Integrați tipurile și proprietățile sale. Integrale pentru manechine: cum se rezolvă, reguli de calcul, explicație. Factorul constant poate fi scos din semnul integral

Lasă funcția y = f(X) este definită pe intervalul [ A, b ], A < b. Să efectuăm următoarele operații:

1) împărțire [ A, b] puncte A = X 0 < X 1 < ... < X i- 1 < X i < ... < X n = b pe n segmente parțiale [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X n- 1 , X n ];

2) în fiecare dintre segmentele parțiale [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... n, alegeți un punct arbitrar și calculați valoarea funcției în acest punct: f(z i ) ;

3) găsiți lucrări f(z i ) · Δ X i , unde este lungimea segmentului parțial [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... n;

4) compune suma integrală funcții y = f(X) pe segmentul [ A, b ]:

Din punct de vedere geometric, această sumă σ este suma ariilor dreptunghiurilor ale căror baze sunt segmente parțiale [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X n- 1 , X n ], iar înălțimile sunt f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) respectiv (Fig. 1). Notează prin λ lungimea celui mai mare segment parțial:

5) găsiți limita sumei integrale când λ → 0.

Definiție. Dacă există o limită finită a sumei integrale (1) și aceasta nu depinde de metoda de împărțire a segmentului [ A, b] în segmente parțiale, nici din alegerea punctelor z iîn ele, atunci această limită se numește integrala definita din functie y = f(X) pe segmentul [ A, b] și notat

Prin urmare,

În acest caz, funcția f(X) se numește integrabil pe [ A, b]. Numerele AȘi b sunt numite limitele inferioare și, respectiv, superioare ale integrării, f(X) este integrandul, f(X ) dx- integrand, X– variabila de integrare; segment de linie [ A, b] se numește interval de integrare.

Teorema 1. Dacă funcţia y = f(X) este continuă pe intervalul [ A, b], atunci este integrabil pe acest interval.

Integrala definită cu aceleași limite de integrare este egală cu zero:

Dacă A > b, apoi, prin definiție, stabilim

2. Sensul geometric al unei integrale determinate

Fie pe intervalul [ A, b] funcţie continuă nenegativă y = f(X ) . Trapez curbiliniu se numește figură mărginită de sus de graficul unei funcții y = f(X), de jos - de axa Ox, la stânga și la dreapta - prin linii drepte x = aȘi x = b(Fig. 2).

Integrală definită a unei funcții nenegative y = f(X) din punct de vedere geometric egal cu suprafata trapez curbiliniu, mărginită de sus de graficul funcției y = f(X) , în stânga și în dreapta - după segmente de linie x = aȘi x = b, de jos - de un segment al axei Ox.

3. Proprietățile de bază ale unei integrale definite

1. Sens integrala definita nu depinde de notația variabilei de integrare:

2. Un factor constant poate fi scos din semnul unei integrale definite:

3. Integrala definită a sumei algebrice a două funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții:

4.funcția dacă y = f(X) este integrabil pe [ A, b] Și A < b < c, Acea

5. (teorema valorii medii). Dacă funcţia y = f(X) este continuă pe intervalul [ A, b], atunci pe acest segment există un punct astfel încât

4. Formula Newton–Leibniz

Teorema 2. Dacă funcţia y = f(X) este continuă pe intervalul [ A, b] Și F(X) este oricare dintre antiderivatele sale pe acest segment, atunci următoarea formulă este adevărată:

Care e numit formula Newton-Leibniz. Diferență F(b) - F(A) se scrie astfel:

unde caracterul se numește caracter joker dublu.

Astfel, formula (2) poate fi scrisă astfel:

Exemplul 1 Calculați integrala

Soluţie. Pentru integrand f(X ) = X 2 o antiderivată arbitrară are forma

Deoarece orice antiderivată poate fi utilizată în formula Newton-Leibniz, pentru a calcula integrala luăm antiderivată, care are cea mai simplă formă:

5. Schimbarea variabilei într-o integrală definită

Teorema 3. Lasă funcția y = f(X) este continuă pe intervalul [ A, b]. Dacă:

1) funcția X = φ ( t) și derivata sa φ "( t) sunt continue pentru ;

2) un set de valori ale funcției X = φ ( t) pentru este segmentul [ A, b ];

3) φ ( A) = A, φ ( b) = b, apoi formula

Care e numit schimbarea formulei variabilei într-o integrală definită .

Spre deosebire de integrală nedefinită, în acest caz nu este necesar pentru a reveni la variabila de integrare originală - este suficient doar să găsiți noi limite de integrare α și β (pentru aceasta este necesar să rezolvați variabila t ecuații φ ( t) = Ași φ ( t) = b).

În loc de înlocuire X = φ ( t) puteți folosi înlocuirea t = g(X). În acest caz, găsirea de noi limite de integrare în raport cu variabila t simplifică: α = g(A) , β = g(b) .

Exemplul 2. Calculați integrala

Soluţie. Să introducem o nouă variabilă conform formulei . Punând la pătrat ambele părți ale ecuației, obținem 1 + x= t 2 , Unde x= t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Găsim noi limite ale integrării. Pentru a face acest lucru, înlocuim vechile limite în formulă x= 3 și x= 8. Obtinem: , de unde t= 2 și α = 2; , Unde t= 3 și β = 3. Deci,

Exemplul 3 calculati

Soluţie. Lăsa u=ln X, Apoi , v = X. Prin formula (4)

În acest articol, enumerăm principalele proprietăți ale unei integrale definite. Cele mai multe dintre aceste proprietăți sunt dovedite pe baza conceptelor lui Riemann și Darboux de integrală definită.

Calculul integralei definite se realizează foarte des folosind primele cinci proprietăți, așa că ne vom referi la ele atunci când este necesar. Proprietățile rămase ale integralei definite sunt utilizate în principal pentru a evalua diferite expresii.

Înainte de a trece la proprietățile de bază ale unei integrale definite, suntem de acord că a nu depășește b .

Pentru funcția y = f(x) , definită pentru x = a , egalitatea este adevărată.

Adică, valoarea integralei definite cu aceleași limite de integrare este zero. Această proprietate este o consecință a definiției integralei Riemann, deoarece în acest caz fiecare sumă integrală pentru orice partiție a intervalului și orice alegere de puncte este egală cu zero, deoarece, prin urmare, limita sumelor integrale este zero.

Pentru o funcție integrabilă pe un segment, avem .

Cu alte cuvinte, atunci când limitele superioare și inferioare de integrare sunt inversate, valoarea integralei definite este inversată. Această proprietate a unei integrale definite rezultă și din conceptul de integrală Riemann, doar numerotarea partiției unui segment ar trebui să înceapă din punctul x = b.

pentru funcțiile y = f(x) și y = g(x) integrabile pe un interval.

Dovada.

Scriem suma integrală a funcției pentru o anumită partiție a segmentului și o anumită alegere de puncte:

unde și sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f(x) și respectiv y = g(x) pentru o partiție dată a segmentului.

Trecerea la limita la obținem că, prin definiția integralei Riemann, este echivalentă cu afirmarea proprietății care se dovedește.

Factorul constant poate fi scos din semnul unei integrale definite. Adică pentru o funcție integrabilă pe un segment y = f(x) și număr arbitrar k .

Dovada acestei proprietăți a unei integrale definite este absolut similară cu cea anterioară:


Fie funcția y = f(x) integrabilă pe intervalul X , și și apoi .

Această proprietate este valabilă pentru ambele și pentru sau .

Demonstrarea poate fi efectuată pe baza proprietăților anterioare ale integralei definite.

Dacă o funcție este integrabilă pe un segment, atunci este și integrabilă pe orice segment intern.

Dovada se bazează pe proprietatea sumelor Darboux: dacă se adaugă puncte noi la partiția existentă a segmentului, atunci suma Darboux inferioară nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Dacă funcția y = f(x) este integrabilă pe interval și pentru orice valoare a argumentului , atunci .

Această proprietate este dovedită prin definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere de puncte de împărțire a segmentului și puncte la va fi nenegativă (nu pozitivă).

Consecinţă.

Pentru funcțiile y = f(x) și y = g(x) integrabile pe un interval, sunt valabile următoarele inegalități:


Această afirmație înseamnă că integrarea inegalităților este admisibilă. Vom folosi acest corolar pentru a demonstra următoarele proprietăți.

Fie funcția y = f(x) integrabilă pe segmentul , apoi inegalitatea .

Dovada.

Este evident că . În proprietatea anterioară, am aflat că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen, prin urmare, este adevărat . Această dublă inegalitate poate fi scrisă ca .

Fie ca funcțiile y = f(x) și y = g(x) să fie integrabile pe interval și pentru orice valoare a argumentului , atunci , Unde Și .

Dovada se face într-un mod similar. Deoarece m și M sunt cele mai mici și cea mai mare valoare funcția y = f(x) pe segmentul , atunci . Înmulțirea inegalității duble cu funcția nenegativă y = g(x) ne conduce la următoarea inegalitate dublă. Integrându-l pe segmentul , ajungem la afirmația de demonstrat.

Consecinţă.

Dacă luăm g(x) = 1, atunci inegalitatea ia forma .

Prima formulă pentru medie.

Fie funcția y = f(x) integrabilă pe segmentul , și , atunci există un număr astfel încât .

Consecinţă.

Dacă funcția y = f(x) este continuă pe segmentul , atunci există un număr astfel încât .

Prima formulă a valorii medii într-o formă generalizată.

Fie funcțiile y = f(x) și y = g(x) integrabile pe intervalul , și , și g(x) > 0 pentru orice valoare a argumentului . Apoi există un număr astfel încât .

A doua formulă pentru medie.

Dacă pe un segment funcția y = f(x) este integrabilă și y = g(x) este monotonă, atunci există un număr astfel încât egalitatea .

În calculul diferențial, problema este rezolvată: sub funcția dată ƒ(x) găsiți derivata acesteia(sau diferential). Calculul integral rezolvă problema inversă: pentru a găsi funcția F (x), cunoscând derivata ei F "(x) \u003d ƒ (x) (sau diferențială). Funcția dorită F (x) se numește antiderivată a funcției ƒ (x).

Se numește funcția F(x). primitiv funcția ƒ(x) pe intervalul (a; b), dacă pentru orice x є (a; b) egalitatea

F " (x)=ƒ(x) (sau dF(x)=ƒ(x)dx).

De exemplu, funcția antiderivată y \u003d x 2, x є R, este o funcție, deoarece

Evident, antiderivatele vor fi, de asemenea, orice funcție

unde C este o constantă, deoarece

Teorema 29. 1. Dacă funcția F(x) este antiderivată a funcției ƒ(x) pe (a;b), atunci mulțimea tuturor antiderivatelor pentru ƒ(x) este dată de formula F(x)+ C, unde C este un număr constant.

▲ Funcția F(x)+C este antiderivată a lui ƒ(x).

Într-adevăr, (F(x)+C) „=F” (x)=ƒ(x).

Fie F(x) altul, diferit de F(x), antiderivată a unei funcțiiƒ(х) , adică Ф "(x)=ƒ(х). Atunci pentru orice x є (a; b) avem

Și aceasta înseamnă (vezi Corolarul 25.1) că

unde C este un număr constant. Prin urmare, Ф(х)=F(x)+С.▼

Se numește mulțimea tuturor funcțiilor primitive F(x)+C pentru ƒ(x). integrală nedefinită a funcției ƒ(x)și se notează prin simbolul ∫ ƒ(x) dx.

Deci prin definiție

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Aici se numește ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - variabila de integrare, ∫ -semn integral nedefinit.

Operația de găsire a unei integrale nedefinite a unei funcții se numește integrarea acestei funcții.

Integrala nedefinită geometric este o familie de curbe „paralele” y \u003d F (x) + C (fiecare valoare numerică a lui C corespunde unei anumite curbe a familiei) (vezi Fig. 166). Graficul fiecărei antiderivate (curbe) se numește curbă integrală.

Fiecare funcție are o integrală nedefinită?

Există o teoremă care spune că „orice funcție continuă pe (a;b) are o antiderivată pe acest interval”, și, în consecință, o integrală nedefinită.

Remarcăm o serie de proprietăți ale integralei nedefinite care decurg din definiția ei.

1. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul, iar derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) „=ƒ(x).

Într-adevăr, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Datorită acestei proprietăți, corectitudinea integrării este verificată prin diferențiere. De exemplu, egalitatea

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

adevărat, deoarece (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

∫dF(x)=F(x)+C.

Într-adevăr,

3. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

α ≠ 0 este o constantă.

Într-adevăr,

(puneți C 1 / a \u003d C.)

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții continue este egală cu suma algebrică a integralelor termenilor funcțiilor:

Fie F"(x)=ƒ(x) și G"(x)=g(x). Apoi

unde C 1 ±C 2 \u003d C.

5. (Invarianța formulei de integrare).

Dacă , unde u=φ(x) este o funcție arbitrară care are o derivată continuă.

▲ Fie x variabila independentă, ƒ(x) - functie continua iar F(x) este antiderivatul său. Apoi

Să setăm acum u=φ(x), unde φ(x) este o funcție diferențiabilă continuu. Se consideră o funcție complexă F(u)=F(φ(x)). Datorită invarianţei formei primei diferenţiale a funcţiei (vezi p. 160), avem

De aici▼

Astfel, formula pentru integrala nedefinită rămâne valabilă indiferent dacă variabila de integrare este o variabilă independentă sau orice funcție a acesteia care are o derivată continuă.

Deci, din formula prin înlocuirea x cu u (u=φ(x)) obținem

În special,

Exemplul 29.1. Găsiți integrala

unde C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Exemplul 29.2. Găsiți soluția integrală:

• 29.3. Tabelul integralelor nedefinite de bază

Profitând de faptul că integrarea este inversul diferențierii, se poate obține un tabel de integrale de bază inversând formulele corespunzătoare ale calculului diferențial (tabelul diferențialelor) și folosind proprietățile integralei nedefinite.

De exemplu, deoarece

d(sin u)=cos u . du,

Derivarea unui număr de formule de tabel va fi dată în considerarea principalelor metode de integrare.

Integralele din tabelul de mai jos se numesc integrale tabulare. Ele trebuie cunoscute pe de rost. În calculul integral nu există reguli simple și universale pentru găsirea antiderivate din funcții elementare, ca în calculul diferențial. Metodele pentru găsirea antiderivatelor (adică integrarea unei funcții) sunt reduse la indicarea metodelor care aduc o integrală dată (dorită) la una tabelară. Prin urmare, este necesar să cunoașteți integralele tabelare și să le puteți recunoaște.

Rețineți că în tabelul integralelor de bază, variabila de integrare și poate desemna atât o variabilă independentă, cât și o funcție a unei variabile independente (conform proprietății de invarianță a formulei de integrare).

Valabilitatea formulelor de mai jos poate fi verificată luând diferența din partea dreaptă, care va fi egală cu integrandul din partea stângă a formulei.

Să demonstrăm, de exemplu, validitatea formulei 2. Funcția 1/u este definită și continuă pentru toate valorile nenule ale lui u.

Dacă u > 0, atunci ln|u|=lnu, atunci De aceea

Daca tu<0, то ln|u|=ln(-u). НоMijloace

Deci formula 2 este corectă. În mod similar, să verificăm formula 15:

Tabelul integralelor de bază

Prieteni! Vă invităm să discutați. Dacă aveți o părere, scrieți-ne în comentarii.

Antiderivată și integrală nedefinită.

O funcție antiderivată f(x) pe intervalul (a; b) este o astfel de funcție F(x) încât egalitatea este valabilă pentru orice x dintr-un interval dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata constantei C este egală cu zero, atunci egalitatea . Astfel, funcția f(x) are un set de antiderivate F(x)+C, pentru o constantă arbitrară C, iar aceste antiderivate diferă între ele printr-o valoare constantă arbitrară.

Întregul set de antiderivate ale funcției f(x) se numește integrală nedefinită a acestei funcții și se notează .

Expresia se numește integrand, iar f(x) se numește integrand. Integrandul este diferența funcției f(x).

Acțiunea de a găsi o funcție necunoscută prin diferența ei dată se numește integrare nedefinită, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F(x), ci mulțimea antiderivatelor sale F(x)+C.

Integrale de tabel

Cele mai simple proprietăți ale integralelor

1. Derivata rezultatului integrării este egală cu integrandul.

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma funcţiei în sine şi a unei constante arbitrare.

3. Coeficientul poate fi scos din semnul integralei nedefinite.

4. Integrala nedefinită a sumei/diferenței de funcții este egală cu suma/diferența integralelor nedefinite de funcții.

Egalitățile intermediare ale primei și celei de-a doua proprietăți ale integralei nedefinite sunt date pentru clarificare.

Pentru a demonstra a treia și a patra proprietăți, este suficient să găsim derivatele părților din dreapta ale egalităților:

Aceste derivate sunt egale cu integranții, ceea ce este dovada în virtutea primei proprietăți. Este folosit și în ultimele tranziții.

Astfel, problema integrării este problema inversă a diferențierii și există o legătură foarte strânsă între aceste probleme:

prima proprietate permite verificarea integrării. Pentru a verifica corectitudinea integrarii efectuate este suficient sa se calculeze derivata rezultatului obtinut. Dacă funcția obținută ca urmare a diferențierii se dovedește a fi egală cu integrandul, atunci aceasta va însemna că integrarea a fost efectuată corect;

a doua proprietate a integralei nedefinite ne permite să găsim antiderivată din diferenţialul cunoscut al unei funcţii. Calculul direct al integralelor nedefinite se bazează pe această proprietate.

1.4 Invarianța formelor de integrare.

Integrarea invariantă este un tip de integrare pentru funcții ale căror argumente sunt elemente ale unui grup sau puncte ale unui spațiu omogen (orice punct al unui astfel de spațiu poate fi transferat la altul printr-o acțiune dată a grupului).

functia f(x) se reduce la calculul integralei formei diferentiale f.w, unde

O formulă explicită pentru r(x) este dată mai jos. Condiția de acord are forma .

aici Tg înseamnă operatorul de schimbare pe X folosind gOG: Tgf(x)=f(g-1x). Fie X=G o topologie, un grup care acționează asupra lui însuși prin deplasări la stânga. Eu si. există dacă și numai dacă G este compact local (în special, pe grupuri infinit-dimensionale, un int. nu există). Pentru un subset de I. şi. funcția caracteristică cA (egal cu 1 pe A și 0 în afara A) definește măsura Haar din stânga m(A). Proprietatea definitorie a acestei măsuri este invarianța sa sub deplasări la stânga: m(g-1A)=m(A) pentru toate gОG. Măsura Haar din stânga pe un grup este definită în mod unic până la un factor scalar stabilit. Dacă măsura Haar m este cunoscută, atunci I. și. funcția f este dată de formula . Măsura Haar corectă are proprietăți similare. Există un homomorfism continuu (mapping care păstrează proprietatea grupului) DG al grupului G în grupul (în ceea ce privește înmulțirea) pus. numere pentru care

unde dmr si dmi sunt masurile Haar dreapta si stanga. Se numește funcția DG(g). modulul grupului G. Dacă , atunci se numește grupul G. unimodular; în acest caz, măsurile Haar din dreapta și din stânga sunt aceleași. Grupurile compacte, semisimple și nilpotente (în special, comutative) sunt unimodulare. Dacă G este un grup Lie n-dimensional și q1,...,qn este o bază în spațiul formelor 1 invariante stânga pe G, atunci măsura Haar din stânga pe G este dată de forma n . În coordonatele locale pentru calcul

formele qi, puteți utiliza orice implementare matrice a grupului G: matricea 1-form g-1dg este invariantă la stânga, iar coef. sunt 1-forme scalare invariante la stânga, din care se alege baza dorită. De exemplu, grupul complet de matrice GL(n, R) este unimodular și măsura Haar pe acesta este dată de o formă. Lăsa X=G/H este un spațiu omogen pentru care grupul compact local G este un grup de transformare și subgrupul închis H este un stabilizator al unui punct. Pentru ca un I.I. să existe pe X, este necesar și suficient ca egalitatea DG(h)=DH(h) să fie valabilă pentru toate hОH. În special, acest lucru este adevărat atunci când H este compact sau semisimplu. Teoria completă a lui I. şi. nu există pe varietăți infinit-dimensionale.

Schimbarea variabilelor.

Aceste proprietăți sunt folosite pentru a efectua transformări ale integralei pentru a o aduce la una dintre integralele elementare și calcule ulterioare.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

4. Un factor constant poate fi scos din semnul integral:

Mai mult, a ≠ 0

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație a proprietăților 4 și 5:

Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Daca atunci

8. Proprietate:

Daca atunci

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Luați în considerare un exemplu:

Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.

Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și va găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integrala dvs.