Obțineți ecuația canonică a unei drepte de intersecție a planelor. Linia de intersecție a avioanelor online. Trecerea la ecuațiile parametrice și canonice ale unei linii drepte în spațiu

Lăsați în ecuațiile canonice ale dreptei

coeficientul este diferit de zero, adică linia nu este paralelă cu planul xOy. Scriem aceste ecuații separat sub următoarea formă:

În condiția noastră, ecuațiile (6) determină complet linia dreaptă. Fiecare dintre ele exprimă individual un plan, primul fiind paralel cu axa Oy, iar al doilea cu axa

Astfel, reprezentând o dreaptă prin ecuații de forma (6), o considerăm ca intersecția a două plane care proiectează această dreaptă pe planurile de coordonate xOz și yOz. Prima dintre ecuațiile (6), considerată în plan, determină proiecția unei drepte date pe acest plan; la fel, a doua din ecuaţiile (6), considerată în plan, determină proiecţia dreptei date pe planul yOz. Deci, putem spune că a da ecuațiile unei linii drepte în forma (6) înseamnă a da proiecțiile acesteia pe planul coordonatelor xOz și yOz.

Dacă coeficientul de ghidare ar fi zero, atunci cel puțin unul dintre ceilalți doi coeficienți, de exemplu, ar fi diferit de zero, adică linia dreaptă nu ar fi paralelă cu planul yOz. În acest caz, am putea exprima direct

ecuațiile planelor care îl proiectează pe planurile de coordonate prin scrierea ecuațiilor (5) sub forma

Astfel, orice linie dreaptă poate fi exprimată prin ecuațiile a două plane care trec prin ea și o proiectează pe planuri de coordonate. Dar nu este deloc necesar să definiți o linie dreaptă doar printr-o astfel de pereche de plane.

Prin fiecare linie sunt nenumărate avioane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele cu ecuații generale

determinați linia lor de intersecție.

Ecuațiile (7) considerate împreună se numesc ecuații generale ale dreptei.

Din ecuațiile generale ale dreptei (7) se poate trece la ecuațiile ei canonice. În acest scop, trebuie să cunoaștem un punct al dreptei și al vectorului de direcție.

Putem găsi cu ușurință coordonatele punctului din sistemul de ecuații dat, alegând una dintre coordonate în mod arbitrar și apoi rezolvând sistemul de două ecuații în raport cu celelalte două coordonate.

Pentru a găsi vectorul de direcție al dreptei, observăm că acest vector, îndreptat de-a lungul liniei de intersecție a acestor plane, trebuie să fie perpendicular pe ambele vectori normali aceste avioane. În schimb, orice vector perpendicular pe este paralel cu ambele plane și, prin urmare, cu dreapta dată.

Dar produsul vectorial are și această proprietate. Prin urmare, produsul vectorial al vectorilor normali ai acestor plane poate fi luat ca vector de direcție al dreptei.

Exemplul 1. Convertiți la forma canonică a ecuației unei linii drepte

Alegem una dintre coordonate în mod arbitrar. Să fie, de exemplu, . Apoi

de unde, deci, am găsit punctul (2, 0, 1) situat pe linie,

Aflând acum produsul vectorial al vectorilor, obținem vectorul de direcție al dreptei, prin urmare, ecuațiile canonice vor fi:

Cometariu. Din ecuațiile generale directe de forma (7) se poate trece la cele canonice fără a recurge la metoda vectorială.

Să ne oprim mai întâi în detaliu asupra ecuațiilor

Să exprimăm x și y în termeni de . Apoi obținem:

unde ar trebui să fie

Ecuațiile (6) se numesc ecuații ale unei drepte în proiecții pe un plan

Hai să instalăm sens geometric constantele M și N: M este panta proiecției dreptei date pe planul de coordonate (tangenta unghiului acestei proiecții cu axa Oz), iar N este panta proiecției dreptei date pe planul de coordonate (tangenta unghiului acestei proiecții cu axa Oz). Astfel, numerele determină direcțiile proiecțiilor unei linii drepte date pe două plane de coordonate, ceea ce înseamnă că ele caracterizează și direcția dreptei date în sine. Prin urmare, numerele M și N se numesc panta dreptei date.

Pentru a afla semnificația geometrică a constantelor, punem în ecuațiile (6) o dreaptă, apoi obținem: adică punctul se află pe această dreaptă. Evident, acest punct este punctul de intersecție al unei linii date cu un plan.Deci, esența coordonatelor urmei unei drepte date pe planul de coordonate

Acum este ușor să faci tranziția de la ecuațiile din proiecții la cele canonice. Să fie date, de exemplu, ecuațiile (6). Rezolvând aceste ecuații pentru , găsim:

de unde obţinem direct ecuaţiile canonice sub forma

Exemplul 2. Dați ecuațiile canonice ale unei drepte

la ecuaţii în proiecţii pe plan

Rescriem aceste ecuații sub forma

Rezolvând prima dintre aceste ecuații pentru x și a doua pentru y, găsim ecuațiile dorite în proiecții:

Exemplul 3. Dați ecuații în pproiecții

la forma canonică.

Rezolvând aceste ecuații pentru , obținem.

Ecuații canonice ale dreptei

Formularea problemei. Găsiți ecuațiile canonice ale unei linii drepte definite ca o dreaptă de intersecție a două plane (ecuații generale)

Plan de rezolvare. Ecuații canonice ale unei drepte cu un vector de direcție trecând prin acest punct , au forma

. (1)

Prin urmare, pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei drepte, este necesar să se găsească vectorul ei de direcție și un punct de pe linie dreaptă.

1. Deoarece linia aparține ambelor plane simultan, vectorul său de direcție este ortogonal cu vectorii normali ai ambelor plane, adică. conform definiției unui produs vectorial, avem

. (2)

2. Alegeți un punct de pe linie. Deoarece vectorul de direcție al dreptei nu este paralel cu cel puțin unul dintre planurile de coordonate, linia intersectează acest plan de coordonate. Prin urmare, ca punct pe o dreaptă, punctul de intersecție a acestuia cu acest plan de coordonate poate fi luat.

3. Înlocuim coordonatele găsite ale vectorului de direcție și punct în ecuațiile canonice ale dreptei (1).

Cometariu. Dacă produsul vectorial (2) este egal cu zero, atunci planurile nu se intersectează (paralele) și nu este posibil să se noteze ecuațiile canonice ale dreptei.

Sarcina 12. Scrieți ecuațiile canonice ale dreptei.

Ecuații canonice ale unei linii drepte:

,

Unde sunt coordonatele oricărui punct de pe linie, este vectorul său de direcție.

Găsiți orice punct de pe linie . Lasă atunci

Prin urmare, sunt coordonatele unui punct aparținând dreptei.

Sarcina are nevoie găsiți linia de intersecție a două plane și determinați dimensiunea reală a unuia dintre ele metoda mișcării plan-paralel.

Pentru a rezolva o astfel de problemă clasică în geometria descriptivă, trebuie să cunoașteți următorul material teoretic:

- desenarea proiecțiilor punctelor spațiului pe desen complex conform coordonatelor date;

- metode de precizare a unui plan pe un desen complex, a unui plan de poziție generală și particulară;

- liniile principale ale avionului;

- determinarea punctului de intersecție a unei drepte cu un plan (aflare „puncte de întâlnire”);

- metoda deplasarii plan-paralel pentru determinarea valorii naturale figură plată;

— definirea vizibilității pe trasarea liniilor drepte și a planurilor cu ajutorul punctelor concurente.

Procedura de rezolvare a problemei

1. Conform opțiunii Atribuire prin coordonate punct, punem două plane pe desenul complex, specificate sub formă de triunghiuri ABC(A’, B’, C’; A, B, C) și DKE(D', K', E'; D, K, E) ( fig.1.1).

Fig.1.1

2 . Pentru a găsi linia de intersecție, folosim metoda planului de proiectie. Esența sa este că o latură (linia) a primului plan (triunghi) este luată și se află în planul proiectant. Se determină punctul de intersecție al acestei drepte cu planul celui de-al doilea triunghi. Repetând această sarcină din nou, dar pentru linia celui de-al doilea triunghi și planul primului triunghi, determinăm al doilea punct de intersecție. Deoarece punctele obținute aparțin simultan ambelor plane, ele trebuie să fie pe linia de intersecție a acestor plane. Conectând aceste puncte cu o dreaptă, vom avea linia de intersecție dorită a planurilor.

3. Problema se rezolva astfel:

A)înglobând într-un plan de proiecţie F(F') latură AB(A’ B’) a primului triunghi din planul de proiecție frontală V. Marcam punctele de intersecție ale planului proeminent cu laturile DKȘi DE al doilea triunghi, obținând puncte 1(1') și 2(2'). Le transferăm de-a lungul liniilor de comunicare pe planul orizontal al proiecțiilor H pe laturile corespunzătoare ale triunghiului, punct 1 (1) pe partea de DEși punct 2(2) pe partea de DK.

Fig.1.2

b) prin conectarea proiecţiilor punctelor 1 și 2, vom avea proiectia planului proiectant F. Apoi punctul de intersecție al dreptei AB cu planul triunghiului DKE se determină (după regulă) împreună cu intersecția proiecției planului proeminent 1-2 și proiecția cu același nume AB. Astfel, am obținut o proiecție orizontală a primului punct de intersecție al planurilor - M, de-a lungul căruia determinăm (proiectăm de-a lungul liniilor de comunicare) proiecția sa frontală - M’ pe o linie dreaptă A’ B’ (fig.1.2.a);

V) găsim al doilea punct în același mod. Încheiem în planul de proiectare G(G) latura celui de-al doilea triunghi DK(DK) . Marcam punctele de intersecție ale planului proeminent cu laturile primului triunghi ACȘiî.Hrîntr-o proiecție orizontală, obținând proiecții de puncte 3 și 4. Le proiectăm pe laturile corespunzătoare în plan frontal, obținem 3’ si 4'. Conectându-le cu o linie dreaptă, avem proiecția planului de proiectare. Apoi, al doilea punct de intersecție al planurilor va fi la intersecția dreptei 3’-4’ cu latura unui triunghi D’ K’ , care a fost închis într-un plan proeminent. Astfel, am obținut proiecția frontală a celui de-al doilea punct de intersecție - N’ , de-a lungul liniei de comunicare găsim proiecția orizontală - N (fig.1.2.b).

G) prin conectarea punctelor MN(MN) Și (M’ N’) pe planurile orizontale și frontale, avem linia de intersecție dorită a planurilor date.

4. Cu ajutorul punctelor concurente, determinăm vizibilitatea avioanelor. Luați o pereche de puncte concurente, de exemplu, 1’=5’ în proiecție frontală. Le proiectăm pe laturile corespunzătoare în plan orizontal, obținem 1 și 5. Vedem că ideea 1 culcat pe o parte DE are o coordonată mare față de axă X decât punct 5 culcat pe o parte AÎN. Prin urmare, conform regulii coordonatei mai mari, punctul 1 iar latura triunghiului D'E’ în plan frontal va fi vizibil. Astfel, se determină vizibilitatea fiecărei laturi a triunghiului în planul orizontal și frontal. Liniile vizibile din desene sunt desenate cu o linie de contur solidă, iar liniile nevizibile sunt desenate cu o linie întreruptă. Amintiți-vă că în punctele de intersecție ale planelor ( M— N ȘiM’- N’ ) va schimba vizibilitatea.

Fig.1.3

RFig.1.4 .

Graficul arată în plus definiția vizibilității în plan orizontal folosind puncte concurente 3 Și 6 pe linii drepte DKȘi AB.

5. Folosind metoda deplasării plan-paralel, determinăm dimensiunea reală a planului triunghiului ABC, Pentru ce:

A)în planul specificat printr-un punct C(C) conduce un frontal C— F(CU-FȘiC’- F’) ;

b) pe câmpul liber al desenului într-o proiecție orizontală, luăm (marcăm) un punct arbitrar De la 1, presupunând că acesta este unul dintre vârfurile triunghiului (în special, vârful C). Din aceasta restabilim perpendiculara pe planul frontal (prin axa x);

Fig.1.5

V) prin mișcare plan-paralelă traducem proiecția orizontală a triunghiului ABC, într-o nouă poziție A 1 B 1 C 1 în aşa fel încât în ​​proiecţia frontală să ia o poziţie proeminentă (transformată în linie dreaptă). Pentru a face acest lucru: pe perpendiculara din punct De la 1, amânați proiecția frontală a orizontalei C 1 — F 1 (lungime lCF) obținem un punct F 1 . O soluție a unui compas dintr-un punct F1 mărimea FA facem un arc serif, și dintr-un punct C 1 - dimensiunea crestăturii CA, apoi la intersecția liniilor arcului obținem un punct A 1 (al doilea vârf al triunghiului);

- la fel obținem un punct B 1 (din punct C 1 faceți o crestătură cu dimensiunea C— B(57mm), iar din punct F 1 magnitudinea F— B(90mm).Rețineți că, cu soluția corectă, trei puncte A 1 F’ 1 Și B’ 1 trebuie să se afle pe o singură linie dreaptă (latura triunghiului A 1 — B 1 ) celelalte două laturi CU 1 — A 1 Și C 1 — B 1 sunt obținute prin conectarea vârfurilor lor;

G) Din metoda de rotație rezultă că atunci când se deplasează sau se rotește un punct într-un plan de proiecție - pe planul conjugat, proiecția acestui punct ar trebui să se miște în linie dreaptă, în cazul nostru particular, de-a lungul unei axe paralele drepte X. Apoi tragem din puncte A’ B’ C’ Din proiecția frontală, acestea sunt linii drepte (se numesc planuri de rotație ale punctelor), iar din proiecțiile frontale ale punctelor deplasate A 1 ÎN 1C 1 restabiliți perpendiculare (linii de legătură) ( fig.1.6).

Fig.1.6

Intersecția acestor drepte cu perpendicularele corespunzătoare oferă noi poziții ale proiecției frontale a triunghiului ABC, specific A’ 1 ÎN 1C’ 1 care ar trebui să devină o proeminentă (linie dreaptă) de la orizontală h 1 am desenat perpendicular pe planul de proiecție frontală ( fig.1.6);

5) apoi, pentru a obține dimensiunea naturală a triunghiului, este suficient să extindeți proiecția frontală a acestuia până la paralelism cu planul orizontal. Inversarea se efectuează folosind o busolă printr-un punct A' 1, considerându-l ca centru de rotație, punem un triunghi A’ 1 ÎN 1C’ 1 paralel cu axa X, primim A’ 2 LA 2C’ 2 . După cum sa menționat mai sus, atunci când punctul se rotește, pe proiecția conjugată (acum orizontală), se deplasează de-a lungul liniilor drepte paralele cu axa X. Omiterea perpendicularelor (linii de legătură) din proiecțiile frontale ale punctelor A’ 2 LA 2C’ 2 încrucișându-le cu liniile corespunzătoare găsim proiecția orizontală a triunghiului ABC (A 2 LA 2C 2 ) marime adevarata ( fig.1.7).

Orez. 1.7

Am toate soluțiile gata făcute la problemele cu astfel de coordonate, puteți cumpăra

Preț 55 de ruble, desene pe geometrie descriptiva din cartea lui Frolov, le puteti descarca usor imediat dupa plata sau iti trimit un email. Sunt într-o arhivă ZIP în diferite formate:
*.jpg – desenul color obișnuit al desenului pe o scară de la 1 la 1 la o rezoluție bună de 300 dpi;
*.cdw – formatul programului Compass 12 și o versiune ulterioară sau versiunea LT;
*.dwg și .dxf — format programe AUTOCAD, nanoCAD;

Ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu sunt ecuații care definesc o dreaptă care trece printr-un punct dat în mod coliniar către un vector de direcție.

Fie dat un punct și un vector direcție. Un punct arbitrar se află pe o dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică îndeplinesc condiția:

.

Ecuațiile de mai sus sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Numerele m , nȘi p sunt proiecții ale vectorului direcție pe axele de coordonate. Deoarece vectorul este diferit de zero, atunci toate numerele m , nȘi p nu poate fi zero în același timp. Dar unul sau două dintre ele pot fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea notație:

,

ceea ce înseamnă că proiecţiile vectorului pe axe OiȘi Oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul cât și linia dreaptă dată de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axele OiȘi Oz, adică avioane yOz .

Exemplul 1 Alcătuiți ecuații ale unei drepte în spațiu perpendicular pe un plan şi trecând prin punctul de intersecţie a acestui plan cu axa Oz .

Soluţie. Aflați punctul de intersecție al planului dat cu axa Oz. Deoarece orice punct de pe axă Oz, are coordonatele , atunci, presupunând în ecuația dată a planului x=y= 0, obținem 4 z- 8 = 0 sau z= 2 . Prin urmare, punctul de intersecție al planului dat cu axa Oz are coordonatele (0; 0; 2) . Deoarece linia dorită este perpendiculară pe plan, este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul normal poate servi ca vector de direcție al dreptei avion dat.

Acum scriem ecuațiile dorite ale dreptei care trece prin punct A= (0; 0; 2) în direcția vectorului :

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date

O linie dreaptă poate fi definită prin două puncte aflate pe ea Și În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul . Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma

.

Ecuațiile de mai sus definesc o linie dreaptă care trece prin două puncte date.

Exemplul 2 Scrieți ecuația unei drepte în spațiu care trece prin punctele și .

Soluţie. Scriem ecuațiile dorite ale dreptei în forma dată mai sus în referința teoretică:

.

Deoarece , atunci linia dorită este perpendiculară pe axă Oi .

Drept ca o linie de intersecție a planelor

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca o linie de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuatii lineare

Ecuațiile sistemului sunt numite și ecuații generale ale dreptei în spațiu.

Exemplul 3 Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte în spațiul dat de ecuații generale

Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii drepte sau, ceea ce este același, ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linia dreaptă. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu yOzȘi xOz .

Punct de intersecție a unei drepte cu un plan yOz are o abscisă X= 0 . Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații X= 0 , obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei y = 2 , z= 6 împreună cu X= 0 definește un punct A(0; 2; 6) din linia dorită. Presupunând atunci în sistemul dat de ecuații y= 0, obținem sistemul

Decizia ei X = -2 , z= 0 împreună cu y= 0 definește un punct B(-2; 0; 0) intersecția unei drepte cu un plan xOz .

Acum scriem ecuațiile unei drepte care trece prin puncte A(0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :

,

sau după împărțirea numitorilor la -2:

,

Dacă două avioane intersectează, atunci sistemul de ecuații liniare definește ecuația unei drepte în spațiu.

Adică, linia dreaptă este dată de ecuațiile a două plane. O sarcină tipică și comună este de a rescrie ecuațiile unei linii drepte în forma canonică:

Exemplul 9

Soluţie: Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei drepte, trebuie să cunoașteți punctul și vectorul direcție. Și am dat ecuațiile a două plane ....

1) Mai întâi, găsiți un punct care aparține dreptei date. Cum să o facă? În sistemul de ecuații, trebuie să resetați unele coordonate. Fie , atunci obținem un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute: . Adăugăm ecuațiile termen cu termen și găsim soluția sistemului:

Astfel, punctul aparține acestei linii. Acordați atenție următorului punct tehnic: este de dorit să găsiți un punct cu întreg coordonate. Dacă am pune la zero „x” sau „z” în sistem, atunci nu este un fapt că am obține un punct „bun” fără coordonate fracționale. O astfel de analiză și selecție a unui punct ar trebui efectuată mental sau pe o schiță.

Să verificăm: să substituim coordonatele punctului în sistemul original de ecuații: . Primit adevărate egalităţi, ceea ce înseamnă într-adevăr.

2) Cum să găsiți vectorul de direcție al unei linii drepte? Locația sa este demonstrată clar de următorul desen schematic:

Vectorul direcție al dreptei noastre este ortogonal cu vectorii normali ai planelor. Și dacă , atunci găsim vectorul "pe" ca produs vectorial vectori normali: .

Din ecuațiile planelor, eliminăm vectorii lor normali:

Și găsim vectorul direcție al dreptei:

Cum se verifică rezultatul a fost discutat în articol Produsul încrucișat al vectorilor.

3) Să compunem ecuațiile canonice ale unei drepte după un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

În practică, puteți folosi o formulă gata făcută: dacă o dreaptă este dată de intersecția a două plane, atunci vectorul este vectorul de direcție al acestei drepte.

Exemplul 10

Scrieți ecuațiile canonice ale dreptei

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Răspunsul dvs. poate diferi de al meu (în funcție de punctul pe care îl alegeți). Dacă există o diferență, atunci pentru a verifica, luați un punct din ecuația dvs. și înlocuiți-l în ecuația mea (sau invers).

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

În a doua parte a lecției, vom lua în considerare poziția relativă a liniilor în spațiu și vom analiza, de asemenea, sarcinile care sunt asociate cu liniile și punctele spațiale. Sunt chinuit de așteptări vagi că materialul va fi decent, așa că este mai bine să fac o pagină web separată până la urmă.

Bine ati venit: Probleme cu o linie dreaptă în spațiu >>>

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 4: Răspunsuri:

Exemplul 6: Soluţie: Găsiți vectorul direcție al dreptei:

Vom compune ecuațiile dreptei după punctul și vectorul direcție:

Răspuns : ("y" - oricare) :

Răspuns :