Metoda coordonatelor în spațiul Atanasyan. Prezentarea metodei coordonatelor în spațiu pentru o lecție de geometrie (clasa a 11-a) pe tema. Calculul vectorilor normali pentru avioane

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările slide-urilor:

Sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu. Coordonatele vectoriale.

Sistem de coordonate dreptunghiular

Dacă se trasează trei drepte perpendiculare perechi printr-un punct din spațiu, pe fiecare dintre ele se alege o direcție și se alege o unitate de măsură a segmentelor, atunci se spune că un sistem de coordonate dreptunghiular este stabilit în spațiu

Liniile drepte, cu direcțiile alese pe ele, se numesc axe de coordonate, iar punctul lor comun se numește originea coordonatelor. Este de obicei notat cu litera O. Axele de coordonate sunt notate astfel: Ox, Oy, O z - și au denumiri: axa absciselor, axa y, axa aplicată.

Întregul sistem de coordonate este notat Oxy z . Planele care trec prin axele de coordonate Ox și Oy, Oy și O z , O z și, respectiv, Ox, se numesc planuri de coordonate și se notează Oxy, Oy z , O z x.

Punctul O împarte fiecare dintre axele de coordonate în două fascicule. Raza a cărei direcție coincide cu direcția axei se numește semiaxa pozitivă, iar cealaltă rază este semiaxa negativă.

ÎN sistem dreptunghiular coordonate, fiecare punct M al spațiului este asociat cu un triplu de numere, care se numesc coordonatele sale.

Figura prezintă șase puncte A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0), F (0; 0; -3).

Coordonatele vectoriale

Orice vector poate fi descompus în vectori de coordonate, adică reprezentați sub forma în care coeficienții de expansiune x, y, z sunt determinați în mod unic.

Coeficienții x, y și z în expansiunea unui vector în termeni de vectori de coordonate se numesc coordonatele vectorului în sistemul de coordonate dat.

Luați în considerare regulile care ne permit să găsim coordonatele sumei și diferenței lor, precum și coordonatele produsului unui vector dat cu un număr dat, folosind coordonatele acestor vectori.

10 . Fiecare coordonată a sumei a doi sau mai mulți vectori este egală cu suma coordonatelor corespunzătoare acestor vectori. Cu alte cuvinte, dacă a (x 1 , y 1 , z 1 ) și b (x 2 , y 2 , z 2 ) sunt dați vectori, atunci vectorul a + b are coordonate (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ).

20 . Fiecare coordonată a diferenței a doi vectori este egală cu diferența coordonatelor corespunzătoare acestor vectori. Cu alte cuvinte, dacă a (x 1 , y 1 , z 1 ) și b (x 2 y 2 ; z 2 ) sunt dați vectori, atunci vectorul a - b are coordonate (x 1 - x 2 , y 1 - y 2 , z 1 - z 2 ).

treizeci . Fiecare coordonată a produsului unui vector cu un număr este egală cu produsul coordonatei corespunzătoare a vectorului cu acel număr. Cu alte cuvinte, dacă a (x; y; x) este un vector dat, α este un număr dat, atunci vectorul α a are coordonate (αx; αy; α z).

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Fișă didactică „Un set de note pentru elevi pe tema „Metoda coordonatelor în spațiu” pentru desfășurarea lecțiilor sub formă de prelegeri. Geometrie clasa 10-11....

Scopul lecției: Pentru a testa cunoștințele, abilitățile și abilitățile elevilor pe tema „Folosirea metodei coordonatelor în spațiu pentru rezolvarea sarcinilor C2 UTILIZARE.” Rezultate educaționale planificate: Elevii demonstrează: ...

Metoda coordonatelor este o modalitate foarte eficientă și versatilă de a găsi orice unghiuri sau distanțe între obiectele stereometrice din spațiu. Dacă profesorul tău de matematică este înalt calificat, atunci ar trebui să știe acest lucru. În caz contrar, aș sfătui ca partea „C” să schimbe tutorele. Pregătirea mea pentru examenul de matematică C1-C6 include de obicei o analiză a algoritmilor și formulelor de bază descrise mai jos.

Unghiul dintre liniile a și b

Unghiul dintre liniile din spațiu este unghiul dintre toate liniile care se intersectează paralele cu acestea. Acest unghi este egal cu unghiul dintre vectorii de direcție ai acestor linii (sau îl completează la 180 de grade).

Ce algoritm folosește profesorul de matematică pentru a găsi unghiul?

1) Alegeți orice vector și având direcțiile liniilor a și b (paralele cu acestea).
2) Determinăm coordonatele vectorilor și după coordonatele corespunzătoare ale începuturilor și sfârșiturilor acestora (coordonatele începutului trebuie scăzute din coordonatele sfârșitului vectorului).
3) Inlocuim coordonatele gasite in formula:
. Pentru a găsi unghiul în sine, trebuie să găsiți arcul cosinus al rezultatului.

Normal la avion

O normală la un plan este orice vector perpendicular pe acel plan.
Cum să găsești normalul? Pentru a găsi coordonatele normalei, este suficient să cunoaștem coordonatele oricăror trei puncte M, N și K situate în planul dat. Folosind aceste coordonate, găsim coordonatele vectorilor și și necesită ca condițiile și să fie îndeplinite. Echivalând produsul scalar al vectorilor cu zero, compunem un sistem de ecuații cu trei variabile, din care putem afla coordonatele normalei.

Nota profesorului de matematică : Nu este necesar să rezolvați complet sistemul, deoarece este suficient să alegeți cel puțin unul normal. Pentru a face acest lucru, puteți înlocui orice număr (de exemplu, unul) în loc de oricare dintre coordonatele sale necunoscute și puteți rezolva un sistem de două ecuații cu celelalte două necunoscute. Dacă nu are soluții, atunci aceasta înseamnă că în familia normale nu există nimeni care să aibă o unitate pentru variabila selectată. Apoi înlocuiți una cu o altă variabilă (o altă coordonată) și rezolvați un nou sistem. Dacă ratați din nou, atunci normalul dvs. va avea o unitate pe ultima coordonată și se va dovedi a fi paralelă cu un plan de coordonate (în acest caz, este ușor să o găsiți fără un sistem).

Să presupunem că ni se dă o dreaptă și un plan cu coordonatele vectorului de direcție și ale normalului
Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan se calculează folosind următoarea formulă:

Fie și fie oricare două normale la planurile date. Atunci cosinusul unghiului dintre plane este egal cu modulul cosinusului unghiului dintre normale:

Ecuația unui plan în spațiu

Punctele care satisfac egalitatea formează un plan cu normala. Coeficientul este responsabil pentru cantitatea de abatere (deplasare paralelă) între două plane cu aceeași normală dată. Pentru a scrie ecuația unui plan, trebuie mai întâi să îi găsiți normala (așa cum este descris mai sus), apoi să înlocuiți coordonatele oricărui punct din plan, împreună cu coordonatele normalei găsite, în ecuație și să găsiți coeficientul .

Poziția oricărui punct din spațiu poate fi determinată în mod unic folosind un sistem de coordonate dreptunghiular. Acest sistem include trei axe reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct O este originea coordonatelor. Una dintre axe se numește axa x(axă Oh), celălalt axa y (OU), al treilea aplica axa (Oz). avioane XOY, XOZȘi YOZ se numesc planuri de coordonate. Orice segment este luat ca unitate de scară pentru toate cele trei axe . Direcțiile pozitive pe axe sunt alese astfel încât rotația cu 90 0 care combină fasciculul pozitiv BOU cu fascicul pozitiv OY, părea să meargă în sens invers acelor de ceasornic când este privit din fascicul oz. Acest sistem de coordonate este numit dreapta.

Poziția oricărui punct Mîn spațiu poate fi definit prin trei coordonate după cum urmează . PrinMtrageți plane paralele cu planeleXOY, XOZȘi YOZ. La intersecția cu axele, obținem puncte, de exemplu, P, QȘi R respectiv. Numerele X (abscisă), la(ordonată), z (aplicatie), măsurarea segmentelorOP, OQȘiSAUpe scara aleasă sunt numitecoordonate dreptunghiularepuncte M. Ele sunt luate pozitiv sau negativ, în funcție de dacă segmentele corespunzătoare se află pe semiaxa pozitivă sau negativă. Fiecare triplu de numere ( X; la; z) corespunde unui singur punct din spațiu și invers.

Distanța dintre două puncteși se calculează prin formula: (1.6)

Coordonatele (X; y; z) puncteM împărțind într-un raport dat segment de linie AB, (,) sunt determinate de formulele:

În special, la (punctul Mîmparte segmentul ABîn jumătate), se obțin formule pentru determinarea coordonatelor punctului de mijloc al segmentului:

Exemplul 4: pe osie OU găsiți un punct echidistant de două puncte Și .

Soluţie: Punct M culcat pe ax OU, are coordonate . Conform sarcinii |AM| = |VM|. Să găsim distanțele |AM|Și |VM|, folosind formula (1.6):

Obținem ecuația: .

Prin urmare, constatăm că 4 la= 16, adică y= 4. Punctul dorit este M(0; 4; 0).

Exemplul 5: Segment de linie ABîmpărțit în 3 părți egale. Aflați coordonatele punctelor de împărțire, dacă punctele sunt cunoscute și .

Soluţie:

Notați punctele de împărțire ale segmentului ABîn următoarea ordine: CUȘi D. Conform sarcinii |AC| = |CD| = |DB|. Prin urmare, punctul CUîmparte segmentul ABîntr-o relație . Folosind formulele (1.7), găsim coordonatele punctului C:

Prin formulele (1.8) găsim coordonatele punctului D- mijlocul segmentului SW:

Adică punctul D are coordonatele: .

Exemplul 6: La puncte , ,, masele sunt concentrate în mod corespunzător m 1 , m 2 , m 3 , m 4 . Aflați coordonatele centrului de greutate al sistemului acestor mase.

Soluţie:

După cum se știe din cursul fizicii, centrul de greutate al maselor m 1 și m 2 plasate la puncte AȘi ÎN,împarte segmentul ABîn părți invers proporționale cu masele concentrate la capetele segmentului (). Pe baza acestui lucru, găsim mai întâi centrul de greutate al sistemului de două mase m 1 și m 2 plasate la puncte A 1 Și A 2 :

, ,.

Centrul de greutate al unui sistem cu trei mase m 1 și m 2 și m 3 () găsim în mod similar:

, ,.

Găsim în sfârșit centrul de greutate al sistemului de trei masem 1 , m 2 , m 3 Șim 4 :

, ,.

Întrebări de controlat:

Descrieți un sistem de coordonate dreptunghiular în plan și toate componentele sale.

Cum se determină coordonatele unui punct arbitrar dintr-un plan?

Scrieți o formulă pentru a găsi pdistanța dintre două puncte pe avion .

Cum să găseșticoordonatele unui punct care împarte un segment într-un raport dat?

Scrieți formulele pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului.

Scrieți o formulă care calculează aria unui triunghi dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor acestuia .

Descrie sistemul de coordonate polare.

Care este raza polară? În ce măsură se măsoară?

Ce este un unghi polar? Limitele măsurării sale?

Cum găsiți coordonatele dreptunghiulare ale unui punct pentru care sunt cunoscute coordonatele polare?

Cum găsiți coordonatele polare ale unui punct pentru care sunt cunoscute coordonatele dreptunghiulare?

Cum să găsești distanta dintre punctele in sistem polar coordonate?

Descrieți un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu și toate componentele sale.

Cum se determină coordonatele unui punct din spațiu?

Scrieți formula pentru găsirea distanței dintre două puncte din spațiu.

Scrieți formule pentru a găsi coordonatele punctului, împărțind segmentul într-un raport dat pentru un sistem de coordonate tridimensional.

Esența metodei coordonatelor pentru rezolvarea problemelor geometrice

Esența rezolvării problemelor folosind metoda coordonatelor este să introducem un sistem de coordonate care ne este convenabil într-un caz sau altul și să rescriem toate datele folosindu-l. După aceea, toate cantitățile sau dovezile necunoscute sunt păstrate folosind acest sistem. Cum să introduceți coordonatele punctelor în orice sistem de coordonate a fost discutat de noi într-un alt articol - nu ne vom opri aici.

Să introducem principalele afirmații care sunt utilizate în metoda coordonatelor.

Afirmația 1: Coordonatele vectoriale vor fi determinate de diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale sfârșitului acestui vector și începutul acestuia.

Afirmația 2: Coordonatele punctului mijlociu ale segmentului vor fi definite ca jumătate din suma coordonatelor corespunzătoare ale limitelor sale.

Afirmația 3: Lungimea oricărui vector $\overline(δ)$ cu coordonatele date $(δ_1,δ_2,δ_3)$ va fi determinată de formula

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Afirmația 4: Distanța dintre oricare două puncte date de coordonatele $(δ_1,δ_2,δ_3)$ și $(β_1,β_2,β_3)$ va fi determinată de formula

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Schema de rezolvare a problemelor geometrice folosind metoda coordonatelor

Pentru a rezolva probleme geometrice folosind metoda coordonatelor, cel mai bine este să utilizați această schemă:

Analizați ce este dat în problemă:

• Setați cel mai potrivit sistem de coordonate pentru sarcină;
• Matematic, se notează starea problemei, întrebarea problemei, se construiește un desen pentru această problemă.

1. Notați toate datele problemei în coordonatele sistemului de coordonate selectat.

2. Compuneți relațiile necesare din condiția problemei și, de asemenea, conectați aceste relații cu ceea ce trebuie găsit (demonstrat în problemă).
3. Rezultatul obținut este tradus în limbajul geometriei.

Exemple de probleme rezolvate prin metoda coordonatelor

Următoarele sarcini pot fi identificate ca principalele sarcini care conduc la metoda coordonatelor (soluțiile lor nu vor fi date aici):

1. Sarcini pentru găsirea coordonatelor unui vector la sfârșitul și începutul acestuia.
2. Sarcini legate de împărțirea unui segment în orice privință.
3. Dovada că trei puncte se află pe aceeași dreaptă sau că patru puncte se află pe același plan.
4. Sarcini pentru a găsi distanța dintre două puncte date.
5. Probleme pentru găsirea volumelor și ariilor formelor geometrice.

Rezultatele rezolvării primei și a patra probleme sunt prezentate de noi ca principalele afirmații de mai sus și sunt destul de des folosite pentru a rezolva alte probleme folosind metoda coordonatelor.

Exemple de sarcini pentru aplicarea metodei coordonatelor

Exemplul 1

Găsi partea laterală o piramidă obișnuită a cărei înălțime este $3$ cm dacă latura bazei este $4$ cm.

Să ni se dea piramida dreapta$ABCDS$ a cărui înălțime este $SO$. Să introducem un sistem de coordonate, ca în Figura 1.

Deoarece punctul $A$ este centrul sistemului de coordonate pe care l-am construit, atunci

Deoarece punctele $B$ și $D$ aparțin axelor $Ox$ și, respectiv, $Oy$, atunci

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Întrucât punctul $C$ aparține planului $Oxy$, atunci

Deoarece piramida este regulată, atunci $O$ este punctul de mijloc al segmentului $$. Conform afirmației 2, obținem:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

Din moment ce înălțimea $SO$

Test la lecția de geometrie în clasa a 11-a

Subiect: " Metoda coordonatelor în spațiu”.

Ţintă: Verificați cunoștințele teoretice ale elevilor, abilitățile și abilitățile acestora de a aplica aceste cunoștințe în rezolvarea problemelor în moduri vectoriale, coordonate vectoriale.

Sarcini:

1 .Creează condiții de control (autocontrol, control reciproc) al asimilării cunoștințelor și aptitudinilor.

2. Dezvoltați gândirea matematică, vorbirea, atenția.

3. Să promoveze activitatea, mobilitatea, capacitatea de comunicare, cultura generală a studenților.

Formular de conduită: lucrul în grupuri.

Echipamente și surse de informații: ecran, proiector multimedia, foaie de calcul, carduri de credit, teste.

În timpul orelor

1. Moment mobilizator.

Lecție de utilizare a CSR; elevii sunt împărțiți în 3 grupe dinamice, în care elevii cu un nivel acceptabil, optim și avansat. Fiecare grup are un coordonator care gestionează munca întregului grup.

2 . Autodeterminarea elevilor pe baza anticipării.

Sarcină:stabilirea scopurilor conform schemei: amintiți-vă-învățați-puteți.

Test de admitere - Completați spațiile libere (pe tipărite)

proba de admitere

Completează spațiile…

1. Trei drepte perpendiculare perechi sunt trasate printr-un punct din spațiu

noi, pe fiecare dintre ele, sunt selectate direcția și unitatea de măsură a segmentelor,

apoi ei spun că este setat …………. in spatiu.

2. Liniile drepte cu direcțiile alese pe ele se numesc ……………..,

iar punctul lor comun este …………. .

3. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, fiecare punct M al spațiului este asociat cu un triplu de numere care îl numesc ………………..

4. Coordonatele unui punct din spațiu se numesc ………………..

5. Un vector a cărui lungime este egală cu unu se numește …………..

6. Vectori iyksunt numite………….

7. Cote Xyzîn descompunere A= Xi + yj + zk numit

……………vector A .

8. Fiecare coordonată a sumei a doi sau mai mulți vectori este egală cu ……………..

9. Fiecare coordonată a diferenței a doi vectori este egală cu ……………….

10. Fiecare coordonată a produsului unui vector și a unui număr este egală cu………………..

11.Fiecare coordonată a vectorului este egală cu…………….

12. Fiecare coordonată a mijlocului segmentului este egală cu……………….

13. Lungimea vectorului A { Xyz) se calculează cu formula ……………………

14. Distanța dintre punctele M 1(X 1 ; y 1; z 1) și M 2 (X 2; y 2 ; z2) se calculează cu formula …………………

15. Produsul scalar a doi vectori se numește……………..

16. Produsul scalar al vectorilor nenuli este egal cu zero………..

17. Produsul scalar al vectorilorA{ X 1; y 1; z 1} b { X 2 ; y 2 ; z 2) în exprimat prin formula …………………

Verificarea reciprocă a probei de admitere. Răspunsuri la sarcinile testului de pe ecran.

Criteriu de evaluare:

1-2 greșeli - „5”

3-4 erori - „4”

5-6 erori - „3”

În alte cazuri - „2”

3. Efectuarea muncii. (pentru carduri).

Fiecare card conține două sarcini: Nr. 1 - teoretic cu dovezi, Nr. 2 include sarcini.

Explicați nivelul de dificultate al sarcinilor incluse în lucrare. Grupul îndeplinește o sarcină, dar având 2 părți. Coordonatorul grupului gestionează munca întregului grup. Discutarea aceleiași informații cu mai mulți parteneri crește responsabilitatea nu numai pentru propriile succese, ci și pentru rezultatele muncii colective, care are un efect pozitiv asupra microclimatului din echipă.

CARDUL #1

1. Deduceți formule care exprimă coordonatele mijlocului segmentului în termeni de coordonatele capetelor acestuia.

2. Sarcină: 1) Sunt date punctele A (-3; 1; 2) și B (1; -1; 2)

Găsi:

a) coordonatele punctului mijlociu al segmentului AB

b) coordonatele şi lungimea vectorului AB

2) Este dat cubul ABCDA1 B1 C1 D1. Folosind metoda coordonatelor, găsiți unghiul

între liniile AB1 și A1 D.

CARD#2

Deduceți o formulă pentru calcularea lungimii unui vector din coordonatele sale.

Sarcină: 1) Punctele date M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Aflați distanța de la originea coordonatelor până la mijlocul segmentului MN.

→ → → → →

2) Date vectoriale AȘi b. Găsi b(a+b), Dacă a(-2;3;6),b=6i-8k

CARDUL #3

Deduceți o formulă pentru calcularea distanței dintre punctele cu coordonate date.

Sarcină: 1) Sunt date punctele A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4).

Demonstrați că ∆ABC este isoscel și găsiți lungimea linia de mijloc triunghi care leagă punctele medii ale laturilor.

2) Calculați unghiul dintre liniile drepte AB și SD dacă A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

CARD#4

Deduceți formule pentru cosinusul unghiului dintre vectorii nenuli cu coordonate date.

Sarcină: 1) Sunt date coordonatele a trei vârfuri ale paralelogramului ABCD:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Aflați coordonatele punctului D.

2) Aflați unghiul dintre dreptele AB și CD, dacă A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1).

CARD#5

Spune-ne cum să calculăm unghiul dintre două linii în spațiu folosind vectorii de direcție ai acestor linii. →→

Sarcină: 1) Aflați produsul scalar al vectorilorAȘi b, Dacă:

→ → → ^ →

a) | A| =4; | b| =√3 (Ab)=30◦

b) A {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Sunt date punctele A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) și D(2;4;4). Demonstrați că ABCD este un romb.

4. Verificarea lucrului grupurilor dinamice pe carduri.

Ascultăm discursurile reprezentanților grupurilor. Munca grupelor este evaluată de profesor cu participarea elevilor.

5. Reflecție. Note pentru credit.

Test final cu o alegere de răspunsuri (în imprimate).

1) Se dau vectori A {2 ;-4 ;3} b(-3; ─ ; 1). Găsiți coordonatele vectoriale

→ 2

c = A+ b

a) (-5; 3 −; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Se dau vectori A(4; -3; 5) și b(-3; 1; 2). Găsiți coordonatele vectoriale

C=2 A – 3 b

a) (7;-2;3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Calculați produsul scalar al vectorilormȘi n, Dacă m = A + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 A - b dacă | A|=2 , ‌| b |=3, (Ab‌)=60°, c ┴ A , c ┴ b.

a)-1; b) -27; în 1; d) 35.

4) Lungimea vectorului A { Xyz) este egal cu 5. Aflați coordonatele vectorului a dacăX=2, z=-√5

a) 16; b) 4 sau -4; la 9; d) 3 sau -3.

5) Aflați aria ∆ABC dacă A(1;-1;3); B(3;-1;1) şi C(-1;1;-3).

a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.

Test de validare încrucișată. Codurile de răspuns la sarcinile de testare de pe ecran: 1(b); 2(c);

3(a); 4(b); 5(c).

Criteriu de evaluare:

Totul este corect - „5”

1 greșeală - „4”

2 erori - „3”

În alte cazuri - „2”

Tabelul de cunoștințe al elevilor

Lucrați la

carduri

final

Test

Scorul de credit

Sarcini

teorie

practică

1 grup

2 grupa

3 grupa

Evaluarea pregătirii elevilor pentru test.