Rezolvarea volumului unei figuri limitate de linii online. Cum se calculează aria unei figuri plane folosind integrala dublă? Întrebări de revizuire

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atât de multe cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, mult mai mult problemă de actualitate vor fi cunoștințele și abilitățile tale de desen. În acest sens, este util să reîmprospătați memoria graficelor principalelor funcții elementare și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă și o hiperbolă.

Un trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și un grafic al unei funcții continue pe un segment care nu își schimbă semnul în acest interval. Fie localizată această cifră nu mai puțin abscisă:

Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună.

În ceea ce privește geometria, integrala definită este AREA.

Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrand definește o curbă pe planul care se află deasupra axei (cei care doresc pot finaliza desenul), iar integrala definită în sine este numeric egal cu suprafata trapezul curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de sarcină. Primul și cel mai important moment al deciziei este construcția unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Când construiți un plan, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile (dacă există) și numai Apoi- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Graficele de funcții sunt mai profitabile de construit punctual.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):

Pe segment se află graficul funcției peste axă, De aceea:

Răspuns:

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule clar nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: Hai să facem un desen:

Dacă se află trapezul curbiliniu sub axă(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită prin formula:

În acest caz:

Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără niciuna sens geometric, atunci poate fi negativ.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Aflați aria unei figuri plate delimitate de linii , .

Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:

Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.

Cel mai bine este să nu utilizați această metodă dacă este posibil..

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiți liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării sunt descoperite ca „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (acestea pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:

Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe interval mai mare sau egal niste functie continua, atunci aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și linii drepte , , poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), si care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Exemplul 4

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Soluţie: Să facem mai întâi un desen:

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch”, că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită în verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite.

Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;

2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Cum se calculează volumul unui corp de revoluțiefolosind o integrală definită?

Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Noi i-am găsit deja zona. Dar, în plus, această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

În jurul axei x;

În jurul axei y .

În acest articol, ambele cazuri vor fi discutate. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, provoacă cele mai mari dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x.

Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

Ne-am dat seama cum să găsim aria unui trapez curbiliniu G. Iată formulele rezultate:
pentru o funcție continuă și nenegativă y=f(x) pe segmentul ,
pentru o funcție continuă și nepozitivă y=f(x) pe segmentul .

Cu toate acestea, atunci când rezolvi problemele de găsire a zonei, de multe ori trebuie să te confrunți cu cifre mai complexe.

În acest articol, vom vorbi despre calcularea ariei figurilor ale căror limite sunt specificate în mod explicit de funcții, adică ca y=f(x) sau x=g(y) și vom analiza în detaliu soluția exemplelor tipice .

Navigare în pagină.

Formula pentru calcularea ariei unei figuri delimitate de drepte y=f(x) sau x=g(y) .

Teorema.

Fie funcțiile și să fie definite și continue pe segment și pentru orice valoare x din . Apoi aria figurii G, delimitată de linii x=a , x=b , și se calculează prin formula .

O formulă similară este valabilă pentru aria figurii delimitată de liniile y \u003d c, y \u003d d și: .

Dovada.

Să arătăm validitatea formulei pentru trei cazuri:

În primul caz, când ambele funcții sunt nenegative, datorită proprietății de aditivitate a zonei, suma ariei figurii originale G și a trapezului curbiliniu este egală cu aria figurii. Prin urmare,

De aceea, . Ultima tranziție este posibilă datorită celei de-a treia proprietăți a integralei definite.

În mod similar, în al doilea caz, egalitatea este adevărată. Iată o ilustrare grafică:

În al treilea caz, când ambele funcții sunt nepozitive, avem . Să ilustrăm asta:

Acum putem trece la cazul general când funcțiile și traversează axa Ox.

Să notăm punctele de intersecție. Aceste puncte împart segmentul în n părți, unde . Figura G poate fi reprezentată prin unirea figurilor . Este evident că pe intervalul său se încadrează într-unul din cele trei cazuri luate mai devreme, prin urmare zonele acestora se regăsesc ca

Prin urmare,

Ultima tranziție este valabilă datorită celei de-a cincea proprietăți a integralei definite.

Astfel formula dovedit.

Este timpul să trecem la rezolvarea exemplelor pentru găsirea ariei figurilor mărginite de liniile y=f(x) și x=g(y) .

Exemple de calcul al ariei unei figuri delimitate de drepte y=f(x) sau x=g(y) .

Vom începe rezolvarea fiecărei probleme construind o figură pe un plan. Acest lucru ne va permite figură complexă Gândiți-vă ca la o uniune de forme mai simple. În caz de dificultăți în construcție, consultați articolele:; Și .

Exemplu.

Calculați aria unei figuri delimitate de o parabolă și drepte , x=1 , x=4 .

Soluţie.

Să construim aceste linii în avion.

Peste tot pe segment, graficul unei parabole deasupra dreptului. Prin urmare, aplicăm formula obținută anterior pentru zonă și calculăm integrala definită folosind formula Newton-Leibniz:

Să complicăm puțin exemplul.

Exemplu.

Calculați aria figurii delimitată de linii.

Soluţie.

Prin ce diferă acest lucru față de exemplele anterioare? Anterior, aveam întotdeauna două drepte paralele cu axa x, iar acum doar una x=7 . Apare imediat întrebarea: de unde să luăm a doua limită a integrării? Să aruncăm o privire la desenul pentru asta.

A devenit clar că limita inferioară de integrare la găsirea ariei figurii este abscisa punctului de intersecție a graficului dreptei y \u003d x și semi-parabolă. Găsim această abscisă din egalitate:

Prin urmare, abscisa punctului de intersecție este x=2 .

Notă.

În exemplul nostru și în desen, se poate observa că liniile și y=x se intersectează în punctul (2;2), iar calculele anterioare par redundante. Dar în alte cazuri, lucrurile pot să nu fie atât de evidente. Prin urmare, vă recomandăm să calculați întotdeauna analitic abscisele și ordonatele punctelor de intersecție a dreptelor.

Evident, graficul funcției y=x este situat deasupra graficului funcției pe intervalul . Aplicam formula pentru a calcula suprafata:

Să complicăm și mai mult sarcina.

Exemplu.

Calculați aria figurii delimitată de graficele funcțiilor și .

Soluţie.

Să construim un grafic de proporționalitate inversă și o parabolă .

Înainte de a aplica formula pentru găsirea ariei unei figuri, trebuie să decidem asupra limitelor integrării. Pentru a face acest lucru, găsim abscisele punctelor de intersecție ale dreptelor prin echivalarea expresiilor și .

Pentru valorile lui x altele decât zero, egalitatea echivalent cu ecuația de gradul trei cu coeficienți întregi. Puteți consulta secțiunea pentru a reaminti algoritmul de rezolvare.

Este ușor de verificat că x=1 este rădăcina acestei ecuații: .

Împărțirea expresiei la binomul x-1 , avem:

Astfel, rădăcinile rămase se găsesc din ecuație :

Acum din desen a devenit clar că figura G este inclusă deasupra liniei albastre și sub linia roșie în interval . Astfel, suprafața necesară va fi egală cu

Să ne uităm la un alt exemplu tipic.

Exemplu.

Calculați aria unei figuri delimitate de curbe iar axa absciselor.

Soluţie.

Să facem un desen.

Aceasta este o funcție de putere obișnuită cu un exponent de o treime, graficul funcției poate fi obținut din grafic afișându-l simetric față de axa x și ridicându-l cu una.

Găsiți punctele de intersecție ale tuturor dreptelor.

Axa x are ecuația y=0 .

Graficele funcțiilor și y=0 se intersectează în punctul (0;0) deoarece x=0 este singura rădăcină reală a ecuației.

Grafice de funcții și y=0 se intersectează la (2;0) , deoarece x=2 este singura rădăcină a ecuației .

Grafice de funcții și se intersectează în punctul (1;1) deoarece x=1 este singura rădăcină a ecuației . Această afirmație nu este în întregime evidentă, dar este o funcție strict crescătoare și - descrescand strict, deci, ecuatia are cel mult o rădăcină.

Singura observație: în acest caz, pentru a găsi zona, va trebui să utilizați o formulă a formei . Adică, liniile de delimitare trebuie reprezentate ca funcții ale argumentului y , dar cu o linie neagră .

Să definim punctele de intersecție ale liniilor.

Să începem cu grafice ale funcțiilor și:

Să găsim punctul de intersecție al graficelor funcțiilor și:

Rămâne de găsit punctul de intersecție al liniilor și:

După cum puteți vedea, valorile se potrivesc.

Rezuma.

Am analizat toate cele mai frecvente cazuri de găsire a ariei unei figuri delimitate de linii date explicit. Pentru a face acest lucru, trebuie să fiți capabil să construiți linii pe un plan, să găsiți punctele de intersecție ale liniilor și să aplicați formula pentru a găsi aria, ceea ce implică capacitatea de a calcula anumite integrale.

În această lecție vom învăța cum să calculăm zone de figuri plate, care se numesc trapezoizi curbilinii .

Exemple de astfel de cifre sunt în figura de mai jos.

Pe de o parte, găsirea ariei unei figuri plate folosind o integrală definită este extrem de simplă. Vorbim despre aria figurii, care este limitată de sus de o anumită curbă, de jos - de axa absciselor ( Bou), iar în stânga și în dreapta sunt niște linii drepte. Simplitatea este că integrala definita funcția căreia îi este dată curba este aria unei astfel de figuri(trapez curbiliniu).

Pentru a calcula aria unei figuri, avem nevoie de:

1. Integrală definită a funcției care definește curba , care limitează de sus trapezul curbiliniu. Și aici vine prima nuanță semnificativă: un trapez curbiliniu poate fi limitat de o curbă nu numai de sus, ci și de jos . Cum sa actionezi in acest caz? Simplu, dar important de reținut: integrala în acest caz este luată cu semnul minus .
2. Limitele integrării AȘi b, pe care îl găsim din ecuațiile dreptelor care delimitează figura din stânga și dreapta: X = A , X = b, Unde AȘi b- numere.

Separat, mai multe nuanțe.

Curba care limitează trapezul curbiliniu de sus (sau de jos) trebuie să fie graficul unei funcții continue și nenegative y = f(X) .

Valorile X trebuie să aparțină segmentului [A, b] . Adică, nu sunt luate în considerare, de exemplu, linii ca o secțiune a unei ciuperci, în care piciorul se potrivește perfect în acest segment, iar pălăria este mult mai lată.

Segmentele laterale pot degenera în puncte . Dacă ați văzut o astfel de figură în desen, acest lucru nu ar trebui să vă încurce, deoarece acest punct are întotdeauna propria sa valoare pe axa x. Deci totul este în ordine cu limitele integrării.

Acum puteți trece la formule și calcule. Deci zona s trapezul curbiliniu poate fi calculat prin formula

Dacă f(X) ≤ 0 (graficul funcției este situat sub axă Bou), Acea zona unui trapez curbat poate fi calculat prin formula

Există, de asemenea, cazuri când atât granițele superioare, cât și cele inferioare ale figurii sunt funcții y = f(X) Și y = φ (X) , atunci aria unei astfel de cifre este calculată prin formula

. (3)

Rezolvăm probleme împreună

Să începem cu cazurile în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (1).

Exemplul 1Bou) și direct X = 1 , X = 3 .

Soluţie. Deoarece y = 1/X> 0 pe segment, atunci aria trapezului curbiliniu se găsește cu formula (1):

.

Exemplul 2 Găsiți aria figurii delimitată de graficul funcției , linie dreaptă X= 1 și axa x ( Bou ).

Soluţie. Rezultatul aplicării formulei (1):

Daca atunci s= 1/2; daca atunci s= 1/3 etc.

Exemplul 3 Găsiți aria figurii delimitată de graficul funcției, axa x ( Bou) și direct X = 4 .

Soluţie. Figura corespunzătoare stării problemei este un trapez curbiliniu, în care segmentul din stânga a degenerat într-un punct. Limitele de integrare sunt 0 și 4. Deoarece, conform formulei (1), găsim aria trapezului curbiliniu:

.

Exemplul 4 Găsiți aria figurii delimitată de liniile , , și situată în primul sfert.

Soluţie. Pentru a folosi formula (1), reprezentăm aria figurii dată de condițiile exemplului ca suma ariilor unui triunghi OAB iar trapezul curbiliniu ABC. Când se calculează aria unui triunghi OAB limitele integrării sunt abscisele punctelor OȘi A, iar pentru figură ABC- abscisele punctelor AȘi C (A este punctul de intersecție al dreptei OAși parabole și C- punctul de intersecție al parabolei cu axa Bou). Rezolvând împreună (ca sistem) ecuațiile unei drepte și ale unei parabole, obținem (abscisa punctului A) și (abscisa altui punct de intersecție a dreptei și a parabolei, care nu este necesară pentru soluție). În mod similar, obținem , (abscise de puncte CȘi D). Acum avem totul pentru a găsi zona figurii. Găsim:

Exemplul 5 Găsiți aria unui trapez curbiliniu ACDB, dacă ecuația curbei CD si abscisa AȘi B respectiv 1 și 2.

Soluţie. Exprimăm această ecuație a curbei prin Y: aria trapezului curbiliniu se găsește prin formula (1):

.

Să trecem la cazurile în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (2).

Exemplul 6 Găsiți aria figurii delimitată de parabolă și de axa x ( Bou ).

Soluţie. Această cifră este situată sub axa x. Prin urmare, pentru a calcula aria sa, folosim formula (2). Limitele de integrare sunt abscisele și punctele de intersecție ale parabolei cu axa Bou. Prin urmare,

Exemplul 7 Găsiți aria dintre axa x ( Bou) și două unde sinusoidale învecinate.

Soluţie. Aria acestei figuri poate fi găsită prin formula (2):

.

Să găsim fiecare termen separat:

.

.

În sfârșit găsim zona:

.

Exemplul 8 Găsiți aria figurii cuprinsă între parabolă și curbă.

Soluţie. Să exprimăm ecuațiile dreptelor în termenii lui Y:

Suprafaţa conform formulei (2) se va obţine ca

,

Unde AȘi b- abscisele punctelor AȘi B. Le găsim rezolvând împreună ecuațiile:

În sfârșit găsim zona:

Și, în sfârșit, există cazuri în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (3).

Exemplul 9 Găsiți aria figurii cuprinsă între parabole Și .

Exemplul 1 . Calculați aria figurii mărginite de linii: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 și x = 2

Să construim o figură (vezi fig.) Construim o linie dreaptă x + 2y - 4 \u003d 0 de-a lungul a două puncte A (4; 0) și B (0; 2). Exprimând y în termeni de x, obținem y \u003d -0,5x + 2. Conform formulei (1), unde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, vom găsi

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 mp. unitati

Exemplul 2 Calculați aria figurii mărginite de linii: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 și y \u003d 0.

Soluţie. Să construim o figură.

Să construim o dreaptă x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Să construim o dreaptă x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Aflați punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pentru a calcula aria necesară, împărțim triunghiul AMC în două triunghiuri AMN și NMC, deoarece atunci când x se schimbă de la A la N, aria este limitată de o linie dreaptă, iar când x se schimbă de la N la C, este o linie dreaptă.

Pentru triunghiul AMN avem: ; y \u003d 0,5x + 2, adică f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pentru triunghiul NMC avem: y = - x + 5, adică f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

mp unitati

mp unitati

9 + 4, 5 = 13,5 mp. unitati Verificați: = 0,5AC = 0,5 sq. unitati

Exemplul 3 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

În acest caz, este necesar să se calculeze aria unui trapez curbiliniu mărginit de o parabolă y = x 2 , linii drepte x \u003d 2 și x \u003d 3 și axa Ox (a se vedea fig.) Conform formulei (1), găsim aria unui trapez curbiliniu

= = 6kv. unitati

Exemplul 4 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y \u003d - x 2 + 4 și y = 0

Să construim o figură. Zona dorită este închisă între parabola y \u003d - x 2 + 4 și axa Oh.

Aflați punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Presupunând y \u003d 0, găsim x \u003d Deoarece această cifră este simetrică față de axa Oy, calculăm aria figurii situate în dreapta axei Oy și dublăm rezultatul: \u003d + 4x] mp. unitati 2 = 2 mp. unitati

Exemplul 5 Calculați aria unei figuri delimitate de drepte: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aici este necesar să se calculeze aria trapezului curbiliniu delimitată de ramura superioară a parabolei y 2 \u003d x, axa Ox și liniile drepte x \u003d 1x \u003d 4 (vezi fig.)

Conform formulei (1), unde f(x) = a = 1 și b = 4, avem = (= unități sq.

Exemplul 6 . Calculați aria figurii mărginite de drepte: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Zona dorită este limitată de o sinusoidă cu jumătate de undă și de axa Ox (vezi Fig.).

Avem - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metri pătrați. unitati

Exemplul 7 Calculați aria figurii delimitată de linii: y \u003d - 6x, y \u003d 0 și x \u003d 4.

Figura este situată sub axa Ox (vezi Fig.).

Prin urmare, aria sa este găsită prin formula (3)

= =

Exemplul 8 Calculați aria figurii delimitată de liniile: y \u003d și x \u003d 2. Vom construi curba y \u003d de puncte (a se vedea figura). Astfel, aria figurii se găsește prin formula (4)

Exemplul 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aici trebuie să calculați aria delimitată de cercul x 2 + y 2 = r 2 , adică aria unui cerc de rază r centrat la origine. Să găsim a patra parte a acestei zone, luând limitele integrării de la 0

dor; avem: 1 = = [

Prin urmare, 1 =

Exemplul 10 Calculați aria figurii mărginite de linii: y \u003d x 2 și y = 2x

Această cifră este limitată de parabola y \u003d x 2 și linia dreaptă y \u003d 2x (a se vedea fig.) Pentru a determina punctele de intersecție linii date rezolvați sistemul de ecuații: x 2 – 2x = 0 x = 0 și x = 2

Folosind formula (5) pentru a găsi aria, obținem

= aria trapezului curbiliniu format de funcție f, este egal cu incrementul antiderivatei acestei funcții:

Exercitiul 1:

Găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul unei funcții: f(x) = x 2 si direct y=0, x=1, x=2.

Soluție: ( conform algoritmului slide 3)

Desenați un grafic al funcției și al liniilor

Să găsim unul dintre funcții antiderivate f(x) = x 2 :

Slide Self-Verificare

Integral

Se consideră un trapez curbiliniu dat de funcție f pe segmentul [ A; b]. Să împărțim acest segment în mai multe părți. Aria întregului trapez va fi împărțită în suma ariilor trapezelor curbilinii mai mici. ( slide 5). Fiecare astfel de trapez poate fi considerat aproximativ dreptunghi. Suma ariilor acestor dreptunghiuri oferă o idee aproximativă a întregii zone a trapezului curbiliniu. Cu cât rupem segmentul mai mic [ A; b], cu atât calculăm mai precis aria.

Scriem aceste considerații sub formă de formule.

Împărțiți segmentul [ A; b] în n părți cu puncte x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Lungime k- th notează prin xk = xk - xk-1. Să rezumam

Din punct de vedere geometric, această sumă este aria figurii umbrite în figură ( sh.m.)

Sumele formei sunt numite sume integrale pentru funcție f. (sch.m.)

Sumele integrale dau o valoare aproximativă a ariei. Valoarea exactă se obține prin trecerea la limită. Imaginează-ți că rafinăm partiția segmentului [ A; b] astfel încât lungimile tuturor segmentelor mici tind spre zero. Apoi, aria figurii compuse se va apropia de aria trapezului curbiliniu. Putem spune că aria unui trapez curbiliniu este egală cu limita sumelor integrale, Sk.t. (sch.m.) sau integral, adică

Definiție:

integrală a funcției f(x) din A inainte de b se numește limita sumelor integrale

= (sch.m.)

formula Newton-Leibniz.

Amintiți-vă că limita sumelor integrale este egală cu aria unui trapez curbiliniu, deci putem scrie:

Sk.t. = (sch.m.)

Pe de altă parte, aria unui trapez curbiliniu este calculată prin formula

S la t. (sch.m.)

Comparând aceste formule, obținem:

Această egalitate se numește formula Newton-Leibniz.

Pentru comoditatea calculelor, formula este scrisă astfel:

Sarcini: (sch.m.)

1. Calculați integrala folosind formula Newton-Leibniz: ( verificați diapozitivul 5)

2. Compilați integralele conform desenului ( verificați diapozitivul 6)

3. Găsiți aria unei figuri mărginite de linii: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slide 7)

Găsirea ariilor figurilor plane ( slide 8)

Cum să găsiți aria figurilor care nu sunt trapeze curbilinii?

Să fie date două funcții, ale căror grafice le vedeți pe diapozitiv . (sch.m.) Găsiți aria figurii umbrite . (sch.m.). Figura în cauză este un trapez curbiliniu? Și cum puteți găsi zona sa, folosind proprietatea de aditivitate a zonei? Luați în considerare două trapeze curbilinie și scădeți aria celuilalt din aria unuia dintre ele ( w.m.)

Să facem un algoritm pentru găsirea zonei din animația de pe diapozitiv:

1. Funcții grafice
2. Proiectați punctele de intersecție ale graficelor pe axa x
3. Umbriți figura obținută prin încrucișarea graficelor
4. Găsiți trapeze curbilinie a căror intersecție sau unire este figura dată.
5. Calculați aria fiecăruia
6. Găsiți diferența sau suma de suprafețe

Sarcină orală: Cum să obțineți zona unei figuri umbrite (spuneți folosind animație, slide 8 și 9)

Teme pentru acasă: Elaborați rezumatul, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografie

1. Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 9-11 ale școlii de seară (în schimburi) / ed. G.D. Fabricant de lacuri. - M: Iluminismul, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 10-11 de gimnaziu / Bashmakov M.I. - M: Iluminismul, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematică: un manual pentru instituțiile care încep. și avg. prof. educație / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra și începutul analizei: un manual pentru 10-11 celule. instituţii de învăţământ / A.N. Kolmogorov. - M: Iluminismul, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Cum se face o prezentare pentru lecție? / S.L. Ostrovsky. – M.: Primul septembrie 2010.