Proprietățile de bază ale integralei nedefinite. Integrale pentru manechine: cum se rezolvă, reguli de calcul, explicație Derivată a unei integrale nedefinite cu un integrand

Aceste proprietăți sunt folosite pentru a efectua transformări ale integralei pentru a o aduce la una dintre integralele elementare și calcule ulterioare.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

4. Un factor constant poate fi scos din semnul integral:

Mai mult, a ≠ 0

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație a proprietăților 4 și 5:

Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Daca atunci

8. Proprietate:

Daca atunci

De fapt, această proprietate este caz special integrarea folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Luați în considerare un exemplu:

Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.

Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și le poate găsi cu ușurință solutie detaliata pentru integrala ta.

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru elită. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar știu puțin sau nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare a integralei pe care o știi este să obții ceva util din locuri greu accesibile cu un cârlig în formă de pictogramă integrală, atunci bine ai venit! Învață cum să rezolvi integrale simple și alte integrale și de ce nu te poți descurca fără ea la matematică.

Studiem conceptul « integrală »

Integrarea era deja cunoscută în Egiptul antic. Bineînțeles că nu în formă modernă, dar inca. De atunci, matematicienii au scris foarte multe cărți pe această temă. Deosebit de distins newton Și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază. analiză matematică. Informații despre limite și derivate, necesare înțelegerii integralelor, le avem deja în blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Integrala nedefinită a funcției f(x) se numeste o astfel de functie F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți articolul nostru despre cum să calculați derivatele.

Primivul există pentru toată lumea funcții continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a unei integrale se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivatele funcțiilor elementare, este convenabil să le aduceți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, a masei unui corp neomogen trecut prin mișcare neuniformă cale și nu numai. Trebuie amintit că integrala este suma infinitului un numar mare termeni infinitezimali.

Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.

Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de un grafic al unei funcții? Cu ajutorul unei integrale! Să despărțim trapezul curbiliniu, mărginit de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este integrala definită, care se scrie după cum urmează:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice fel de muncă

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechin

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici vom lua în considerare proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile în rezolvarea exemplelor.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Adevărat și pentru diferență:

Proprietățile Integralei Definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt inversate:

• La orice puncte A, bȘi Cu:

Am aflat deja că integrala definită este limita sumei. Dar cum să ajungi sens specific cand rezolvi un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos luăm în considerare integrala nedefinită și exemplele cu soluții. Vă oferim să înțelegeți în mod independent complexitățile soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesional pentru studenți și orice triplu sau integrală curbilinie pe o suprafață închisă va fi în puterea ta.

Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este opusul diferențierii și anume refacerea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția restabilită în acest fel F(X) se numește primitiv pentru functie f(X).

Definiție 1. Funcție F(X f(X) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile X din acest interval egalitatea F "(X)=f(X), adică această funcție f(X) este derivata funcției antiderivative F(X). .

De exemplu, funcția F(X) = păcat X este antiderivată pentru funcție f(X) = cos X pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat X)" = (cos X) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(X) este colecția tuturor antiderivatelor sale. Aceasta folosește notația

∫

f(X)dx

unde este semnul ∫ se numește semn integral, funcție f(X) este un integrand și f(X)dx este integrantul.

Astfel, dacă F(X) este un antiderivat pentru f(X) , Acea

∫

f(X)dx = F(X) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii funcții antiderivate ca integrală nedefinită, este adecvată următoarea analogie. Să fie o ușă (o ușă tradițională de lemn). Funcția sa este „a fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Dintr-un copac. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate desemna, pt. de exemplu, o specie de copac. La fel cum o uşă este făcută din lemn cu unele unelte, derivata unei funcţii este „facut” din funcţia antiderivată cu formula pe care am învățat-o studiind derivata .

Apoi tabelul de funcții ale obiectelor comune și primitivele lor corespunzătoare ("a fi o ușă" - "a fi un copac", "a fi o lingură" - "a fi un metal", etc.) este similar cu tabelul de integrale nedefinite de bază, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune, indicând antiderivatele din care sunt „alcătuite” aceste funcții. Ca parte a problemelor de găsire a unei integrale nedefinite, sunt date astfel de integranți care pot fi integrați direct fără eforturi speciale, adică conform tabelului de integrale nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi transformat, astfel încât integralele tabelare să poată fi utilizate.

Faptul 2. Restabilind o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară Cși pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diferite constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, astfel: 5 X³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 X³+4 sau 5 X³+3 și la diferențierea 4 sau 3 sau orice altă constantă dispare.

Punem problema de integrare: pentru o functie data f(X) găsiți o astfel de funcție F(X), al cărui derivat este egal cu f(X).

Exemplul 1 Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(X) se numește antiderivată pentru funcție f(X) dacă derivata F(X) este egal cu f(X), sau, ceea ce este același lucru, diferența F(X) este egal cu f(X) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este antiderivată pentru funcția . Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Sunt și funcții

Unde CU este o constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un set infinit de antiderivate care diferă printr-un sumand constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2). Dacă F(X) este antiderivată pentru funcție f(X) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(X) pe același interval poate fi reprezentat ca F(X) + C, Unde CU este o constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem deja la tabelul integralelor, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a ne familiariza cu întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime la integrare.

Exemplul 2 Găsiți seturi de antiderivate:

Soluţie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată, acceptați doar că există astfel de formule și vom studia tabelul integralelor nedefinite în întregime puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pentru n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) la n= -1/4 găsi

Sub semnul integral, ei nu scriu funcția în sine f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica ce variabilă este căutată antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile luate în considerare se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a unei variabile X, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să fie necesar să se găsească o curbă y=F(x)și știm deja că tangentea pantei tangentei în fiecare dintre punctele sale este funcţie dată f(x) abscisa acestui punct.

După semnificația geometrică a derivatei, tangentei pantei tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci, trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este derivat din f(x). Condiția problemei este satisfăcută nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre aceste curbe și orice altă curbă pot fi obținute din aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. Dacă F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) este o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la origine este determinată de o constantă (constant) arbitrară de integrare C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(X) este egală cu funcția f(X) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Multiplicator constantîn integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică

Lasă funcția y = f(X) este definită pe intervalul [ A, b ], A < b. Să efectuăm următoarele operații:

1) împărțire [ A, b] puncte A = X 0 < X 1 < ... < X i- 1 < X i < ... < X n = b pe n segmente parțiale [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X n- 1 , X n ];

2) în fiecare dintre segmentele parțiale [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... n, alegeți un punct arbitrar și calculați valoarea funcției în acest punct: f(z i ) ;

3) găsiți lucrări f(z i ) · Δ X i , unde este lungimea segmentului parțial [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... n;

4) compune suma integrală funcții y = f(X) pe segmentul [ A, b ]:

Din punct de vedere geometric, această sumă σ este suma ariilor dreptunghiurilor ale căror baze sunt segmente parțiale [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X n- 1 , X n ], iar înălțimile sunt f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) respectiv (Fig. 1). Notează prin λ lungimea celui mai mare segment parțial:

5) găsiți limita sumei integrale când λ → 0.

Definiție. Dacă există o limită finită a sumei integrale (1) și aceasta nu depinde de metoda de împărțire a segmentului [ A, b] în segmente parțiale, nici din alegerea punctelor z iîn ele, atunci această limită se numește integrala definita din functie y = f(X) pe segmentul [ A, b] și notat

Prin urmare,

În acest caz, funcția f(X) se numește integrabil pe [ A, b]. Numerele AȘi b sunt numite limitele inferioare și, respectiv, superioare ale integrării, f(X) este integrandul, f(X ) dx- integrand, X– variabila de integrare; segment de linie [ A, b] se numește interval de integrare.

Teorema 1. Dacă funcţia y = f(X) este continuă pe intervalul [ A, b], atunci este integrabil pe acest interval.

Integrala definită cu aceleași limite de integrare este egală cu zero:

Dacă A > b, apoi, prin definiție, stabilim

2. Sensul geometric al unei integrale determinate

Fie pe intervalul [ A, b] funcţie continuă nenegativă y = f(X ) . Trapez curbiliniu se numește figură mărginită de sus de graficul unei funcții y = f(X), de jos - de axa Ox, la stânga și la dreapta - prin linii drepte x = aȘi x = b(Fig. 2).

Integrală definită a unei funcții nenegative y = f(X) din punct de vedere geometric egal cu suprafata trapez curbiliniu, mărginită de sus de graficul funcției y = f(X) , în stânga și în dreapta - după segmente de linie x = aȘi x = b, de jos - de un segment al axei Ox.

3. Proprietățile de bază ale unei integrale definite

1. Valoarea integralei definite nu depinde de notația variabilei de integrare:

2. Un factor constant poate fi scos din semnul unei integrale definite:

3. Integrala definită a sumei algebrice a două funcții este egală cu suma algebrică integrale definite din aceste caracteristici:

4.funcția dacă y = f(X) este integrabil pe [ A, b] Și A < b < c, Acea

5. (teorema valorii medii). Dacă funcţia y = f(X) este continuă pe intervalul [ A, b], atunci pe acest segment există un punct astfel încât

4. Formula Newton–Leibniz

Teorema 2. Dacă funcţia y = f(X) este continuă pe intervalul [ A, b] Și F(X) este oricare dintre antiderivatele sale pe acest segment, atunci următoarea formulă este adevărată:

Care e numit formula Newton-Leibniz. Diferență F(b) - F(A) se scrie astfel:

unde caracterul se numește caracter joker dublu.

Astfel, formula (2) poate fi scrisă astfel:

Exemplul 1 Calculați integrala

Soluţie. Pentru integrand f(X ) = X 2 o antiderivată arbitrară are forma

Deoarece orice antiderivată poate fi folosită în formula Newton-Leibniz, pentru a calcula integrala luăm antiderivată, care are cea mai simplă formă:

5. Schimbarea variabilei într-o integrală definită

Teorema 3. Lasă funcția y = f(X) este continuă pe intervalul [ A, b]. Dacă:

1) funcția X = φ ( t) și derivata sa φ "( t) sunt continue pentru ;

2) un set de valori ale funcției X = φ ( t) pentru este segmentul [ A, b ];

3) φ ( A) = A, φ ( b) = b, apoi formula

Care e numit schimbarea formulei variabilei într-o integrală definită .

Spre deosebire de integrala nedeterminată, în acest caz nu este necesar pentru a reveni la variabila de integrare originală - este suficient doar să găsiți noi limite de integrare α și β (pentru aceasta este necesar să rezolvați variabila t ecuații φ ( t) = Ași φ ( t) = b).

În loc de înlocuire X = φ ( t) puteți folosi înlocuirea t = g(X). În acest caz, găsirea de noi limite de integrare în raport cu variabila t simplifică: α = g(A) , β = g(b) .

Exemplul 2. Calculați integrala

Soluţie. Să introducem o nouă variabilă conform formulei . Punând la pătrat ambele părți ale ecuației, obținem 1 + x= t 2 , Unde x= t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Găsim noi limite ale integrării. Pentru a face acest lucru, înlocuim vechile limite în formulă x= 3 și x= 8. Obtinem: , de unde t= 2 și α = 2; , Unde t= 3 și β = 3. Deci,

Exemplul 3 calculati

Soluţie. Lăsa u=ln X, Apoi , v = X. Prin formula (4)

Antiderivată și integrală nedefinită.

O funcție antiderivată f(x) pe intervalul (a; b) este o astfel de funcție F(x) încât egalitatea este valabilă pentru orice x dintr-un interval dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata constantei C este egală cu zero, atunci egalitatea . Astfel, funcția f(x) are un set de antiderivate F(x)+C, pentru o constantă arbitrară C, iar aceste antiderivate diferă între ele printr-o valoare constantă arbitrară.

Întregul set de antiderivate ale funcției f(x) se numește integrală nedefinită a acestei funcții și se notează .

Expresia se numește integrand, iar f(x) se numește integrand. Integrandul este diferența funcției f(x).

Se numește acțiunea de a găsi o funcție necunoscută prin diferența dată integrare nedeterminată, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F(x), ci mulțimea antiderivatelor sale F(x)+C.

Integrale de tabel

Cele mai simple proprietăți ale integralelor

1. Derivata rezultatului integrării este egală cu integrandul.

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma funcţiei în sine şi a unei constante arbitrare.

3. Coeficientul poate fi scos din semnul integralei nedefinite.

4. Integrala nedefinită a sumei/diferenței de funcții este egală cu suma/diferența integralelor nedefinite de funcții.

Egalitățile intermediare ale primei și celei de-a doua proprietăți ale integralei nedefinite sunt date pentru clarificare.

Pentru a demonstra a treia și a patra proprietăți, este suficient să găsim derivatele părților din dreapta ale egalităților:

Aceste derivate sunt egale cu integranții, ceea ce este dovada în virtutea primei proprietăți. Este folosit și în ultimele tranziții.

Astfel, problema integrării este inversul problemei diferențierii, iar între aceste probleme există foarte legătură strânsă:

prima proprietate permite verificarea integrării. Pentru a verifica corectitudinea integrarii efectuate este suficient sa se calculeze derivata rezultatului obtinut. Dacă funcția obținută ca urmare a diferențierii se dovedește a fi egală cu integrandul, atunci aceasta va însemna că integrarea a fost efectuată corect;

a doua proprietate a integralei nedefinite ne permite să găsim antiderivată din diferenţialul cunoscut al unei funcţii. Calculul direct al integralelor nedefinite se bazează pe această proprietate.

1.4 Invarianța formelor de integrare.

Integrarea invariantă este un tip de integrare pentru funcții ale căror argumente sunt elemente ale unui grup sau puncte ale unui spațiu omogen (orice punct al unui astfel de spațiu poate fi transferat la altul printr-o acțiune dată a grupului).

functia f(x) se reduce la calculul integralei formei diferentiale f.w, unde

O formulă explicită pentru r(x) este dată mai jos. Condiția de acord are forma .

aici Tg înseamnă operatorul de schimbare pe X folosind gOG: Tgf(x)=f(g-1x). Fie X=G o topologie, un grup care acționează asupra lui însuși prin deplasări la stânga. Eu si. există dacă și numai dacă G este compact local (în special, pe grupuri infinit-dimensionale, un int. nu există). Pentru un subset de I. şi. funcția caracteristică cA (egal cu 1 pe A și 0 în afara A) definește măsura Haar din stânga m(A). Proprietatea definitorie a acestei măsuri este invarianța sa sub deplasări la stânga: m(g-1A)=m(A) pentru toate gОG. Măsura Haar din stânga pe un grup este definită în mod unic până la un factor scalar stabilit. Dacă măsura Haar m este cunoscută, atunci I. și. funcția f este dată de formula . Măsura Haar corectă are proprietăți similare. Există un homomorfism continuu (mapping care păstrează proprietatea grupului) DG al grupului G în grupul (în ceea ce privește înmulțirea) pus. numere pentru care

unde dmr si dmi sunt masurile Haar dreapta si stanga. Se numește funcția DG(g). modulul grupului G. Dacă , atunci se numește grupul G. unimodular; în acest caz, măsurile Haar din dreapta și din stânga sunt aceleași. Grupurile compacte, semisimple și nilpotente (în special, comutative) sunt unimodulare. Dacă G este un grup Lie n-dimensional și q1,...,qn este o bază în spațiul formelor 1 invariante stânga pe G, atunci măsura Haar din stânga pe G este dată de forma n . În coordonate locale pentru calcul

formele qi, puteți utiliza orice implementare matrice a grupului G: matricea 1-form g-1dg este invariantă la stânga, iar coef. sunt 1-forme scalare invariante la stânga, din care se alege baza dorită. De exemplu, grupul complet de matrice GL(n, R) este unimodular și măsura Haar pe acesta este dată de o formă. Lăsa X=G/H este un spațiu omogen pentru care grupul local compact G este un grup de transformare și subgrupul închis H este un stabilizator al unui punct. Pentru ca un I.I. să existe pe X, este necesar și suficient ca egalitatea DG(h)=DH(h) să fie valabilă pentru toate hОH. În special, acest lucru este adevărat atunci când H este compact sau semisimplu. Teoria completă a lui I. şi. nu există pe varietăți infinit-dimensionale.

Schimbarea variabilelor.