Cum se rezolvă sisteme omogene de ecuații liniare. Sisteme omogene de ecuații. Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare

Filiala Kaluga a instituției de învățământ profesional superior bugetar de stat federal

Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după N.E. Bauman"

(KF MSTU numit după N.E. Bauman)

Vlaikov N.D.

Soluție de SLAE omogen

Ghid pentru efectuarea exercițiilor

pe cursul geometriei analitice

Kaluga 2011

Obiectivele lecției pagina 4

Planul lecției pagina 4

Informații teoretice necesare p.5

Partea practică p.10

Controlul dezvoltării materialului acoperit p.13

Tema pentru acasă pagina 14

Numar de ore: 2

Obiectivele lecției:

Sistematizarea cunoștințelor teoretice primite despre tipurile de SLAE și modalitățile de rezolvare a acestora.

Obțineți abilități în rezolvarea SLAE-urilor omogene.

Planul lecției:

Prezentați pe scurt materialul teoretic.

Rezolvați un SLAE omogen.

Găsiți un sistem fundamental de soluții pentru un SLAE omogen.

Găsiți o soluție specială a SLAE omogen.

Formulați un algoritm pentru rezolvarea unui SLAE omogen.

Verificați temele actuale.

Efectuați lucrări de verificare.

Introduceți subiectul următorului seminar.

Trimiteți temele curente.

Informații teoretice necesare.

Rangul matricei.

Def. Rangul unei matrice este numărul care este egal cu ordinea maximă dintre minorii săi diferit de zero. Rangul unei matrice este notat cu .

Dacă o matrice pătrată este nedegenerată, atunci rangul este egal cu ordinea ei. Dacă o matrice pătrată este degenerată, atunci rangul ei este mai mic decât ordinul său.

Rangul unei matrici diagonale este egal cu numărul elementelor sale diagonale nenule.

Theor. Când o matrice este transpusă, rangul ei nu se schimbă, adică
.

Theor. Rangul unei matrice nu se modifică în cazul transformărilor elementare ale rândurilor și coloanelor sale.

Teorema minoră a bazei.

Def. Minor
matrici se numește de bază dacă sunt îndeplinite două condiții:

a) nu este egal cu zero;

b) ordinea sa este egală cu rangul matricei .

Matrice poate avea mai mulți minori de bază.

Rânduri și coloane ale unei matrice , în care se află minorul de bază ales, se numesc de bază.

Theor. Teorema minoră a bazei. Rândurile (coloanele) de bază ale unei matrice corespunzând oricăruia dintre minorele sale de bază
, sunt liniar independente. Orice rând (coloane) ale unei matrice , neinclus în
, sunt combinații liniare de rânduri de bază (coloane).

Theor. Pentru orice matrice, rangul său este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente.

Calculul rangului matricei. Metoda transformărilor elementare.

Cu ajutorul transformărilor elementare de rând, orice matrice poate fi redusă la o formă în trepte. Rangul unei matrice pas este egal cu numărul de rânduri diferite de zero. Elementul de bază din acesta este minorul situat la intersecția rândurilor non-nule cu coloane corespunzătoare primelor elemente non-nule din stânga în fiecare dintre rânduri.

SLAU. Definiții de bază.

Def. Sistem

(15.1)

Numerele se numesc coeficienţi SLAE. Numerele
se numesc termeni liberi ai ecuațiilor.

Înregistrarea SLAE în forma (15.1) se numește coordonate.

Def. Se spune că un SLAE este omogen dacă
. În caz contrar, se numește eterogen.

Def. Soluția SLAE este un astfel de set de valori de necunoscute, la înlocuirea cărora fiecare ecuație a sistemului se transformă într-o identitate. Orice soluție SLAE specifică este numită și soluția sa particulară.

Rezolvarea SLAE înseamnă rezolvarea a două probleme:

Aflați dacă SLAE are soluții;

Găsiți toate soluțiile dacă există.

Def. Un SLAE se numește articulație dacă are cel puțin o soluție. Altfel, se numește inconsecventă.

Def. Dacă SLAE (15.1) are o soluție și, în plus, unică, atunci se numește definită, iar dacă soluția nu este unică, atunci nedefinită.

Def. Dacă în ecuația (15.1)
,SLAE se numește pătrat.

Forme de înregistrare SLAU.

Pe lângă forma de coordonate (15.1), înregistrările SLAE folosesc adesea alte reprezentări ale acesteia.

(15.2)

Raportul se numește forma vectorială a SLAE.

Dacă luăm ca bază produsul matricelor, atunci SLAE (15.1) poate fi scris după cum urmează:

(15.3)

sau
.

Înregistrarea SLAE (15.1) în forma (15.3) se numește matrice.

SLAE omogen.

sistem omogen
ecuații algebrice liniare cu necunoscut este un sistem de formă

SLAE-urile omogene sunt întotdeauna consecvente, deoarece există întotdeauna o soluție zero.

Criteriul pentru existența unei soluții nenule. Pentru ca un SLAE pătrat omogen să aibă o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca matricea sa să fie degenerată.

Theor. Dacă coloane
,
, …,
sunt soluții ale unui SLAE omogen, atunci orice combinație liniară a acestora este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.

Consecinţă. Dacă un SLAE omogen are o soluție diferită de zero, atunci are un număr infinit de soluții.

Este firesc să încerci să găsești astfel de soluții
,
, …,
sisteme astfel încât orice altă soluție să poată fi reprezentată ca o combinație liniară a acestora și, în plus, într-un mod unic.

Def. Orice set de
coloane liniar independente
,
, …,
, care sunt soluții ale SLAE omogen
, Unde este numărul de necunoscute și este rangul matricei sale , se numește sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE omogen.

În studiul și soluționarea sistemelor omogene de ecuații liniare în matricea sistemului, vom fixa minorul de bază. Baza minoră va corespunde coloanelor de bază și, prin urmare, necunoscutelor de bază. Necunoscutele rămase vor fi numite gratuite.

Theor. Despre structura soluției generale a unui SLAE omogen. Dacă
,
, …,
- un sistem fundamental arbitrar de soluții ale unui SLAE omogen
, atunci oricare dintre soluțiile sale poate fi reprezentată sub formă

Unde , …,- unele constante.

Acea. soluţia generală a SLAE omogenă are forma

Partea practică.

Luați în considerare posibilele seturi de soluții pentru următoarele tipuri de SLAE și interpretarea lor grafică.

;
;
.

Luați în considerare posibilitatea de a rezolva aceste sisteme folosind formulele lui Cramer și metoda matricei.

Descrieți esența metodei Gauss.

Rezolvați următoarele sarcini.

Exemplul 1. Rezolvați un SLAE omogen. Găsiți FSR.

Să notăm matricea sistemului și să o reducem la o formă în trepte.

sistemul va avea o infinitate de solutii. FSR va consta din
coloane.

Să renunțăm la liniile zero și să scriem din nou sistemul:

Vom lua în considerare statul minor de bază în colțul din stânga sus. Acea.
sunt necunoscutele de bază și
- gratuit. Expres
prin gratuit
:

;

Sa punem
.

În sfârșit avem:

- forma coordonată a răspunsului, sau

- forma matriceală a răspunsului, sau

- forma vectoriala a raspunsului (vector - coloanele sunt coloanele FSR).

Algoritm pentru rezolvarea unui SLAE omogen.

Găsiți FSR și soluția generală a următoarelor sisteme:

№2.225(4.39)

. Răspuns:

№2.223(2.37)

. Răspuns:

№2.227(2.41)

. Răspuns:

Rezolvați SLAE omogen:

. Răspuns:

Rezolvați SLAE omogen:

. Răspuns:

Prezentarea subiectului următorului seminar.

Rezolvarea sistemelor de nu liniare ecuații omogene.

Urmărirea dezvoltării materialului acoperit.

Test de lucru 3 - 5 minute. 4 elevi cu numere impare în revistă participă, începând cu #10

Executați acțiuni:

;
;

Executați acțiuni:

Calculați determinantul:

Executați acțiuni:

nedefinit

Executați acțiuni:

Găsiți inversul matricei unuia dat:

Calculați determinantul:

Teme pentru acasă:

1. Rezolvați probleme:

№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.

2. Pregătiți prelegeri pe teme:

Sisteme de ecuații algebrice liniare (SLAE). Notație de coordonate, matrice și vectorială. Criteriul Kronecker - compatibilitate Capelli SLAE. SLAE neomogen. Criteriul pentru existența unei soluții nenule a unui SLAE omogen. Proprietățile soluțiilor unui SLAE omogen. Sistem fundamental de soluții ale unui SLAE omogen, o teoremă asupra existenței sale. Sistem fundamental normal de soluții. Teoremă privind structura soluției generale a unui SLAE omogen. Teoremă privind structura soluției generale a SLAE neomogen.

Considera sistem omogen m ecuații liniare cu n variabile:

(15)

Sistemul de ecuații liniare omogene este întotdeauna compatibil, deoarece are întotdeauna o soluție zero (trivială) (0,0,…,0).

Dacă în sistemul (15) m=n și , atunci sistemul are doar o soluție zero, care rezultă din teoremă și din formulele lui Cramer.

Teorema 1. Sistemul omogen (15) are o soluție netrivială dacă și numai dacă rangul matricei sale mai mic decât numărul variabile, adică . r(A)< n.

Dovada. Existența unei soluții non-triviale a sistemului (15) este echivalentă cu dependența liniară a coloanelor matricei sistemului (adică există astfel de numere x 1 , x 2 ,...,x n , nu toate egale cu zero, care egalități ( 15) sunt valabile).

Conform teoremei minore de bază, coloanele unei matrice sunt dependente liniar , când nu toate coloanele acestei matrice sunt de bază, adică.  când ordinul r al bazei minore a matricei este mai mic decât numărul n al coloanelor sale. Ch.t.d.

Consecinţă. Un sistem omogen pătrat are soluții netriviale  când |A|=0.

Teorema 2. Dacă coloanele x (1), x (2), ..., x (s) ale soluției sistemului omogen AX=0, atunci orice combinație liniară a acestora este de asemenea o soluție pentru acest sistem.

Dovada. Luați în considerare orice combinație de soluții:

Apoi AX=A()===0. h.t.d.

Consecința 1. Dacă un sistem omogen are o soluție netrivială, atunci are infinite de soluții.

Acea. este necesar să se găsească astfel de soluții x (1), x (2), ..., x (s) ale sistemului Ax = 0, astfel încât orice altă soluție a acestui sistem să poată fi reprezentată ca o combinație liniară a acestora și , de altfel, într-un mod unic.

Definiție. Sistemul k=n-r (n este numărul de necunoscute din sistem, r=rg A) al soluțiilor liniar independente x (1) ,x (2) ,…,x (k) ale sistemului Ax=0 se numește sistem fundamental de decizie acest sistem.

Teorema 3. Să fie dat un sistem omogen Ax=0 cu n necunoscute și r=rg A. Atunci există o mulțime de k=n-r soluții x (1) ,x (2) ,…,x (k) ale acestui sistem care formează sistem fundamental de soluții.

Dovada. Fără pierderea generalității, putem presupune că baza minoră a matricei A este situată în colțul din stânga sus. Apoi, după teorema minoră a bazei, rândurile rămase ale matricei A sunt combinații liniare ale rândurilor de bază. Aceasta înseamnă că dacă valorile x 1 ,x 2 ,…,x n satisfac primele r ecuații, adică. ecuații corespunzătoare rândurilor minorului de bază), apoi satisfac și alte ecuații. Prin urmare, setul de soluții al sistemului nu se va schimba dacă toate ecuațiile care încep de la (r + 1)-a sunt aruncate. Obținem sistemul:

Să mutăm necunoscutele libere x r +1, x r +2 ,…,x n în partea dreaptă și să lăsăm pe cele de bază x 1 , x 2 ,…, x r în partea stângă:

(16)

Deoarece în acest caz, toate b i =0, apoi în loc de formule

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), obținem:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Dacă necunoscutele libere х r +1 ,х r +2 ,…,x n sunt setate la valori arbitrare, atunci față de necunoscutele de bază obținem un SLAE pătrat cu o matrice nesingulară care are o soluție unică. Astfel, orice soluție a unui SLAE omogen este determinată în mod unic de valorile necunoscutelor libere х r +1 ,х r +2 ,…,x n . Luați în considerare următoarea serie k=n-r de valori ale necunoscutelor libere:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Numărul seriei este indicat printr-un superscript între paranteze, iar seria de valori este scrisă în coloane. În fiecare serie =1 dacă i=j și =0 dacă ij.

I-a serie de valori ale necunoscutelor libere corespund în mod unic cu valorile,,..., ale necunoscutelor de bază. Valorile necunoscutelor libere și de bază împreună oferă soluții sistemului (17).

Să arătăm că coloanele e i =,i=1,2,…,k (18)

formează un sistem fundamental de soluții.

Deoarece aceste stâlpi prin construcție sunt soluții ale sistemului omogen Ax=0 și numărul lor este egal cu k, atunci rămâne de demonstrat independența liniară a soluțiilor (16). Să existe o combinație liniară de soluții e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), egal cu coloana zero:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+ k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Atunci partea stângă a acestei egalități este o coloană ale cărei componente cu numere r+1,r+2,…,n sunt egale cu zero. Dar componenta (r+1)-a este egală cu  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . În mod similar, (r+2)-a componentă este egală cu  2 ,…, a k-a componentă este egală cu  k . Prin urmare  1 =  2 = …= k =0, ceea ce înseamnă independența liniară a soluțiilor e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Sistemul fundamental construit de soluții (18) se numește normal. În virtutea formulei (13), are următoarea formă:

(20)

Consecința 2. Lăsa e 1 , e 2 ,…, e k-sistem fundamental normal de soluții ale unui sistem omogen, atunci mulțimea tuturor soluțiilor poate fi descrisă prin formula:

x=c 1 e 1 + de la 2 e 2 +…+с k e k (21)

unde с 1 ,с 2 ,…,с k – iau valori arbitrare.

Dovada. După teorema 2, coloana (19) este o soluție a sistemului omogen Ax=0. Rămâne de demonstrat că orice soluție a acestui sistem poate fi reprezentată sub forma (17). Luați în considerare o coloană X=y r +1 e 1 +…+yn e k. Această coloană coincide cu coloana y în ceea ce privește elementele cu numere r+1,…,n și este soluția pentru (16). Prin urmare coloanele XȘi la meci, pentru că soluțiile sistemului (16) sunt determinate în mod unic de setul de valori ale necunoscutelor sale libere x r +1 ,…,x n , și coloanele laȘi X aceste seturi se potrivesc. Prin urmare, la=X= y r +1 e 1 +…+yn e k, adică soluţie la este combinație liniară coloane e 1 ,…,y n FSR normal. Ch.t.d.

Afirmația dovedită este adevărată nu numai pentru FSR normal, ci și pentru un FSR arbitrar al unui SLAE omogen.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - decizie comună sisteme de ecuaţii liniare omogene

Unde Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r este orice sistem fundamental de soluții,

c 1 ,c 2 ,…,с n - r sunt numere arbitrare.

Exemplu. (pag. 78)

Să stabilim o legătură între soluțiile SLAE neomogen (1) și SLAE omogen corespunzătoare (15)

Teorema 4. Suma oricărei soluții a unui sistem neomogen (1) și a sistemului omogen corespunzător (15) este o soluție a sistemului (1).

Dovada. Dacă c 1 ,…,c n este o soluție a sistemului (1), iar d 1 ,…,d n este o soluție a sistemului (15), atunci înlocuind în orice (de exemplu, i-a) ecuație a sistemului (1) în locul numerelor necunoscute c 1 +d 1 ,…,c n +d n , obținem:

B i +0=b i

Teorema 5. Diferența de doi decizii arbitrare a sistemului neomogen (1) este o soluție a sistemului omogen (15).

Dovada. Dacă c 1 ,…,c n și c 1 ,…,c n sunt soluții ale sistemului (1), atunci înlocuind în orice (de exemplu, i-a) ecuație a sistemului (1) în loc de necunoscut numerele c 1 -с 1 ,…,c n -с n , obținem:

B i -b i \u003d 0 h.t.d.

Din teoremele demonstrate rezultă că soluția generală a unui sistem de m ecuații liniare omogene cu n variabile este egală cu suma soluției generale a sistemului corespunzător de ecuații liniare omogene (15) și un număr arbitrar de soluții particulare ale acestui sistem (15).

X neod. =X total unu +X frecvent mai mult de o (22)

Ca o soluție particulară a unui sistem neomogen, este firesc să luăm soluția acestuia, care se obține dacă în formulele c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) egale cu zero toate numerele c r +1 ,…,c n , i.e.

Х 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Adăugând această soluție particulară la soluția generală X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r sistem omogen corespunzător, obținem:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+С n - r X n - r (24)

Să considerăm un sistem de două ecuații cu două variabile:

în care cel puţin unul dintre coeficienţi aij 0.

Pentru a rezolva, excludem x 2 înmulțind prima ecuație cu a 22, iar a doua cu (-a 12) și adunându-le: Eliminați x 1 înmulțind prima ecuație cu (-a 21), iar a doua cu a 11 si adaugandu-le: Exprimarea între paranteze – determinant

Denotand ,, atunci sistemul va lua forma:, adică dacă, atunci sistemul are o soluție unică:,.

Dacă Δ=0, a (sau), atunci sistemul este inconsecvent, deoarece se reduce la forma Dacă Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, atunci sistemul este incert, deoarece adus în minte

Sisteme omogene de ecuații algebrice liniare

În cadrul lecțiilor metoda GaussȘi Sisteme/sisteme incompatibile cu o soluție comună am luat în considerare sisteme neomogene de ecuaţii liniare, Unde membru liber(care este de obicei în dreapta) cel puțin unul a ecuațiilor a fost diferită de zero.
Și acum, după o bună încălzire cu rangul matricei, vom continua să lustruim tehnica transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Conform primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și obișnuit, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea în continuare a tehnicilor, vor exista o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.

Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?

Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toata lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:

Este destul de clar că sistemul omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, așa-zisul banal soluţie . Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă bespontovoe. Nu din punct de vedere academic, desigur, dar inteligibil =) ... De ce să batem în jurul tufișului, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:

Exemplul 1

Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să se scrie matricea sistemului iar cu ajutorul unor transformări elementare aduc-o într-o formă în trepte. Rețineți că nu este nevoie să scrieți aici bara verticală și coloana zero a membrilor liberi - la urma urmei, orice ați face cu zerouri, acestea vor rămâne zero:

(1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -3.

(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -1.

Împărțirea celui de-al treilea rând la 3 nu are prea mult sens.

Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent , și, aplicând mișcarea inversă a metodei gaussiene, este ușor de verificat că soluția este unică.

Răspuns:

Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are singura solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(în acest caz, 3) este egal cu numărul de variabile (în acest caz, 3 buc.).

Ne încălzim și ne acordăm radioul la un val de transformări elementare:

Exemplul 2

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Din articol Cum să găsiți rangul unei matrice? amintim metoda rațională de reducere incidentală a numerelor matricei. În caz contrar, va trebui să măcelăriți pești mari și adesea mușcători. Eșantion Eșantion temă la sfârșitul lecției.

Zerourile sunt bune și convenabile, dar în practică cazul este mult mai frecvent atunci când rândurile matricei sistemului dependent liniar. Și atunci apariția unei soluții generale este inevitabilă:

Exemplul 3

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Soluţie: scriem matricea sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă de pas. Prima acțiune vizează nu numai obținerea unei singure valori, ci și reducerea numerelor din prima coloană:

(1) Al treilea rând a fost adăugat la primul rând, înmulțit cu -1. A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu -2. În stânga sus, am primit o unitate cu un „minus”, care este adesea mult mai convenabil pentru transformări ulterioare.

(2) Primele două rânduri sunt aceleași, unul dintre ele a fost eliminat. Sincer, nu a personalizat soluția - s-a întâmplat. Dacă efectuați transformări într-un șablon, atunci dependență liniară liniile aveau să apară puțin mai târziu.

(3) La a treia linie, se adaugă a doua linie, înmulțită cu 3.

(4) Semnul primei linii a fost schimbat.

Ca rezultat al transformărilor elementare, se obține un sistem echivalent:

Algoritmul funcționează exact la fel ca pentru sisteme eterogene. Variabilele „șezând pe trepte” sunt principalele, variabila care nu a primit „treptele” este liberă.

Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabilă liberă:

Răspuns: decizie comună:

Soluția banală este inclusă în formula generală și nu este necesar să o scrieți separat.

Verificarea se efectuează, de asemenea, conform schemei obișnuite: soluția generală rezultată trebuie înlocuită în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului și se obține un zero legitim pentru toate substituțiile.

Acest lucru ar putea fi încheiat în liniște, dar soluția unui sistem omogen de ecuații trebuie adesea reprezentată sub formă de vector prin utilizarea sistem fundamental de decizie. Vă rugăm să uitați temporar geometrie analitică, întrucât acum vom vorbi despre vectori în sens algebric general, pe care i-am deschis puțin într-un articol despre rangul matricei. Terminologia nu este necesară umbrirea, totul este destul de simplu.

Sisteme de ecuații liniare omogene- are forma ∑a k i x i = 0. unde m > n sau m Un sistem omogen de ecuații liniare este întotdeauna consistent, întrucât rangA = rangB . Cu siguranță are o soluție formată din zerouri, care se numește banal.

Atribuirea serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a găsi o soluție netrivială și fundamentală pentru SLAE. Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word (vezi exemplu de soluție).

Instruire. Selectați dimensiunea matricei:

Proprietăți ale sistemelor de ecuații liniare omogene

Pentru ca sistemul să aibă soluții nebanale, este necesar și suficient ca rangul matricei sale să fie mai mic decât numărul de necunoscute.

Teorema. Sistemul în cazul m=n are o soluție netrivială dacă și numai dacă determinantul acestui sistem este egal cu zero.

Teorema. Orice combinație liniară de soluții pentru un sistem este, de asemenea, o soluție pentru acel sistem.
Definiție. Mulțimea soluțiilor unui sistem de ecuații liniare omogene se numește sistem fundamental de decizie dacă această colecție constă din soluții liniar independente și orice soluție a sistemului este o combinație liniară a acestor soluții.

Teorema. Dacă rangul r al matricei sistemului este mai mic decât numărul n de necunoscute, atunci există un sistem fundamental de soluții format din soluții (n-r).

Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare omogene

Aflați rangul matricei.
Selectăm minorul de bază. Selectăm necunoscute dependente (de bază) și libere.
Tăiem acele ecuații ale sistemului ai căror coeficienți nu au fost incluși în minorul de bază, deoarece sunt consecințe ale restului (conform teoremei minorului de bază).
Termenii ecuațiilor care conțin necunoscute libere vor fi transferați în partea dreaptă. Ca urmare, obținem un sistem de r ecuații cu r necunoscute, echivalent cu cel dat, al cărui determinant este diferit de zero.
Rezolvăm sistemul rezultat eliminând necunoscutele. Găsim relații care exprimă variabile dependente în termeni de cele libere.
Dacă rangul matricei nu este egal cu numărul de variabile, atunci găsim soluția fundamentală a sistemului.
În cazul rang = n, avem o soluție trivială.

Exemplu. Aflați baza sistemului de vectori (a 1 , a 2 ,...,a m), ordonați și exprimați vectorii în termeni de bază. Dacă a 1 =(0,0,1,-1) și 2 =(1,1,2,0) și 3 =(1,1,1,1) și 4 =(3,2,1 ,4) și 5 =(2,1,0,3).
Scriem matricea principală a sistemului:

Înmulțiți al treilea rând cu (-3). Să adăugăm a 4-a linie la a 3-a:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Înmulțiți al 4-lea rând cu (-2). Înmulțiți al 5-lea rând cu (3). Să adăugăm a 5-a linie la a 4-a:
Să adăugăm a doua linie la prima:
Aflați rangul matricei.
Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Prin metoda eliminării necunoscutelor, găsim o soluție non-trivială:
Am obținut relații care exprimă variabile dependente x 1, x 2, x 3 prin liber x 4, adică am găsit o soluție generală:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Un sistem omogen este întotdeauna consistent și are o soluție banală
. Pentru ca o soluție netrivială să existe, este necesar ca rangul matricei a fost mai mic decât numărul de necunoscute:

Sistem de decizie fundamental sistem omogen
numiți sistemul de soluții sub formă de vectori coloană
, care corespund temeiului canonic, i.e. bază în care constantele arbitrare
sunt setate alternativ egale cu unu, în timp ce restul sunt setate la zero.

Atunci soluția generală a sistemului omogen are forma:

Unde
sunt constante arbitrare. Cu alte cuvinte, soluția generală este o combinație liniară a sistemului fundamental de soluții.

Astfel, soluțiile de bază pot fi obținute din soluția generală dacă necunoscutelor libere li se acordă alternativ valoarea unității, presupunând că toate celelalte sunt egale cu zero.

Exemplu. Să găsim o soluție la sistem

Acceptăm , apoi obținem soluția sub forma:

Să construim acum un sistem fundamental de soluții:

Soluția generală poate fi scrisă astfel:

Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

Cu alte cuvinte, orice combinație liniară de soluții la un sistem omogen este din nou o soluție.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare a fost de interes pentru matematicieni de câteva secole. Primele rezultate au fost obținute în secolul al XVIII-lea. În 1750, G. Kramer (1704–1752) și-a publicat lucrările despre determinanții matricilor pătrate și a propus un algoritm pentru găsirea matricei inverse. În 1809, Gauss a schițat o nouă metodă de soluție cunoscută sub numele de metoda eliminării.

Metoda Gauss, sau metoda eliminării succesive a necunoscutelor, constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul de ecuații se reduce la un sistem echivalent de formă în trepte (sau triunghiulară). Astfel de sisteme vă permit să găsiți în mod constant toate necunoscutele într-o anumită ordine.

Să presupunem că în sistemul (1)
(ceea ce este întotdeauna posibil).

(1)

Înmulțind prima ecuație pe rând cu așa-numita numere potrivite

și adunând rezultatul înmulțirii cu ecuațiile corespunzătoare ale sistemului, obținem un sistem echivalent în care toate ecuațiile, cu excepția primei, nu vor avea necunoscute. X 1

(2)

Înmulțim acum a doua ecuație a sistemului (2) cu numere adecvate, presupunând că

iar adăugând-o la cele inferioare, eliminăm variabila a tuturor ecuațiilor, începând cu a treia.

Continuând acest proces, după
pașii primim:

(3)

Dacă cel puţin unul dintre numere
nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare este inconsecventă și sistemul (1) este inconsecvent. Dimpotrivă, pentru orice sistem de numere comun
sunt egale cu zero. Număr nu este altceva decât rangul matricei sistemului (1).