Integrare - MT1205: Calcul pentru Economiști - Informatică de Afaceri. Integrarea celor mai simple fracții (elementare) Fracția cea mai simplă de al 2-lea tip are forma

Derivarea formulelor pentru calcularea integralelor din cele mai simple, elementare, fracții de patru tipuri este dată. Integrale mai complexe, din fracții de al patrulea tip, sunt calculate folosind formula de reducere. Se consideră un exemplu de integrare a unei fracții de al patrulea tip.

Vezi si: Tabelul integralelor nedefinite
Metode de calcul a integralelor nedefinite

După cum se știe, orice funcție rațională a unei variabile x poate fi descompusă într-un polinom și fracții simple, elementare. Există patru tipuri de fracții simple:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Aici a, A, B, b, c - numere reale. Ecuația x 2+bx+c=0 nu are rădăcini reale.

Integrarea fracțiilor din primele două tipuri

Integrarea primelor două fracții se face folosind următoarele formule din tabelul de integrale:
,
, n ≠ - 1 .

1. Integrarea unei fracții de primul tip

O fracție de primul tip prin substituție t = x - a se reduce la o integrală de tabel:
.

2. Integrarea unei fracții de al doilea tip

O fracțiune de al doilea tip este redusă la o integrală de tabel prin aceeași substituție t \u003d x - a:

.

3. Integrarea unei fracții de al treilea tip

Luați în considerare integrala unei fracții de al treilea tip:
.
O vom calcula în doi pași.

3.1. Pasul 1. Selectați derivata numitorului din numărător

Selectăm derivata numitorului în numărătorul fracției. Notați: u = x 2+bx+c. Diferențierea: u′ = 2 x + b. Apoi
;
.
Dar
.
Am omis semnul modulo deoarece .

Apoi:
,
Unde
.

3.2. Pasul 2. Calculați integrala cu A = 0, B=1

Acum calculăm integrala rămasă:
.

Aducem numitorul fracției la suma pătratelor:
,
Unde .
Considerăm că ecuația x 2+bx+c=0 nu are rădăcini. De aceea .

Să facem o înlocuire
,
.
.

Asa de,
.

Astfel, am găsit o integrală a unei fracții de al treilea tip:

,
Unde .

4. Integrarea unei fracții de al patrulea tip

Și, în sfârșit, luați în considerare integrala unei fracții de al patrulea tip:
.
O calculăm în trei pași.

4.1) Selectăm derivata numitorului în numărător:
.

4.2) Calculați integrala
.

4.3) Calculați integrale
,
folosind formula de turnare:
.

4.1. Pasul 1. Extragerea derivatei numitorului din numărător

Selectăm derivata numitorului în numărător, așa cum am făcut în . Notați u = x 2+bx+c. Diferențierea: u′ = 2 x + b. Apoi
.

.
Dar
.

În sfârșit avem:
.

4.2. Pasul 2. Calculul integralei cu n = 1

Calculăm integrala
.
Calculul acestuia este stabilit în .

4.3. Pasul 3. Derivarea formulei de reducere

Acum luați în considerare integrala
.

Aducem trinomul pătrat la suma pătratelor:
.
Aici .
Facem o înlocuire.
.
.

Efectuăm transformări și integrăm pe părți.




.

Înmulțit cu 2(n - 1):
.
Revenim la x și I n .
,
;
;
.

Deci, pentru I n avem formula de reducere:
.
Aplicând succesiv această formulă, reducem integrala I n la I 1 .

Exemplu

Calculați integrala

1. Selectăm derivata numitorului din numărător.
;
;


.
Aici
.

2. Calculăm integrala celei mai simple fracții.

.

3. Aplicam formula de reducere:

pentru integrala .
În cazul nostru b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Scriem această formulă pentru n = 2 și n = 3 :
;
.
De aici

.

În sfârșit avem:

.
Găsim coeficientul la .
.

Materialul prezentat în această temă se bazează pe informațiile prezentate la tema „Fracțiuni raționale. Descompunerea fracțiilor raționale în fracții elementare (simple)”. Vă sfătuiesc cu tărie să răsfoiți cel puțin acest subiect înainte de a continua să citiți acest material. În plus, vom avea nevoie de un tabel de integrale nedefinite.

Permiteți-mi să vă reamintesc câțiva termeni. Au fost discutate în subiectul relevant, așa că aici mă voi limita la o scurtă formulare.

Raportul a două polinoame $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ se numește funcție rațională sau fracție rațională. Fracția rațională se numește corect dacă $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется gresit.

Fracțiile raționale elementare (cele mai simple) se numesc fracții raționale patru tipuri:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Notă (de dorit pentru o mai bună înțelegere a textului): show\hide

De ce este necesară condiția $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим ecuație pătratică$x^2+px+q=0$. Discriminantul acestei ecuații este $D=p^2-4q$. De fapt, condiția $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

De exemplu, pentru expresia $x^2+5x+10$ obținem: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Deoarece $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Apropo, pentru această verificare nu este necesar ca coeficientul din fața lui $x^2$ să fie egal cu 1. De exemplu, pentru $5x^2+7x-3=0$ obținem: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Deoarece $D > 0$, expresia $5x^2+7x-3$ este factorizabilă.

Pot fi găsite exemple de fracții raționale (regulate și improprii), precum și exemple de descompunere a unei fracții raționale în fracții elementare. Aici ne interesează doar întrebările legate de integrarea lor. Să începem cu integrarea fracțiilor elementare. Deci, fiecare dintre cele patru tipuri de fracții elementare de mai sus este ușor de integrat folosind formulele de mai jos. Permiteți-mi să vă reamintesc că la integrarea fracțiilor de tip (2) și (4) se presupune $n=2,3,4,\ldots$. Formulele (3) și (4) necesită condiția $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ecuație)

Pentru $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ se face înlocuirea $t=x+\frac(p)(2)$, după care integrala rezultată este împărțit în două. Primul va fi calculat prin introducerea lui sub semnul diferenţial, iar al doilea va arăta ca $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Această integrală este luată folosind relația de recurență

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\în N \end(ecuație)

Calculul unei astfel de integrale este analizat în exemplul nr. 7 (vezi partea a treia).

Schema de calcul a integralelor din funcții raționale (fracții raționale):

1. Dacă integrandul este elementar, atunci se aplică formulele (1)-(4).
2. Dacă integrandul nu este elementar, atunci reprezentați-l ca o sumă de fracții elementare și apoi integrați folosind formulele (1)-(4).

Algoritmul de mai sus pentru integrarea fracțiilor raționale are un avantaj incontestabil - este universal. Acestea. Folosind acest algoritm, se poate integra orice fracție rațională. De aceea aproape toate înlocuirile de variabile în integrala nedefinită (substituții Euler, Chebyshev, substituție trigonometrică universală) se fac în așa fel încât după această înlocuire să obținem o fracție rațională sub interval. Și aplicați algoritmul. Vom analiza aplicarea directă a acestui algoritm folosind exemple, după ce facem o mică notă.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

În principiu, această integrală este ușor de obținut fără aplicarea mecanică a formulei. Dacă scoatem constanta $7$ din semnul integral și luăm în considerare că $dx=d(x+9)$, atunci obținem:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Pentru informatii detaliate recomand sa te uiti la subiect. Acesta explică în detaliu cum se rezolvă astfel de integrale. Apropo, formula este dovedită prin aceleași transformări care au fost aplicate în acest paragraf la rezolvarea „manual”.

2) Din nou, există două moduri: să aplici o formulă gata făcută sau să te descurci fără ea. Dacă aplicați formula, atunci ar trebui să țineți cont de faptul că va trebui eliminat coeficientul din fața lui $x$ (numărul 4). Pentru a face acest lucru, pur și simplu le scoatem pe cele patru dintre paranteze:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Acum este timpul să aplicați formula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Puteți face fără a utiliza formula. Și chiar și fără a scoate constanta $4$ din paranteze. Dacă luăm în considerare că $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, atunci obținem:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Explicații detaliate despre găsirea unor astfel de integrale sunt oferite în subiectul „Integrare prin substituție (introducere sub semnul diferențial)” .

3) Trebuie să integrăm fracția $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Această fracție are structura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, unde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Cu toate acestea, pentru a vă asigura că aceasta este într-adevăr o fracțiune elementară a celui de-al treilea tip, trebuie să verificați condiția $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Să rezolvăm același exemplu, dar fără a folosi formula gata făcută. Să încercăm să izolăm derivata numitorului în numărător. Ce înseamnă acest lucru? Știm că $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Este expresia $2x+10$ pe care trebuie să o izolăm în numărător. Până acum, numărătorul conține doar $4x+7$ , dar acest lucru nu este pentru mult timp. Aplicați următoarea transformare numărătorului:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Acum expresia necesară $2x+10$ a apărut în numărător. Și integrala noastră poate fi rescrisă după cum urmează:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Să despărțim integrandu-ul în două. Ei bine, și, în consecință, integrala în sine este, de asemenea, „divizată”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Să vorbim mai întâi despre prima integrală, adică. aproximativ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Deoarece $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, atunci diferenţialul numitorului este situat în numărătorul integrandului. Pe scurt, în schimb din expresia $( 2x+10)dx$ scriem $d(x^2+10x+34)$.

Acum să spunem câteva cuvinte despre a doua integrală. Să evidențiem pătratul complet la numitor: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. În plus, luăm în considerare $dx=d(x+5)$. Acum, suma integralelor obținute de noi mai devreme poate fi rescrisă într-o formă ușor diferită:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Dacă facem schimbarea $u=x^2+10x+34$ în prima integrală, atunci aceasta va lua forma $\int\frac(du)(u)$ și se ia prin simpla aplicare a celei de-a doua formule din . În ceea ce privește integrala a doua, înlocuirea $u=x+5$ este fezabilă pentru aceasta, după care ia forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Aceasta este cea mai pură apă, a unsprezecea formulă din tabelul integralelor nedefinite. Deci, revenind la suma integralelor, vom avea:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Am primit același răspuns ca atunci când am aplicat formula , ceea ce, de fapt, nu este surprinzător. În general, formula este dovedită prin aceleași metode pe care le-am folosit pentru a găsi această integrală. Cred că un cititor atent poate avea o întrebare aici, de aceea o voi formula:

Intrebarea 1

Dacă aplicăm a doua formulă din tabelul de integrale nedefinite la integrala $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, atunci obținem următoarele:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

De ce a lipsit modulul din soluție?

Răspuns la întrebarea #1

Întrebarea este complet legitimă. Modulul a lipsit doar pentru că expresia $x^2+10x+34$ pentru orice $x\în R$ este mai mare decât zero. Acest lucru este destul de ușor de arătat în mai multe moduri. De exemplu, deoarece $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ și $(x+5)^2 ≥ 0$, atunci $(x+5)^2+9 > 0$ . Este posibil să judeci într-un mod diferit, fără a implica selecția unui pătrat complet. Deoarece $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ pentru orice $x\in R$ (dacă acest lanț logic este surprinzător, vă sfătuiesc să vă uitați la metoda grafică de rezolvare a inegalităților pătrate). În orice caz, deoarece $x^2+10x+34 > 0$, atunci $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, adică. puteți folosi paranteze normale în locul unui modul.

Toate punctele exemplului nr. 1 sunt rezolvate, rămâne doar să notăm răspunsul.

Răspuns:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Exemplul #2

Aflați integrala $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

La prima vedere, integrandul $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ este foarte asemănător cu o fracție elementară de al treilea tip, adică. la $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Se pare că singura diferență este coeficientul $3$ în fața lui $x^2$, dar nu va dura mult pentru a elimina coeficientul (din paranteze). Cu toate acestea, această asemănare este evidentă. Pentru fracția $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ condiția $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Coeficientul nostru în fața lui $x^2$ nu este egal cu unul, așa că verificați condiția $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, deci expresia $3x^2-5x-2$ poate fi factorizată. Și aceasta înseamnă că fracția $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nu este o fracție elementară de al treilea tip și se aplică integralului $\int\frac(7x+12)( Formula 3x^2- 5x-2)dx$ nu este permisă.

Ei bine, dacă fracția rațională dată nu este elementară, atunci trebuie reprezentată ca o sumă de fracții elementare și apoi integrată. Pe scurt, traseu profitați de . Cum se descompune o fracție rațională în fracțiuni elementare este scris în detaliu. Să începem prin factorizarea numitorului:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(aliniat)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Reprezentăm fracția subinternă în următoarea formă:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Acum să extindem fracția $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ în fracția elementară:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ dreapta). $$

Pentru a afla coeficienții $A$ și $B$ există două modalități standard: metoda coeficienților nedeterminați și metoda substituției valorilor parțiale. Să aplicăm metoda de substituție a valorii parțiale prin înlocuirea $x=2$ și apoi $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\dreapta); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Deoarece au fost găsiți coeficienții, rămâne doar să notăm expansiunea finală:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

În principiu, puteți lăsa această intrare, dar îmi place o versiune mai exactă:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Revenind la integrala originală, înlocuim expansiunea rezultată în ea. Apoi împărțim integrala în două și aplicăm formula fiecăruia. Prefer să scot imediat constantele din afara semnului integral:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Răspuns: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Exemplul #3

Aflați integrala $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebuie să integrăm fracția $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Numătorul este un polinom de gradul doi, iar numitorul este un polinom de gradul trei. Deoarece gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, i.e. 2 dolari< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Trebuie doar să împărțim integrala dată în trei și să aplicăm formula fiecăruia. Prefer să scot imediat constantele din afara semnului integral:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Răspuns: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

O continuare a analizei exemplelor acestui subiect se află în partea a doua.

Fracția se numește corect dacă puterea cea mai mare a numărătorului este mai mică decât puterea cea mai mare a numitorului. Integrala unei fracții raționale propriu-zise are forma:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Formula de integrare a fracțiilor raționale depinde de rădăcinile polinomului din numitor. Dacă polinomul $ ax^2+bx+c $ are:

1. Numai rădăcini complexe, atunci este necesar să selectați un pătrat întreg din acesta: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^2 \pm a^2) $$
2. Diferite rădăcini reale $ x_1 $ și $ x_2 $, atunci trebuie să extindeți integrala și să găsiți coeficienții nedeterminați $ A $ și $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. O rădăcină multiplă $ x_1 $, apoi extindem integrala și găsim coeficienții nedeterminați $ A $ și $ B $ pentru această formulă: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Dacă fracția este gresit, adică gradul cel mai înalt în numărător este mai mare sau egal cu gradul cel mai înalt al numitorului, apoi mai întâi trebuie redus la corect minte împărțind polinomul de la numărător la polinomul de la numitor. În acest caz, formula pentru integrarea unei fracții raționale este:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Exemple de soluții

După cum vom vedea mai jos, nu orice funcție elementară are o integrală exprimată în funcții elementare. Prin urmare, este foarte important să se evidențieze astfel de clase de funcții ale căror integrale sunt exprimate în termeni de funcții elementare. Cea mai simplă dintre aceste clase este clasa funcțiilor raționale.

Orice funcție rațională poate fi reprezentată ca o fracție rațională, adică ca raport a două polinoame:

Fără a limita generalitatea argumentului, vom presupune că polinoamele nu au rădăcini comune.

Dacă numărătorul este sub gradul numitorului, atunci fracția se numește proprie, în caz contrar fracția se numește improprie.

Dacă fracția este improprie, atunci prin împărțirea numărătorului la numitor (conform regulii împărțirii polinoamelor), puteți reprezenta această fracție ca sumă a unui polinom și a unei fracții regulate:

aici este un polinom și este o fracție proprie.

Exemplul t. Să fie dată o fracție rațională improprie

Împărțind numărătorul la numitor (după regula împărțirii polinoamelor), obținem

Deoarece integrarea polinoamelor nu este dificilă, principala dificultate în integrarea fracțiilor raționale este integrarea fracțiilor raționale proprii.

Definiție. Fracții raționale proprii ale formei

sunt numite cele mai simple fracții de tipurile I, II, III și IV.

Integrarea celor mai simple fracții de tipurile I, II și III nu este foarte dificilă, așa că le vom integra fără explicații suplimentare:

Calculele mai complexe necesită integrarea celor mai simple fracții de tip IV. Să ni se dea o integrală de acest tip:

Să facem transformări:

Prima integrală se ia prin substituire

A doua integrală - o notăm cu și o scriem sub forma

prin presupunere, rădăcinile numitorului sunt complexe și, prin urmare, în continuare, procedăm în felul următor:

Să transformăm integrala:

Integrarea pe părți, avem

Înlocuind această expresie în egalitatea (1), obținem

Partea dreaptă conține o integrală de același tip ca și exponentul numitorului integrand unul dedesubt; astfel, ne-am exprimat în termeni de . Continuând pe aceeași cale, ajungem la binecunoscuta integrală.

Înainte de a continua cu integrarea celor mai simple fracții pentru a găsi integrala nedefinită a unei funcții raționale fracțional, se recomandă reîmprospătarea memoriei secțiunii „Descompunerea unei fracții în cea mai simplă”.

Exemplul 1

Sa gasim integrală nedefinită∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .

Soluţie

Selectăm partea întreagă împărțind coloana polinomului la polinom, ținând cont de faptul că gradul numărătorului integrandului este egal cu gradul numitorului:

Deci 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x . Am obținut o fracție rațională adecvată - 2 x + 3 x 3 + x, pe care acum o extindem în fracții simple - 2 x + 3 x 3 + x \u003d 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Prin urmare,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 log x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Am obținut o integrală a celei mai simple fracții de al treilea tip. Il poti lua aducand-o sub semnul diferentialului.

Deoarece d x 2 + 1 = 2 x d x , atunci 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1 . De aceea
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Prin urmare,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , unde C \u003d - C 1

Să descriem metode de integrare a celor mai simple fracții din fiecare dintre cele patru tipuri.

Integrarea celor mai simple fracții de primul tip A x - a

Folosim metoda de integrare directă pentru a rezolva această problemă:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Exemplul 2

Găsiți un set funcții antiderivate y = 3 2 x - 1 .

Soluţie

Folosind regula de integrare, proprietățile antiderivatei și tabelul antiderivatelor, găsim integrala nedefinită ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k x + b d x = 1 k F k x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Răspuns: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Integrarea fracțiilor simple de al doilea tip A x - a n

Aici aplicăm și metoda integrării directe: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Exemplul 3

Este necesar să găsim integrala nedefinită ∫ d x 2 x - 3 7 .

Soluţie

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 - 6 x - 3 2 6 + C = = 1 2 - 6 2 6 x - 3 2 6 + C = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

Răspuns:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

Integrarea fracțiilor simple de al treilea tip M x + N x 2 + p x + q , D = p 2 - 4 q< 0

Ca o primă etapă, reprezentăm integrala nedefinită ∫ M x + N x 2 + p x + q ca o sumă:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Pentru a lua prima integrală, folosim metoda de subsumare sub semnul diferențial:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 log x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

De aceea,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Am obţinut integrala ∫ d x x 2 + p x + q . Să îi transformăm numitorul:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Prin urmare,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Formula pentru integrarea celor mai simple fracții ale celui de-al treilea tip ia forma:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Exemplul 4

Este necesar să găsim integrala nedefinită ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .

Soluţie

Să aplicăm formula:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

A doua soluție arată astfel:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = \u003d r a n d e n t a n d a n t = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Răspuns: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Integrarea celor mai simple fracții de al patrulea tip M x + N (x 2 + p x + q) n , D = p 2 - 4 q< 0

În primul rând, efectuăm însumarea sub semnul diferenţialului:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Atunci găsim o integrală de forma J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n folosind formule recurente. Informații despre formulele recurente pot fi găsite în subiectul „Integrare folosind formule recurente”.

Pentru a rezolva problema noastră, o formulă recurentă de forma J n \u003d 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q - p 2 · J n - 1 .

Exemplul 5

Este necesar să găsim integrala nedefinită ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

Soluţie

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Vom folosi metoda substituției pentru acest tip de integrand. Să introducem o nouă variabilă x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Primim:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ dz (z 2 + 1) 3

Am ajuns să găsim integrala unei fracții de al patrulea tip. În cazul nostru, avem coeficienții M=0, p=0, q=1, N=1și n=3. Aplicam formula recursiva:

J 3 \u003d ∫ d z (z 2 + 1) 3 \u003d 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) (4 1 - 0) (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) + C

După înlocuirea inversă z = x 2 - 1 obținem rezultatul:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Răspuns:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter