Transformări identice ale expresiilor exponențiale și logaritmice. Expresii logaritmice. exemple! Transformări identice ale expresiilor logaritmice opțiunea 8

Exemplul 1 . Calculati:

Lângă fiecare expresie, există o identitate, în ciclurile pentru care sarcinile propuse pot fi prezente. Scopul unor astfel de sarcini este de a stăpâni caracteristicile înregistrărilor, inclusiv simbolurile de noi operațiuni și funcții, și de a dezvolta abilități de vorbire matematică.

O parte semnificativă a utilizării transformărilor identitare asociate cu funcțiile elementare revine soluției ecuațiilor iraționale și transcendentale. Ciclurile legate de asimilarea identităților cuprind doar cele mai multe ecuații simple, dar deja aici este recomandabil să se lucreze la stăpânirea metodei de rezolvare a unor astfel de ecuații: reducerea acesteia prin înlocuirea necunoscutului cu ecuație algebrică.

Secvența de pași pentru această soluție este următoarea:

a) găsiți o funcție

, pentru care această ecuație poate fi reprezentată ca ;

b) efectuarea unei înlocuiri

și rezolvați ecuația;

c) rezolvați fiecare dintre ecuații

, unde este mulțimea rădăcinilor ecuației .

Atunci când se utilizează metoda descrisă, pasul b) se realizează adesea implicit, fără a introduce o notație pt

. În plus, elevii aleg adesea dintre diferitele căi care duc la găsirea unui răspuns, să o aleagă pe cea care duce la ecuația algebrică mai rapid și mai ușor.

Exemplul 2 . rezolva ecuatia

Prima cale:

A doua cale:

Se poate observa aici că pasul a) este mai dificil în prima metodă decât în a doua. Prima modalitate este „mai greu de început”, deși următorul curs al soluției este mult mai ușor. Pe de altă parte, a doua metodă are avantaje, constând într-o ușurință mai mare, o mai mare sofisticare în predarea reducerii la o ecuație algebrică.

Pentru curs şcolar Sarcinile de algebră sunt tipice, în care trecerea la o ecuație algebrică este chiar mai ușoară decât în acest exemplu. Sarcina principală a unor astfel de sarcini se referă la selectarea etapei c) ca parte independentă a procesului de soluție asociată cu utilizarea proprietăților funcției elementare studiate.

Exemplul 3 . Rezolvați ecuația:

; b)

Aceste ecuații se reduc la ecuațiile: a)

sau ; b) sau. Rezolvarea acestor ecuații necesită cunoașterea celor mai simple fapte despre functie exponentiala: monotonitatea sa, gama de valori. La fel ca exemplul anterior, ecuațiile a) și b) pot fi atribuite primei grupe a unui ciclu de exerciții pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale pătratice.

Astfel, ajungem la clasificarea sarcinilor în cicluri legate de rezolvarea ecuațiilor transcendentale, incluzând o funcție exponențială:

1) ecuații care se reduc la ecuații de forma

și având un răspuns simplu, general: ;

2) ecuații care se reduc la ecuații

, unde este un număr întreg sau , unde ;

3) ecuații care se reduc la ecuații

și necesită o analiză explicită a formei în care este scris numărul .

Sarcini similare pot fi clasificate pentru alte funcții elementare.

O parte semnificativă a identităților studiate la cursurile de algebră și algebră și începuturile analizei sunt dovedite în acestea sau cel puțin explicate. Această latură a studiului identităţilor are mare importanță pentru ambele cursuri, întrucât raționamentul demonstrativ în ele se realizează cu cea mai mare claritate și rigoare tocmai în raport cu identitățile. În afara acestui material, dovezile sunt de obicei mai puțin complete, nu se disting întotdeauna de componența mijloacelor de justificare aplicate.

Proprietățile operațiilor aritmetice sunt folosite ca suport pe care se construiesc dovezile identităților.

Impactul educațional al calculelor și transformărilor identice poate fi îndreptat către dezvoltarea gândirii logice, dacă doar elevilor li se cere sistematic să fundamenteze calculele și transformările identice, către dezvoltarea gândirii funcționale, care se realizează în diverse moduri. Importanța calculelor și a transformărilor identice în dezvoltarea voinței, memoriei, ingeniozității, autocontrolului și inițiativei creatoare este destul de evidentă.

Solicitările pentru practica de calcul industrială de zi cu zi necesită formarea unor abilități puternice, automate de calcule raționale și transformări identice la elevi. Aceste abilități sunt dezvoltate în procesul oricărei lucrări de calcul, cu toate acestea, sunt necesare exerciții speciale de antrenament în calcule și transformări rapide.

Deci, dacă lecția implică rezolvarea ecuațiilor logaritmice folosind identitatea logaritmică de bază

, atunci este util să includeți exerciții orale în planul de lecție pentru a simplifica sau calcula valorile expresiilor: , ,

. Scopul exercițiilor este întotdeauna comunicat elevilor. În timpul exercițiului, poate fi necesar să se solicite elevilor să justifice transformări, acțiuni individuale sau să rezolve întreaga problemă, chiar dacă acest lucru nu a fost planificat. Acolo unde este posibil diferite căi rezolvarea problemelor, este de dorit să puneți întotdeauna întrebări: „Cum a fost rezolvată problema?”, „Cine a rezolvat problema într-un mod diferit?”

Conceptele de identitate și transformare identică, sunt introduse explicit în cursul de algebră clasa a VI-a. Însăși definiția expresiilor identice nu poate fi folosită practic pentru a demonstra identitatea a două expresii și pentru a înțelege că esența transformărilor identice este de a aplica expresiei definițiile și proprietățile acelor acțiuni care sunt indicate în expresie sau de a adăuga lui o expresie care este identic egală cu 0, sau înmulțind-o cu o expresie identic egală cu unu. Dar, chiar dacă stăpânesc aceste prevederi, elevii de multe ori nu înțeleg de ce aceste transformări ne permit să afirmăm că expresiile originale și cele rezultate sunt identice, i.e. luați aceleași valori pentru orice sisteme (seturi) de valori variabile.

De asemenea, este important să ne asigurăm că elevii înțeleg bine că astfel de concluzii ale transformărilor identice sunt consecințe ale definițiilor și proprietăților acțiunilor corespunzătoare.

Aparatul transformărilor identice, acumulat în anii anteriori, se extinde în clasa a VI-a. Această extindere începe cu introducerea unei identități care exprimă proprietatea produsului de puteri cu aceeași bază:

Conceptul de grad cu indicator rațional. Rezolvarea ecuațiilor iraționale. O funcție exponențială, proprietățile și graficul acesteia. transformări identice ale expresiilor exponenţiale. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților. Logaritmul unui număr. Proprietățile de bază ale logaritmilor. Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților logaritmice. Derivată a funcției exponențiale. Numărul și logaritmul natural. Derivată a unei funcții de putere.

Scopul principal al secțiunii despre studiul funcțiilor exponențiale și logaritmice este familiarizarea elevilor cu funcțiile exponențiale, logaritmice și de putere; învață elevii să rezolve ecuații și inegalități exponențiale și logaritmice.

Conceptele de rădăcină de gradul al-lea și de gradul cu exponent rațional sunt o generalizare a conceptelor de rădăcină pătrată și gradul cu exponent întreg. Elevii ar trebui să acorde atenție faptului că proprietățile rădăcinilor și gradelor cu un exponent rațional luate în considerare aici sunt similare cu acele proprietăți care au fost studiate mai devreme. rădăcini pătrateși grade cu exponenți întregi. Este necesar să se dedice suficient timp elaborării proprietăților gradelor și formării abilităților pentru transformări identice. Conceptul de grad cu exponent irațional este introdus pe o bază vizual-intuitivă. Acest material joacă un rol auxiliar și este utilizat la introducerea funcției exponențiale.

Studiul proprietăților funcțiilor exponențiale, logaritmice și de putere este construit în conformitate cu schema generală acceptată pentru studierea funcțiilor. În acest caz, se oferă o prezentare generală a proprietăților în funcție de valorile parametrilor. Inegalitățile exponențiale și logaritmice sunt rezolvate pe baza proprietăților studiate ale funcțiilor.

O trăsătură caracteristică a cursului este sistematizarea și generalizarea cunoștințelor studenților, consolidarea și dezvoltarea deprinderilor și abilităților dobândite la cursul de algebră, care se realizează atât la studierea unor materiale noi, cât și la efectuarea unei repetiții generalizatoare.

LECȚIE DESCHISĂ DE ALGEBRĂ LA CLASA 11 „b”.

TEMA LECȚIEI

« CONVERSIUNEA EXPRESIILOR,

CONȚIN LOGARITMI”

Obiectivele lecției:

repetați definiția logaritmului unui număr, identitatea logaritmică de bază;

consolidarea proprietăților de bază ale logaritmilor;

spori orientare practică acest subiect pentru pregătirea de înaltă calitate pentru UNT;

contribuie la o asimilare solidă a materialului;

pentru a promova dezvoltarea deprinderilor de autocontrol la elevi.

Tip de lecție: combinată cu utilizarea unui test interactiv.

Echipament: proiector, ecran, postere cu sarcini, fisa de raspuns.

Planul lecției:

Organizarea timpului.

Actualizare de cunoștințe.

Test interactiv.

„Turneu cu logaritmi”

Rezolvarea problemelor manuale.

Rezumând. Completează foaia de răspunsuri.

Notare.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

2. Determinarea obiectivelor lecției.

Buna baieti! Astăzi avem o lecție neobișnuită, lecția este un joc pe care îl vom juca sub forma unui turneu cu logaritmi.

Să începem lecția cu un test interactiv.

3. Test interactiv:

4. Turneu cu logaritmi:

Definiția logaritmului.

Identități logaritmice:

Simplifica:

Aflați valoarea expresiei:

Proprietățile logaritmilor .

Conversie:

Lucrați cu manualul.

Rezumând.

Elevii își completează propria fișă de răspuns.

Dați note pentru fiecare răspuns.

Notare. Teme pentru acasă. Anexa 1.

Astăzi te-ai scufundat în logaritmi,

Ele trebuie să fie calculate cu exactitate.

La examen, desigur, îi veți întâlni,

Rămâne să vă urez succes!

eu opțiune

a) 9 ½ =3; b) 7 0 =1.

A)Buturuga8=6; b)Buturuga9=-2.

a) 1.7 Buturuga 1,7 2 ; b) 2 Buturuga 2 5 .

4. Calculați:

A) lg8+lg125;

b) Buturuga 2 7 jurnal 2 7/16

V)Buturuga 3 16/log 3 4.

II opțiune

1. Găsiți logaritmul la baza a a unui număr reprezentat ca putere cu baza a:

a) 32 1/5 =2; b) 3 -1 =1/3.

2. Verificați validitatea egalității:

A)Buturuga27=-6; b)Buturuga 0,5 4=-2.

3. Simplificați expresia folosind identitățile logaritmice de bază:

a) 5 1+ Buturuga 5 3 ; b) 10 1- lg 2

4. Calculați:

A) Buturuga 12 4+log 12 36;

b)lg13-lg130;

V) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

III opțiune

1. Găsiți logaritmul la baza a a unui număr reprezentat ca putere cu baza a:

a) 27 2/3 =9; b) 32 3/5 =8.

2. Verificați validitatea egalității:

A)Buturuga 2 128=;

b)Buturuga 0,2 0,008=3.

3. Simplificați expresia folosind identitățile logaritmice de bază:

a) 4 2 Buturuga 4 3 ;

b) 5 -3 Buturuga 5 1/2 .

4. Calculați:

A) Buturuga 6 12+log 6 18;

b) Buturuga 7 14 jurnal 7 6+log 7 21;

V) (Buturuga 7 3/ Buturuga 7 13)∙ Buturuga 3 169.

IV opțiune

1. Găsiți logaritmul la baza a a unui număr reprezentat ca putere cu baza a:

a) 81 3/4 =27; b) 125 2/3 =25.

2. Verificați validitatea egalității:

A)Buturuga √5 0,2=-2;

b)Buturuga 0,2 125=-3.

3. Simplificați expresia folosind identitățile logaritmice de bază:

a) (1/2) 4 Buturuga 1/2 3 ;

b) 6 -2 Buturuga 6 5 .

4. Calculați:

A) Buturuga 14 42 jurnal 14 3;

b) Buturuga 2 20-log 2 25+jurnal 2 80;

V) Buturuga 7 48/ Buturuga 7 4- 0,5 Buturuga 2 3.

Sarcini, a căror soluție este conversia expresiilor logaritmice, destul de des întâlnit la examen.

Pentru a le face față cu succes cu o cheltuială minimă de timp, pe lângă identitățile logaritmice de bază, este necesar să cunoașteți și să folosiți corect câteva formule suplimentare.

Aceasta este: a log a b = b, unde a, b > 0, a ≠ 1 (Resultă direct din definiția logaritmului).

log a b = log c b / log c a sau log a b = 1/log b a
unde a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
unde a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
unde a, b, c > 0 și a, b, c ≠ 1

Pentru a arăta validitatea celei de-a patra egalități, luăm logaritmul părților stângă și dreaptă din baza a. Obținem log a (a log c b) = log a (b log c a) sau log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log cu b = log cu b.

Am demonstrat egalitatea logaritmilor, ceea ce înseamnă că expresiile de sub logaritmi sunt de asemenea egale. Formula 4 este dovedită.

Exemplul 1

Calculați 81 log 27 5 log 5 4 .

Soluţie.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Prin urmare,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Atunci 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Puteți finaliza singuri următoarea sarcină.

Calculați (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Ca un indiciu, 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.

Raspuns: 5.

Exemplul 2

Calculați (√11) Buturuga √3 9 log 121 81 .

Soluţie.

Să înlocuim expresiile: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (a fost folosită formula 3).

Apoi (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Exemplul 3

Calculați log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Soluţie.

Vom înlocui logaritmii conținuti în exemplu cu logaritmi cu baza 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Apoi log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

După deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, obținem numărul 3. (La simplificarea expresiei, log 2 3 poate fi notat cu n și simplificăm expresia

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Raspuns: 3.

Puteți face următoarele pe cont propriu:

Calculați (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Aici este necesar să se facă o tranziție la logaritmi în baza 3 și descompunerea în factori primi ai numerelor mari.

Raspuns: 1/2

Exemplul 4

Se dau trei numere A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Aranjați-le în ordine crescătoare.

Soluţie.

Să transformăm numerele A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Să le comparăm

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 și log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Sau 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Răspuns. Prin urmare, ordinea de plasare a numerelor: C; A; ÎN.

Exemplul 5

Câte numere întregi sunt în interval (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Soluţie.

Să stabilim între ce puteri ale numărului 3 este numărul 1/16. Primim 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Deoarece funcția y \u003d log 3 x crește, atunci log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Comparați log 6 (4 / 3) și 1 / 5 . Și pentru aceasta comparăm numerele 4 / 3 și 6 1/5. Ridicați ambele numere la puterea a 5-a. Se obține (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

jurnal 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Prin urmare, intervalul (log 3 1 / 16 ; log 6 48) include intervalul [-2; 4] și numerele întregi -2 sunt plasate pe el; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Răspuns: 7 numere întregi.

Exemplul 6

Calculați 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Soluţie.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Atunci 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Raspunsul 1.

Exemplul 7

Se știe că log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Aflați log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Soluţie.

Numerele (√3 + 1) și (√3 - 1); (√6 - 2) și (√6 + 2) sunt conjugate.

Să efectuăm următoarea transformare a expresiilor

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Apoi log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Răspuns: 2 - A.

Exemplul 8.

Simplificați și găsiți valoarea aproximativă a expresiei (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Soluţie.

Reducem toți logaritmii la o bază comună de 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010. (Valoarea aproximativă a lg 2 poate fi găsită folosind un tabel, o rigură sau un calculator).

Răspuns: 0,3010.

Exemplul 9.

Calculați log a 2 b 3 √(a 11 b -3) dacă log √ a b 3 = 1. (În acest exemplu, a 2 b 3 este baza logaritmului).

Soluţie.

Dacă log √ a b 3 = 1, atunci 3/(0,5 log a b = 1. Și log a b = 1/6.

Atunci log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) care log și b = 1/6 obținem (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Răspuns: 2.1.

Puteți face următoarele pe cont propriu:

Calculați log √3 6 √2.1 dacă log 0.7 27 = a.

Răspuns: (3 + a) / (3a).

Exemplul 10

Calculați 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Soluţie.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2) /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formula 4))

Obținem 9 + 6 = 15.

Raspuns: 15.

Aveti vreo intrebare? Nu sunteți sigur cum să găsiți valoarea unei expresii logaritmice?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

transnistreană Universitate de stat

lor. T.G. Şevcenko

Facultatea de Fizică și Matematică

Scaun analiză matematică

și metode de predare a matematicii

LUCRARE DE CURS

„Transformări de identitate

exponențial și logaritmic

expresii"

Lucrare finalizata:

elev din grupa ______

Facultatea de Fizică și Matematică

_________________________

Lucrare verificata:

_________________________

Tiraspol, 2003

Introducere……………………………………………………………………………… 2

Capitolul 1

§1. Formarea deprinderilor de aplicare a unor tipuri specifice de transformări…………………………………………………………………………………………….4

§2. Caracteristici ale organizării unui sistem de cunoștințe în studiul transformărilor identice…….………………………….………..………….5

§3. Programul de matematică ……………………………………….11

capitolul 2

§1. Generalizarea conceptului de grad………………………………………………..13

§2. Funcția exponențială……………………………………………………..15

§3. Funcția logaritmică………………………………………….16

Capitolul 3. Transformări identice ale expresiilor exponențiale și logaritmice în practică ...................................... ......................................................19

Concluzie………………………………………………………………………..24

Lista literaturii utilizate…………………………………………….25
Introducere

In acest termen de hârtie se vor avea în vedere transformări identice ale funcţiilor exponenţiale şi logaritmice, se va avea în vedere metodologia de predare a acestora la cursul şcolar de algebră şi începutul analizei.

Primul capitol al acestei lucrări descrie metodologia de predare a transformărilor identice la cursul de matematică școlară, include și un program de matematică la cursul „Algebra și începutul analizei” cu studiul funcțiilor exponențiale și logaritmice.

Al doilea capitol tratează direct funcțiile exponențiale și logaritmice în sine, principalele lor proprietăți utilizate în transformări identice.

Al treilea capitol este rezolvarea de exemple și probleme folosind transformările identice ale funcțiilor exponențiale și logaritmice.

Studiul diferitelor transformări ale expresiilor și formulelor ocupă o parte semnificativă a timpului de studiu în cursul matematicii școlare. Cele mai simple transformări bazate pe proprietățile operațiilor aritmetice sunt deja efectuate în școală primară iar în clasele IV-V. Dar sarcina principală a formării deprinderilor și abilităților de a efectua transformări este suportată de cursul algebrei școlare. Aceasta este legată atât de creșterea bruscă a numărului și varietatea transformărilor efectuate, cât și de complicarea activităților de fundamentare a acestora și de clarificare a condițiilor de aplicabilitate, cu identificarea și studiul conceptelor generalizate de identitate, transformare identică, transformare echivalentă, consecință logică.

Cultura efectuării transformărilor identice se dezvoltă în același mod ca și cultura calculului, bazată pe o cunoaștere solidă a proprietăților operațiilor asupra obiectelor (numere, vectori, polinoame etc.) și a algoritmilor de implementare a acestora. Se manifestă nu numai prin capacitatea de a justifica corect transformările, ci și prin capacitatea de a găsi calea cea mai scurtă către trecerea de la expresia analitică originală la expresia care se potrivește cel mai bine scopului transformării, în capacitatea de a urmări schimbările în domeniul de definire a expresiilor analitice într-un lanț de transformări identice, în execuția rapidă și fără erori a transformărilor.

Asigurarea unei culturi înalte a calculului și a transformărilor identice este o problemă importantă în predarea matematicii. Cu toate acestea, această problemă este încă departe de a fi rezolvată satisfăcător. Dovadă în acest sens sunt datele statistice ale autorităților publice din învățământul public, în care anual se constată erori și metode iraționale de calcule și transformări, realizate de elevi de diferite clase la efectuarea lucrări de control. Acest lucru este confirmat de opiniile superioarelor institutii de invatamant despre calitatea cunoștințelor și aptitudinilor matematice ale solicitanților. Nu se poate decât să fie de acord cu concluziile autorităților din învățământul public și ale universităților că nu este suficient nivel inalt cultura de calcul și transformări identice în liceu este o consecință a formalismului în cunoașterea studenților, separarea teoriei de practică.

Transformări identitare și metode de predare

în cursul şcolar de algebră şi începutul analizei.

§1. Formarea abilităților de aplicare

tipuri specifice de transformări.

Sistemul de tehnici și reguli de efectuare a transformărilor, folosit în stadiul începuturilor algebrei, are o gamă foarte largă de aplicații: este utilizat în studiul întregului curs de matematică. Cu toate acestea, tocmai din cauza specificității sale scăzute, acest sistem are nevoie de transformări suplimentare care să țină cont de particularitățile structurii expresiilor transformate și de proprietățile operațiilor și funcțiilor nou introduse. Dezvoltarea tipurilor corespunzătoare de transformări începe cu introducerea formulelor de înmulțire abreviate. Apoi luăm în considerare transformările asociate cu operația de ridicare la o putere, cu diverse clase de funcții elementare - exponențiale, putere, logaritmice, trigonometrice. Fiecare dintre aceste tipuri de transformări trece printr-o etapă de studiu, în care atenția este concentrată pe asimilarea trăsăturilor lor caracteristice.

Odată cu acumularea de material, devine posibilă evidențierea trăsăturilor comune tuturor transformărilor luate în considerare și, pe această bază, introducerea conceptelor de transformări identice și echivalente.

Trebuie remarcat faptul că conceptul unei transformări identice este dat în cursul școlar de algebră nu în generalitate deplină, ci doar în aplicare la expresii. Transformările sunt împărțite în două clase: transformările identice sunt transformări ale expresiilor, iar transformările echivalente sunt transformări ale formulelor. În cazul în care este necesară simplificarea unei părți a formulei, în această formulă este evidențiată o expresie, care servește drept argument pentru transformarea identică aplicată. Predicatul corespunzător este considerat neschimbat.

În ceea ce privește organizarea unui sistem integral de transformări (sinteză), scopul său principal este formarea unui sistem flexibil și puternic; aparat adecvat pentru a fi utilizat în rezolvarea unei varietăți de sarcini educaționale.

În cursul algebrei și începutul analizei sistem complet transformările, în termeni generali deja formate, continuă să fie îmbunătățite treptat. I se adaugă și unele noi tipuri de transformări, dar nu fac decât să-l îmbogățească, să-i extindă capacitățile, dar nu îi schimbă structura. Metodologia de studiu a acestor noi transformări practic nu diferă de cea folosită în cursul algebrei.

§2. Caracteristici ale organizării sistemului de sarcini

în studiul transformărilor identice.

Principiul de bază al organizării oricărui sistem de sarcini este de a le prezenta de la simplu la complex, ținând cont de nevoia elevilor de a depăși dificultățile fezabile și de a crea situații problematice. Principiul de bază precizat necesită concretizare în raport cu trăsăturile acestui material educațional. Pentru descriere diverse sisteme sarcini din metodologia matematicii se foloseste conceptul de ciclu de exercitii. Ciclul de exerciții se caracterizează prin combinarea în succesiunea de exerciții a mai multor aspecte ale studiului și metode de aranjare a materialului. În legătură cu transformările identice, poate fi dată ideea unui ciclu în felul următor.

Ciclul de exerciții este legat de studiul unei identități, în jurul căreia se grupează alte identități, care se află într-o legătură firească cu aceasta. Alcătuirea ciclului, împreună cu sarcinile executive, include sarcini care necesită recunoașterea aplicabilității identității luate în considerare. Identitatea studiată este utilizată pentru a efectua calcule pe diverse domenii numerice. Se ține cont de specificul identității; în special, sunt organizate rânduri de vorbire asociate acestuia.

Sarcinile din fiecare ciclu sunt împărțite în două grupe. Prima include sarcinile efectuate în timpul cunoașterii inițiale cu identitatea. Ei servesc material educativ pentru mai multe lecții consecutive, unite printr-o singură temă. Al doilea grup de exerciții leagă identitatea studiată cu diverse aplicații. Acest grup nu formează o unitate compozițională - exercițiile de aici sunt împrăștiate pe diverse subiecte.

Structura descrisă a ciclului se referă la etapa de formare a deprinderilor de aplicare a unor tipuri specifice de transformări. În etapa finală - etapa de sinteză, ciclurile sunt modificate. În primul rând, ambele grupuri de sarcini sunt combinate, formând un ciclu „desfășurat”, iar cele mai simple în ceea ce privește formularea sau complexitatea executării sarcinilor sunt excluse din primul grup. Tipurile rămase de sarcini devin mai dificile. În al doilea rând, există o contopire a ciclurilor legate de diferite identități, datorită căreia rolul acțiunilor de recunoaștere a aplicabilității uneia sau alteia identități crește.

Remarcăm caracteristicile ciclurilor de sarcini legate de identități pentru funcții elementare. Aceste caracteristici se datorează faptului că, în primul rând, identitățile corespunzătoare sunt studiate în legătură cu studiul materialului funcțional și, în al doilea rând, apar mai târziu decât identitățile primului grup și sunt studiate folosind abilități deja formate pentru a efectua transformări identice. .

Fiecare funcție elementară nou introdusă extinde drastic gama de numere care pot fi desemnate și denumite individual. Prin urmare, primul grup de sarcini ale ciclurilor ar trebui să includă sarcini pentru a stabili o legătură între aceste noi zone numerice cu zona inițială. numere rationale. Dăm exemple de astfel de sarcini.

Exemplul 1 Calculați:

O parte semnificativă a utilizării transformărilor identitare asociate cu funcțiile elementare revine soluției ecuațiilor iraționale și transcendentale. Ciclurile legate de asimilarea identităților cuprind doar cele mai simple ecuații, dar deja aici este recomandabil să se lucreze la stăpânirea metodei de rezolvare a unor astfel de ecuații: reducerea acesteia prin înlocuirea necunoscutului cu o ecuație algebrică.

Secvența de pași pentru această soluție este următoarea:

a) găsiți o funcție pentru care această ecuație poate fi reprezentată ca ;

b) faceți o înlocuire și rezolvați ecuația;

c) rezolvați fiecare dintre ecuațiile , unde este mulțimea rădăcinilor ecuației .

Atunci când se folosește metoda descrisă, pasul b) este adesea efectuat implicit, fără a introduce o notație pentru . În plus, elevii aleg adesea dintre diferitele căi care duc la găsirea unui răspuns, să o aleagă pe cea care duce la ecuația algebrică mai rapid și mai ușor.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația.

Prima cale:

A doua cale:

Pentru un curs școlar de algebră, sarcinile sunt tipice în care trecerea la o ecuație algebrică este chiar mai ușoară decât în acest exemplu. Sarcina principală a unor astfel de sarcini se referă la selectarea etapei c) ca parte independentă a procesului de soluție asociată cu utilizarea proprietăților funcției elementare studiate.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația:

A) ; b) .

Aceste ecuații se reduc la ecuațiile: a) sau ; b) sau. Pentru a rezolva aceste ecuații, este necesară cunoașterea doar a celor mai simple fapte despre funcția exponențială: monotonitatea acesteia, intervalul de valori. La fel ca exemplul anterior, ecuațiile a) și b) pot fi atribuite primei grupe a unui ciclu de exerciții pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale pătratice.

Astfel, ajungem la clasificarea sarcinilor în cicluri legate de rezolvarea ecuațiilor transcendentale, incluzând o funcție exponențială:

1) ecuatii care se reduc la ecuatii de forma si au un raspuns simplu, general ca forma: ;

2) ecuații care se reduc la ecuații , unde este un număr întreg, sau , unde ;

3) ecuații care se reduc la ecuații și necesită o analiză explicită a formei în care este scris numărul.

Sarcini similare pot fi clasificate pentru alte funcții elementare.

O parte semnificativă a identităților studiate la cursurile de algebră și algebră și începuturile analizei sunt dovedite în acestea sau cel puțin explicate. Această latură a studiului identităților este de mare importanță pentru ambele cursuri, întrucât raționamentul probatoriu în acestea se realizează cu cea mai mare claritate și rigoare tocmai în raport cu identitățile. În afara acestui material, dovezile sunt de obicei mai puțin complete, nu se disting întotdeauna de componența mijloacelor de justificare aplicate.

Proprietățile operațiilor aritmetice sunt folosite ca suport pe care se construiesc dovezile identităților.

Deci, dacă lecția implică rezolvarea ecuațiilor logaritmice folosind identitatea logaritmică de bază, atunci este util să includeți exerciții orale în planul lecției pentru a simplifica sau calcula valorile expresiilor: , , . Scopul exercițiilor este întotdeauna comunicat elevilor. În timpul exercițiului, poate fi necesar să se solicite elevilor să justifice transformări, acțiuni individuale sau să rezolve întreaga problemă, chiar dacă acest lucru nu a fost planificat. Acolo unde sunt posibile moduri diferite de rezolvare a unei probleme, este întotdeauna de dorit să se pună întrebări: „În ce mod a fost rezolvată problema?”, „Cine a rezolvat problema într-un mod diferit?”

Aparatul transformărilor identice, acumulat în anii anteriori, se extinde în clasa a VI-a. Această extensie începe cu introducerea unei identități care exprimă proprietatea produsului de puteri cu aceleași baze: , unde , sunt numere întregi.

§3. Programul de matematică. La cursul școlar „Algebra și începuturile analizei”, elevii studiază sistematic funcțiile exponențiale și logaritmice și proprietățile lor, transformările identice ale expresiilor logaritmice și exponențiale și aplicarea lor la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților corespunzătoare, se familiarizează cu conceptele de bază, enunțurile. . În clasa a XI-a, lecțiile de algebră durează 3 ore pe săptămână, pentru un total de 102 ore pe an. Este nevoie de 36 de ore pentru a studia funcțiile exponențiale, logaritmice și de putere conform programului. Programul include luarea în considerare și studiul următoarelor aspecte: Conceptul de diplomă cu un indicator rațional. Rezolvarea ecuațiilor iraționale. O funcție exponențială, proprietățile și graficul acesteia. transformări identice ale expresiilor exponenţiale. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților. Logaritmul unui număr. Proprietățile de bază ale logaritmilor. Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților logaritmice. Derivată a funcției exponențiale. Numărul și logaritmul natural. Derivată a unei funcții de putere. Scopul principal al secțiunii despre studiul funcțiilor exponențiale și logaritmice este familiarizarea elevilor cu funcțiile exponențiale, logaritmice și de putere; invata elevii sa rezolve exponential si ecuații logaritmiceși inegalități. Conceptele de rădăcină de gradul al-lea și de gradul cu exponent rațional sunt o generalizare a conceptelor de rădăcină pătrată și gradul cu exponent întreg. Elevii ar trebui să acorde atenție faptului că proprietățile rădăcinilor și gradelor cu exponent rațional luate în considerare aici sunt similare acelor proprietăți pe care le au rădăcinile pătrate și gradele cu exponenți întregi studiate anterior. Este necesar să se dedice suficient timp elaborării proprietăților gradelor și formării abilităților pentru transformări identice. Conceptul de grad cu exponent irațional este introdus pe o bază vizual-intuitivă. Acest material joacă un rol auxiliar și este utilizat la introducerea funcției exponențiale. Studiul proprietăților funcțiilor exponențiale, logaritmice și de putere este construit în conformitate cu schema generală acceptată pentru studierea funcțiilor. În acest caz, se oferă o prezentare generală a proprietăților în funcție de valorile parametrilor. Inegalitățile exponențiale și logaritmice sunt rezolvate pe baza proprietăților studiate ale funcțiilor. O trăsătură caracteristică a cursului este sistematizarea și generalizarea cunoștințelor studenților, consolidarea și dezvoltarea deprinderilor și abilităților dobândite la cursul de algebră, care se realizează atât la studierea unor materiale noi, cât și la efectuarea unei repetiții generalizatoare.
capitolul 2

§1. Generalizarea conceptului de grad.

Definiție: Rădăcina gradului de puritate este un astfel de număr, al cărui grad este egal cu.

Conform această definiție rădăcina gradului al-lea al numărului este soluția ecuației. Numărul de rădăcini ale acestei ecuații depinde de și . Să luăm în considerare o funcție. După cum se știe, pe interval această funcție crește pentru oricare și ia toate valorile din intervalul . După teorema rădăcinii, ecuația pentru oricare are o rădăcină nenegativă și, în plus, doar una. Se numește rădăcina aritmetică a gradului al-lea al unui număr și se notează; numărul se numește indicele rădăcinii, iar numărul însuși se numește expresie radicală. Semnul este numit și radical.

Definiție: Rădăcina aritmetică a gradului al treilea al unui număr este un număr nenegativ al cărui grad este .

Pentru chiar, funcția este pare. Rezultă că dacă , atunci ecuația , pe lângă rădăcină , are și rădăcină . Dacă , atunci există o singură rădăcină: ; dacă , atunci această ecuație nu are rădăcini, deoarece puterea pară a oricărui număr este nenegativă.

Pentru valorile impare, funcția crește de-a lungul întregii linii numerice; gama sa de valori este setul tuturor numere reale. Aplicând teorema rădăcinii, constatăm că ecuația are o rădăcină pentru oricare și, în special, pentru . Această rădăcină pentru orice valoare este notată cu .

Pentru rădăcinile de grad impar, egalitatea este adevărată. Într-adevăr, , i.e. numărul este rădăcina-a a lui . Dar o astfel de rădăcină pentru ciudat este unică. Prin urmare, .

Observație 1: Pentru orice real

Amintiți-vă proprietățile binecunoscute ale rădăcinilor aritmetice de gradul al treilea.

Pentru orice natural, întreg și orice numere întregi și egalități nenegative sunt adevărate:

Grad cu un exponent rațional.

Expresia este definită pentru toate și , cu excepția cazului în care . Amintiți-vă proprietățile unor astfel de puteri.

Pentru orice numere și orice numere întregi și egalități sunt adevărate:

De asemenea, menționăm că dacă , atunci pentru și pentru .. și

Pentru elevii care studiază pentru examenul de stat unificat, profesorii de matematică de la școala secundară nr. 26 din Yakutsk folosesc o listă de întrebări de conținut (codificator) ale cursului de matematică școlară, a căror asimilare este verificată la promovarea examenului unificat de stat în 2007. . curs opționalîn pregătirea pentru Unificare Examen de stat se bazează pe repetarea, sistematizarea și aprofundarea cunoștințelor dobândite anterior. Cursurile se desfășoară sub formă de...