Proiecția unui punct pe o dreaptă, coordonatele proiecției unui punct pe o dreaptă. Proiecția unui punct pe o dreaptă, coordonatele proiecției unui punct pe o dreaptă Proiecție ortogonală a unui punct pe o dreaptă online

1-12. Proiectia unui punct pe un plan sau o dreapta

FORMULAREA PROBLEMEI. Aflați coordonatele proiecției P" ale punctului P(^PiURChzp) pe planul Ax + By -\- Cz-\- D = O,

PLAN DE SOLUȚIE. Proiecția P" a punctului P pe plan este baza perpendicularei căzute din punctul P pe acest plan.

1. Compunem ecuațiile unei drepte care trece prin punctul P perpendicular pe planul dat. Pentru a face acest lucru, luăm linia dreaptă ca vector de direcție vector normal plan: a = n = = (A, B, C). Atunci ecuațiile canonice ale dreptei au forma

X = At-\- xp, y = Bt-\-yp, Z =z Ct-\- Zp.

3. Substituind x^y^z în ecuația planului și rezolvând-o pentru t, găsim valoarea parametrului t = la care are loc intersecția dreptei și a planului.

4. Inlocuim valoarea gasita a lui ^o in ecuatiile parametrice ale dreptei si obtinem coordonatele dorite ale punctului R”.

COMETARIU. Problema găsirii coordonatelor proiecției unui punct pe o dreaptă este rezolvată în mod similar.

EXEMPLU. Aflați coordonatele proiecției P " a punctului P (1,2, -1) pe planul Зж - 2/4-22: - 4 = 0.

1. Compunem ecuațiile unei drepte care trece prin punctul P perpendicular pe planul dat. Pentru a face acest lucru, luăm vectorul normal al planului ca vector de direcție al dreptei: a = n =

3. Înlocuind aceste expresii pentru x^y și z în ecuația planului, găsim valoarea parametrului ^ la care are loc intersecția dreptei și a planului:

3(3t + 1) - l(-t + 2) + 2(2t - 1) - 27 = О => to = 2.

4. Înlocuind valoarea găsită cu = 2 în ecuațiile parametrice ale dreptei, obținem w0 = 7, yo = O, ^o = 1.

Astfel, punctul de intersecție al dreptei cu planul și, în consecință, proiecția punctului P pe plan are coordonatele (7,0,1).

Răspuns. Proiecția P" are coordonatele (7,0,1).

Răspunsuri. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).

1.13. Simetrie față de o linie dreaptă sau un plan

FORMULAREA PROBLEMEI. Aflați coordonatele punctului Q, simetric

PLAN DE SOLUȚIE. Punctul necesar Q se află pe o dreaptă perpendiculară pe cea dată și care o intersectează în punctul P. Deoarece punctul P împarte segmentul PQ la jumătate, coordonatele căii ferate, bătaia și ZQ ale PUNCTULUI Q sunt determinate din condițiile

proiecția sa P” pe o linie dată.

1. Să găsim proiecția punctului P la această linie dreaptă, adică punctul P "(vezi problema 1.12). Pentru a face acest lucru:

a) să creăm o ecuație pentru un plan care trece prin punctul P perpendicular pe dreapta dată. Ca vector normal n al acestui plan, putem lua vectorul direcție al acestei drepte, adică. n = a = (l^m^n). Primim

1(x - Xp) + t(y - UR) -f n(z - zp) = 0;

b) să găsim coordonatele punctului de intersecție P" al acestui plan cu dreapta dată. Pentru aceasta, scriem ecuațiile dreptei în formă parametrică

X = N-\- jo, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.

Substituind x^y^z în ecuația planului și rezolvând-o pentru t, găsim valoarea parametrului t = la care are loc intersecția dreptei și a planului;

c) înlocuim valoarea găsită a lui to în ecuațiile parametrice ale dreptei și obținem coordonatele dorite ale punctului P."

2. Coordonatele punctului Q, simetric față de punctul P față de o dreaptă dată, sunt determinate din condițiile (1). Primim

XQ = 2хр/ - Хр, yq = 2ur" - ur, ZQ = 22;р/ - zp.

COMETARIU. Problema găsirii coordonatelor unui punct simetric față de unul dat față de un plan este rezolvată în mod similar.

EXEMPLU. Aflați coordonatele punctului Q, simetric față de punctul P(2, -1,2) în raport cu dreapta

X - 1 _ y __ Z -\-1

SOLUŢIE.

1. Să găsim proiecția punctului P la această linie dreaptă, adică punctul P". Pentru a face acest lucru:

a) să creăm o ecuație pentru un plan care trece prin punctul P perpendicular pe dreapta dată. Ca vector normal n al acestui plan, putem lua vectorul direcție al acestei drepte: n = a = (1,0,-2). Apoi

Înlocuind aceste expresii pentru x, y și z în ecuația planului, găsim valoarea parametrului t la care are loc intersecția dreptei și a planului: to = -1;

c) substituind valoarea găsită la = -1 în ecuațiile parametrice ale dreptei, obținem

zhr/ = O, g/r/ = O, zpr = 1.

Astfel, punctul de intersecție al dreptei cu planul și, în consecință, proiecția punctului P pe dreaptă este P" (0,0,1).

2. Coordonatele punctului Q, simetric față de punctul P față de o dreaptă dată, sunt determinate din condițiile (1):

XQ = 2хр" - Хр = -2,

VQ = 2ur/ - 2/r = 1,

ZQ = 2zpf - zp = 0.

Răspuns. Punctul Q are coordonate (-2,1,0).

Condițiile SARCINILOR. Aflați coordonatele unui punct simetric față de punctul P în raport cu o dreaptă dată.

Acest articol examinează conceptul de proiecție a unui punct pe o linie dreaptă (axă). O vom defini folosind un desen explicativ; Să studiem metoda de determinare a coordonatelor proiecției unui punct pe o dreaptă (pe un plan sau în spațiu tridimensional); Să ne uităm la exemple.

În articolul „Proiecția unui punct pe un plan, coordonate”, am menționat că proiecția unei figuri este un concept generalizat de proiecție perpendiculară sau ortogonală.

Toate figuri geometrice constau din puncte, respectiv, proiecția acestei figuri este mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor sale. Prin urmare, pentru a putea proiecta o figură pe o linie dreaptă, trebuie să câștigi abilitățile de a proiecta un punct pe o linie dreaptă.

Definiția 1

Proiectia unui punct pe o dreapta- acesta este fie punctul însuși, dacă aparține unei drepte date, fie baza unei perpendiculare coborâte din acest punct la o dreaptă dată.

Luați în considerare figura de mai jos: punctul H 1 servește ca proiecție a punctului M 1 pe linia a, iar punctul M 2, care aparține dreptei, este o proiecție a lui însuși.

Această definiție este valabilă pentru cazul pe un plan și în spațiul tridimensional.

Pentru a obține o proiecție a punctului M 1 pe dreapta a pe plan, se trasează o dreaptă b care trece prin punctul dat M 1 și perpendiculară pe dreapta a. Astfel, punctul de intersecție al dreptelor a și b va fi proiecția punctului M 1 pe dreapta a.

În spațiul tridimensional, proiecția unui punct pe o dreaptă va fi punctul de intersecție al dreptei a și planul α care trece prin punctul M 1 și perpendicular pe dreapta a.

Aflarea coordonatelor proiecției unui punct pe o dreaptă

Să luăm în considerare această problemă în cazurile de proiecție pe un plan și în spațiu tridimensional.

Să ne dăm un sistem de coordonate dreptunghiular O x y, un punct M 1 (x 1, y 1) și o dreaptă a. Este necesar să se găsească coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Să trasăm o dreaptă b prin punctul dat M 1 (x 1, y 1) perpendicular pe dreapta a. Marcam punctul de intersecție ca H1. Punctul H1 va fi punctul de proiecție al punctului M1 pe dreapta a.

Din construcția descrisă, putem formula un algoritm care ne permite să găsim coordonatele proiecției punctului M 1 (x 1, y 1) pe dreapta a:

Compunem ecuația dreptei (dacă nu este dată). Pentru a efectua această acțiune, aveți nevoie de priceperea de a întocmi ecuații de bază pe un plan;

Notăm ecuația dreptei b (care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe dreapta a). Un articol despre ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată va ajuta aici;

Definim coordonatele de proiecție necesare ca fiind coordonatele punctului de intersecție al liniilor a și b. Pentru a face acest lucru, rezolvăm un sistem de ecuații, ale cărui componente sunt ecuațiile dreptelor a și b.

Exemplul 1

Pe planul O x y sunt date punctele M 1 (1, 0) și o dreaptă a (ecuația generală este 3 x + y + 7 = 0). Este necesar să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Soluţie

Ecuația unei linii date este cunoscută, prin urmare, conform algoritmului, trecem la pasul de scriere a ecuației liniei b. Linia b este perpendiculară pe dreapta a, ceea ce înseamnă că vectorul normal al liniei a servește ca vector de direcție al dreptei b. Apoi scriem vectorul direcție al dreptei b ca b → = (3 , 1) . Să scriem și ecuația canonică a dreptei b, deoarece ni se dau și coordonatele punctului M 1 prin care trece linia b:

Pasul final este de a determina coordonatele punctului de intersecție al liniilor a și b. Să trecem de la ecuațiile canonice ale liniei b la ecuația sa generală:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 · (x - 1) = 3 · y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Să creăm un sistem de ecuații din ecuațiile generale ale liniilor a și b și să-l rezolvăm:

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 · (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

În cele din urmă, am primit coordonatele proiecției punctului M 1 (1, 0) pe linia dreaptă 3 x + y + 7 = 0: (- 2, - 1).

Răspuns: (- 2 , - 1) .

Să luăm în considerare mai detaliat cazul când este necesar să se determine coordonatele proiecției unui punct dat pe linii de coordonate și linii paralele cu acestea.

Să fie date dreptele de coordonate O x și O y, precum și punctul M 1 (x 1, y 1). Este clar că proiecția unui punct dat pe dreapta de coordonate O x de forma y = 0 va fi un punct cu coordonate (x 1, 0). De asemenea, proiecția unui punct dat pe dreapta de coordonate O y va avea coordonatele 0, y 1.

Orice linie dreaptă arbitrară paralelă cu axa absciselor poate fi specificată incomplet ecuație generală B y + C = 0 ⇔ y = - C B, iar dreapta paralelă cu axa ordonatelor este A x + C = 0 ⇔ x = - C A.

Apoi proiecțiile punctului M 1 (x 1, y 1) pe liniile y = - C B și x = - C A vor fi puncte cu coordonatele x 1, - C B și - C A, y 1.

Exemplul 2

Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 (7, - 5) pe dreapta de coordonate O y, precum și pe dreapta paralelă cu dreapta O y 2 y - 3 = 0.

Soluţie

Să notăm coordonatele proiecției unui punct dat pe dreapta O y: (0 , - 5) .

Să scriem ecuația dreptei 2 y - 3 = 0 sub forma y = 3 2. Devine clar că proiecția unui punct dat pe linia dreaptă y = 3 2 va avea coordonatele 7, 3 2.

Răspuns:(0 , - 5) și 7 , 3 2 .

Fie un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z, un punct M 1 (x 1, y 1, z 1) și o dreaptă a în spațiul tridimensional. Să găsim coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Să construim un plan α care trece prin punctul M 1 și perpendicular pe dreapta a. Proiecția unui punct dat pe dreapta a va fi punctul de intersecție al dreptei a și planului α. Pe baza acestuia, prezentăm un algoritm pentru găsirea coordonatelor proiecției punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe linia dreaptă a:

Să notăm ecuația dreptei a (dacă nu este dată). Pentru a rezolva această problemă, trebuie să citiți articolul despre ecuațiile unei linii în spațiu;

Să creăm o ecuație pentru planul α care trece prin punctul M 1 și perpendicular pe dreapta a (vezi articolul „Ecuația planului care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată”);

Să găsim coordonatele necesare proiecției punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe linia dreaptă a - acestea vor fi coordonatele punctului de intersecție al dreptei α și al planului α (pentru a ajuta, vezi articolul „Coordonatele punctului de intersecție a dreptei și a planului”).

Exemplul 3

Este dat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z, iar în el există un punct M 1 (0, 1, - 1) și o dreaptă a. Linia a corespunde ecuațiilor canonice de forma: x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1. Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Soluţie

Folosim algoritmul de mai sus. Ecuațiile liniei a sunt cunoscute, așa că sărim peste primul pas al algoritmului. Să notăm ecuația planului α. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele vectorului normal al planului α. Din ecuațiile canonice date ale dreptei a, selectăm coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte: (3, - 4, 1), care va fi vectorul normal al planului α perpendicular pe dreapta a. Apoi n → = (3, - 4, 1) – vector normal al planului α. Astfel, ecuația planului α va fi:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Acum să găsim coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și planului α, pentru aceasta folosim două metode:

1. Ecuațiile canonice date fac posibilă obținerea ecuațiilor a două plane care se intersectează care definesc dreapta a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 · (x + 2) = 3 · (y - 6) 1 · (x + 2) = 3 · (z + 1) 1 · ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Pentru a găsi punctele de intersecție ale dreptei 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 și ale planului 3 x - 4 y + z + 5 = 0, rezolvați sistemul de ecuații:

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

În acest caz, folosim metoda lui Cramer, dar este posibil să folosim oricare dintre ele convenabile:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ = z = ∆ 0 - 78 = 0

Astfel, proiecția unui punct dat pe dreapta a este un punct cu coordonatele (1, 2, 0)

1. Pe baza ecuațiilor canonice date, este ușor să scrieți ecuațiile parametrice ale unei linii drepte în spațiu:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Să substituim în ecuația planului, care are forma 3 x - 4 y + z + 5 = 0, în loc de x, y și z, expresiile lor prin parametrul:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Să calculăm coordonatele necesare ale punctului de intersecție a dreptei a și planului α folosind ecuații parametrice dreapta a pentru λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Astfel, proiecția unui punct dat pe dreapta a are coordonatele (1, 2, 0)

Răspuns: (1 , 2 , 0)

În final, observăm că proiecțiile punctului M 1 (x 1 , y 1 , z 1) pe liniile de coordonate O x , O y și O z vor fi puncte cu coordonate (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) şi respectiv (0 , 0 , z 1).

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Acest articol definește mai întâi proiecția unui punct pe o linie dreaptă (pe o axă) și oferă un desen explicativ. În continuare, vom discuta despre metoda de a găsi coordonatele proiecției unui punct pe o dreaptă în câmpul introdus. sistem dreptunghiular coordonate pe un plan și în spațiu tridimensional, sunt prezentate soluții de exemple cu explicații detaliate.

Navigare în pagină.

Proiecția unui punct pe o dreaptă - definiție.

Deoarece toate figurile geometrice constau din puncte, iar proiecția unei figuri este un set de proiecții ale tuturor punctelor acestei figuri, atunci pentru a proiecta o figură pe o linie dreaptă, trebuie să puteți proiecta punctele acestei figuri pe un anumit linie dreapta.

Deci, ce se numește proiecția unui punct pe o dreaptă?

Definiție.

Proiectia unui punct pe o dreapta- acesta este fie punctul însuși, dacă se află pe o dreaptă dată, fie baza unei perpendiculare coborâte din acest punct la o dreaptă dată.

În figura de mai jos, punctul H1 este proiecția punctului M1 pe linia a, iar punctul M2 este proiecția punctului M2 însuși pe linia a, deoarece M2 se află pe linia a.

Această definiție a proiecției unui punct pe o dreaptă este valabilă atât pentru cazul în plan, cât și pentru cazul în spațiu tridimensional.

Pe un plan, pentru a construi o proiecție a punctului M 1 pe linia a, trebuie să trasați o dreaptă b care trece prin punctul M 1 și este perpendiculară pe dreapta a. Atunci punctul de intersecție al dreptelor a și b este proiecția punctului M 1 pe dreapta a.

În spațiul tridimensional, proiecția punctului M 1 pe dreapta a este punctul de intersecție al dreptei a și planul care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a.

Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe o dreaptă - teorie și exemple.

Să începem prin a găsi coordonatele proiecției unui punct pe o linie, când punctul proiectat și linia sunt specificate în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan. După aceasta, vom arăta cum se găsesc coordonatele proiecției unui punct pe o linie în sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxyz în spațiul tridimensional.

Coordonatele proiecției unui punct pe o dreaptă pe un plan.

Să fie fixat Oxy pe plan, să fie date un punct și o dreaptă a și este necesar să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Să rezolvăm această problemă.

Să trasăm o dreaptă b prin punctul M 1, perpendicular pe dreapta a, și să desemnăm punctul de intersecție al dreptelor a și b ca H 1. Atunci H1 este proiecția punctului M1 pe dreapta a.

Din construcția de mai sus rezultă logic un algoritm care vă permite să găsiți coordonatele proiecției unui punct pe o dreaptă a:

Să ne uităm la găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe o dreaptă atunci când rezolvăm un exemplu.

Exemplu.

Pe un plan relativ la sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy, sunt date un punct și o dreaptă a, care corespunde cu ecuația generală a unei linii drăguț

Soluţie.

Cunoaștem ecuația dreptei a din condiție, așa că putem trece la pasul al doilea al algoritmului.

Obținem ecuația dreptei b, care trece prin punctul M 1 și este perpendiculară pe dreapta a. Pentru asta avem nevoie coordonatele vectorului de direcție al dreptei b. Deoarece linia b este perpendiculară pe dreapta a, atunci vector normal a este vectorul de direcție al dreptei b. Evident, vectorul normal al dreptei este un vector cu coordonatele , prin urmare, vectorul direcție al liniei b este vectorul . Acum putem scrie ecuația canonică a dreptei b , întrucât se cunosc coordonatele punctului prin care trece și coordonatele vectorului său de direcție: .

Rămâne de găsit coordonatele punctului de intersecție al dreptelor a și b, care vor da coordonatele dorite ale proiecției punctului M 1 pe linia a. Pentru a face acest lucru, trecem mai întâi de la ecuațiile canonice ale dreptei b la ecuația sa generală: . Acum să compunem un sistem de ecuații din ecuațiile generale ale liniilor a și b, după care îi vom găsi soluția (dacă este necesar, consultați articolul):

Astfel, proiecția unui punct pe o dreaptă are coordonate.

Răspuns:

Exemplu.

Trei puncte sunt date pe un plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy. Aflați coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta AB.

Soluţie.

Pentru a afla coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta AB, vom acționa conform algoritmului obținut.

Hai să scriem ecuația unei drepte care trece prin două puncte dateȘi :
.

Acum putem trece de la ecuația canonică obținută a dreptei AB la ecuația generală a dreptei AB și continuăm soluția prin analogie cu exemplul anterior. Dar să ne uităm la un alt mod de a găsi ecuația dreptei b care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta AB.

Din ecuația canonică a dreptei AB obținem ecuația unei drepte cu panta : . Coeficientul unghiular al dreptei AB este egal cu , iar coeficientul unghiular al dreptei b, care este perpendiculară pe dreapta AB, este egal cu (vezi starea de perpendicularitate a liniilor). Atunci ecuația unei drepte b care trece printr-un punct și având un coeficient unghiular are forma .

Pentru a determina coordonatele proiecției unui punct pe dreapta AB, rămâne de rezolvat sistemul de ecuații :

Răspuns:

Să aruncăm o privire separată la găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe liniile de coordonate Ox și Oy, precum și pe liniile paralele cu acestea.

Evident, proiecția unui punct pe linia de coordonate Ox, care îi corespunde ecuația generală incompletă a unei linii de forma , este un punct cu coordonate . În mod similar, proiecția unui punct pe dreapta de coordonate Oy are coordonatele .

Orice linie dreaptă paralelă cu axa x poate fi dată de o ecuație generală incompletă de formă , iar linia dreaptă paralelă cu axa ordonatelor este o ecuație de formă . Proiecțiile unui punct pe linii și sunt punctele cu coordonate și, respectiv.

Exemplu.

Ce coordonate au proiecțiile punctului pe dreapta de coordonate Oy și pe dreapta .

Soluţie.

Proiecția unui punct pe dreapta Oy este punctul cu coordonatele .

Să rescriem ecuația dreptei ca . Acum este clar că proiecția unui punct pe o dreaptă are coordonate.

Răspuns:

ȘI .

Coordonatele proiecției unui punct pe o dreaptă în spațiul tridimensional.

Acum trecem la găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe o dreaptă în raport cu sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz, introdus în spațiul tridimensional.

Fie fixat în spațiu un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz, un punct , dreapta a și trebuie să găsiți coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Să rezolvăm această problemă.

Să construim un plan care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a. Proiecția punctului M 1 pe dreapta a este punctul de intersecție al dreptei a și al planului. Astfel, primim algoritm care vă permite să găsiți coordonatele proiecției unui punct la linia dreaptă a:

Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

În sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz, un punct și o dreaptă a sunt date, iar dreapta a este determinată de ecuații canonice ale unei drepte în spațiu drăguț . Aflați coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a.

Soluţie.

Pentru a determina coordonatele proiecției punctului M 1 pe dreapta a, vom folosi algoritmul rezultat.

Ecuațiile liniei a ne sunt imediat cunoscute din condiție, așa că să trecem la pasul al doilea.

Obținem ecuația planului, care este perpendicular pe dreapta a și trece prin punct. Pentru asta trebuie să știm coordonatele vectorului normal al planului. Să le găsim. Din ecuațiile canonice ale dreptei a sunt vizibile coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte: . Vectorul direcție al unei drepte a este vectorul normal al planului, care este perpendicular pe dreapta a. Acesta este, este vectorul normal al planului. Apoi ecuația planului care trece prin punctul și are un vector normal , are forma .

Rămâne de găsit coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și ale planului - acestea sunt coordonatele dorite ale proiecției punctului pe dreapta a. Vom arăta două moduri de a le găsi.

Prima cale.

Din ecuațiile canonice ale dreptei a obținem ecuațiile a două plane care se intersectează, care definesc linia dreaptă a:

Coordonatele punctului de intersecție al dreptei si avioane obținem prin rezolvarea sistemului ecuatii lineare drăguț . Aplicați (dacă preferați o altă metodă pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, atunci utilizați-o):

Astfel, punctul cu coordonate este o proiecție a punctului M 1 pe dreapta a.

A doua cale.

Cunoscând ecuațiile canonice ale dreptei a, este ușor să o scrii ecuații parametrice ale unei linii în spațiu : . Să înlocuim planuri ale formei în ecuație în loc de x, y și z, exprimă-le printr-un parametru:

Acum putem calcula coordonatele necesare ale punctului de intersecție al dreptei a și al planului folosind ecuațiile parametrice ale dreptei a pentru: