Integrale curbilinii pentru manechine. Integrală curbilinie de primul fel (pe lungimea arcului). Curba este dată în coordonate dreptunghiulare carteziene

Scaun" matematică superioară»

Integrale curbilinii

Instrucțiuni

Volgograd

UDC 517.373(075)

Referent:

Lector superior Catedra de Matematică Aplicată N.I. Koltsova

Publicat prin hotărâre a consiliului editorial și editorial

Universitatea Tehnică de Stat din Volgograd

Integrale curbilinii: metoda. instructiuni / comp. M.I.Andreeva,

O.E. Grigoriev; VolgGTU. - Volgograd, 2011. - 26 p.

Instrucțiunile metodologice sunt un ghid pentru implementarea sarcinilor individuale pe tema „Integrale curbilinii și aplicațiile lor la teoria câmpului”.

Prima parte a ghidului conține materialul teoretic necesar pentru implementarea sarcinilor individuale.

În a doua parte, sunt luate în considerare exemple de implementare a tuturor tipurilor de sarcini incluse în sarcinile individuale pe această temă, ceea ce contribuie la o mai bună organizare. muncă independentă studenţilor şi stăpânirea cu succes a temei.

Instrucțiunile metodice sunt destinate studenților cursurilor I și II.

© Statul Volgograd

Universitate tehnica, 2011

1. INTEGRAL CURVILINEAR DE FEL I

Definirea unei integrale curbilinii de primul fel

Lasă È AB– un arc de plan sau o curbă spațială netedă în bucăți L, f(P) - dat pe acest arc functie continua, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, A n – 1 , A n = B ABȘi Pi sunt puncte arbitrare pe arcele parțiale È A i – 1 Ai, ale căror lungimi D eu (i = 1, 2, …, n

la n® ¥ și D max eu® 0, care nu depinde de modul în care arcul È AB puncte Ai, nici din alegerea punctelor Pi pe arcuri parțiale È A i – 1 Ai (i = 1, 2, …, n). Această limită se numește integrală curbilinie a primului tip de funcție f(P) de-a lungul curbei Lși notat

Calculul unei integrale curbilinii de primul fel

Calculul unei integrale curbilinii de primul fel poate fi redus la calculul unei integrale definite pentru căi diferite stabilirea curbei de integrare.

Dacă arcul È AB curba plană este dată parametric de ecuaţiile unde X(t) Și y(t t, și X(t 1) = x A, X(t 2) = x B, Acea

Unde - diferenţa lungimii arcului curbei.

O formulă similară are loc în cazul unei specificații parametrice a unei curbe spațiale L. Dacă arcul È AB strâmb L dat de ecuațiile , și X(t), y(t), z(t) sunt funcții continuu diferențiabile ale parametrului t, Acea

unde este diferența dintre lungimea arcului curbei.

V coordonate carteziene

Dacă arcul È AB curbă plată L dat de ecuaţie Unde y(X

iar formula de calcul a integralei curbilinii este:

La specificarea unui arc È AB curbă plată L la fel de X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
Unde X(y) este o funcție diferențiabilă continuu,

Și integrală curbilinie calculate prin formula

(1.4)

Specificarea unei curbe de integrare cu o ecuație polară

Dacă o curbă plată L dat de ecuaţia din sistem polar coordonate r = r(j), j О , unde r(j) este o funcție diferențiabilă continuu, atunci

Și

(1.5)

Aplicații ale integralei curbilinii de primul fel

Folosind o integrală curbilinie de primul fel, se calculează următoarele: lungimea arcului curbei, aria unei părți a suprafeței cilindrice, masa, momentele statice, momentele de inerție și coordonatele centrului de greutate a unei curbe de material cu o densitate liniară dată.

1. Lungimea l curbă plană sau spațială L se gaseste dupa formula

2. Aria unei părți a unei suprafețe cilindrice cu o axă paralelă oz generator şi situat în plan XOY ghid Lînchis între avion XOY iar suprafața dată de ecuație z = f(X; y) (f(P) ³ 0 pentru P Î L), este egal cu

(1.7)

3. Greutate m curba materialului L cu densitatea liniară m( P) este determinată de formula

(1.8)

4. Momente statice despre axe BouȘi Oiși coordonatele centrului de greutate al unei curbe de material plan L cu densitatea liniară m( X; y) sunt, respectiv, egale cu:

(1.9)

5. Momente statice relativ la planuri Oxy, Oxz, Oyzși coordonatele centrului de greutate al curbei materialului spațial cu densitatea liniară m( X; y; z) sunt determinate de formulele:

(1.11)

6. Pentru curba material plat L cu densitatea liniară m( X; y) momente de inerție față de axe Bou, Oiși, respectiv, originea coordonatelor sunt:

(1.13)

7. Momente de inerție ale unei curbe de material spațial L cu densitatea liniară m( X; y; z) relativ la planurile de coordonate se calculează prin formule

(1.14)

iar momentele de inerție față de axele de coordonate sunt:

(1.15)

2. INTEGRAL CURVILINEAR DE FEL 2

Definiția unei integrale curbilinii de al 2-lea fel

Lasă È AB este un arc al unei curbe orientate pe bucăți L, = (un x(P); Ay(P); a z(P)) este un continuu funcție vectorială, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, A n – 1 , A n = B– scindarea arbitrară a arcului ABȘi Pi sunt puncte arbitrare pe arcuri parțiale A i – 1 Ai. Fie un vector cu coordonatele D x i, D y eu, D z i(i = 1, 2, …, n), și este produsul scalar al vectorilor și ( i = 1, 2, …, n). Apoi există o limită a succesiunii de sume integrale

la n® ¥ și max ÷ ç ® 0, care nu depinde de modul în care este împărțit arcul AB puncte Ai, nici din alegerea punctelor Pi pe arcuri parțiale È A i – 1 Ai
(i = 1, 2, …, n). Această limită se numește integrală curbilinie a celui de-al doilea tip de funcție ( P) de-a lungul curbei Lși notat

În cazul în care funcţia vectorială este dată pe o curbă plană L, la fel avem:

Când se schimbă direcția de integrare, integrala curbilinie de al 2-lea fel își schimbă semnul.

Integrale curbilinii de primul și al doilea fel sunt legate prin relație

(2.2)

unde este vectorul unitar al tangentei la curba orientată.

Folosind o integrală curbilinie de al 2-lea fel, puteți calcula munca unei forțe atunci când vă deplasați punct material de-a lungul arcului unei curbe L:

Direcție pozitivă în jurul unei curbe închise CU, delimitând o regiune pur și simplu conectată G, în sens invers acelor de ceasornic este considerat.

Integrală curbilinie de al 2-lea fel peste o curbă închisă CU se numeste circulatie si se noteaza

(2.4)

Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel

Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel se reduce la calculul unei integrale definite.

Specificarea parametrică a curbei de integrare

Dacă È AB curba plană orientată este dată parametric de ecuațiile , unde X(t) Și y(t) sunt funcții continuu diferențiabile ale parametrului t, și apoi

O formulă similară are loc în cazul unei specificații parametrice a unei curbe orientate spațial L. Dacă arcul È AB strâmb L dat de ecuațiile , și sunt funcții continuu diferențiabile ale parametrului t, Acea

Specificarea explicită a unei curbe de integrare plate

Dacă arcul È AB L este dat în coordonate carteziene de ecuaţia unde y(X) este o funcție diferențiabilă continuu, atunci

(2.7)

La specificarea unui arc È AB curbă orientată plat L la fel de
X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2], unde X(y) este o funcție diferențiabilă continuu, formula

(2.8)

Lasă funcțiile sunt continue împreună cu derivatele lor

într-o zonă închisă plată G, delimitat de o curbă orientată pozitiv, auto-disjunsă, închisă în bucăți CU+ . Apoi formula lui Green este valabilă:

Lăsa G este o regiune pur și simplu conectată la suprafață și

= (un x(P); Ay(P); a z(P))

este câmpul vectorial specificat în această regiune. Camp ( P) se numește potențial dacă există o astfel de funcție U(P), Ce

(P) = grad U(P),

O condiție necesară și suficientă pentru potențialul unui câmp vectorial ( P) se pare ca:

putrezesc ( P) = , unde (2.10)

(2.11)

Dacă câmpul vectorial este potențial, atunci integrala curbilinie de al 2-lea fel nu depinde de curba de integrare, ci depinde doar de coordonatele începutului și sfârșitului arcului. M 0 M. Potenţial U(M) al câmpului vectorial se determină până la un termen constant și se găsește prin formula

(2.12)

Unde M 0 M este o curbă arbitrară care leagă un punct fix M 0 și punct variabil M. Pentru a simplifica calculele, o linie întreruptă poate fi aleasă ca cale de integrare M 0 M 1 M 2 M cu legături paralele cu axele de coordonate, de exemplu:

3. exemple de sarcini

Exercitiul 1

Calculați integrala curbilinie de primul fel

unde L este arcul curbei , 0 ≤ X ≤ 1.

Soluţie. Prin formula (1.3), reducerea unei integrale curbilinie de primul fel la o integrală definită în cazul unei curbe plane netede date explicit:

Unde y = y(X), X 0 ≤ X ≤ X 1 - ecuația arcului L curba de integrare. În acest exemplu Găsim derivata acestei funcții

și diferența lungimii arcului curbei L

apoi, substituind în această expresie în loc de y, primim

Transformăm integrala curbilinie într-una definită:

Calculăm această integrală folosind substituția . Apoi
t 2 = 1 + X, X = t 2 – 1, dx = 2t dt; la x= 0 t= 1; A X= 1 meciuri. După transformări, obținem

Sarcina 2

Calculați o integrală curbilinie de primul fel într-un arc L strâmb L:X= cos 3 t, y= păcatul 3 t, .

Soluţie. Deoarece L este un arc de curbă plană netedă dată într-o formă parametrică, apoi folosim formula (1.1) pentru reducerea integralei curbilinii de primul fel la una definită:

.

În acest exemplu

Găsiți diferența de lungime a arcului

Înlocuim expresiile găsite în formula (1.1) și calculăm:

Sarcina 3

Aflați masa arcului unei linii L cu plan liniar m.

Soluţie. Greutate m arcuri L cu densitatea m( P) se calculează prin formula (1.8)

Aceasta este o integrală curbilinie de primul fel peste un arc neted dat parametric al unei curbe în spațiu, de aceea este calculată prin formula (1.2) de reducere a unei integrale curbilinie de primul fel la o integrală definită:

Să găsim derivate

și diferența de lungime a arcului

Inlocuim aceste expresii in formula pentru masa:

Sarcina 4

Exemplul 1 Calculați integrala curbilinie de al 2-lea fel

într-un arc L curba 4 X + y 2 = 4 din punct A(1; 0) la obiect B(0; 2).

Soluţie. arc plat L stabilit implicit. Pentru a calcula integrala, este mai convenabil să se exprimi X prin y:

și găsiți integrala prin formula (2.8) a transformării integralei curbilinii de al 2-lea fel într-o integrală definită în raport cu variabila y:

Unde un x(X; y) = X y – 1, Ay(X; y) = X y 2 .

Ținând cont de setarea curbei

Prin formula (2.8) obținem

Exemplul 2. Calculați integrala curbilinie de al 2-lea fel

Unde L- linie frântă ABC, A(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

Soluţie. Prin proprietatea de aditivitate a integralei curbilinii

Fiecare dintre termenii integrali este calculat prin formula (2.7)

Unde un x(X; y) = X 2 + y, Ay(X; y) = –3X y.

Ecuația segmentului de linie AB: y = 2, y¢ = 0, X 1 = 1, X 2 = 3. Inlocuind aceste expresii in formula (2.7), obtinem:

Pentru a calcula integrala

scrieți ecuația unei drepte î.Hr conform formulei

Unde x B, y B, x C, Y c– coordonatele punctului BȘi CU. Primim

y – 2 = X – 3, y = X – 1, y¢ = 1.

Inlocuim expresiile obtinute in formula (2.7):

Sarcina 5

Calculați o integrală curbilinie de al 2-lea fel peste un arc L

0 ≤ t ≤ 1.

Soluţie. Deoarece curba de integrare este dată parametric de ecuații x = x(t), y=y(t), t Î [ t 1 ; t 2], unde X(t) Și y(t) sunt funcții diferențiabile continuu t la t Î [ t 1 ; t 2], apoi pentru a calcula integrala curbilinie de al doilea fel, folosim formula (2.5) pentru reducerea integralei curbilinie la cea definită pentru o curbă plană dată parametric

În acest exemplu un x(X; y) = y; Ay(X; y) = –2X.

Ținând cont de setarea curbei L primim:

Înlocuim expresiile găsite în formula (2.5) și calculăm integrala definită:

Sarcina 6

Exemplul 1 C + Unde CU : y 2 = 2X, y = X – 4.

Soluţie. Desemnare C+ indică faptul că conturul este parcurs în sens pozitiv, adică în sens invers acelor de ceasornic.

Să verificăm dacă formula lui Green (2.9) poate fi folosită pentru a rezolva problema

Din moment ce funcţiile un x (X; y) = 2y – X 2 ; Ay (X; y) = 3X + yși derivatele lor parțiale continuă într-o regiune plată închisă G, delimitat de contur C, atunci formula lui Green este aplicabilă.

Pentru a calcula integrala dublă, desenați aria G, după ce au determinat în prealabil punctele de intersecție ale arcelor curbelor y 2 = 2XȘi
y = X- 4 constituind conturul C.

Găsim punctele de intersecție prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este echivalentă cu ecuația X 2 – 10X+ 16 = 0, de unde X 1 = 2, X 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Deci, punctele de intersecție ale curbelor: A(2; –2), B(8; 4).

Din moment ce zona G– corectă în direcția axei Bou, apoi pentru a reduce integrala dublă la una repetată, proiectăm domeniul G pe axă OYși folosește formula

.

Deoarece A = –2, b = 4, X 2 (y) = 4+y, Acea

Exemplul 2 Calculați o integrală curbilinie de al 2-lea fel pe un contur închis Unde CU- conturul unui triunghi cu vârfuri A(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

Soluţie. Notația înseamnă că conturul triunghiului este parcurs în sensul acelor de ceasornic. În cazul în care integrala curbilinie este luată de-a lungul unui contur închis, formula lui Green ia forma

Desenați o zonă G delimitat de un contur dat.

Funcții și derivate parțiale și continuu in regiune G, astfel încât formula lui Green poate fi aplicată. Apoi

Regiune G nu este corectă în direcția vreuneia dintre axe. Desenați un segment de linie X= 1 și imaginează-ți G la fel de G = G 1 È G 2, unde G 1 și G 2 zone corecte în direcția axei Oi.

Apoi

Pentru a reduce fiecare dintre integralele duble peste G 1 și G 2 pentru reutilizare vom folosi formula

Unde [ A; b] – proiecția zonei D pe axă Bou,

y = y 1 (X) este ecuația curbei de limită inferioară,

y = y 2 (X) este ecuația curbei de delimitare superioară.

Să scriem ecuațiile pentru limitele regiunii G 1 și găsiți

AB: y = 2X, 0 ≤ X ≤ 1; ANUNȚ: , 0 ≤ X ≤ 1.

Compuneți ecuația limitei î.Hr zone G 2 folosind formula

î.Hr: unde 1 ≤ X ≤ 3.

DC: 1 ≤ X ≤ 3.

Sarcina 7

Exemplul 1 Găsiți o forță de muncă L: y = X 3 de la punct M(0; 0) la punct N(1; 1).

Soluţie. Lucrul unei forțe variabile atunci când se deplasează un punct material de-a lungul unui arc de curbă L este determinată prin formula (2.3) (ca o integrală curbilinie a celui de-al doilea tip de funcție de-a lungul curbei L) .

Deoarece funcția vectorială este dată de ecuație și arcul curbei orientate plan este definit în mod explicit de ecuație y = y(X), X Î [ X 1 ; X 2], unde y(X) este o funcție diferențiabilă continuu, apoi prin formula (2.7)

În acest exemplu y = X 3 , , X 1 = x M = 0, X 2 = x N= 1. Prin urmare

Exemplul 2. Găsiți o forță de muncă când se deplasează un punct material de-a lungul unei linii L: X 2 + y 2 = 4 din punct M(0; 2) la punct N(–2; 0).

Soluţie. Folosind formula (2.3), obținem

.

În acest exemplu, arcul curbei L(È MN) este un sfert de cerc dat de ecuația canonică X 2 + y 2 = 4.

Pentru a calcula integrala curbilinie de al doilea fel, este mai convenabil să treceți la specificația parametrică a cercului: X = R cos t, y = R păcat tși folosiți formula (2.5)

Deoarece X= 2cos t, y= 2sin t, , , primim

Sarcina 8

Exemplul 1. Calculați modulul de circulație al câmpului vectorial de-a lungul conturului G:

Soluţie. Pentru a calcula circulația unui câmp vectorial de-a lungul unui contur închis G folosim formula (2.4)

Deoarece sunt date un câmp vectorial spațial și un contur spațial închis G, apoi trecând de la forma vectorială de scriere a integralei curbilinii la forma de coordonate, obținem

Curba G este definită ca intersecția a două suprafețe: un paraboloid hiperbolic z=x 2 – y 2 + 2 și cilindru X 2 + y 2 = 1. Pentru a calcula integrala curbilinie, este convenabil să trecem la ecuațiile parametrice ale curbei G.

Ecuația unei suprafețe cilindrice poate fi scrisă astfel:
X= cos t, y= păcat t, z = z. Expresie pentru zîn ecuaţiile parametrice, curba se obţine prin substituire X= cos t, y= păcat tîn ecuația unui paraboloid hiperbolic z= 2 + cos2 t– păcatul 2 t= 2 + cos2 t. Asa de, G: X= cos t,
y= păcat t, z= 2 + cos2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

Din moment ce cei incluși în ecuații parametrice strâmb G funcții
X(t) = cos t, y(t) = păcat t, z(t) = 2 + cos 2 t sunt funcții continuu diferențiabile ale parametrului t la tн , atunci găsim integrala curbilinie prin formula (2.6)

Pentru cazul în care aria de integrare este un segment al unei curbe situate într-un plan. Notația generală a integralei curbilinie este următoarea:

Unde f(X, y) este o funcție a două variabile și L- curba, pe segment ABîn care are loc integrarea. Dacă integrandul este egal cu unitatea, atunci integrala curbilinie egal cu lungimea arcele AB .

Ca întotdeauna în calculul integral, integrala curbilinie este înțeleasă ca limita sumelor integrale ale unor părți foarte mici ale ceva foarte mare. Ce se rezumă în cazul integralelor curbilinii?

Să fie un segment în plan AB vreo curbă L, și funcția a două variabile f(X, y) definite în punctele curbei L. Să realizăm următorul algoritm cu acest segment al curbei.

1. Curba împărțită AB pe partea cu puncte (figurile de mai jos).
2. În fiecare parte, alegeți liber un punct M.
3. Găsiți valoarea funcției în punctele selectate.
4. Înmulțiți valorile funcției cu
   • lungimea pieselor in caz integrală curbilinie de primul fel ;
   • proiecții ale pieselor pe axa de coordonate în caz integrală curbilinie de al doilea fel .
5. Găsiți suma tuturor produselor.
6. Aflați limita sumei integrale găsite cu condiția ca lungimea celei mai lungi părți a curbei să tinde spre zero.

Dacă această limită există, atunci aceasta limita sumei integrale și se numește integrală curbilinie a funcției f(X, y) de-a lungul curbei AB .

primul fel

Caz integral curbiliniu
al doilea fel

Să introducem următoarea notație.

Meu ( ζ eu ; η i)- un punct cu coordonatele selectate pe fiecare secțiune.

feu ( ζ eu ; η i)- valoarea funcției f(X, y) în punctul ales.

Δ si- lungimea unei părți dintr-un segment al curbei (în cazul unei integrale curbilinii de primul fel).

Δ Xi- proiecția unei părți a segmentului de curbă pe axă Bou(în cazul unei integrale curbilinii de al doilea fel).

d= maxΔ s i este lungimea celei mai lungi părți a segmentului de curbă.

Integrale curbilinii de primul fel

Pe baza celor de mai sus despre limita sumelor integrale, integrala curbilinie de primul fel se scrie astfel:

.

Integrala curbilinie de primul fel are toate proprietăţile care integrala definita. Cu toate acestea, există o diferență importantă. Pentru o integrală definită, atunci când limitele integrării sunt schimbate, semnul se schimbă la opus:

În cazul unei integrale curbilinii de primul fel, nu contează care dintre punctele curbei AB (A sau B) luați în considerare începutul segmentului și care sfârșit, adică

.

Integrale curbilinii de al doilea fel

Pe baza celor spuse despre limita sumelor integrale, integrala curbilinie de al doilea fel se scrie astfel:

.

În cazul unei integrale curbilinii de al doilea fel, când începutul și sfârșitul unui segment al curbei sunt inversate, semnul integralei se modifică:

.

La compilarea sumei integrale a unei integrale curbilinii de al doilea fel, valorile funcției feu ( ζ eu ; η i) poate fi înmulțit și cu proiecția părților segmentului de curbă pe axă Oi. Apoi obținem integrala

.

În practică, se utilizează de obicei unirea integralelor curbilinie de al doilea fel, adică două funcții f = P(X, y) Și f = Q(X, y) și integrale

,

și suma acestor integrale

numit integrală curbilinie generală de al doilea fel .

Calculul integralelor curbilinii de primul fel

Calculul integralelor curbilinie de primul fel se reduce la calculul integralelor definite. Să luăm în considerare două cazuri.

Să fie dată o curbă pe plan y = y(X) și un segment de curbă AB corespunde cu schimbarea variabilei X din A inainte de b. Apoi în punctele curbei integrandul f(X, y) = f(X, y(X)) ("y" trebuie exprimat prin "x") și diferența de arc iar integrala curbilinie poate fi calculată prin formula

.

Dacă integrala este mai ușor de integrat peste y, apoi din ecuația curbei trebuie exprimat X = X(y) ("x" prin "y"), unde și integrala se calculează prin formula

.

Exemplul 1

Unde AB- segment de linie între puncte A(1; −1) și B(2; 1) .

Soluţie. Compuneți ecuația unei drepte AB, folosind formula (ecuația unei drepte care trece prin două puncte date A(X1 ; y 1 ) Și B(X2 ; y 2 ) ):

Din ecuația unei drepte exprimăm y prin X :

Atunci și acum putem calcula integrala, deoarece ne rămâne doar „x”:

Să fie dată o curbă în spațiu

Apoi, în punctele curbei, funcția trebuie exprimată în termeni de parametru t() și diferența de arc , deci integrala curbilinie poate fi calculată prin formula

În mod similar, dacă este dată o curbă pe plan

,

atunci integrala curbilinie se calculează prin formula

.

Exemplul 2 Calculați integrala curbilinie

Unde L- parte a liniei cercului

situat în primul octant.

Soluţie. Această curbă este un sfert din linia cercului, situată în plan z= 3 . Corespunde cu valorile parametrilor. Deoarece

apoi diferenţialul arcului

Să exprimăm integrandul în termeni de parametru t :

Acum că avem totul exprimat printr-un parametru t, putem reduce calculul acestei integrale curbilinie la integrala definita:

Calculul integralelor curbilinii de al doilea fel

La fel ca în cazul integralelor curbilinii de primul fel, calculul integralelor de al doilea fel se reduce la calculul integralelor definite.

Curba este dată în coordonate dreptunghiulare carteziene

Fie o curbă pe un plan dată de ecuația funcției „y”, exprimată prin „x”: y = y(X) iar arcul curbei AB corespunde schimbarea X din A inainte de b. Apoi substituim expresia „y” prin „x” în integrand și determinăm diferența acestei expresii „y” față de „x”: . Acum, când totul este exprimat prin „x”, integrala curbilinie de al doilea fel este calculată ca o integrală definită:

În mod similar, o integrală curbilinie de al doilea fel este calculată atunci când curba este dată de ecuația funcției „x”, exprimată prin „y”: X = X(y) , . În acest caz, formula de calcul a integralei este următoarea:

Exemplul 3 Calculați integrala curbilinie

, Dacă

A) L- segment de linie dreaptă OA, Unde DESPRE(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- arc de parabolă y = X² de la DESPRE(0; 0) la A(1; −1) .

a) Calculați integrala curbilinie pe un segment de dreaptă (albastru în figură). Să scriem ecuația unei linii drepte și să exprimăm „Y” prin „X”:

.

Primim dy = dx. Rezolvăm această integrală curbilinie:

b) dacă L- arc de parabolă y = X², primim dy = 2xdx. Calculăm integrala:

În exemplul tocmai rezolvat, am obținut același rezultat în două cazuri. Și aceasta nu este o coincidență, ci rezultatul unui model, deoarece această integrală satisface condițiile următoarei teoreme.

Teorema. Dacă funcţiile P(X,y) , Q(X,y) şi derivatele lor parţiale , - continuu în regiune D funcții și în punctele acestei regiuni, derivatele parțiale sunt egale, atunci integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare de-a lungul liniei L situat în regiune D .

Curba este dată sub formă parametrică

Să fie dată o curbă în spațiu

.

si in funcții integrante substitui

expresii ale acestor funcţii printr-un parametru t. Obținem formula pentru calcularea integralei curbilinii:

Exemplul 4 Calculați integrala curbilinie

,

Dacă L- parte a unei elipse

îndeplinirea condiției y ≥ 0 .

Soluţie. Această curbă este partea elipsei care se află în plan z= 2 . Ea corespunde valorii parametrului.

putem reprezenta integrala curbilinie ca o integrală definită și o putem calcula:

Având în vedere o integrală curbilinie și L- o linie închisă, atunci o astfel de integrală se numește integrală peste un contur închis și este mai ușor să o calculezi folosind Formula lui Green .

Mai multe exemple de calcul a integralelor curbilinie

Exemplul 5 Calculați integrala curbilinie

Unde L- un segment de dreaptă între punctele sale de intersecție cu axele de coordonate.

Soluţie. Să determinăm punctele de intersecție ale dreptei cu axele de coordonate. Înlocuirea dreptei în ecuație y= 0 , obținem , . Înlocuind X= 0 , obținem , . Astfel, punctul de intersecție cu axa Bou - A(2; 0) , cu axa Oi - B(0; −3) .

Din ecuația unei drepte exprimăm y :

.

, .

Acum putem reprezenta integrala curbilinie ca o integrală definită și începem să o calculăm:

În integrand, selectăm factorul , îl scoatem din semnul integral. În integrantul rezultat, aplicăm aducând sub semnul diferenţialuluiși în sfârșit obținem.

Cursul 5 Integrale curbilinii de primul și al doilea fel, proprietățile lor ..

Problema masei curbei. Integrală curbilinie de primul fel.

Problema masei curbei. Fie ca în fiecare punct al unei curbe de material neted în bucăți L: (AB) să fie dată densitatea acestuia. Determinați masa curbei.

Procedăm în același mod ca și când am determinat masa unei regiuni plane ( integrală dublă) și un corp spațial (integrală triplă).

1. Organizați împărțirea regiunii arcului L în elemente - arce elementare astfel încât aceste elemente să nu aibă puncte interioare comune și ( starea A )

3. Să construim suma integrală , unde este lungimea arcului (de obicei se introduc aceleași denumiri pentru arc și lungimea acestuia). Aceasta este o valoare aproximativă pentru masa curbei. Simplificarea este că am presupus că densitatea arcului este constantă pe fiecare element și am luat un număr finit de elemente.

Trecerea la limita sub conditie (starea B ), obținem o integrală curbilinie de primul fel ca limită a sumelor integrale:

.

Teorema existenței.

Fie funcția continuă pe un arc neted în bucăți L. Atunci o integrală curbilinie de primul fel există ca limită a sumelor integrale.

Cometariu. Această limită nu depinde de

Proprietăți ale unei integrale curbilinii de primul fel.

1. Liniaritate
a) proprietatea de suprapunere

b) proprietatea de omogenitate .

Dovada. Să notăm sumele integrale pentru integralele din partea stângă a egalităților. Deoarece numărul de termeni din suma integrală este finit, să trecem la sumele integrale pentru părțile din dreapta egalităților. Apoi trecem la limita, conform teoremei privind trecerea la limita in egalitate, obtinem rezultatul dorit.

2. Aditivitate.
Dacă , Acea = +

3. .Iată lungimea arcului .

4. Dacă inegalitatea este satisfăcută pe arc, atunci

Dovada. Să notăm inegalitatea pentru sumele integrale și să trecem la limită.

Rețineți că, în special, este posibil

5. Teorema de estimare.

Dacă există constante astfel încât , atunci

Dovada. Integrarea inegalității (proprietatea 4), obținem . Prin proprietatea 1, constantele pot fi scoase de sub integrale. Folosind proprietatea 3, obținem rezultatul dorit.

6. Teorema medie(valoarea integralei).

Există un punct , Ce

Dovada. Deoarece funcția este continuă pe o mulțime mărginită închisă, atunci infimul ei există și marginea superioară . Inegalitatea este îndeplinită. Împărțind ambele părți la L, obținem . Dar numărul închis între limitele inferioare și superioare ale funcției. Deoarece funcția este continuă pe o mulțime închisă de limite L, funcția trebuie să ia această valoare la un moment dat. Prin urmare, .

Calculul unei integrale curbilinii de primul fel.

Parametrizăm arcul L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Fie t 0 să corespundă punctului A, iar t 1 să corespundă punctului B. Atunci integrala curbilinie de primul fel se reduce la o integrală definită ( - formula cunoscută din semestrul I pentru calculul diferenţialului lungimii arcului):

Exemplu. Calculați masa unei spire a unei elice omogene (densitate egală cu k): .

Integrală curbilinie de al 2-lea fel.

Problema muncii forței.

1. Organizați împărțirea regiunii-arc AB în elemente - arce elementare astfel încât aceste elemente să nu aibă puncte interioare comune și ( starea A )

2. Marcam pe elementele partiției „punctele marcate” M i și calculăm valorile funcției din ele

3. Construiți suma integrală , unde este vectorul îndreptat de-a lungul coardei care subtinde arcul -.

4. Trecerea la limita sub conditie (starea B ), obținem o integrală curbilinie de al doilea fel ca limită a sumelor integrale (și munca forței):

. Deseori menționată

Teorema existenței.

Fie funcția vectorială continuă pe un arc neted pe bucăți L. Atunci o integrală curbilinie de al doilea fel există ca limită a sumelor integrale.

.

Cometariu. Această limită nu depinde de

O metodă de alegere a unei partiții, atâta timp cât condiția A este îndeplinită

Selectarea „puncte marcate” pe elementele de partiție,

O metodă de rafinare a partiției, atâta timp cât condiția B este îndeplinită

Proprietățile unei integrale curbilinii de al 2-lea fel.

1. Liniaritate
a) proprietatea de suprapunere

b) proprietatea de omogenitate .

Dovada. Să notăm sumele integrale pentru integralele din partea stângă a egalităților. Deoarece numărul de termeni din suma integrală este finit, folosind proprietatea produsului scalar, trecem la sumele integrale pentru părțile din dreapta egalităților. Apoi trecem la limita, conform teoremei privind trecerea la limita in egalitate, obtinem rezultatul dorit.

2. Aditivitate.
Dacă , Acea = + .

Dovada. Să alegem o partiție a domeniului L astfel încât niciunul dintre elementele partiției (inițial și atunci când partiția este rafinată) să nu conțină atât elementele L 1 cât și elementele L 2 în același timp. Acest lucru se poate face prin teorema existenței (remarcă asupra teoremei). În plus, demonstrația este efectuată în termeni de sume integrale, ca în secțiunea 1.

3. Orientabilitate.

= -

Dovada. Integrala arcului –L, adică în direcția negativă de ocolire a arcului, există o limită a sumelor integrale, în termenii cărora există în schimb (). Scotând „minus” din produsul scalar și din suma unui număr finit de termeni, trecând la limită, obținem rezultatul cerut.

16.3.2.1. Definiția unei integrale curbilinii de primul fel. Lăsați în spațiul variabilelor x,y,z este dată o curbă netedă pe bucăți, pe care este definită funcția f (X ,y ,z Să împărțim curba cu puncte în părți, să alegem un punct arbitrar pe fiecare dintre arce, să găsim lungimea arcului și să alcătuim suma integrală. Dacă există o limită a succesiunii de sume integrale pentru , care nu depinde de metoda de împărțire a curbei în arce sau de alegerea punctelor, atunci funcția f (X ,y ,z ) se numește curbă integrabilă, iar valoarea acestei limite se numește integrală curbilinie de primul fel sau integrală curbilinie pe lungimea arcului funcției f (X ,y ,z ) de-a lungul curbei , și este notat cu (sau ).

Teorema existenței. Dacă funcţia f (X ,y ,z ) este continuă pe o curbă netedă pe bucăți , apoi este integrabilă în raport cu această curbă.

Cazul unei curbe închise.În acest caz, un punct arbitrar al curbei poate fi luat drept puncte de început și de sfârșit. De acum înainte se va numi o curbă închisă conturși notat cu CU . Faptul că curba de-a lungul căreia se calculează integrala este închisă se notează de obicei printr-un cerc pe semnul integral: .

16.3.2.2. Proprietăți ale unei integrale curbilinii de primul fel. Pentru această integrală, toate cele șase proprietăți sunt valabile pentru un definit, dublu, integrală triplă, din liniaritatea inainte de teoreme ale valorii medii. Formulați și dovediți-le pe cont propriu. Cu toate acestea, a șaptea proprietate personală este valabilă și pentru această integrală:

Independența integralei curbilinii de primul fel față de direcția curbei:.

Dovada. Sumele integrale pentru integralele din partea dreaptă și stângă ale acestei egalități, pentru orice partiție a curbei și alegerea punctelor, sunt aceleași (întotdeauna lungimea arcului), prin urmare limitele lor sunt egale la .

16.3.2.3. Calculul unei integrale curbilinii de primul fel. Exemple. Fie curba dată de ecuații parametrice, unde sunt funcții diferențiabile continuu, iar punctele care definesc împărțirea curbei corespund valorilor parametrului, adică. . Apoi (vezi secțiunea 13.3. Calcularea lungimii curbei) . Prin teorema valorii medii, există un punct astfel încât . Să selectăm punctele rezultate din această valoare a parametrului: . Atunci suma integrală pentru integrala curbilinie va fi egală cu suma integrală pentru integrala definită. Din moment ce , atunci, trecând la limita la în egalitate , obținem

Astfel, calculul unei integrale curbilinii de primul fel se reduce la calculul unei integrale definite peste un parametru. Dacă curba este dată parametric, atunci această tranziție nu provoacă dificultăți; dacă i se oferă calitate descriere verbală curbă, atunci principala dificultate poate fi introducerea unui parametru pe curbă. Subliniem încă o dată că integrarea se realizează întotdeauna în direcția creșterii parametrului.

Exemple. 1. Calculați , unde este o tură a spiralei

Aici, trecerea la o integrală definită nu provoacă probleme: găsim , și .

2. Calculați aceeași integrală peste segmentul de dreaptă care leagă punctele și .

Aici nu există o definiție parametrică directă a curbei, așa mai departe AB trebuie introdus un parametru. Ecuațiile parametrice ale unei drepte au forma unde este un vector de direcție, este un punct al unei drepte. Ca punct luăm un punct , ca vector director luăm un vector : . Este ușor de observat că punctul corespunde valorii , punctul corespunde valorii , deci .

3. Aflați unde este partea secțiunii cilindrului după plan z =X +1, situat în primul octant.

Soluţie: Ecuațiile parametrice ale cercului - ghidajul cilindrului au forma X =2cosj, y =2sinj, iar din moment ce z=x +1, atunci z = 2cosj+1. Asa de,

De aceea

16.3.2.3.1. Calculul unei integrale curbilinii de primul fel. Carcasă plată. Dacă curba se află pe un plan de coordonate, de exemplu, planul Ohu , și este dat de funcția , apoi, considerând X ca parametru, obținem următoarea formulă de calcul a integralei: . În mod similar, dacă curba este dată de ecuația , atunci .

Exemplu. Calculați , unde este un sfert de cerc situat în al patrulea cadran.

Soluţie. 1. Considerând X ca parametru, obținem , prin urmare

2. Dacă luăm ca parametru o variabilă la , apoi și .

3. Desigur, putem lua ecuațiile parametrice uzuale ale cercului : .

Dacă curba este dată în coordonate polare , atunci , și .

primul fel.

1.1.1. Definirea unei integrale curbilinii de primul fel

Lasă în avion Oxy curba dată (L). Fie pentru orice punct al curbei (L) se defineşte o funcţie continuă f(x;y). Să rupem arcul AB linii (L) puncte A \u003d P 0, P 1, P n \u003d B pe n arcuri arbitrare P i -1 P i cu lungimi ( i = 1, 2, n) (fig.27)

Alegem pe fiecare arc P i -1 P i punct arbitrar M i (x i ; y i), calculați valoarea funcției f(x;y) la punct M i. Să facem o sumă integrală

Să , unde .

λ→0 (n→∞), independent de modul în care este împărțită curba ( L) în părți elementare, nici din alegerea punctelor M i integrală curbilinie de felul I din functie f(x;y)(integrală curbilinie pe lungimea arcului) și notăm:

cometariu. În mod similar, introducem definiția integralei curbilinii a funcției f(x;y;z) de-a lungul unei curbe spațiale (L).

sens fizic integrală curbilinie de primul fel:

Dacă (L)- curbă plană cu un plan liniar, atunci masa curbei se găsește prin formula:

1.1.2. Principalele proprietăți ale integralei curbilinii de primul fel:

3. Dacă calea integrării este împărțit în părți astfel încât , și au un singur punct comun, apoi .

4. Integrala curbilinie de primul fel nu depinde de direcția de integrare:

5. , unde este lungimea curbei.

1.1.3. Calculul unei integrale curbilinii de primul fel.

Calculul integralei curbilinie se reduce la calculul unei integrale definite.

1. Lasă curba (L) dat de ecuația . Apoi

Adică, diferența de arc este calculată prin formula.

Exemplu

Calculați masa unui segment de dreaptă dintr-un punct A(1;1) până la punctul B(2;4), Dacă .

Soluţie

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: .

Apoi ecuația dreptei ( AB): , .

Să găsim derivata.

Apoi . = .

2. Lasă curba (L) stabilite parametric: .

Apoi , adică diferența de arc este calculată prin formula .

Pentru cazul spaţial al stabilirii curbei: .Atunci

Adică, diferența de arc este calculată prin formula.

Exemplu

Aflați lungimea arcului curbei , .

Soluţie

Găsim lungimea arcului prin formula: .

Pentru a face acest lucru, găsim diferența arcului.

Aflați derivatele , , .Atunci lungimea arcului: .

3. Lasă curba (L) este dat în sistemul de coordonate polare: . Apoi

Adică, diferența de arc este calculată prin formula.

Exemplu

Calculați masa arcului dreptei , 0≤ ≤ , dacă .

Soluţie

Găsim masa arcului prin formula:

Pentru a face acest lucru, găsim diferența arcului.

Să găsim derivata.

1.2. Integrală curbilinie de al 2-lea fel

1.2.1. Definiția unei integrale curbilinii de al 2-lea fel

Lasă în avion Oxy curba dată (L). Dai drumul (L) dat o funcţie continuă f(x;y). Să rupem arcul AB linii (L) puncte A \u003d P 0, P 1, P n \u003d Bîn direcția din punct A până la punctul ÎN pe n arcuri arbitrare P i -1 P i cu lungimi ( i = 1, 2, n) (Fig. 28).

Alegem pe fiecare arc P i -1 P i punct arbitrar M i (x i ; y i), calculați valoarea funcției f(x;y) la punct M i. Să facem o sumă integrală, unde - lungimea proiecției arcului P i -1 P i pe axă Bou. Dacă direcția de mișcare de-a lungul proiecției coincide cu direcția pozitivă a axei Bou, atunci se consideră proiecția arcurilor pozitiv, in caz contrar - negativ.

Să , unde .

Dacă există o limită a sumei integrale la λ→0 (n→∞), care nu depinde de modul în care este împărțită curba (L)în părți elementare, nici din alegerea punctelor M iîn fiecare parte elementară, atunci această limită se numește integrală curbilinie de felul 2 din functie f(x;y)(integrală curbilinie peste coordonată X) și notează:

Cometariu. Integrala curbilinie peste coordonata y este introdusă în mod similar:

Cometariu. Dacă (L) este o curbă închisă, apoi se notează integrala peste ea

Cometariu. Dacă este activat ( L) sunt date trei funcții simultan și există integrale ale acestor funcții, , ,

apoi expresia: ++ numit integrală curbilinie generală de felul 2 si scrie:

1.2.2. Principalele proprietăți ale integralei curbilinii de al 2-lea fel:

3. Când se schimbă direcția de integrare, integrala curbilinie de felul 2 își schimbă semnul.

4. Dacă calea de integrare este împărțită în părți astfel încât , și are un singur punct comun, atunci

5. Dacă curba ( L) se află în avion:

Axa perpendiculară Oh, atunci =0 ;

Axa perpendiculară Oi, Acea ;

Axa perpendiculară Oz, atunci =0.

6. Integrală curbilinie de al 2-lea fel peste o curbă închisă nu depinde de alegerea punctului de plecare (depinde doar de direcția curbei).

1.2.3. Semnificația fizică a integralei curbilinii de al 2-lea fel.

Job A forțe atunci când se deplasează un punct material al unei unități de masă dintr-un punct M exact N de-a lungul ( MN) este egal cu:

1.2.4. Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel.

Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel se reduce la calculul unei integrale definite.

1. Lasă curba ( L) este dat de ecuația .

Exemplu

Calculați unde ( L) - linie frântă OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Soluţie

Din moment ce (Fig. 29), atunci

1) Ecuația (OA): , ,

2) Ecuația dreptei (AB): .

2. Lasă curba (L) setați parametric: .

Cometariu.În cazul spațial:

Exemplu

calculati

Unde ( AB)- segment din A(0;0;1) inainte de B(2;-2;3).

Soluţie

Să găsim ecuația dreptei ( AB):

Să trecem la reprezentarea parametrică a ecuației unei linii drepte (AB). Apoi .

punct A(0;0;1) parametru de potrivire t egal: deci t=0.

punct B(2;-2;3) parametru de potrivire t, egal cu: prin urmare, t=1.

La mutarea din A La ÎN,parametru t se schimba de la 0 la 1.

1.3. Formula lui Green. L) incl. M(x; y; z) cu topoare Ox, Oy, Oz