Desen complex (diagrama monge). Desenul complex al mongei Principalele tipuri de desene reversibile Desenul diagramei monge

INTRODUCERE ............................................................. . ................................................. ....4

1 INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR.................................4

2 SIMBOLULE ADOPTATE ................................................ ............... ...................5

3 TEMA 1 DESEN COMPLEX LUI MONGE (punct, linie) .......6

3.1 Desenul complex al unui punct. ........................................................ ...................6

Exerciții. ................................................. . ................................................ .. 6

Sarcini. ................................................. . ................................................ .. ..........7

Exemple de rezolvare a problemelor .................................................................................. ..............8

Teste de autocontrol al cunoștințelor……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………10

3.2 Desenul complex al unei linii drepte ............................................. ............... .................unsprezece

Exerciții. ................................................. . ................................................ .unsprezece

Sarcini. ................................................. . ................................................ .. .........12

Exemple de rezolvare a problemelor .................................................................................. ..13

Teste de autocontrol al cunoștințelor………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………15

4 TEMA 2 DESEN COMPLEX AL MONGE (AVION) ....... 17 PERPENDICULARITATEA DREPTURILOR ȘI A AVIONULUI

4.1 Desenul complex al unui plan ............................................. ............. ..............17

Exerciții. ………………………………………………………………………………… ..............17

Sarcini. …................................................................ ................................................. . .......19

Exemple de rezolvare a problemelor……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………….21

Teste de autocontrol al cunoștințelor…………………………………………………………………………..21

4.2 Perpendicularitatea dreptelor și planelor.................................................. ..............23

Exerciții. ................................................. . ................................................ .23

Sarcini. …................................................................ ................................................. . .......24

Exemple de rezolvare a problemelor ................................................. ................................. 25

Teste de autocontrol de cunoștințe………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

5 TEMA 3 Poziția reciprocă a liniilor și a planurilor

Exerciții. ................................................. . ................................................ .27

Sarcini. ................................................. . ................................................ .. .........29

Exemple de rezolvare a problemelor. ................................................. . ..............................treizeci

Teste de autocontrol al cunoștințelor……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………….

6 TEMA 4 MODALITĂȚI DE CONVERSIE A UNUI DESEN .......................33

Exerciții. ................................................. . ................................................ .33

Sarcini................................................. ................................................. . ...........34

Exemple de rezolvare a problemelor. ................................................. . ..............................36

Teste de autocontrol al cunoștințelor……………………………………………………………..38

7 TEMA 5 SUPRAFEȚE MULTIFACEȚE............................................. ....40

Exerciții. ................................................. . ................................................ .40

Sarcini. ................................................. . ................................................ .. .........41

Exemple de rezolvare a problemelor. ................................................. . .............................43

Teste de autocontrol al cunoștințelor .................................................. .... ...............................44

REFERINȚE…………………………………………………………………… ........47

APLICARE.................................................................................................47

INTRODUCERE

Tutorial este destinat orelor de laborator de geometrie descriptivă pentru studenții Facultății de Amenajare a Terenului și Silvicultură (direcții: 250700 - Arhitectura Peisagistică, 250100 - Silvicultură).

Manualul este folosit de elevi în autoinstruire la lecția următoare. Pentru a face acest lucru, el trebuie:

Studiază material teoretic pe o anumită temă și răspunde la întrebări de autocontrol;

Completați exercițiile pe tema dată.

La începutul lecției, profesorul verifică pregătirea teoretică a elevilor și rezolvarea exercițiilor pe o anumită temă. La finalul fiecărui subiect, exemple de rezolvare a unor probleme tipice. Începeți cu exercițiile subiect nou, este util să vă familiarizați cu exemplul corespunzător și să-l urmați în proiectarea desenului.

Manualul poate fi folosit și de către studenți pentru autocontrolul cunoștințelor dobândite la teste date în manual după exemple de rezolvare a problemelor tipice. Pentru a face acest lucru, el trebuie:

După fiecare lecție, răspundeți la testele de autocontrol de cunoștințe și verificați corectitudinea cunoștințelor dvs. folosind răspunsurile oferite în anexa manualului.

În procesul de lucru cu manualul, elevii învață tehnici practice utilizate în rezolvarea problemelor, ceea ce le permite să-și dezvolte abilitățile și abilitățile de a le rezolva în mod independent. Pe măsură ce această experiență se acumulează, elevii încep să gândească în mod independent nivel profesionalîn timp ce dezvoltă gândirea spațială și logică.

INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE DE SOLUȚIE ȘI

FORMARE SARCINI

Când rezolvați probleme, trebuie să vă ghidați după următoarele recomandări:

1. Conform proiecţiilor forme geometrice, constituind datele inițiale ale problemei, să reprezinte forma și poziția relativă a acestora în spațiu atât unul față de celălalt, cât și față de planurile de proiecție.

2. Conturează un plan „spațial” pentru rezolvarea problemei. În această etapă a soluției, trebuie să facem referire la teoremele din cursul secțiunilor de geometrie elementară „Planimetrie” și „Stereometrie”, precum și la materialul teoretic din manuale și prelegeri.

3. Determinați algoritmul de rezolvare a problemei, notați pe scurt șirul constructii grafice folosind notația acceptată.

4. Se trece la construcții geometrice.

Când rezolvați o problemă grafic, acuratețea răspunsului depinde nu numai de alegere calea cea buna soluția acestuia, dar și asupra acurateței construcțiilor geometrice. Prin urmare, atunci când rezolvați problema, este necesar să utilizați instrumente de desen. Sarcinile trebuie rezolvate într-un caiet separat într-o cușcă pentru exerciții de laborator. Tipul și grosimea liniilor sunt realizate în conformitate cu GOST 2.303-68 ESKD. Construcțiile se fac cu creionul. Pentru a ușura citirea desenului obținut în procesul de rezolvare, este indicat să folosiți creioane colorate: elementele date sunt conturate în negru, construcțiile auxiliare în albastru, elementele dorite în roșu. Același scop este urmărit prin desemnarea obligatorie a tuturor punctelor și liniilor. În acest caz, desemnarea ar trebui făcută în procesul de rezolvare a problemei imediat după trasarea liniei sau determinarea punctului de intersecție a liniilor. Inscripțiile și desemnările literelor trebuie făcute în font standard, în conformitate cu GOST 2.304-84 ESKD.

La test sau examen se prezintă profesorului un caiet cu probleme rezolvate.

DENUMIRE ACCEPTATE

A, B, C, D,…sau 1, 2, 3, 4, ... - desemnarea punctului; majuscule ale alfabetului latin sau cifre arabe.

o - imaginea unui punct (zona de localizare a punctelor); un cerc cu diametrul de 2-3 mm cu o linie subțire de mână.

a, b, c, d,... - o linie în spațiu; litere mici ale alfabetului latin.

Γ, Σ, Δ,… - planuri, suprafete; majuscule ale alfabetului grecesc.

α, β, γ, δ, ... - colțuri; litere mici ale alfabetului grecesc.

P - plan de proiecție (plan de imagine); majusculă(pi) Alfabetul grecesc.

AB- o linie care trece prin puncte A Și ÎN .

[AB]- segment delimitat de puncte A Și ÎN .

[AB ) este o rază mărginită de un punct A si trecand prin punct ÎN.

/AB /–dimensiunea naturală a segmentului[ AB] (egal cu originalul).

/Aa /–distanța de la punct A la linie A.

/AΣ /–distanța de la punct A până la avion Σ .

/ab /– distanța dintre linii A Și b.

/GD / - distanța dintre suprafețele G și D.

≡- coincidență (A≡B - punctele A și B coincid).

║ - paralel.

^ - perpendicular.

∩ - intersecție.

О - aparține, este un element al mulțimii.

RABC - unghi cu vârful în punctul B.

Imaginea semnelor trebuie realizată în conformitate cu standardele acceptate pentru proiectarea documentației tehnice și științifice.

SUBIECTUL 1 DESEN INTEGRAT LUI MONGE

(PUNCT, DIRECT)

Întrebări de autocontrol

1. Cum se numește proiecția unui punct?

2. Ce se numește axa de proiecție? Ce linii drepte se numesc „linii de legătură” și cum sunt situate în raport cu axa de proiecție?

3. Puteți restabili poziția unui punct în spațiu prin proiecțiile sale?

4. Cum poți stabili o linie dreaptă pe un desen complex?

5. Care linii se numesc linii în poziție generală? Numiți liniile de poziție privată.

În desenele de inginerie se folosește metoda proiecțiilor dreptunghiulare. Prin urmare, vom continua studiul cursului folosind metoda proiecției ortogonale.

Pentru a rezolva fără ambiguitate cele două sarcini principale ale cursului de geometrie descriptivă, desenele trebuie să îndeplinească următoarele cerințe:

1. Simplitate și vizibilitate;

2. Reversibilitatea desenului.

Metodele considerate de proiecție folosind desene cu o singură imagine permit rezolvarea unei probleme directe (adică construirea proiecției acesteia dintr-un original dat). Cu toate acestea, problema inversă (adică reproducerea originalului prin proiecție) nu poate fi rezolvată fără ambiguitate. Această problemă admite un număr infinit de soluţii, deoarece fiecare punct A 1 planuri de proiectie P 1 poate fi considerată o proiecție a oricărui punct al fasciculului proeminent l A trecând prin A 1. Astfel, desenele cu o singură poză considerate nu au proprietatea reversibilitate.

Pentru a obține desene reversibile cu o singură imagine, acestea sunt completate cu datele necesare. Exista diferite căi o asemenea completare. De exemplu, desene cu numere.

Metoda constă în faptul că împreună cu proiecția punctului A 1înălțimea punctului este setată, adică distanța sa față de planul de proiecție. Setați și scara. Această metodă este utilizată în construcții, arhitectură, geodezie etc. Cu toate acestea, nu este universală pentru crearea de desene cu forme spațiale complexe.

În 1798, geometrul-inginer francez Gaspard Monge a rezumat cunoștințele teoretice și experiența acumulate până atunci și a dat pentru prima dată o justificare științifică pentru metoda generală de construire a imaginilor, propunând să se ia în considerare un desen plat, format din două proiecții, ca rezultat al combinării a două planuri de proiecție reciproc perpendiculare. De aici își are originea principiul construirii desenelor, pe care îl folosim până astăzi.

Să ne punem sarcina de a construi proiecții ale segmentului în două plane de proiecție reciproc perpendiculare P 1Și P 2.

1. Model spațial.

P 1 ^ P 2 . AA1^P1; |AA 1 | - distanta de la A la P 1 .

AA 2^ P 2 ;|AA 2| - distanta de la A inainte de P 2 .

P 1- plan orizontal de proiectie;

P 2- planul de proiecție frontală.

A 1 B 1- proiecția orizontală a segmentului;

A 2 B 2- proiecția frontală a segmentului.

x 12- linia de intersecție a planurilor de proiecție.

Cu toate acestea, în această formă, desenul este incomod de citit. Prin urmare, Gaspard Monge a propus să combine aceste planuri de proiecție, în plus, P este luat ca plan al desenului, iar P este rotit pentru a coincide cu P 2. Un astfel de desen se numește desen complex.

2. Model plat.

Luați în considerare combinația de planuri de proiecție cu tot conținutul lor într-un desen plat. Setul de proiecții ale unui set de puncte din spațiu pe P 1 se numește câmp de proiecție orizontală și mai departe P 2- câmp de proiecție frontală.

x 12- axa de proiectie, baza de referinta.

A 1 A 2 , B 1 B 2 Þ o linie de legătură este o linie dreaptă care leagă două proiecții ale unui punct pe un desen complex. Linia de legătură este perpendiculară pe axa de proiecție.

Proprietățile de desen complexe cu două imagini ale lui Monge:

1. Două proiecții ale unui punct se află întotdeauna pe aceeași linie de comunicație a direcției stabilite.

2. Toate liniile de comunicație dintr-o direcție stabilită sunt paralele între ele.

3. Desenare fără axe.

Dacă avioanele combinate P 1Și P 2 se deplasează paralel cu ei înșiși la distanțe arbitrare (vezi poziția axelor x 12, x 12 1, x 12 11în fig. 1-17), atunci distanțele de la figură la planurile de proiecție se vor modifica.

Cu toate acestea, proiecțiile figurii în sine (în acest caz, segmentul AB) nu se modifică atunci când planurile de proiecție sunt mutate paralel (conform proprietății 7 a proiecției paralele).

Din fig. 1-17 este vizibil. că pentru orice poziţie a axei X, cantități DZ- diferența de distanțe de la capetele segmentului până la P 1, Și Dy- diferența de distanțe de la capetele segmentului până la P 2, ramane neschimbat. Prin urmare, nu este nevoie să specificați poziția axei x 12 pe desenul complex și astfel predeterminați poziția planurilor de proiecție P 1Și P 2 in spatiu.

Această împrejurare are loc în desenele folosite în inginerie și se numește un astfel de desen fără axe.

Să ilustrăm cele de mai sus cu un exemplu concret.

Sarcină: Realizați un desen pentru fabricarea mesei (Fig. 1-18).

1. Construiți trei proiecții ale tabelului, ținând cont de proprietățile diagramei Monge.

2. Ce lipsește de efectuat conform desenului acestui produs?

3. Da, desigur, dimensiuni.

Acum, când există trei imagini ale produsului și dimensiunile acestuia, distanțele de la produs la planurile de proiecție contează pentru fabricarea produsului, adică legarea de axe X, yȘi z(dimensiunile 1500, 2000, 2000 pe desen).

Nu, ei nu!

Conform acestui desen, produsul este creat și la ce distanță trebuie instalat de pereți ( P 2, P 3) este o altă problemă.

Desenul fără axe permite, fără a fi legat de axe, plasarea imaginilor într-o poziție convenabilă interpretului, dar cu respectarea relației de proiecție, i.e. construirea desenului are loc conform legilor stabilite de Gaspard Monge

Diagrama Monge sau desen complex este un desen compus din două sau mai multe interconectate proiecții ortogonale figură geometrică.

Utilizarea unui aspect spațial pentru a afișa proiecții ortogonale ale figurilor geometrice este incomod din cauza volumului său și, de asemenea, datorită faptului că, atunci când este transferată pe o coală de hârtie, forma și dimensiunea figurii proiectate sunt distorsionate pe H și W. avioane.
Prin urmare, în locul imaginii din desenul aspectului spațial, se folosește diagrama Monge.

Diagrama Monge se obține prin transformarea planului spațial prin combinarea planurilor H și W cu planul de proiecție frontală V:
- pentru a alinia planul H cu V, rotiți-l cu 90 de grade în jurul axei x în sensul acelor de ceasornic. În figură, pentru claritate, avionul H rotit la un unghi puțin mai mic de 90 de grade, în timp ce axa y, aparținând planului orizontal de proiecție, după ce rotația coincide cu axa z;
- după alinierea planului orizontal, rotiți în jurul axei z tot la un unghi de 90 de grade față de planul profilului în direcția opusă mișcării în sensul acelor de ceasornic. În același timp, axa y, aparținând planului de profil al proiecției, după ce rotația coincide cu axa X.

După transformare, aspectul spațial va lua forma prezentată în figură. Această figură arată și succesiunea poziției relative a podelei planelor de proiecție, deci înregistrarea V indică faptul că în această parte a diagramei Monge (limitată de direcția pozitivă a axelor XȘi z) mai aproape de noi se află etajul din stânga sus al planului de proiecție frontală V, în spatele acestuia se află podeaua din stânga spate a planului orizontal de proiecție H, urmat de etajul superior din spate al planului profilului W.

Deoarece avioanele nu au limite, atunci în poziția combinată (pe diagramă) aceste limite nu sunt afișate, nu este nevoie să lăsați inscripții care indică poziția podelei planelor de proiecție. De asemenea, este de prisos să reamintim unde este direcția negativă a axelor de coordonate. Apoi, în forma sa finală, diagrama Monge care înlocuiește desenul spațial va lua forma prezentată în figură.

Complotul Monge poate fi realizat cu:

- instrumente și dispozitive de desen convenționale:
Instrumente de desen;
Accesorii și dispozitive de desen;
- Programe pentru construirea (desenarea) diagramei Monge: Realizarea unui desen într-un editor grafic.

Ca exemplu de proiectare a diagramei Monge, oferim o soluție la problema construirii unui dreptunghiular isoscel. triunghiul ABC:

— cunoscutul după starea problemei este afișat cu negru;
- in culoare verde sunt afisate toate constructiile care duc la rezolvarea problemei;
- sarcinile căutate sunt afișate cu roșu.
În funcție de starea problemei, sunt date proiecțiile triunghiului ABC(A`B`C`, A»B»…”). Pentru a rezolva problema, este necesar să găsiți proiecția lipsă C.

Metodele de proiecție prezentate în § 1.1 vă permit să construiți imagini (proiecții) după o anumită imagine geometrică (originală), adică. rezolva problema directa a geometriei descriptive. Dar într-o serie de cazuri se oferă soluția problemei inverse, care constă în construirea originalului în spațiu în funcție de proiecțiile sale pe planul de proiecție.

Astfel, desenele de proiecție de mai sus (vezi Fig. 3, Fig. 6, Fig. 7, Fig. 9) nu permit restaurarea originalului, adică. nu au proprietatea „reversibilitate”.

Luați în considerare schema de construire a unui desen reversibil utilizat în geometria descriptivă.

Proiecția ortografică este un caz special de proiecție paralelă, când direcția de proiecție este perpendiculară (ortogonală) pe planul de proiecție: S^P i .

Proiecția ortografică este cea principală în desen, deoarece. are o mare claritate și permite, cu o anumită aranjare a imaginilor geometrice în raport cu planurile de proiecție, păstrarea unui număr de parametri liniari și unghiulari ai originalului.

Geometrul francez Gaspard Monge a sugerat proiectarea ortogonală a originalului pe două planuri de proiecție reciproc perpendiculare П 1 și П 2 .

Orez. 11 Fig. 12

P 1 - plan orizontal al proiecțiilor; P 2 - plan de proiecție frontală; x \u003d P 1 Ⴖ P 2.

Planurile de proiecție împart spațiul în patru sferturi (sau cadrane). Sferturile sunt numerotate în ordinea prezentată în fig. 11. Sistemul de coordonate este selectat din condiția ca planurile de coordonate să coincidă cu planurile de proiecție. Pe fig. 12 arată proiecția unui punct A pe planul P1 și P2. Grinzi de proiecție AA 1 și AA 2 sunt perpendiculare pe planurile de proiecție corespunzătoare, deci frontala ( A 2) și orizontal ( A 1) proiecția punctului A sunt pe perpendiculare A 1 A xși A 2 A x la axa de proiecție x.

Întorcând planul de proiecție P 1 în jurul axei x la un unghi de 90 0 (Fig. 13), obținem un plan - planul desenului, proiecția A 1Și A 2 situat pe una perpendiculară pe axa de proiecție x - linii de comunicare. Ca urmare a combinării planurilor de proiecție P 1 și P 2, se obține un desen, numit diagrama Monge. Diagrama lui Monge este numită și în literatura modernă un desen complex. Acesta este un desen format din două sau mai multe proiecții interconectate ale unei imagini geometrice. În viitor, diagramele lui Monge vor fi numite într-un singur cuvânt - desen.

Orez. 13 Fig. 14

Deoarece planurile de proiecție sunt nelimitate, desenul punctului Aîn sistemul P 1 / P 2 va arăta ca în fig. 14.

A 2 A x- distanta fata de punct A la planul de proiecţie P 1 ;

A 1 A x- distanta fata de punct A la planul proiecţiilor П 2 .

Prin urmare, proiecțiile punctului A pe două planuri de proiecție determină complet poziția sa în spațiu.

Pentru a simplifica raționamentul suplimentar, vom lua în considerare doar partea de spațiu situată în stânga planului de profil al proiecției П 3 .

P 3 - planul de profil al proiecțiilor; Z\u003d P 2 Ⴖ P 3; Z- axa y. Planul de proiecție P 3 este perpendicular pe P 1 P 2.

Pe fig. 15 prezintă direcţia de rotaţie printr-un unghi de 90 0 a planurilor de proiecţie P 3 şi P 1 în jurul axelor de coordonate respective până la alinierea cu P 2 .

Din fig. 15 vedem că axa Xîmparte planul orizontal de proiecție P 1 în două părți: podeaua frontală P 1 (axele XȘi Y) și podeaua din spate P 1 (axele XȘi Y).

abscisă Xîmparte planul frontal al proiecțiilor P 2 și în două părți: etajul superior P 2 (axele X și Z) și etajul inferior (axele). XȘi -Z).

Din fig. 15 se poate observa că punctele situate în diferite sferturi de spațiu au anumite semne de coordonate. Aceste semne sunt prezentate în tabel.

Construirea proiecțiilor punctuale Aîn sistemul P 1 / P 2 / P 3 este prezentat în fig. 17

Orez. 17 Fig. 18

OA x- ștergerea unui punct A din planul de profil al proiecțiilor;

A 3– proiecția de profil a unui punct A;

A 1 A x A 2, A 2 A z A 3- linii de comunicare.

În desen, proiecțiile frontale și de profil ale punctului se află pe aceeași linie de comunicație perpendiculară pe axă Z, iar proiecția profilului este la aceeași distanță de axă Z, care este orizontală față de axa x: A z A 3 = A x A 1.

Proiecție punct orizontal A 1 determinate de coordonate XȘi Y

frontal A 2- coordonatele XȘi Z, profilul P 3 - coordonatele Y si Z.

În raport cu planurile de proiecție, un punct poate ocupa următoarele poziții:

1. Punctul este situat în orice sfert al spațiului, în timp ce condiția este obligatorie ca X ≠ 0; Y ≠ 0; Z ¹ 0.
2. Punctul aparține oricărui plan de proiecție, cu condiția ca una dintre coordonate să fie egală cu „0”.

A Î P 1 dacă Ζ = 0;

A Î P 2 dacă Y = 0;

А О П 3 dacă Х = 0.

3. Punctul aparține axei de coordonate dacă oricare două coordonate sunt egale cu „0”.

A Î X, dacă Y = 0; Z = 0;

А н U dacă Х = 0; Z = 0;

A Î Z, dacă X = 0; Y = 0.

Lectura

Subiectul „Inginerie grafică”

Capitol. 1 Geometrie descriptivă

Alcătuit de: Shagvaleeva.G.N.

Introducere.

Geometria descriptivă mai este numită și teoria imaginilor. Subiectul geometriei descriptive este prezentarea și justificarea metodelor de reprezentare a figurilor spațiale pe un desen plat și a metodelor de rezolvare a problemelor geometrice spațiale pe un desen plat. Obiectele stereometrice (tridimensionale) sunt discutate în el cu ajutorul imaginilor planimetrice (bidimensionale) ale acestor obiecte, proiecții.

Ei spun că desenul este limbajul tehnologiei, iar geometria descriptivă este gramatica acestui limbaj. Geometria descriptivă este baza teoretica realizarea de desene tehnice, care sunt modele grafice complete ale produselor specifice de inginerie.

Pe care se bazează regulile de construire a imaginilor stabilite în geometria descriptivă metoda de proiectie.

Studiul geometriei descriptive contribuie la dezvoltarea reprezentării spațiale și a imaginației, a gândirii geometrice constructive, la dezvoltarea abilităților de analiză și sinteză a formelor spațiale și a relațiilor dintre acestea. Stăpânirea metodelor de construire a diferitelor obiecte spațiale geometrice, metode de obținere a desenelor acestora la nivelul modelelor grafice și capacitatea de a rezolva probleme pe aceste desene legate de obiectele spațiale și de caracteristicile geometrice ale acestora.

Bazele geometriei descriptive ca știință au fost puse de omul de știință și inginer francez Gaspard Monge (1746-1818) în lucrarea sa „Geometrie descriptivă”, Paris, 1795. Gaspard Monge a oferit o metodă generală de rezolvare a problemelor stereometrice. constructii geometrice pe un plan, adică pe un desen, folosind instrumente de desen.

Denumiri acceptate.

A, B, C, D, -punctele sunt indicate prin majuscule ale alfabetului latin;

a, b, c, d - linii - cu litere mici ale alfabetului latin;

p 1 - plan orizontal al proiecțiilor,

p 2 - planul frontal al proiecțiilor,

p 3 - planul de profil al proiecțiilor,

p 4 , p 5 , ... - planuri de proiecție suplimentare.

avioane

Axele de proiecție - cu litere mici ale alfabetului latin: x, y și z. Originea coordonatelor este numărul 0.

Sunt indicate proiecții de puncte, drepte, plane: pe p 1 cu o singură lovitură, pe p 2 cu două, pe p 3 - cu trei lovituri.

p 1 - A I , B I , C I ,..., a I , b I , ... , a I , b I ,

p 2 - A II, B II, C II,..., a II, b II, ..., a II, b II,

p 3 - A III, B III, C III,..., a III, b III, ..., a III, b III.

Formarea proiecțiilor.

1 Proiecție centrală.

Aparatul central de proiecție este format din centrul de proiecție S, planul de proiecție π, raze proiectante.

π 1 - plan de proiecție

S - centru de proiecție

A, B, C - puncte din spațiu

A", B", C" - proiecții de puncte pe planul π"

Proiecția este punctul de intersecție a fasciculului proeminent cu planul de proiecție.

2. Proiecție paralelă.

Grinzile proeminente sunt conduse paralel cu S și între ele. Proiecțiile paralele sunt împărțite în oblice și dreptunghiulare. În cazul proiecției oblice, razele sunt situate la un unghi față de planul de proiectare.

În cazul proiecției dreptunghiulare, razele proeminente sunt perpendiculare pe planul de proiecție (Fig. 1.3). Proiecția dreptunghiulară este principala metodă de proiecție adoptată în construcția desenelor tehnice.

Proprietățile de bază ale proiecției ortogonale

1. Proiecția unui punct - există un punct;

2. Proiecția unei drepte (în cazul general) - există o dreaptă sau un punct (dreapta este perpendiculară pe planul de proiecție);

3. Dacă punctul se află pe o dreaptă, atunci proiecția acestui punct va aparține proiecției dreptei: А l ® A "l";

4. Dacă două drepte din spațiu sunt paralele, atunci proiecțiile lor cu același nume sunt și ele paralele: a || b ® a` || b`;

5. Dacă două drepte se intersectează la un punct, atunci proiecțiile lor cu același nume se intersectează în proiecția corespunzătoare a acestui punct: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";

6. Proporționalitatea segmentelor situate pe o linie dreaptă sau pe două linii paralele se păstrează și pe proiecțiile lor (Fig. 1.3): AB: CD \u003d A "B": C "D"

7. Dacă una dintre cele două drepte reciproc perpendiculare este paralelă cu planul de proiecție, atunci unghiul drept este proiectat pe acest plan printr-un unghi drept (Fig. 1.4).

Desen complex al unui punct sau diagrame Monge.

Cea mai comună metodă de geometrie descriptivă în practică a fost propusă de Gaspard Monge. Această metodă se bazează pe design ortogonal.

Proiecția ortogonală (sau dreptunghiulară) a punctului A pe planul π 1 se numește baza perpendicularei căzute din punctul A în planul π 1 (Fig. 1.5)

Desenul obținut în acest caz pe planul π 1 este ireversibil, corespondența dintre originalul A și proiecția A „este unică doar într-o singură direcție: de la original la proiecție. Originalul corespunde unei singure proiecții, desenul original. este definit în mod unic, dar pentru proiecția A" există nenumărate originale care îi corespund, și anume toate punctele liniei de proiectare A A". O traducere exactă din limbajul desenului în limbajul naturii este imposibilă. Prin urmare, Monge introduce un al doilea plan de proiecție.

Orez. 1.6. Fig.1. 7.

Pe fig. 6. în imagine sistem dreptunghiular coordonate.

Combinând acum planurile π 1 și π 2 cu proiecțiile construite în ele prin rotirea π 1 în jurul axei X cu 90 0, astfel încât semiplanul frontal π 1 să coincidă cu semiplanul inferior π 2, obținem desen punct complex sau Diagrama Monge. (Fig. 1.7).

Construit conform acestor reguli un desen format dintr-o pereche de proiecții situate într-o relație de proiecție este reversibil, adică corespondența dintre original și desen este lipsită de ambiguitate în ambele sensuri. Sau, cu alte cuvinte, desenul oferă informații complete despre original. Descifrarea acestor informații este subiectul geometriei descriptive.

Din desenul complex al punctului, putem trage următoarele concluzii:

1. două proiecții ale unui punct determină complet poziția unui punct în spațiu;

2. proiecțiile punctelor se află întotdeauna pe o linie de legătură perpendiculară pe axa de proiecție.

Liniile care leagă proiecțiile punctelor se numesc linii de comunicare și sunt descrise ca linii subțiri și solide.

Într-o serie de construcții și la rezolvarea problemelor, se dovedește a fi necesar să se introducă în sistem π ​​​​1 (plan orizontal) π 2 (plan frontal) și alte planuri de proiecție. Planul perpendicular pe ambele π 1 și π 1 este planul profilului. π 3 . Linia de intersecție a planurilor orizontale și frontale dă axa X, linia de intersecție a planurilor orizontale și de profil dă axa Y, iar linia de intersecție a planurilor frontale și de profil dă axa Z. (Fig. 1). . 8)

Pentru a obține un desen complex al unui punct, este necesar să plasăm trei plane într-unul, pentru care „tăiem” axa Y și combinăm cele trei plane principale de proiecție într-unul singur (Fig. 1. 9).

A treia proiecție nu adaugă informații noi despre original. Doar face ca informațiile disponibile să fie mai digerabile. (Figura 1.10)

Distanța de la punctul A la planul π 3 (A A "") în spațiu poate fi văzută în desen și este egală cu distanța A "AY \u003d A" A Z \u003d A X 0 \u003d X

Distanța de la punctul A la planul π 2 (A A") în spațiu poate fi văzută în desen și este egală cu distanța A "AX \u003d A" "A Z \u003d A Y 0 \u003d Y

Distanța de la punctul A la planul π 1 (A A") în spațiu poate fi văzută în desen și este egală cu distanța A "AX \u003d A" "A Y \u003d A Z 0 \u003d Z

Exemplu. Construiți proiecțiile punctelor A(10, 10,30), B(30,20,10)

Puncte concurente.

Punctele pentru care o pereche de proiecții cu același nume coincide (și altele nu coincid) se numesc puncte concurente.

Punctele sunt situate pe o linie dreaptă proeminentă, perpendiculară pe planul de proiecție frontală. Direcția vizuală este indicată de o săgeată. În acest caz, proiecția B" este mai aproape de observator decât A", iar pe π 2 proiecția B"" va fi vizibilă și proiecția A"" va fi invizibilă (Fig. 1.12).

Conceptul de " mai sus mai jos»

Punctele sunt situate pe o linie dreaptă proeminentă, perpendiculară pe planul orizontal de proiecție. Direcția vizuală este indicată de o săgeată. În acest caz, proiecția A "" este mai aproape de observator decât B "", iar pe π 1 proiecția A" va fi vizibilă și proiecția B" va fi invizibilă (Fig. 1.13).