Integrala nedefinită este. Definiția integralei nedefinite. Metode de bază de integrare

Calcul integral.

funcţie primitivă.

Definiție: Se numește funcția F(x). funcția antiderivată funcțiile f(x) pe segmentul , dacă în orice punct al acestui segment egalitatea este adevărată:

Trebuie remarcat faptul că pot exista infinite de antiderivate pentru aceeași funcție. Ele vor diferi unele de altele printr-un număr constant.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Integrală nedefinită.

Definiție: Integrală nedefinită funcțiile f(x) este un set de funcții antiderivate, care sunt definite prin relația:

Scrie:

Condiția existenței unei integrale nedefinite pe un anumit segment este continuitatea funcției pe acest segment.

Proprietăți:

1.

2.

3.

4.

Exemplu:

Găsirea valorii integralei nedefinite este în principal legată de găsirea funcției antiderivative. Pentru unele funcții, aceasta este o sarcină destul de dificilă. Mai jos vom lua în considerare metode de găsire a integralelor nedefinite pentru principalele clase de funcții - raționale, iraționale, trigonometrice, exponențiale etc.

Pentru comoditate, valorile integralelor nedefinite ale majorității funcțiilor elementare sunt colectate în tabele speciale de integrale, care uneori sunt foarte voluminoase. Acestea includ diverse cele mai comune combinații de funcții. Dar cele mai multe dintre formulele prezentate în aceste tabele sunt consecințe unele ale altora, așa că mai jos este un tabel de integrale de bază, cu care puteți obține valorile integralelor nedefinite ale diferitelor funcții.

Metode de integrare.

Să luăm în considerare trei metode de bază de integrare.

Integrare directă.

Metoda integrării directe se bazează pe presupunerea valorii posibile a funcției antiderivate cu verificarea ulterioară a acestei valori prin diferențiere. În general, observăm că diferențierea este un instrument puternic pentru verificarea rezultatelor integrării.

Luați în considerare aplicarea acestei metode pe un exemplu:

Este necesar să se găsească valoarea integralei . Pe baza binecunoscutei formule de diferențiere
putem concluziona că integrala dorită este egală cu
, unde C este un număr constant. Cu toate acestea, pe de altă parte
. Astfel, putem concluziona în sfârșit:

Rețineți că, spre deosebire de diferențiere, în care s-au folosit tehnici și metode clare pentru a găsi derivatul, regulile pentru găsirea derivatei și, în sfârșit, definiția derivatei, astfel de metode nu sunt disponibile pentru integrare. Dacă, la găsirea derivatei, am folosit, ca să spunem așa, metode constructive, care, în baza unor reguli, au condus la un rezultat, atunci la găsirea antiderivatei trebuie să ne bazăm în principal pe cunoașterea tabelelor de derivate și antiderivate.

În ceea ce privește metoda integrării directe, aceasta este aplicabilă doar pentru unele clase foarte limitate de funcții. Există foarte puține funcții pentru care puteți găsi imediat antiderivatul. Prin urmare, în cele mai multe cazuri, sunt utilizate metodele descrise mai jos.

Metoda de substituție (înlocuirea variabilelor).

Teorema: Dacă doriți să găsiți integrala
, dar este greu de găsit antiderivată, atunci prin înlocuirea x = (t) și dx = (t)dt obținem:

Dovada : Să diferențiem egalitatea propusă:

Conform proprietății nr. 2 de mai sus din integrala nedeterminată:

f(X) dx = f[  (t)]  (t) dt

care, ținând cont de notația introdusă, este ipoteza inițială. Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Aflați integrala nedefinită
.

Să facem un înlocuitor t = sinx, dt = cosxdt.

Exemplu.

Înlocuire
Primim:

Mai jos vom lua în considerare și alte exemple de utilizare a metodei de substituție pentru diferite tipuri de funcții.

Integrare pe părți.

Metoda se bazează pe formula binecunoscută pentru derivatul unui produs:

(uv) = uv + vu

unde u și v sunt unele funcții ale lui x.

Sub formă diferenţială: d(uv) = udv + vdu

După integrare, obținem:
, și în conformitate cu proprietățile de mai sus ale integralei nedefinite:

sau
;

Am obținut o formulă de integrare pe părți care ne permite să găsim integralele multor funcții elementare.

Exemplu.

După cum puteți vedea, aplicarea consecventă a formulei de integrare pe părți vă permite să simplificați treptat funcția și să aduceți integrala la una tabelară.

Exemplu.

Se poate observa că, ca urmare a aplicării repetate a integrării pe părți, funcția nu a putut fi simplificată la o formă tabelară. Cu toate acestea, ultima integrală obținută nu este diferită de cea inițială. Prin urmare, îl transferăm în partea stângă a egalității.

Astfel, integrala a fost găsită fără a utiliza deloc tabelele de integrale.

Înainte de a analiza în detaliu metodele de integrare a diferitelor clase de funcții, mai dăm câteva exemple de găsire a integralelor nedefinite prin reducerea lor la cele tabulare.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Integrarea fracțiilor elementare.

Definiție: Elementar fracțiile din următoarele patru tipuri se numesc:

eu.
III.

II.
IV.

m, n numere întregi(m  2, n  2) și b 2 - 4ac<0.

Primele două tipuri de integrale ale fracțiilor elementare sunt pur și simplu reduse la substituții tabelare t = ax + b.

Luați în considerare o metodă de integrare a fracțiilor elementare de forma III.

Integrala unei fracții de tip III poate fi reprezentată ca:

Aici, în termeni generali, este prezentată reducerea integralei unei fracții de forma III la două integrale tabelare.

Luați în considerare aplicarea formulei de mai sus cu exemple.

Exemplu.

În general, dacă trinomul ax 2 + bx + c are expresia b 2 - 4ac > 0, atunci fracția nu este prin definiție elementară, totuși poate fi integrată în modul de mai sus.

Exemplu.

Exemplu.

Să luăm acum în considerare metodele de integrare a celor mai simple fracții de tip IV.

Mai întâi, luăm în considerare un caz special pentru M = 0, N = 1.

Apoi integrala formei
poate fi reprezentat prin evidenţierea pătratului complet la numitor ca
. Să facem următoarea transformare:

A doua integrală inclusă în această egalitate va fi luată pe părți.

Denota:

Pentru integrala originală obținem:

Formula rezultată se numește recurent. Dacă îl aplicați de n-1 ori, obțineți o integrală de tabel
.

Să revenim acum la integrala lui fracție elementară tipul IV în cazul general.

În egalitatea rezultată, prima integrală utilizând substituția t = u 2 + s se reduce la tabelar , iar formula recurentă considerată mai sus se aplică integralei a doua.

În ciuda complexității aparente a integrării unei fracții elementare de tip IV, în practică este destul de ușor să o aplicați la fracții cu un grad mic. n, iar universalitatea și generalitatea abordării fac posibilă implementarea acestei metode foarte simplu pe un computer.

Exemplu:

Integrarea funcţiilor raţionale.

Integrarea fracțiilor raționale.

Pentru a integra o fracție rațională este necesară descompunerea ei în fracții elementare.

Teorema: Dacă
este o fracție rațională proprie, al cărei numitor P(x) este reprezentat ca un produs al factorilor liniari și pătratici (rețineți că orice polinom cu coeficienți reali poate fi reprezentat după cum urmează: P(X) = (X - A)  …(X - b)  (X 2 + px + q)  …(X 2 + rx + s)  ), atunci această fracție poate fi descompusă în fracțiuni elementare după următoarea schemă:

unde A i , B i , M i , Ni , R i , S i sunt niște valori constante.

La integrarea fracțiilor raționale se recurge la descompunerea fracției inițiale în fracții elementare. Pentru a găsi valorile A i , B i , M i , N i , R i , S i folosiți așa-numitele metoda coeficienților nedeterminați, a cărei esență este că pentru ca două polinoame să fie identic egale, este necesar și suficient ca coeficienții la aceleași puteri ale lui x să fie egali.

Vom lua în considerare aplicarea acestei metode pe un exemplu specific.

Exemplu.

Reducând la un numitor comun și echivalând numărătorii corespunzători, obținem:

Exemplu.

Deoarece Dacă fracția nu este corectă, atunci ar trebui să selectați mai întâi partea întreagă din ea:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x3 + 8x2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x2-25x-25

Descompunem numitorul fracției rezultate în factori. Se poate observa că la x = 3 numitorul fracției devine zero. Apoi:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Deci 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3)(3x 2 + 5x - 2) = (x - 3)(x + 2)(3x - 1). Apoi:

Pentru a evita la găsirea coeficienților nesiguri de deschidere a parantezelor, gruparea și rezolvarea unui sistem de ecuații (care în unele cazuri se poate dovedi a fi destul de mare), așa-numitul metoda valorii arbitrare. Esența metodei este că mai multe (în funcție de numărul de coeficienți nesiguri) x valori arbitrare sunt înlocuite în expresia obținută mai sus. Pentru a simplifica calculele, se obișnuiește să se ia drept valori arbitrare punctele la care numitorul fracției este egal cu zero, adică. în cazul nostru - 3, -2, 1/3. Primim:

În sfârșit obținem:

=

Exemplu.

Să găsim coeficienți nedeterminați:

Atunci valoarea integralei date:

Integrarea unor trigonometrice

funcții.

Pot exista infinite integrale ale funcțiilor trigonometrice. Majoritatea acestor integrale nu pot fi calculate deloc analitic, așa că să luăm în considerare câteva dintre principalele tipuri de funcții care pot fi întotdeauna integrate.

Integrala formei
.

Aici R este desemnarea unei funcții raționale a variabilelor sinx și cosx.

Integrale de acest tip sunt calculate folosind substituția
. Această înlocuire vă permite să convertiți o funcție trigonometrică într-una rațională.

,

Apoi

Prin urmare:

Transformarea descrisă mai sus se numește substituție trigonometrică universală.

Exemplu.

Avantajul neîndoielnic al acestei substituții este că poate fi întotdeauna folosită pentru a transforma o funcție trigonometrică într-una rațională și a calcula integrala corespunzătoare. Dezavantajele includ faptul că transformarea poate avea ca rezultat o funcție rațională destul de complexă, a cărei integrare va necesita mult timp și efort.

Totuși, dacă este imposibil să se aplice o modificare mai rațională a variabilei, această metodă este singura eficientă.

Exemplu.

Integrala formei
Dacă

funcţieRcosx.

În ciuda posibilității de a calcula o astfel de integrală folosind substituția trigonometrică universală, este mai rațional să se aplice substituția t = sinx.

Funcţie
poate conține cosx doar la puteri pare și, prin urmare, poate fi convertit într-o funcție rațională în raport cu sinx.

Exemplu.

În general, pentru a aplica această metodă, este necesară doar neobișnuirea funcției față de cosinus, iar gradul sinusului inclus în funcție poate fi oricare, atât întreg cât și fracționar.

Integrala formei
Dacă

funcţieReste ciudat cu privire lasinx.

Prin analogie cu cazul considerat mai sus, substituirea t = cosx.

Exemplu.

Integrala formei

funcţieRchiar relativsinxȘicosx.

Pentru a transforma funcția R într-una rațională, se folosește substituția

t = tgx.

Exemplu.

Integrală a produsului sinusurilor și cosinusurilor

diverse argumente.

În funcție de tipul de lucru, se va aplica una dintre cele trei formule:

Exemplu.

Exemplu.

Uneori, la integrarea funcțiilor trigonometrice, este convenabil să folosiți formule trigonometrice binecunoscute pentru a reduce ordinea funcțiilor.

Exemplu.

Exemplu.

Uneori sunt folosite unele trucuri non-standard.

Exemplu.

Integrarea unor funcții iraționale.

Nu orice funcție irațională poate avea o integrală exprimată prin funcții elementare. Pentru a găsi integrala unei funcții iraționale, ar trebui să se aplice o substituție care să permită transformarea funcției într-una rațională, a cărei integrală poate fi întotdeauna găsită, după cum se știe, întotdeauna.

Luați în considerare câteva tehnici de integrare a diferitelor tipuri de funcții iraționale.

Integrala formei
Unden- numar natural.

Cu ajutorul substituirii
funcția este raționalizată.

Exemplu.

Dacă funcția irațională include rădăcini de diferite grade, atunci este rațional să se ia ca variabilă nouă rădăcina gradului egală cu cel mai mic multiplu comun al puterilor rădăcinilor incluse în expresie.

Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplu.

Integrarea diferenţialelor binomiale.

Lecția 2. Calcul integral

Integrala nedefinită și ea sens geometric. Proprietățile de bază ale integralei nedefinite.

Metode de bază de integrare a integralei nedefinite.

Integrală definită și semnificația ei geometrică.

formula Newton-Leibniz. Metode de calcul a unei integrale definite.

Cunoscând derivata sau diferențiala unei funcții, puteți găsi această funcție în sine (restaurează funcția). Această acțiune, inversa diferențierii, se numește integrare.

funcția antiderivatăîn raport cu această funcție se numește o astfel de funcție
, a cărei derivată este egală cu funcția dată, adică.

Pentru această funcție există un număr infinit de funcţii antiderivate, deoarece oricare dintre funcții
, este, de asemenea, antiderivat pentru .

Mulțimea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată se numește ei integrală nedefinită notat cu simbolul:

, Unde

se numește integrand, funcție
- functia integrand.

Sensul geometric al integralei nedefinite. Geometric, integrala nedefinită este o familie de curbe integrale în plan, obținute prin translația paralelă a graficului funcției
de-a lungul axei y (Fig. 3).

Proprietățile de bază ale integralei nedefinite

Proprietatea 1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

Proprietatea 2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

Proprietatea 3. Integrala diferenţială a unei funcţii este egală cu această funcţie plus const:

Proprietatea 4. Linearitatea integralei.

Tabelul integralelor de bază

Metode de bază de integrare

Metoda de integrare pe părți este o metodă care constă în utilizarea formulei:

.

Această metodă este utilizată atunci când integrala
este mai ușor de rezolvat decât
. De regulă, această metodă rezolvă integralele formei
, Unde
este un polinom și este una dintre următoarele funcții:
,
,
, , ,
,
.

Luați în considerare o funcție
, definit pe interval
, orez. 4. Să facem 5 operații.

1. Împărțiți intervalul cu puncte în mod arbitrar părți. Denota
, iar cea mai mare dintre lungimile acestor secțiuni parțiale va fi notat cu , va fi numit rangul de divizare.

2. Pe fiecare parcelă parțială
luați un punct arbitrar și calculați valoarea funcției din ea
.

3. Compune o lucrare

4. Adunați suma
. Această sumă se numește sumă integrală sau sumă Riemann.

5. Rafinarea zdrobirii (prin creșterea numărului de puncte de zdrobire) și în același timp tinderea gradului de zdrobire la zero (
) adică (creșterea numărului de puncte de strivire, ne asigurăm că lungimea tuturor secțiunilor parțiale scade și tinde spre zero
), vom găsi limita șirului de sume integrale

Dacă această limită există, nu depinde de metoda de împărțire și de alegerea punctelor, atunci se numește integrala definita dintr-o funcție pe un interval și se notează după cum urmează:
.

Sensul geometric al unei integrale definite. Să presupunem că funcția este continuă și pozitivă pe intervalul . Luați în considerare un trapez curbiliniu ABCD(Fig. 4). Suma integrală
ne dă suma ariilor dreptunghiurilor cu baze
și înălțimi
. Poate fi luată ca valoare aproximativă a zonei trapez curbiliniu ABCD , adică

,

în plus, această egalitate va fi cu atât mai precisă, cu cât zdrobirea va fi mai fină, iar în limita la n→+∞ Și λ → 0 vom obține:

.

Acesta este sensul geometric al integralei definite.

Proprietățile de bază ale unei integrale definite

Proprietatea 1. O integrală definită cu aceleași limite este egală cu zero.

Proprietatea 2. Când limitele integrării sunt interschimbate, integrala definită își schimbă semnul în opus.

Proprietatea 3. Linearitatea integralei.

Proprietatea 4. Oricare ar fi numerele, dacă funcția
integrabil pe fiecare dintre intervale
,
,
(Fig. 5), apoi:

Teorema. Dacă funcția este continuă pe intervalul , atunci integrala definită a acestei funcții pe interval este egală cu diferența dintre valorile oricărei antiderivate a acestei funcții pe limitele superioare și inferioare de integrare, adică.

(formula Newton-Leibniz) .

Această formulă reduce găsirea integralelor definite la găsirea integralelor nedefinite. Diferență
se numește increment al antiderivatei și se notează
.

Luați în considerare principalele modalități de calculare a integralei definite: modificarea variabilelor (substituție) și integrarea pe părți.

Înlocuirea (înlocuirea unei variabile) într-o integrală definită - trebuie să faceți următoarele:

Și
;

Cometariu. Când se calculează integrale definite folosind substituție, nu este nevoie să se revină la argumentul inițial.

2. Integrarea pe părți într-o integrală definită se rezumă la aplicarea formulei:

.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exercitiul 1. Aflați integrala nedefinită prin integrare directă.

1.
. Folosind proprietatea integralei nedefinite, scoatem factorul constant din semnul integral. Apoi, efectuând transformări matematice elementare, aducem integrantul la o formă de putere:

.

Sarcina 2. Găsiți integrala nedefinită folosind metoda schimbării variabilei.

1.
. Să schimbăm variabila
, Apoi . Integrala originală va lua forma:

Astfel, am obținut o integrală nedefinită a unei forme tabelare: o funcție de putere. Folosind regula pentru găsirea integralei nedefinite a unei funcții de putere, găsim:

Făcând înlocuirea inversă, obținem răspunsul final:

Sarcina 3. Aflați integrala nedefinită folosind metoda integrării pe părți.

1.
. Să introducem următoarea notație: sens ... de bază concept integrală calcul- concept nedefinită integrală ... nedefinită integrală Principal proprietăți nedefinită integrală Utilizați tabelul major incert ...

Sarcina principală a calculului diferențial este de a găsi derivata f'(X) sau diferential df=f'(X)dx funcții f(X).În calculul integral se rezolvă problema inversă. De funcţie dată f(X) este necesar să se găsească o astfel de funcție F(X), Ce F'(x)=f(X) sau dF(x)=F'(X)dx=f(X)dx.

Prin urmare, sarcina principală a calculului integral este o funcție de recuperare F(X) prin derivata (diferenţialul) cunoscută a acestei funcţii. Calculul integral are numeroase aplicații în geometrie, mecanică, fizică și tehnologie. Oferă o metodă generală de găsire a zonelor, volumelor, centrelor de greutate etc.

Definiție. FuncţieF(x), , se numește antiderivată pentru funcțief(x) pe multimea X daca este diferentiabila pentru oricare siF'(x)=f(x) saudF(x)=f(X)dx.

Teorema. Orice continuu pe segmentul [A;b] funcţiaf(x) are o antiderivată pe acest segmentF(x).

Teorema. DacăF 1 (x) șiF 2 (x) sunt două antiderivate diferite cu aceeași funcțief(x) pe mulțimea x, atunci ele diferă între ele printr-un termen constant, adică.F 2 (x)=F1x)+C, unde C este o constantă.

Integrală nedefinită, proprietățile sale.

Definiție. AgregatF(x)+C a tuturor antiderivatelorf(x) pe mulțimea X se numește integrală nedefinită și se notează:

În formula (1) f(X)dx numit integrand,f(x) este integrandul, x este variabila de integrare, A C este constanta integrării.

Luați în considerare proprietățile integralei nedefinite care decurg din definiția ei.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, diferentiala integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

3. Factorul constant a (a≠0) poate fi scos din semnul integralei nedefinite:

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor acestor funcții:

5. DacăF(x) este antiderivată a funcțieif(x), atunci:

6 (invarianța formulelor de integrare). Orice formulă de integrare își păstrează forma dacă variabila de integrare este înlocuită cu orice funcție diferențiabilă a acestei variabile:

Undeu este o funcție diferențiabilă.

Tabelul integralelor nedefinite.

Să aducem reguli de bază pentru integrarea funcţiilor.

Să aducem tabelul integralelor nedefinite de bază.(Rețineți că aici, ca și în calculul diferențial, litera u poate fi denumită o variabilă independentă (u=X), și o funcție a variabilei independente (u=tu(X)).)

Se numesc integralele 1 - 17 tabular.

Unele dintre formulele de mai sus ale tabelului de integrale, care nu au un analog în tabelul de derivate, sunt verificate prin diferențierea părților din dreapta.

Schimbarea variabilei și integrarea pe părți în integrala nedefinită.

Integrarea prin substituire (modificarea variabilei). Să fie necesar să se calculeze integrala

Teorema. Lasă funcțiax=φ(t) este definită și diferențiabilă pe o mulțime T și fie X mulțimea de valori ale acestei funcție pe care este definită funcțiaf(X). Atunci dacă pe setul X funcțiaf(

Integrala este o parte importantă a calculului diferenţial. Integralele pot fi duble, triple etc. Pentru a găsi suprafața și volumul corpurilor geometrice sunt utilizate diferite tipuri de integrale.

Integrala nedefinită are forma: \(∫f (x)\, dx\) și integrala definita are forma: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)

Aria planului delimitată de graficul unei integrale definite:

Operațiile de integrare sunt inverse diferențierii. Din acest motiv, trebuie să ne amintim de antiderivată, funcție, tabel de derivate.

Funcția \(F (x) = x^2\) este antiderivată a funcției \(f (x) = 2x\) . Funcțiile \(f (x) = x^2+2\) și \(f (x) = x^2+7\) sunt, de asemenea, antiderivate pentru funcția \(f (x) = 2x\) . \(2\) și \(7-\) sunt constante ale căror derivate sunt egale cu zero, așa că le putem înlocui cât ne place, valoarea antiderivatei nu se va modifica. Pentru a scrie integrala nedefinită se folosește semnul \(∫\) . Integrală nedefinită este colecția tuturor antiderivate ale funcției \(f (x) = 2x\) . Operațiile de integrare sunt inverse diferențierii. \(∫2x = x^2+C\) , unde \(C\) este constanta integrării, adică dacă calculăm derivata \(x^2\) , obținem \(2x\) și aceasta este \ (∫2x\) . Ușor, nu-i așa? Dacă nu înțelegeți, atunci trebuie să repetați derivata funcției. Acum putem deriva formula prin care vom calcula integrala: \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n ​​​​≠ -1\). am scăzut 1, acum adăugăm 1, n nu poate fi 0. Există și alte reguli de integrare pentru alte funcții de bază de învățat:

Rezolvarea unei integrale nedefinite este procesul invers de găsire a antiderivatelor ecuație diferențială. Găsim o funcție a cărei derivată este o integrală și nu uitați să adăugați „+ C” la sfârșit.

Principiile calculului integral au fost formulate independent de Isaac Newton și Gottfried Leibniz la sfârșitul secolului al XVII-lea. Bernhard Riemann a dat o definiție matematică riguroasă a integralelor. Prima metodă sistematică documentată capabilă să determine integralele este metoda de calcul a astronomului grec antic Eudoxus, care a încercat să găsească zone și volume descompunându-le într-un număr infinit de zone și volume cunoscute. Această metodă a fost dezvoltată și utilizată în continuare de Arhimede în secolul al III-lea î.Hr. e. și a fost folosit pentru a calcula ariile parabolelor și pentru a aproxima aria unui cerc.

O metodă similară a fost dezvoltată independent în China în jurul secolului al III-lea d.Hr. de către Liu Hui, care a folosit-o pentru a găsi aria unui cerc. Această metodă a fost folosită mai târziu în secolul al V-lea de matematicienii chinezi, tată și fiu, Zu Chongzhi și Zu Geng, pentru a găsi volumul unei sfere.

Următoarele dezvoltări semnificative în calculul integral nu au apărut decât în ​​secolul al XVII-lea. În acest timp, munca lui Cavalieri și Fermat a început să pună bazele calculului modern.

În special, teorema fundamentală a calculului integral face posibilă rezolvarea unei clase mult mai largi de probleme. La fel de importantă este structura matematică complexă pe care Newton și Leibniz au dezvoltat-o. Această structură a integralelor este preluată direct din lucrarea lui Leibniz și a devenit calculul integral modern.Calculul a fost modificat de Riemann folosind limite. Ulterior, au fost luate în considerare funcții mai generale, mai ales în contextul analizei Fourier, cărora nu se aplică definiția lui Riemann. Lebesgue a formulat o altă definiție a integralei bazată pe teoria măsurii (un subdomeniu al analizei reale).

Notația modernă pentru integrala nedefinită a fost introdusă de Gottfried Leibniz în 1675.

Integralele sunt utilizate pe scară largă în multe domenii ale matematicii. De exemplu, în teoria probabilității, integralele sunt folosite pentru a determina probabilitatea de a atinge un anumit variabilă aleatorieîntr-un anumit interval.

Integralele pot fi utilizate pentru a calcula aria unei regiuni 2D care are o limită curbă, precum și pentru a calcula volumul unui obiect 3D cu o limită curbă.

Integralele sunt folosite în fizică, în domenii precum cinematica, pentru a găsi deplasarea, timpul și viteza.

Definiţia antiderivative.

O funcție antiderivată f(x) pe intervalul (a; b) este o astfel de funcție F(x) încât egalitatea este valabilă pentru orice x dintr-un interval dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata constantei C este egală cu zero, atunci egalitatea . Astfel, funcția f(x) are un set de antiderivate F(x)+C , pentru o constantă arbitrară C , iar aceste antiderivate diferă între ele printr-o valoare constantă arbitrară.

Definiția integralei nedefinite.

Întregul set de antiderivate ale funcției f(x) se numește integrală nedefinită a acestei funcții și se notează .

Expresia se numește integrandși f(x) integrand. Integrandul este diferența funcției f(x) .

Se numește acțiunea de a găsi o funcție necunoscută prin diferența dată incert integrarea, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F(x) , ci mulțimea antiderivatelor sale F(x)+C .

Pe baza proprietăților derivatului, se poate formula și dovedi proprietățile integralei nedefinite(proprietățile antiderivatei).

Egalitățile intermediare ale primei și celei de-a doua proprietăți ale integralei nedefinite sunt date pentru clarificare.

Pentru a demonstra a treia și a patra proprietăți, este suficient să găsim derivatele părților din dreapta ale egalităților:

Aceste derivate sunt egale cu integranții, ceea ce este dovada în virtutea primei proprietăți. Este folosit și în ultimele tranziții.

Astfel, problema integrării este inversul problemei diferențierii, iar între aceste probleme există foarte legătură strânsă:

• prima proprietate permite verificarea integrării. Pentru a verifica corectitudinea integrarii efectuate este suficient sa se calculeze derivata rezultatului obtinut. Dacă funcția obținută ca urmare a diferențierii se dovedește a fi egală cu integrandul, atunci aceasta va însemna că integrarea a fost efectuată corect;
• a doua proprietate a integralei nedefinite ne permite să găsim antiderivată din diferenţialul cunoscut al unei funcţii. Calculul direct al integralelor nedefinite se bazează pe această proprietate.

Luați în considerare un exemplu.

Exemplu.

Găsi funcția antiderivată, a cărui valoare este egală cu unu la x = 1.

Soluţie.

Din calculul diferenţial ştim că (uitați-vă doar la tabelul derivatelor funcțiilor elementare de bază). Prin urmare, . Prin a doua proprietate . Adică avem un set de antiderivate. Pentru x = 1 obținem valoarea . Prin condiție, această valoare trebuie să fie egală cu unu, prin urmare, С = 1. Antiderivatul dorit va lua forma .

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită și verificați rezultatul prin diferențiere.

Soluţie.

După formula sinusului unui unghi dublu din trigonometrie , De aceea