Învățăm să aducem polinoamele într-o formă standard. Factorizarea polinoamelor

Am spus că au loc atât polinoame standard, cât și nestandard. În același loc, am notat că orice polinom la forma standard. În acest articol, vom afla mai întâi ce semnificație are această expresie. În continuare, listăm pașii care vă permit să convertiți orice polinom într-o formă standard. În cele din urmă, luați în considerare soluții la exemplele tipice. Vom descrie soluțiile în detaliu pentru a face față tuturor nuanțelor care apar la aducerea polinoamelor la forma standard.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă a aduce un polinom la forma standard?

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce se înțelege prin aducerea unui polinom într-o formă standard. Să ne ocupăm de asta.

Polinoamele, ca orice alte expresii, pot fi supuse unor transformări identice. Ca urmare a unor astfel de transformări, se obțin expresii care sunt identic egale cu expresia originală. Deci efectuarea anumitor transformări cu polinoame de formă nestandard ne permite să trecem la polinoame care sunt identic egale cu acestea, dar deja scrise în formă standard. O astfel de tranziție se numește reducerea polinomului la forma standard.

Asa de, aduce polinomul la forma standard- aceasta înseamnă înlocuirea polinomului inițial cu un polinom de forma standard identic cu acesta, obținut din cel original prin efectuarea de transformări identice.

Cum se aduce un polinom la forma standard?

Să ne gândim la ce transformări ne vor ajuta să aducem polinomul la o formă standard. Vom pleca de la definirea unui polinom de forma standard.

Prin definiție, fiecare termen al unui polinom de formă standard este un monom de formă standard, iar un polinom de formă standard nu conține astfel de termeni. La rândul lor, polinoamele scrise într-o formă nestandard pot consta din monomii într-o formă nestandard și pot conține termeni similari. Acest lucru duce logic la următoarea regulă. cum se transformă un polinom în formă standard:

mai întâi trebuie să aduceți la forma standard monomiile care alcătuiesc polinomul original,
iar apoi efectuează reducerea termenilor similari.

Ca urmare, se va obține un polinom de formă standard, deoarece toți membrii săi vor fi scrisi în formă standard și nu va conține astfel de membri.

Exemple, soluții

Luați în considerare exemple de aducere a polinoamelor la forma standard. La rezolvare vom urma pasii dictati de regula din paragraful anterior.

Aici observăm că uneori toți termenii unui polinom se scriu în formă standard deodată, caz în care este suficient să aducem termeni similari. Uneori, după reducerea termenilor unui polinom la forma standard, nu există membri similari, prin urmare, etapa de reducere a unor astfel de membri în acest caz este omisă. În general, trebuie să le faci pe amândouă.

Exemplu.

Exprimați polinoame în formă standard: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5Și .

Soluţie.

Toți membrii polinomului 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 sunt scrisi în forma standard, nu are astfel de membri, prin urmare, acest polinom este deja prezentat în forma standard.

Să trecem la următorul polinom 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Forma sa nu este standard, așa cum demonstrează termenii 2·a 3 ·0.6 și −b·a·b 4 ·b 5 de formă nestandard. Să o reprezentăm în forma standard.

În prima etapă de aducere a polinomului original la forma standard, trebuie să reprezentăm toți membrii acestuia în forma standard. Prin urmare, reducem monomul 2 a 3 0.6 la forma standard, avem 2 a 3 0.6=1.2 a 3 , după care monomiul −b a b 4 b 5 , avem −b a b 4 b 5 = −a b 1+4+5 = −a b 10. Prin urmare, . În polinomul rezultat, toți termenii sunt scriși în formă standard; în plus, este evident că nu are astfel de termeni. Prin urmare, aceasta completează reducerea polinomului original la forma standard.

Rămâne de reprezentat în forma standard ultimul polinoame dat. După aducerea tuturor membrilor săi la formularul standard, acesta va fi scris ca . Are membri asemănători, așa că trebuie să distribuiți membri similari:

Deci polinomul original a luat forma standard −x y+1 .

Răspuns:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – deja în forma standard, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Adesea, aducerea unui polinom într-o formă standard este doar un pas intermediar în a răspunde la întrebarea problemei. De exemplu, găsirea gradului unui polinom implică reprezentarea lui preliminară într-o formă standard.

Exemplu.

Aduceți polinom la forma standard, indicați gradul acesteia și aranjați termenii în puteri descrescătoare ale variabilei.

Soluţie.

În primul rând, aducem toți termenii polinomului la forma standard: .

Acum oferim membri similari:

Așa că am adus polinomul original la forma standard, acest lucru ne permite să determinăm gradul polinomului, care este egal cu cel mai mare grad al monomiilor incluse în acesta. Evident, este 5.

Rămâne de aranjat termenii polinomului în puteri descrescătoare ale variabilelor. Pentru a face acest lucru, este necesar doar să rearanjați termenii din polinomul rezultat al formei standard, ținând cont de cerință. Termenul z 5 are gradul cel mai înalt, gradele termenilor , −0,5·z 2 și 11 sunt egale cu 3 , 2 și respectiv 0 . Prin urmare, un polinom cu termeni aranjați în puteri descrescătoare ale variabilei va avea forma .

Răspuns:

Gradul polinomului este 5, iar după aranjarea termenilor săi în puteri descrescătoare ale variabilei ia forma .

Bibliografie.

Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Algebrăși începe analiză matematică. Clasa a 10-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Conceptul de polinom

Definiția unui polinom: Un polinom este suma monomiilor. Exemplu de polinom:

aici vedem suma a două monomii, iar acesta este polinomul, i.e. suma de monomii.

Termenii care alcătuiesc un polinom sunt numiți membri ai polinomului.

Este diferența de monomii un polinom? Da, este, pentru că diferența se reduce ușor la suma, de exemplu: 5a - 2b = 5a + (-2b).

Monoamele sunt, de asemenea, considerate polinoame. Dar nu există o sumă într-un monom, atunci de ce este considerat un polinom? Și puteți adăuga zero la el și obțineți suma cu un monom zero. Deci monomiul este caz special polinom, este format dintr-un singur termen.

Numărul zero este un polinom zero.

Forma standard a unui polinom

Ce este un polinom de formă standard? Un polinom este suma monomiilor, iar dacă toate aceste monomii care alcătuiesc un polinom sunt scrise în formă standard, în plus, nu ar trebui să existe unele similare între ele, atunci polinomul este scris în formă standard.

Un exemplu de polinom în formă standard:

aici polinomul este format din 2 monoame, fiecare dintre ele având o formă standard, printre monoame nu există altele asemănătoare.

Acum un exemplu de polinom care nu are o formă standard:

aici sunt două monomii: 2a și 4a sunt similare. Trebuie să le adăugăm, apoi polinomul va obține o formă standard:

Alt exemplu:

Acest polinom este redus la forma standard? Nu, al doilea membru al său nu este scris în forma standard. Scriindu-l în formă standard, obținem un polinom de formă standard:

Gradul unui polinom

Care este gradul unui polinom?

Definiția gradului polinom:

Gradul unui polinom este cel mai mare grad pe care îl au monomiile care alcătuiesc un anumit polinom de formă standard.

Exemplu. Care este gradul polinomului 5h? Gradul polinomului 5h este egal cu unu, deoarece acest polinom conține un singur monom, iar gradul său este egal cu unu.

Alt exemplu. Care este gradul polinomului 5a 2 h 3 s 4 +1? Gradul polinomului 5a 2 h 3 s 4 + 1 este nouă, deoarece acest polinom include două monomii, primul monom 5a 2 h 3 s 4 are gradul cel mai înalt, iar gradul său este 9.

Alt exemplu. Care este gradul polinomului 5? Gradul polinomului 5 este zero. Deci, gradul unui polinom format doar dintr-un număr, adică. fără litere, este egal cu zero.

Ultimul exemplu. Care este gradul polinomului zero, i.e. zero? Gradul polinomului zero nu este definit.

Un polinom este o sumă de monomii. Dacă toți termenii polinomului sunt scriși în formă standard (vezi articolul 51) și se efectuează reducerea termenilor similari, atunci se va obține un polinom de formă standard.

Orice expresie întreagă poate fi transformată într-un polinom de forma standard - acesta este scopul transformărilor (simplificarilor) expresiilor întregi.

Luați în considerare exemple în care întreaga expresie trebuie redusă la forma standard a unui polinom.

Soluţie. În primul rând, aducem termenii polinomului la forma standard. Obținem După reducerea unor termeni similari, obținem un polinom de forma standard

Soluţie. Dacă există un semn plus în fața parantezelor, atunci parantezele pot fi omise, păstrând semnele tuturor termenilor încadrați între paranteze. Folosind această regulă pentru deschiderea parantezelor, obținem:

Soluţie. Dacă există un „minus” ziak în fața parantezelor, atunci parantezele pot fi omise prin schimbarea semnelor tuturor termenilor încadrați între paranteze. Folosind această regulă de evadare a parantezei, obținem:

Soluţie. Produsul unui monom și unui polinom, conform legii distribuției, este egal cu suma produselor acestui monom și a fiecărui membru al polinomului. Primim

Soluţie. Avem

Rămâne de dat termeni similari (sunt subliniați). Primim:

53. Formule pentru înmulțirea prescurtată.

În unele cazuri, reducerea întregii expresii la forma standard a unui polinom se realizează folosind identitățile:

Aceste identități sunt numite formule de înmulțire abreviate,

Să luăm în considerare exemple în care este necesar să convertim o expresie dată în myogle de formă standard.

Exemplul 1. .

Soluţie. Folosind formula (1), obținem:

Exemplul 2. .

Soluţie.

Exemplul 3. .

Soluţie. Folosind formula (3), obținem:

Exemplul 4

Soluţie. Folosind formula (4), obținem:

54. Factorizarea polinoamelor.

Uneori puteți converti un polinom într-un produs al mai multor factori - polinoame sau subtermeni. Astfel de transformarea identităţii se numește factorizarea unui polinom. În acest caz, se spune că polinomul este divizibil cu fiecare dintre acești factori.

Luați în considerare câteva moduri de factorizare a polinoamelor,

1) Scoaterea factorului comun din paranteză. Această transformare este o consecință directă a legii distributive (pentru claritate, este necesar doar să rescrieți această lege „de la dreapta la stânga”):

Exemplul 1. Factorizarea unui polinom

Soluţie. .

De obicei, când se scoate factorul comun din paranteze, fiecare variabilă inclusă în toți membrii polinomului este scoasă cu cel mai mic exponent pe care îl are în acest polinom. Dacă toți coeficienții polinomului sunt numere întregi, atunci cel mai mare modulo este luat ca coeficient al factorului comun divizor comun toți coeficienții polinomului.

2) Utilizarea formulelor de înmulțire abreviate. Formulele (1) - (7) de la paragraful 53, citindu-se „de la dreapta la stânga, în multe cazuri se dovedesc a fi utile pentru factorizarea polinoamelor.

Exemplul 2. Factorizați .

Soluţie. Avem . Aplicând formula (1) (diferența de pătrate), obținem . Punerea în aplicare

acum formulele (4) și (5) (suma de cuburi, diferența de cuburi), obținem:

Exemplul 3. .

Soluţie. Să scoatem mai întâi factorul comun din paranteză. Pentru a face acest lucru, găsim cel mai mare divizor comun al coeficienților 4, 16, 16 și cei mai mici exponenți cu care variabilele a și b sunt incluse în monomiile care alcătuiesc acest polinom. Primim:

3) Metoda grupării. Se bazează pe faptul că legile comutative și asociative ale adunării vă permit să grupați termenii unui polinom căi diferite. Uneori, o astfel de grupare este posibilă ca, după încadrarea factorilor comuni din fiecare grupă, unul și același polinom să rămână între paranteze, care la rândul său, ca factor comun, poate fi încadrat. Luați în considerare exemple de factorizare a unui polinom.

Exemplul 4. .

Soluţie. Să-l grupăm astfel:

În primul grup scoatem factorul comun din a doua grupă - factorul comun 5. Acum obținem polinomul ca factor comun pe care îl scoatem din paranteză: Astfel, obținem:

Exemplul 5

Soluţie. .

Exemplul 6

Soluţie. Aici, nicio grupare nu va duce la apariția aceluiași polinom în toate grupurile. În astfel de cazuri, uneori se dovedește a fi util să se reprezinte orice termen al polinomului ca o sumă și apoi să încerce din nou să aplici metoda de grupare. În exemplul nostru, este recomandabil să reprezentăm ca o sumă pe care o obținem

Exemplul 7

Soluţie. Adunăm și scădem monomiul, obținem

55. Polinoame într-o variabilă.

Polinomul, unde a, b sunt numere variabile, se numește polinom de gradul I; un polinom în care a, b, c sunt numere variabile, se numește polinom de gradul doi sau trinom pătrat; un polinom unde a, b, c, d sunt numere, o variabilă se numește polinom de gradul al treilea.

În general, dacă o este o variabilă, atunci un polinom

se numește gradul lsomogeneal (față de x); , m-termeni ai polinomului, coeficienți, termenul conducător al polinomului și este coeficientul termenului principal, termenul liber al polinomului. De obicei, polinomul este scris în puteri descrescătoare ale variabilei, adică gradele variabilei scad treptat, în special, termenul senior este pe primul loc, iar termenul liber este pe ultimul. Gradul unui polinom este gradul termenului conducător.

De exemplu, un polinom de gradul cinci în care termenul principal, 1, este termenul liber al polinomului.

Rădăcina unui polinom este valoarea la care polinomul dispare. De exemplu, numărul 2 este rădăcina polinomului deoarece