Derivatele funcțiilor exponențiale complexe sunt exemple de soluții. Calculul derivatelor funcţiilor exponenţiale. Exemple derivate

Cu acest videoclip, încep o serie lungă de lecții despre derivate. Această lecție are mai multe părți.

În primul rând, vă voi spune ce sunt derivatele în general și cum să le calculez, dar nu într-un limbaj academic sofisticat, ci în modul în care le înțeleg eu însumi și cum le explic studenților mei. În al doilea rând, vom lua în considerare cea mai simplă regulă pentru rezolvarea problemelor în care vom căuta derivate ale sumelor, derivate ale unei diferențe și derivate ale unei funcții de putere.

Vom analiza exemple combinate mai complexe, din care veți învăța, în special, că probleme similare care implică rădăcini și chiar fracții pot fi rezolvate folosind formula pentru derivata unei funcții de putere. În plus, desigur, vor exista multe sarcini și exemple de soluții de diferite niveluri de complexitate.

În general, inițial aveam de gând să înregistrez un videoclip scurt de 5 minute, dar puteți vedea singuri ce a rezultat. Deci destule versuri - să trecem la treabă.

Ce este un derivat?

Deci, să începem de departe. Cu mulți ani în urmă, când copacii erau mai verzi și viața era mai distractivă, matematicienii s-au gândit la asta: luați în considerare o funcție simplă dată de graficul ei, să o numim $y=f\left(x \right)$. Desigur, graficul nu există singur, așa că trebuie să desenați axa $x$, precum și axa $y$. Și acum să alegem orice punct din acest grafic, absolut orice. Să numim abscisa $((x)_(1))$, ordonata, după cum ați putea ghici, va fi $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Luați în considerare un alt punct din același grafic. Nu contează care dintre ele, principalul lucru este că diferă de original. Are, din nou, o abscisă, să o numim $((x)_(2))$, precum și o ordonată - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Deci, avem două puncte: au abscise diferite și, prin urmare, sensuri diferite funcții, deși acesta din urmă este opțional. Dar ceea ce este cu adevărat important este că știm din cursul de planimetrie că se poate trasa o dreaptă prin două puncte și, în plus, doar unul. Aici, hai să-l rulăm.

Și acum să tragem o linie dreaptă prin prima dintre ele, paralelă cu axa x. Obținem un triunghi dreptunghic. Să-i spunem $ABC$, unghi drept $C$. Acest triunghi are o proprietate foarte interesantă: faptul este că unghiul $\alpha $ este, de fapt, egal cu unghiul sub care dreapta $AB$ se intersectează cu continuarea axei absciselor. Judecă singur:

linia $AC$ este paralelă cu axa $Ox$ prin construcție,
linia $AB$ intersectează $AC$ sub $\alpha $,
prin urmare, $AB$ intersectează $Ox$ sub același $\alpha $.

Ce putem spune despre $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Nimic concret, cu excepția faptului că în triunghiul $ABC$ raportul dintre catetul $BC$ și catetul $AC$ este egal cu tangenta acestui unghi. Deci hai sa scriem:

Desigur, $AC$ în acest caz este ușor de luat în considerare:

În mod similar, pentru $BC$:

Cu alte cuvinte, putem scrie următoarele:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \dreapta))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Acum că am scăpat de toate acestea, să ne întoarcem la graficul nostru și să ne uităm la noul punct $B$. Ștergeți vechile valori și luați și luați $B$ undeva mai aproape de $((x)_(1))$. Să notăm din nou abscisa ca $((x)_(2))$ și ordonata ca $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Luați în considerare din nou micul nostru triunghi $ABC$ și $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ în interiorul acestuia. Este destul de evident că acesta va fi un unghi complet diferit, tangenta va fi și ea diferită deoarece lungimile segmentelor $AC$ și $BC$ s-au schimbat semnificativ, iar formula pentru tangentei unghiului nu s-a schimbat deloc - acesta este încă raportul dintre schimbarea funcției și schimbarea argumentului .

În cele din urmă, continuăm să ne mutăm $B$ din ce în ce mai aproape de punctul inițial $A$, ca urmare, triunghiul va scădea și mai mult, iar linia care conține segmentul $AB$ va arăta din ce în ce mai mult ca o tangentă la graficul funcției.

Ca urmare, dacă continuăm să ne apropiem de puncte, adică să reducem distanța la zero, atunci linia dreaptă $AB$ se va transforma într-adevăr într-o tangentă la grafic în acest punct și $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ se va schimba dintr-un element triunghi regulat într-un unghi între tangenta la grafic și direcția pozitivă a axei $Ox$.

Și aici trecem ușor la definiția lui $f$, și anume, derivata funcției în punctul $((x)_(1))$ este tangentea unghiului $\alpha $ dintre tangenta la grafic în punctul $((x)_( 1))$ și direcția pozitivă a axei $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Revenind la graficul nostru, trebuie remarcat că, ca $((x)_(1))$, puteți alege orice punct din grafic. De exemplu, cu același succes, am putea elimina cursa în punctul prezentat în figură.

Să numim unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei $\beta $. În consecință, $f$ în $((x)_(2))$ va fi egal cu tangentei acestui unghi $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Fiecare punct al graficului va avea propria sa tangentă și, în consecință, propria sa valoare a funcției. În fiecare dintre aceste cazuri, pe lângă punctul în care căutăm derivata unei difere sau a unei sume, sau o derivată a unei funcții de putere, este necesar să luăm un alt punct situat la o oarecare distanță de acesta și apoi direcționați acest punct către cel original și, desigur, aflați cum în acest proces o astfel de mișcare va schimba tangenta unghiului de înclinare.

Derivata functiei de putere

Din păcate, această definiție nu ne convine deloc. Toate aceste formule, imagini, unghiuri nu ne dau nici cea mai mică idee cum să calculăm derivata reală în probleme reale. Prin urmare, să ne abatem puțin de la definiția formală și să luăm în considerare formule și tehnici mai eficiente cu care puteți rezolva deja probleme reale.

Să începem cu cele mai simple construcții, și anume, funcții de forma $y=((x)^(n))$, adică. funcții de putere. În acest caz, putem scrie următoarele: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Cu alte cuvinte, gradul care a fost în exponent este afișat în multiplicatorul din față , iar exponentul însuși este redus cu unitate, de exemplu:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Și iată o altă opțiune:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Folosind aceste reguli simple, să încercăm să luăm avantajul din următoarele exemple:

Deci obținem:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Acum să rezolvăm a doua expresie:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prim ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Desigur, acestea au fost sarcini foarte simple. Cu toate acestea, problemele reale sunt mai complexe și nu se limitează la puterile unei funcții.

Deci, regula numărul 1 - dacă funcția este reprezentată ca celelalte două, atunci derivata acestei sume este egală cu suma derivatelor:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

În mod similar, derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența derivatelor:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prim ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]

În plus, mai este unul regula importanta: dacă un $f$ este precedat de o constantă $c$, cu care această funcție este înmulțită, atunci $f$ a întregii construcții este considerată după cum urmează:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prim ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

În sfârșit, încă o regulă foarte importantă: problemele conțin adesea un termen separat care nu conține deloc $x$. De exemplu, putem observa acest lucru în expresiile noastre de astăzi. Derivata unei constante, adică a unui număr care nu depinde în niciun fel de $x$, este întotdeauna egală cu zero și nu contează deloc cu ce este egală constanta $c$:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Exemplu de soluție:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Încă o dată punctele cheie:

Derivata sumei a doua functii este intotdeauna egala cu suma derivatelor: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
Din motive similare, derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența a două derivate: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Dacă funcția are o constantă de factor, atunci această constantă poate fi scoasă din semnul derivatei: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
Dacă întreaga funcție este o constantă, atunci derivata ei este întotdeauna zero: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Să vedem cum funcționează totul cu exemple reale. Asa de:

Scriem:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) „= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

În acest exemplu, vedem atât derivata sumei, cât și derivata diferenței. Deci derivata este $5((x)^(4))-6x$.

Să trecem la a doua funcție:

Scrieți soluția:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^() 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Aici am găsit răspunsul.

Să trecem la a treia funcție - este deja mai gravă:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Am găsit răspunsul.

Să trecem la ultima expresie - cea mai complexă și mai lungă:

Deci, luăm în considerare:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Dar soluția nu se termină aici, pentru că ni se cere nu numai să eliminăm cursa, ci să îi calculăm valoarea într-un anumit punct, așa că înlocuim −1 în loc de $x$ în expresia:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Mergem mai departe și trecem la exemple și mai complexe și mai interesante. Ideea este că formula pentru rezolvarea derivatei puterii $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ are un domeniu de aplicare chiar mai larg decât se crede în mod obișnuit. Cu ajutorul lui, puteți rezolva exemple cu fracții, rădăcini etc. Asta vom face acum.

Pentru început, să scriem încă o dată formula, care ne va ajuta să găsim derivata funcției de putere:

Și acum atenție: până acum am considerat doar numere naturale ca $n$, dar nimic nu ne împiedică să luăm în considerare fracții și chiar numere negative. De exemplu, putem scrie următoarele:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prim ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Nimic complicat, așa că haideți să vedem cum această formulă ne va ajuta în rezolvarea unor probleme mai complexe. Deci un exemplu:

Scrieți soluția:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ stânga(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Să ne întoarcem la exemplul nostru și să scriem:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Aceasta este o decizie atât de dificilă.

Să trecem la al doilea exemplu - există doar doi termeni, dar fiecare dintre ei conține atât un grad clasic, cât și rădăcini.

Acum vom învăța cum să găsim derivata unei funcții de putere, care, în plus, conține o rădăcină:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Ambii termeni sunt calculați, rămâne să scrieți răspunsul final:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Am găsit răspunsul.

Derivată a unei fracții în termeni de funcție de putere

Dar posibilitățile formulei de rezolvare a derivatei unei funcții de putere nu se termină aici. Faptul este că, cu ajutorul lui, puteți număra nu numai exemple cu rădăcini, ci și cu fracții. Aceasta este doar acea oportunitate rară care simplifică foarte mult soluția unor astfel de exemple, dar este adesea ignorată nu numai de elevi, ci și de profesori.

Deci, acum vom încerca să combinăm două formule deodată. Pe de o parte, derivata clasică a unei funcții de putere

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Pe de altă parte, știm că o expresie de forma $\frac(1)(((x)^(n)))$ poate fi reprezentată ca $((x)^(-n))$. Prin urmare,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Deci derivatele fracții simple, unde numărătorul este o constantă, iar numitorul este un grad, se calculează și folosind formula clasică. Să vedem cum funcționează în practică.

Deci prima functie:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ dreapta))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Primul exemplu este rezolvat, să trecem la al doilea:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x))) (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ stânga(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ sfârşitul (alinierea)\]...

Acum colectăm toți acești termeni într-o singură formulă:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Am primit un răspuns.

Cu toate acestea, înainte de a trece mai departe, aș dori să vă atrag atenția asupra formei de scriere a expresiilor originale în sine: în prima expresie am scris $f\left(x \right)=...$, în a doua: $y =...$ Mulți studenți se pierd când văd forme diferiteînregistrări. Care este diferența dintre $f\left(x \right)$ și $y$? De fapt, nimic. Sunt doar intrări diferite cu același sens. Doar că atunci când spunem $f\left(x\right)$, atunci vorbim, în primul rând, despre o funcție, iar când vorbim despre $y$, cel mai adesea ne referim la graficul unei funcții. În caz contrar, este același, adică derivatul este considerat același în ambele cazuri.

Probleme complexe cu derivate

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme complexe combinate care folosesc tot ceea ce am luat în considerare astăzi. În ele, așteptăm rădăcini, fracții și sume. Cu toate acestea, aceste exemple vor fi complexe numai în cadrul tutorialului video de astăzi, deoarece funcțiile derivate cu adevărat complexe vă vor aștepta înainte.

Deci, partea finală a tutorialului video de astăzi, constând din două sarcini combinate. Să începem cu primul:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ stânga(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Derivata functiei este:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Primul exemplu este rezolvat. Luați în considerare a doua problemă:

În al doilea exemplu, procedăm în mod similar:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prim))\]

Să calculăm fiecare termen separat:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ stânga(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3)) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Toți termenii sunt numărați. Acum revenim la formula originală și adunăm toți cei trei termeni. Obtinem ca raspunsul final va fi:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Și asta este tot. Aceasta a fost prima noastră lecție. În lecțiile următoare, ne vom uita la construcții mai complexe și, de asemenea, vom afla de ce sunt necesare derivate.

Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata exponențialului (e la puterea lui x) și a funcției exponențiale (a la puterea lui x). Exemple de calculare a derivatelor lui e^2x, e^3x și e^nx. Formule pentru derivate de ordin superior.

Conţinut

Vezi si: Funcție exponențială - proprietăți, formule, grafic
Exponent, e la puterea lui x - proprietăți, formule, grafic

Formule de bază

Derivata exponentului este egală cu exponentul însuși (derivata lui e la puterea lui x este egală cu e la puterea lui x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivata unei funcții exponențiale cu o bază de gradul a este egală cu funcția însăși, înmulțită cu logaritmul natural al lui a:
(2) .

Exponentul este o funcție exponențială a cărei bază de exponent este egală cu numărul e, care este următoarea limită:
.
Aici poate fi fie un număr natural, fie un număr real. În continuare, derivăm formula (1) pentru derivata exponentului.

Derivarea formulei pentru derivata exponentului

Luați în considerare exponentul, e la puterea lui x:
y = e x .
Această funcție este definită pentru toți. Să găsim derivata ei în raport cu x . Prin definiție, derivata este următoarea limită:
(3) .

Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru aceasta avem nevoie de următoarele fapte:
A) Proprietatea exponentului:
(4) ;
B) Proprietatea logaritmului:
(5) ;
ÎN) Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă:
(6) .
Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
G) Semnificația celei de-a doua limite minunate:
(7) .

Aplicam aceste fapte la limita noastra (3). Folosim proprietatea (4):
;
.

Să facem o înlocuire. Apoi ; .
Datorită continuității exponentului,
.
Prin urmare, la , . Ca rezultat, obținem:
.

Să facem o înlocuire. Apoi . La , . Și avem:
.

Aplicam proprietatea logaritmului (5):
. Apoi
.

Să aplicăm proprietatea (6). Deoarece există o limită pozitivă și logaritmul este continuu, atunci:
.
Aici îl folosim și pe al doilea limita minunata(7). Apoi
.

Astfel, am obținut formula (1) pentru derivata exponentului.

Derivarea formulei pentru derivata funcției exponențiale

Acum derivăm formula (2) pentru derivata funcției exponențiale cu o bază de gradul a. Noi credem că și . Apoi funcția exponențială
(8)
Definit pentru toată lumea.

Să transformăm formula (8). Pentru a face acest lucru, folosim proprietățile funcției exponențiale și logaritmul.
;
.
Deci, am transformat formula (8) în următoarea formă:
.

Derivate de ordin superior ale lui e la puterea lui x

Acum să găsim derivate de ordin superior. Să ne uităm mai întâi la exponent:
(14) .
(1) .

Vedem că derivata funcției (14) este egală cu funcția (14) însăși. Diferențiând (1), obținem derivate de ordinul doi și trei:
;
.

Aceasta arată că derivata de ordinul n-lea este, de asemenea, egală cu funcția originală:
.

Derivate de ordin superior ale funcției exponențiale

Acum considerăm o funcție exponențială cu o bază de grad a:
.
Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
(15) .

Diferențiând (15), obținem derivate de ordinul doi și trei:
;
.

Vedem că fiecare diferențiere duce la înmulțirea funcției originale cu . Prin urmare, derivata a n-a are următoarea formă:
.

Vezi și: O funcție exponențială este o funcție care are forma unei funcții de putere
y = u v ,
a căror bază u și exponent v sunt unele funcții ale variabilei x :
u = u (X); v=v (X).
Această funcție este numită și putere-exponenţială sau .

Rețineți că funcția exponențială poate fi reprezentată în formă exponențială:
.
Prin urmare, se mai numește funcţie exponenţială complexă.

Derivată a funcției exponențiale

Calcul folosind derivata logaritmică

Aflați derivata funcției exponențiale
(2) ,
unde și sunt funcții ale variabilei .
Pentru a face acest lucru, luăm logaritmul ecuației (2), folosind proprietatea logaritmului:
.
Diferențierea față de x:
(3) .
aplica reguli de diferențiere a unei funcții compuse si functioneaza:
;
.

Înlocuitor în (3):
.
De aici
.

Deci, am găsit derivata funcției exponențiale:
(1) .
Dacă exponentul este constant, atunci . Atunci derivata este egală cu derivata funcției de putere compusă:
.
Dacă baza gradului este constantă, atunci . Atunci derivata este egală cu derivata funcției exponențiale compuse:
.
Când și sunt funcții ale lui x, atunci derivata funcției exponențiale este egală cu suma derivatelor puterii compuse și ale funcțiilor exponențiale.

Calculul derivatei prin reducerea la o funcție exponențială complexă

Acum găsim derivata funcției exponențiale
(2) ,
reprezentând-o ca o funcție exponențială complexă:
(4) .

Să diferențiem produsul:
.
Aplicăm regula pentru găsirea derivatei functie complexa:

.
Și am primit din nou formula (1).

Exemplul 1

Găsiți derivata următoarei funcții:
.

Calculăm folosind derivata logaritmică. Luăm logaritmul funcției inițiale:
(P1.1) .

Din tabelul derivatelor găsim:
;
.
Conform formulei pentru derivata unui produs, avem:
.
Diferențiem (A1.1):
.
Deoarece
,
Acea
.

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții putere (x la puterea lui a). Sunt considerate derivate ale rădăcinilor din x. Formula pentru derivata unei funcții de putere de ordin superior. Exemple de calculare a derivatelor.

Conţinut

Vezi si: Funcția de putere și rădăcini, formule și grafic
Grafice cu funcția de putere

Formule de bază

Derivata lui x la puterea lui a este de ori x la puterea unui minus unu:
(1) .

Derivata rădăcinii a n-a a lui x la puterea a m este:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții de putere

Cazul x > 0

Să considerăm o funcție de putere a variabilei x cu exponent a:
(3) .
Aici a este un număr real arbitrar. Să luăm în considerare mai întâi cazul.

Pentru a găsi derivata funcției (3), folosim proprietățile funcției de putere și o transformăm în următoarea formă:
.

Acum găsim derivata aplicând:
;
.
Aici .

Formula (1) este dovedită.

Derivarea formulei pentru derivata rădăcinii gradului n a lui x la gradul m

Acum luați în considerare o funcție care este rădăcina următoarei forme:
(4) .

Pentru a găsi derivata, convertim rădăcina într-o funcție de putere:
.
Comparând cu formula (3), vedem că
.
Apoi
.

Prin formula (1) găsim derivata:
(1) ;
;
(2) .

În practică, nu este nevoie să memorați formula (2). Este mult mai convenabil să convertiți mai întâi rădăcinile în funcții de putere și apoi să găsiți derivatele lor folosind formula (1) (vezi exemplele de la sfârșitul paginii).

Cazul x = 0

Dacă , atunci funcția exponențială este definită și pentru valoarea variabilei x = 0 . Să găsim derivata funcției (3) pentru x = 0 . Pentru a face acest lucru, folosim definiția unei derivate:
.

Înlocuiește x = 0 :
.
În acest caz, prin derivată înțelegem limita din dreapta pentru care .

Deci am gasit:
.
Din aceasta se poate observa că la , .
La , .
La , .
Acest rezultat se obține și prin formula (1):
(1) .
Prin urmare, formula (1) este valabilă și pentru x = 0 .

cazul x< 0

Luați în considerare din nou funcția (3):
(3) .
Pentru unele valori ale constantei a , este definită și pentru valori negative variabila x. Și anume, să fie Numar rational. Apoi poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă:
,
unde m și n sunt numere întregi fără divizor comun.

Dacă n este impar, atunci funcția exponențială este definită și pentru valorile negative ale variabilei x. De exemplu, pentru n = 3 și m = 1 avem rădăcina cubă a lui x:
.
De asemenea, este definit pentru valori negative ale lui x.

Să găsim derivata funcției de putere (3) pentru și pentru valorile raționale ale constantei a , pentru care este definită. Pentru a face acest lucru, reprezentăm x sub următoarea formă:
.
Apoi ,
.
Găsim derivata luând constanta din semnul derivatei și aplicând regula de diferențiere a unei funcții complexe:

.
Aici . Dar
.
Pentru că atunci
.
Apoi
.
Adică, formula (1) este valabilă și pentru:
(1) .

Derivate de ordin superior

Acum găsim derivatele de ordin superior ale funcției de putere
(3) .
Am găsit deja derivata de ordinul întâi:
.

Luând constanta a din semnul derivatei, găsim derivata de ordinul doi:
.
În mod similar, găsim derivate de ordinul al treilea și al patrulea:
;

.

De aici este clar că derivată de ordin al n-lea arbitrar are următoarea formă:
.

observa asta dacă a este numar natural , , atunci derivata a n-a este constantă:
.
Atunci toate derivatele ulterioare sunt egale cu zero:
,
la .

Exemple derivate

Exemplu

Aflați derivata funcției:
.

Să convertim rădăcinile în puteri:
;
.
Atunci funcția originală ia forma:
.

Găsim derivate de grade:
;
.
Derivata unei constante este zero:
.

Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția derivatei unei funcții într-un punct. Să luăm unde X- orice numar real, acesta este, X– orice număr din zona de definire a funcției . Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limitei se obține o expresie, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Prin urmare, derivata unei functii constanteeste egal cu zero pe întregul domeniu de definiție.

Derivată a unei funcții de putere.

Formula pentru derivata unei funcții putere are forma , unde exponentul p este orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, ...

Vom folosi definiția unei derivate. Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială a lui Newton:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Derivată a funcției exponențiale.

Obținem formula derivată pe baza definiției:

A ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă , iar pentru . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului.

Să efectuăm o înlocuire în limita inițială:

Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, atunci ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale:

Derivată a unei funcții logaritmice.

Să demonstrăm formula pentru derivata funcției logaritmice pentru toate X din domeniul de aplicare și toate valorile de bază valide A logaritm. Prin definiția derivatei, avem:

După cum ați observat, în demonstrație, transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitatea este valabilă datorită celei de-a doua limite remarcabile.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice.

Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus, avem .

Folosim formula pentru diferența de sinusuri:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Deci derivata funcției sin x Există cos x.

Formula pentru derivata cosinus este dovedită exact în același mod.

Prin urmare, derivata funcției cos x Există –sin x.

Derivarea formulelor pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă se va realiza folosind regulile dovedite de diferențiere (derivată a fracției).

Derivate ale funcțiilor hiperbolice.

Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Derivată a funcției inverse.

Pentru ca în prezentare să nu existe confuzie, să notăm în indexul inferior argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) De X.

Acum formulăm regula pentru aflarea derivatei functiei inverse.

Lasă funcțiile y = f(x)Și x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punctul există o derivată finită a funcției inverse g(y), și . Într-o altă intrare .

Această regulă poate fi reformulată pentru oricare X din intervalul , atunci obținem .

Să verificăm validitatea acestor formule.

Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural (Aici y este o funcție și X- argument). Rezolvarea acestei ecuații pentru X, primim (aici X este o funcție și y argumentul ei). Acesta este, și funcții reciproc inverse.

Din tabelul derivatelor, vedem că Și .

Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate:

După cum puteți vedea, am obținut aceleași rezultate ca în tabelul de derivate.

Acum avem cunoștințele pentru a demonstra formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice inverse.

Să începem cu derivata arcsinusului.

. Apoi, prin formula pentru derivata funcției inverse, obținem

Rămâne de realizat transformarea.

Deoarece intervalul arcsinusului este intervalul , Acea (vezi secțiunea privind funcțiile elementare de bază, proprietățile și graficele acestora). Prin urmare, nu luăm în considerare.