem răspunsul:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

De fapt, acesta este un răspuns pe jumătate terminat.) Studentul trebuie să știe asta arcsin 0,5 = π /6. Răspunsul complet ar fi:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Aici apare o întrebare interesantă. Răspunde prin x 1; x 2 (acesta este răspunsul corect!) și prin cei singuri X (și acesta este răspunsul corect!) - același lucru, sau nu? Să aflăm acum.)

Înlocuiește ca răspuns cu x 1 valorile n =0; 1; 2; etc., considerăm, obținem o serie de rădăcini:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 și așa mai departe.

Cu aceeași înlocuire ca răspuns la x 2 , primim:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 și așa mai departe.

Și acum înlocuim valorile n (0; 1; 2; 3; 4...) în formula generală pentru cei singuri X . Adică construim minus unu în grad zero, apoi la primul, al doilea și așa mai departe. Și, desigur, substituim 0 în al doilea termen; 1; 2 3; 4 etc. Și ne gândim. Primim o serie:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 și așa mai departe.

Atât se vede.) Formula generală ne oferă exact aceleasi rezultate care sunt cele două răspunsuri separat. Toate deodată, în ordine. Matematicienii nu au înșelat.)

Pot fi verificate și formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu tangentă și cotangentă. Dar să nu facem.) Sunt atât de nepretențioși.

Toată această înlocuire și verificare am pictat intenționat. Este important să înțelegeți un lucru simplu aici: există formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice elementare, doar un rezumat al răspunsurilor. Pentru această concizie, a trebuit să introduc plus/minus în soluția de cosinus și (-1) n în soluția de sinus.

Aceste inserții nu interferează în niciun fel în sarcinile în care trebuie doar să scrieți răspunsul la o ecuație elementară. Dar dacă trebuie să rezolvați o inegalitate sau atunci trebuie să faceți ceva cu răspunsul: selectați rădăcini pe un interval, verificați ODZ etc., aceste inserții pot deranja cu ușurință o persoană.

Si ce sa fac? Da, fie pictați răspunsul în două serii, fie rezolvați ecuația / inegalitatea într-un cerc trigonometric. Apoi aceste inserții dispar și viața devine mai ușoară.)

Puteți rezuma.

Pentru a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice, există formule de răspuns gata făcute. Patru piese. Sunt bune pentru a scrie instantaneu soluția unei ecuații. De exemplu, trebuie să rezolvați ecuațiile:

sinx = 0,3

Uşor: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nici o problemă: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Uşor: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

A mai ramas una: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Dacă tu, strălucind de cunoștințe, scrii instantaneu răspunsul:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

atunci deja străluciți, asta... aceea... dintr-o băltoacă.) Răspunsul corect este: nu exista solutii. Nu inteleg de ce? Citiți ce este un arccosin. În plus, dacă în partea dreaptă a ecuației inițiale există valori tabelare de sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 și așa mai departe. - răspunsul prin arcade va fi neterminat. Arcurile trebuie convertite în radiani.

Și dacă deja întâlniți o inegalitate, cum ar fi

atunci raspunsul este:

x πn, n ∈ Z

există o prostie rară, da ...) Aici este necesar să se decidă asupra unui cerc trigonometric. Ce vom face în subiectul corespunzător.

Pentru cei care citesc eroic până la aceste rânduri. Pur și simplu nu pot să nu apreciez eforturile tale titanice. tu un bonus.)

Primă:

Când scriu formule într-o situație de luptă anxioasă, chiar și tocilarii înrăiți devin adesea confuzi unde pn, Si unde 2πn. Iată un truc simplu pentru tine. În toate formule pn. Cu excepția singurei formule cu arc cosinus. Stă acolo 2πn. Două pien. Cuvânt cheie - Două.În aceeași formulă unică sunt Două semnează la început. Plus și minus. Aici si acolo - Două.

Deci daca ai scris Două semn în fața arcului cosinus, este mai ușor să ne amintim ce se va întâmpla la sfârșit Două pien. Și invers se întâmplă. Sari peste semnul bărbatului ± , ajunge la final, scrie corect Două pien, da, și prinde-l. Înainte de ceva Două semn! Persoana se va întoarce la început, dar va corecta greșeala! Ca aceasta.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt ecuațiile

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

Ecuația cos(x) = a

Explicație și raționament

1. Rădăcinile ecuației cosx = a. Când | a | > 1 ecuația nu are rădăcini deoarece | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 sau la a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Să | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Pe interval, funcția y = cos x scade de la 1 la -1. Dar o funcție descrescătoare ia fiecare dintre valorile sale doar într-un punct al domeniului său de definiție, prin urmare, ecuația cos x \u003d a are o singură rădăcină pe acest interval, care, prin definiția arccosinusului, este: x 1 \u003d arccos a (și pentru această rădăcină cos x \u003d a).

Cosinusul este o funcție pară, deci pe intervalul [-n; 0] ecuația cos x = și are, de asemenea, o singură rădăcină - numărul opus x 1, adică

x 2 = -arccos a.

Astfel, pe intervalul [-n; n] (lungimea 2n) ecuația cos x = a pentru | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funcția y = cos x este periodică cu o perioadă de 2n, deci toate celelalte rădăcini diferă de cele găsite prin 2np (n € Z). Obținem următoarea formulă pentru rădăcinile ecuației cos x = a când

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. Cazuri particulare de rezolvare a ecuației cosx = a.

Este util să ne amintim notația specială pentru rădăcinile ecuației cos x = a când

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, care poate fi obținut cu ușurință folosind cercul unității ca ghid.

Deoarece cosinusul este egal cu abscisa punctului corespunzător din cercul unitar, obținem că cos x = 0 dacă și numai dacă punctul corespunzător din cercul unitar este punctul A sau punctul B.

În mod similar, cos x = 1 dacă și numai dacă punctul corespunzător al cercului unitar este punctul C, prin urmare,

x = 2πp, k € Z.

De asemenea, cos x \u003d -1 dacă și numai dacă punctul corespunzător al cercului unitar este punctul D, deci x \u003d n + 2n,

Ecuația sin(x) = a

Explicație și raționament

1. Rădăcinile ecuației sinx = a. Când | a | > 1 ecuația nu are rădăcini deoarece | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 sau la a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru un succes promovarea examenului la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide solutii, capcane si secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Ecuații trigonometrice .

Cele mai simple ecuații trigonometrice .

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Ecuații trigonometrice. O ecuație care conține o necunoscută sub semnul funcției trigonometrice se numește trigonometric.

Cele mai simple ecuații trigonometrice.

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Rezolvarea ecuației trigonometrice constă în două etape: transformarea ecuației să fie simplu tip (vezi mai sus) și soluţieobtinut cel mai simplu ecuație trigonometrică. Sunt șapte metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

1. Metoda algebrică. Această metodă ne este bine cunoscută din algebră

(metoda de substituție și substituție variabilă).

2. Factorizarea. Să ne uităm la această metodă cu exemple.

EXEMPLU 1. Rezolvați ecuația: păcat X+ cos X = 1 .

Soluție. Mută ​​toți termenii ecuației la stânga:

Păcat X+ cos X – 1 = 0 ,

Să transformăm și să factorizăm expresia în

Partea stângă a ecuației:

Exemplul 2. Rezolvați ecuația: cos 2 X+ păcat X cos X = 1.

SOLUȚIA cos 2 X+ păcat X cos X– păcatul 2 X– cos 2 X = 0 ,

Păcat X cos X– păcatul 2 X = 0 ,

Păcat X(cos X– păcat X ) = 0 ,

Exemplul 3. Rezolvați ecuația: cos 2 X– cos 8 X+ cos 6 X = 1.

SOLUȚIA cos 2 X+ cos 6 X= 1 + cos8 X,

2 cos 4 X cos 2 X= 2 cos² 4 X ,

Cos 4 X · (cos 2 X– cos 4 X) = 0 ,

Cos 4 X 2 păcatul 3 X păcat X = 0 ,

1). cos 4 X= 0, 2). păcatul 3 X= 0, 3). păcat X = 0 ,

4. Tranziție la jumătatea colțului. Să ne uităm la această metodă cu un exemplu:

EXEMPLU Rezolvați ecuația: 3 păcat X– 5cos X = 7.

Rezolvare: 6 sin ( X/ 2) cos( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =

7 sin² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 sin² ( X/ 2) – 6 sin ( X/ 2) cos ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

bronz² ( X/ 2) – 3 bronz ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Introducerea unui unghi auxiliar. Luați în considerare o ecuație de formă:

A păcat X + b cos X = c ,

Unde A, b, c– coeficienți;X- necunoscut.

Acum coeficienții ecuației au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume: modul (valoare absolută) al fiecăruia