Metoda de variație a constantelor arbitrare. Exemple de soluții Rezolvarea ecuațiilor liniare prin metoda variației constante

Metoda de variație a unei constante arbitrare, sau metoda Lagrange, este o altă modalitate de a rezolva ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi și ecuația Bernoulli.

Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi sunt ecuații de forma y’+p(x)y=q(x). Dacă partea dreaptă este zero: y’+p(x)y=0, atunci aceasta este un liniar omogen Ecuația de ordinul 1. În consecință, ecuația cu o latură dreaptă diferită de zero, y’+p(x)y=q(x), — eterogen ecuație liniară de ordinul I.

Metoda variației constante arbitrare (metoda Lagrange) constă din următoarele:

1) Caut decizie comună ecuație omogenă y'+p(x)y=0: y=y*.

2) În soluția generală, C este considerat nu o constantă, ci o funcție a lui x: C=C(x). Găsim derivata soluției generale (y*)' și înlocuim expresia rezultată pentru y* și (y*)' în condiția inițială. Din ecuația rezultată găsim funcția С(x).

3) În soluția generală a ecuației omogene, în loc de C, înlocuim expresia găsită C (x).

Luați în considerare exemple despre metoda de variație a unei constante arbitrare. Să luăm aceleași sarcini ca în , să comparăm cursul soluției și să ne asigurăm că răspunsurile primite sunt aceleași.

1) y'=3x-y/x

Să rescriem ecuația în formă standard (spre deosebire de metoda Bernoulli, unde aveam nevoie de notație doar pentru a vedea că ecuația este liniară).

y'+y/x=3x (I). Acum mergem conform planului.

1) Rezolvăm ecuația omogenă y’+y/x=0. Aceasta este o ecuație de variabilă separabilă. Reprezentați y’=dy/dx, înlocuiți: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Înmulțim ambele părți ale ecuației cu dx și împărțim cu xy≠0: dy/y=-dx/x. Integram:

2) În soluția generală obținută a ecuației omogene, vom considera С nu o constantă, ci o funcție a lui x: С=С(x). De aici

Expresiile rezultate sunt substituite în condiția (I):

Integram ambele parti ale ecuatiei:

aici C este deja o constantă nouă.

3) În soluția generală a ecuației omogene y \u003d C / x, unde am considerat C \u003d C (x), adică y \u003d C (x) / x, în loc de C (x) înlocuim expresia găsită x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x sau y=x²+C/x. Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda Bernoulli.

Răspuns: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Aici ecuația este deja scrisă în formă standard, nu este nevoie de conversie.

1) Rezolvăm o ecuație liniară omogenă y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integram:

Pentru a obține o notație mai convenabilă, vom lua exponentul la puterea lui C ca un nou C:

Această transformare a fost efectuată pentru a face mai convenabilă găsirea derivatei.

2) În soluția generală obținută a unei ecuații liniare omogene, considerăm С nu o constantă, ci o funcție a lui x: С=С(x). În această condiție

Expresiile rezultate y și y' sunt înlocuite în condiția:

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu

Integram ambele părți ale ecuației folosind formula de integrare pe părți, obținem:

Aici C nu mai este o funcție, ci o constantă obișnuită.

3) În soluția generală a ecuației omogene

înlocuim funcția găsită С(x):

Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda Bernoulli.

Metoda de variație a unei constante arbitrare este de asemenea aplicabilă rezolvării .

y’x+y=-xy².

Aducem ecuația la vedere standard: y'+y/x=-y² (II).

1) Rezolvăm ecuația omogenă y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu dx și împărțiți cu y: dy/y=-dx/x. Acum să integrăm:

Inlocuim expresiile obtinute in conditia (II):

Simplificare:

Am obținut o ecuație cu variabile separabile pentru C și x:

Aici C este deja o constantă obișnuită. În procesul de integrare, în loc de C(x), am scris pur și simplu C, pentru a nu supraîncărca notația. Și la final am revenit la C(x) pentru a nu confunda C(x) cu noul C.

3) Inlocuim functia gasita С(x) in solutia generala a ecuatiei omogene y=C(x)/x:

Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda Bernoulli.

Exemple pentru autotest:

1. Să rescriem ecuația în formă standard: y'-2y=x.

1) Rezolvăm ecuația omogenă y'-2y=0. y’=dy/dx, prin urmare dy/dx=2y, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu dx, împărțiți cu y și integrați:

De aici găsim y:

Înlocuim expresiile pentru y și y’ în condiția (pentru concizie, vom alimenta C în loc de C (x) și C’ în loc de C "(x)):

Pentru a găsi integrala din partea dreaptă, folosim formula de integrare pe părți:

Acum înlocuim u, du și v în formula:

Aici C = const.

3) Acum înlocuim în soluția omogenului

Minimum teoretic

În teoria ecuațiilor diferențiale, există o metodă care pretinde că are un grad de universalitate suficient de mare pentru această teorie.
Vorbim despre metoda de variație a unei constante arbitrare, aplicabilă rezolvării diferitelor clase de ecuații diferențiale și a acestora.
sisteme. Este exact cazul când teoria - dacă scoateți dovada afirmațiilor din paranteze - este minimă, dar vă permite să realizați
rezultate semnificative, deci accentul principal va fi pe exemple.

Ideea generală a metodei este destul de simplu de formulat. Fie ca ecuația dată (sistemul de ecuații) să fie greu de rezolvat sau chiar de neînțeles,
cum se rezolva. Cu toate acestea, se poate observa că atunci când unii termeni sunt excluși din ecuație, aceasta este rezolvată. Apoi rezolvă o astfel de simplificată
ecuație (sistem), obțineți o soluție care conține un anumit număr de constante arbitrare - în funcție de ordinea ecuației (numărul
ecuații din sistem). Apoi se presupune că constantele din soluția găsită nu sunt cu adevărat constante, soluția găsită
este substituită în ecuația (sistemul) originală, se obține o ecuație diferențială (sau un sistem de ecuații) pentru a determina „constantele”.
Există o anumită specificitate în aplicarea metodei de variație a unei constante arbitrare la diferite probleme, dar acestea sunt deja detalii care vor fi
prezentate cu exemple.

Să luăm în considerare separat soluția ecuațiilor liniare neomogene de ordin superior, i.e. ecuații ale formei
.
Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare și a soluției particulare
ecuația dată. Să presupunem că soluția generală a ecuației omogene a fost deja găsită, și anume, sistemul fundamental de soluții (FSR) a fost construit
. Atunci soluția generală a ecuației omogene este .
Este necesar să se găsească orice soluție particulară a ecuației neomogene. Pentru aceasta, constantele sunt considerate a fi dependente de variabilă.
În continuare, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații
.
Teoria garantează că acest sistem ecuații algebriceîn ceea ce privește derivatele funcțiilor, există o singură soluție.
Când se găsesc funcțiile în sine, constantele de integrare nu apar: la urma urmei, se caută orice soluție.

În cazul rezolvării sistemelor de ecuaţii liniare neomogene de ordinul întâi al formei

algoritmul rămâne aproape neschimbat. Mai întâi trebuie să găsiți FSR-ul sistemului omogen de ecuații corespunzător, să compuneți matricea fundamentală
sistem , ale cărui coloane sunt elementele FSR. În continuare, ecuația
.
Rezolvând sistemul, determinăm funcțiile, găsind astfel o soluție particulară a sistemului original
(matricea fundamentală este înmulțită cu coloana caracteristică găsită).
O adăugăm la soluția generală a sistemului corespunzător de ecuații omogene, care este construit pe baza FSR-ului deja găsit.
Se obține soluția generală a sistemului original.

Exemple.

Exemplul 1 Ecuații liniare neomogene de ordinul întâi.

Să considerăm ecuația omogenă corespunzătoare (notăm funcția necesară cu ):
.
Această ecuație este ușor de rezolvat prin separarea variabilelor:

.
Acum reprezentăm soluția ecuației inițiale în forma , unde funcția nu a fost încă găsită.
Inlocuim acest tip de solutie in ecuatia initiala:
.
După cum puteți vedea, al doilea și al treilea termen din partea stângă se anulează reciproc - asta este caracteristică metoda de variație a unei constante arbitrare.

Aici deja - într-adevăr, o constantă arbitrară. Prin urmare,
.

Exemplul 2 ecuația lui Bernoulli.

Acționăm similar cu primul exemplu - rezolvăm ecuația

metoda de separare a variabilelor. Se va dovedi , așa că căutăm soluția ecuației originale în formă
.
Inlocuim aceasta functie in ecuatia initiala:
.
Și din nou există tăieturi:
.
Aici trebuie să vă amintiți pentru a vă asigura că atunci când împărțiți, soluția nu se pierde. Și cazul corespunde cu soluția originalului
ecuații. Să ne amintim de el. Asa de,
.
Hai să scriem .
Aceasta este soluția. Când scrieți răspunsul, ar trebui să indicați și soluția găsită mai devreme, deoarece nu corespunde cu nicio valoare finală
constante .

Exemplul 3 Ecuații liniare neomogene de ordin superior.

Observăm imediat că această ecuație poate fi rezolvată mai simplu, dar este convenabil să arătăm metoda pe ea. Deși unele avantaje
metoda de variație a unei constante arbitrare o are și în acest exemplu.
Deci, trebuie să începeți cu FSR-ul ecuației omogene corespunzătoare. Amintiți-vă că, pentru a găsi FSR, caracteristica
ecuația
.
Astfel, soluția generală a ecuației omogene
.
Constantele incluse aici trebuie să fie variate. Compilarea unui sistem

Curs 44. Ecuații liniare neomogene de ordinul doi. Metoda de variație a constantelor arbitrare. Ecuații liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. (partea dreapta speciala).

Transformări sociale. Statul și Biserica.

Politica socială a bolșevicilor a fost dictată în mare măsură de abordarea lor de clasă. Printr-un decret din 10 noiembrie 1917, sistemul moșier a fost desființat, au fost desființate gradele, titlurile și premiile prerevoluționare. S-a stabilit alegerea judecătorilor; s-a realizat secularizarea statelor civile. S-a instituit educația și îngrijirea medicală gratuite (decretul din 31 octombrie 1918). Femeile au fost egalate în drepturi cu bărbații (decrete din 16 și 18 decembrie 1917). Decretul privind căsătoria a introdus instituția căsătoriei civile.

Printr-un decret al Consiliului Comisarilor Poporului din 20 ianuarie 1918, biserica a fost separată de stat și de sistemul de învățământ. Majoritatea Proprietatea bisericii a fost confiscată. Patriarhul Moscovei și al Rusiei Tihon (ales la 5 noiembrie 1917) anatemizat la 19 ianuarie 1918 puterea sovieticăși a cerut o luptă împotriva bolșevicilor.

Considerăm o ecuație liniară neomogenă de ordinul doi

Structura soluției generale a unei astfel de ecuații este determinată de următoarea teoremă:

Teorema 1. Soluția generală a ecuației neomogene (1) este reprezentată ca suma unei soluții particulare a acestei ecuații și soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare

Dovada. Trebuie să dovedim că suma

este soluția generală a ecuației (1). Să demonstrăm mai întâi că funcția (3) este o soluție a ecuației (1).

Înlocuind suma în ecuația (1) în loc de la, vom avea

Deoarece există o soluție pentru ecuația (2), expresia din primele paranteze este identic egală cu zero. Deoarece există o soluție pentru ecuația (1), expresia din a doua paranteză este egală cu f(x). Prin urmare, egalitatea (4) este o identitate. Astfel, prima parte a teoremei este demonstrată.

Să demonstrăm a doua afirmație: expresia (3) este general soluția ecuației (1). Trebuie să demonstrăm că constantele arbitrare incluse în această expresie pot fi alese astfel încât să fie îndeplinite condițiile inițiale:

oricare ar fi cifrele x 0, y 0și (dacă numai x 0 a fost preluat din zona unde funcționează a 1, a 2Și f(x) continuu).

Observând că este posibil să se reprezinte sub forma . Apoi, pe baza condițiilor (5), avem

Să rezolvăm acest sistem și să găsim De la 1Și De la 2. Să rescriem sistemul ca:

Rețineți că determinantul acestui sistem este determinantul Wronsky pentru funcții 1Și la 2 la punct x=x 0. Deoarece aceste funcții sunt liniar independente prin presupunere, determinantul Wronsky nu este egal cu zero; deci sistemul (6) are decizie hotărâtă De la 1Și De la 2, adică există astfel de valori De la 1Și De la 2, pentru care formula (3) determină soluția ecuației (1) care satisface datele condiții inițiale. Q.E.D.

Să ne întoarcem la metoda generală pentru găsirea unor soluții particulare ale unei ecuații neomogene.

Să scriem soluția generală a ecuației omogene (2)

Vom căuta o soluție particulară a ecuației neomogene (1) în forma (7), considerând De la 1Și De la 2 ca unele caracteristici încă necunoscute din X.

Să diferențiem egalitatea (7):

Selectăm funcțiile dorite De la 1Și De la 2 astfel încât egalitatea

Dacă se ia în considerare această condiție suplimentară, atunci prima derivată ia forma

Diferențiând această expresie, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem

Expresiile din primele două paranteze dispar deoarece y 1Și y2 sunt soluții ale unei ecuații omogene. Prin urmare, ultima egalitate ia forma

Astfel, funcția (7) va fi o soluție a ecuației neomogene (1) dacă funcțiile De la 1Și De la 2 satisface ecuațiile (8) și (9). Să compunem un sistem de ecuații din ecuațiile (8) și (9).

Deoarece determinantul acestui sistem este determinantul Vronsky pentru soluțiile liniar independente y 1Și y2 ecuația (2), atunci nu este egală cu zero. Prin urmare, rezolvând sistemul, vom găsi atât anumite funcții ale X:

Rezolvând acest sistem, găsim , de unde, ca urmare a integrării, obținem . În continuare, înlocuim funcțiile găsite în formula , obținem soluția generală a ecuației neomogene , unde sunt constante arbitrare.

Metoda de variație a constantelor arbitrare

Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea unei soluții la o ecuație diferențială liniară neomogenă

A n (t)z (n) (t) + A n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + A 1 (t)z"(t) + A 0 (t)z(t) = f(t)

constă în schimbarea constantelor arbitrare c kîn decizia generală

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

ecuația omogenă corespunzătoare

A n (t)z (n) (t) + A n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + A 1 (t)z"(t) + A 0 (t)z(t) = 0

la funcţiile de ajutor c k (t) , ale căror derivate satisfac sistemul algebric liniar

Determinantul sistemului (1) este Wronskianul funcțiilor z 1 ,z 2 ,...,z n , care îi asigură solvabilitatea unică în raport cu .

Dacă sunt antiderivatele luate la valori fixe ale constantelor de integrare, atunci funcția

este o soluție la ecuația diferențială neomogenă liniară inițială. Integrarea unei ecuații neomogene în prezența unei soluții generale a ecuației omogene corespunzătoare este astfel redusă la pătraturi.

Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea de soluții la un sistem de ecuații diferențiale liniare în formă normală vectorială

constă în construirea unei anumite soluţii (1) sub forma

Unde Z(t) este baza soluțiilor ecuației omogene corespunzătoare, scrisă ca matrice, și funcție vectorială, care a înlocuit vectorul constantelor arbitrare, este definit de relația . Soluția particulară dorită (cu valori inițiale zero la t = t 0 are forma

Pentru un sistem cu coeficienți constanți, ultima expresie este simplificată:

Matrice Z(t)Z− 1 (τ) numit Matricea Cauchy operator L = A(t) .

Se are în vedere o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordin superior cu coeficienți constanți prin metoda variației constantelor Lagrange. Metoda Lagrange este de asemenea aplicabilă pentru rezolvarea oricăror ecuații liniare neomogene dacă este cunoscut sistemul fundamental de soluții al ecuației omogene.

Vezi si:

Metoda Lagrange (variația constantelor)

Luați în considerare o ecuație diferențială neomogenă liniară cu coeficienți constanți de ordin al n-lea arbitrar:
(1) .
Metoda variației constante, pe care am considerat-o pentru ecuația de ordinul întâi, este aplicabilă și ecuațiilor de ordin superior.

Soluția se realizează în două etape. În prima etapă, aruncăm partea dreaptă și rezolvăm ecuația omogenă. Ca rezultat, obținem o soluție care conține n constante arbitrare. În a doua etapă, variam constantele. Adică considerăm că aceste constante sunt funcții ale variabilei independente x și găsim forma acestor funcții.

Deși aici luăm în considerare ecuații cu coeficienți constanți, dar metoda Lagrange este aplicabilă și pentru rezolvarea oricăror ecuații liniare neomogene. Pentru aceasta, însă, trebuie cunoscut sistemul fundamental de soluții al ecuației omogene.

Pasul 1. Rezolvarea ecuației omogene

Ca și în cazul ecuațiilor de ordinul întâi, căutăm mai întâi soluția generală a ecuației omogene, echivalând partea neomogenă dreaptă cu zero:
(2) .
Soluția generală a unei astfel de ecuații are forma:
(3) .
Aici sunt constante arbitrare; - n soluții liniar independente ale ecuației omogene (2), care formează sistemul fundamental de soluții al acestei ecuații.

Pasul 2. Variația constantelor - Înlocuirea constantelor cu funcții

În a doua etapă, ne vom ocupa de variația constantelor. Cu alte cuvinte, vom înlocui constantele cu funcții ale variabilei independente x :
.
Adică, căutăm o soluție la ecuația inițială (1) în următoarea formă:
(4) .

Dacă înlocuim (4) în (1), obținem o ecuație diferențială pentru n funcții. În acest caz, putem conecta aceste funcții cu ecuații suplimentare. Apoi obțineți n ecuații, din care puteți determina n funcții. Se pot face ecuații suplimentare căi diferite. Dar o vom face în așa fel încât soluția să aibă cea mai simplă formă. Pentru a face acest lucru, atunci când diferențieți, trebuie să echivalați cu zero termeni care conțin derivate ale funcțiilor. Să demonstrăm asta.

Pentru a înlocui soluția propusă (4) în ecuația inițială (1), trebuie să găsim derivatele primelor n ordine ale funcției scrise în forma (4). Diferențierea (4) prin aplicarea regulilor de diferențiere a sumei și a produsului:
.
Să grupăm membrii. Mai întâi, scriem termenii cu derivate ale lui , iar apoi termenii cu derivate ale lui:

.
Impunem prima condiție funcțiilor:
(5.1) .
Atunci expresia pentru prima derivată cu privire la va avea o formă mai simplă:
(6.1) .

În același mod, găsim derivata a doua:

.
Impunem a doua condiție funcțiilor:
(5.2) .
Apoi
(6.2) .
Și așa mai departe. În condiții suplimentare, echivalăm cu zero termenii care conțin derivatele funcțiilor.

Astfel, dacă alegem următoarele ecuații suplimentare pentru funcții:
(5.k) ,
atunci primele derivate în raport cu vor avea cea mai simplă formă:
(6.k) .
Aici .

Găsim derivata a n-a:
(6.n)
.

Inlocuim in ecuatia initiala (1):
(1) ;






.
Luăm în considerare că toate funcțiile satisfac ecuația (2):
.
Atunci suma termenilor care îi conțin dă zero. Ca rezultat, obținem:
(7) .

Ca rezultat, am obținut un sistem de ecuații liniare pentru derivate:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Rezolvând acest sistem, găsim expresii pentru derivate ca funcții ale lui x . Integrând, obținem:
.
Aici sunt constante care nu mai depind de x. Înlocuind în (4), obținem soluția generală a ecuației inițiale.

Rețineți că nu am folosit niciodată faptul că coeficienții a i sunt constanți pentru a determina valorile derivatelor. De aceea metoda Lagrange este aplicabilă pentru rezolvarea oricăror ecuații liniare neomogene, dacă este cunoscut sistemul fundamental de soluții al ecuației omogene (2).

Exemple

Rezolvați ecuații prin metoda variației constantelor (Lagrange).


Rezolvarea exemplelor >> >>