Calculul ariei unei figuri delimitate de o curbă definită parametric. Cum se calculează aria unei figuri și volumul unui corp de revoluție dacă linia este dată parametric? Aria unei funcții definite parametric

Să aflăm volumul corpului generat de rotația arcului cicloidian în jurul bazei sale. Roberval a găsit-o prin spargerea corpului în formă de ou rezultat (Fig. 5.1) în straturi infinit de subțiri, înscriind cilindri în aceste straturi și adunându-le volumele. Dovada este lungă, plictisitoare și nu complet riguroasă. Prin urmare, pentru a-l calcula, apelăm la matematică superioară. Să setăm parametric ecuația cicloidă.

În calculul integral, când studiază volumele, folosește următoarea remarcă:

Dacă curba care mărginește trapezul curbiliniu este dată de ecuații parametrice și funcțiile din aceste ecuații îndeplinesc condițiile teoremei privind schimbarea variabilei într-o anumită integrală, atunci volumul corpului de rotație al trapezului în jurul axei Ox va se calculează cu formula:

Să folosim această formulă pentru a găsi volumul de care avem nevoie.

În același mod, calculăm suprafața acestui corp.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - cost), 0 ? t ? 2р)

În calculul integral, există următoarea formulă pentru găsirea suprafeței unui corp de revoluție în jurul axei x a unei curbe specificate pe un segment parametric (t 0 ?t ?t 1):

Aplicând această formulă la ecuația noastră cicloidă, obținem:

Luați în considerare și o altă suprafață generată de rotația arcului cicloid. Pentru a face acest lucru, vom construi o reflectare în oglindă a arcului cicloid în raport cu baza acestuia și vom roti figura ovală formată de cicloidă și reflectarea acesteia în jurul axei KT (Fig. 5.2)

Mai întâi, să găsim volumul corpului format prin rotația arcului cicloid în jurul axei KT. Volumul acestuia va fi calculat prin formula (*):

Astfel, am calculat volumul a jumătate din acest corp de nap. Atunci volumul total va fi

Înainte de a trece la formulele pentru suprafața unei suprafețe de revoluție, oferim o scurtă formulare a suprafeței de revoluție în sine. Suprafața de revoluție sau, ceea ce este la fel, suprafața unui corp de revoluție este o figură spațială formată prin rotirea unui segment AB curba în jurul axei Bou(poza de mai jos).

Să ne imaginăm un trapez curbiliniu mărginit de sus de segmentul menționat al curbei. Corpul format prin rotirea acestui trapez în jurul aceleiași axe Bou, și există un corp de revoluție. Iar suprafața de rotație sau suprafața unui corp de rotație este învelișul său exterior, fără a număra cercurile formate prin rotație în jurul axei liniilor X = AȘi X = b .

Rețineți că corpul de revoluție și, în consecință, suprafața sa pot fi formate și prin rotirea figurii nu în jurul axei Bou, și în jurul axei Oi.

Calcularea ariei unei suprafețe de revoluție dată în coordonate dreptunghiulare

Lăsați coordonatele dreptunghiulare pe plan prin ecuație y = f(X) este dată o curbă, a cărei rotație în jurul axei de coordonate formează un corp de revoluție.

Formula pentru calcularea suprafeței de revoluție este următoarea:

(1).

Exemplul 1 Găsiți aria suprafeței unui paraboloid format prin rotație în jurul unei axe Bou arcul de parabolă corespunzător schimbării X din X= 0 la X = A .

Soluţie. Exprimăm în mod explicit funcția care definește arcul parabolei:

Să găsim derivata acestei funcții:

Înainte de a folosi formula pentru găsirea ariei suprafeței de revoluție, să scriem partea integrandului său care este rădăcina și să înlocuim derivata pe care tocmai am găsit-o acolo:

Răspuns: Lungimea arcului curbei este

.

Exemplul 2 Găsiți aria suprafeței formate prin rotație în jurul unei axe Bou astroizi.

Soluţie. Este suficient să calculăm suprafața rezultată din rotația unei ramuri a astroidului, situată în primul trimestru, și să o înmulțim cu 2. Din ecuația astroidului, exprimăm în mod explicit funcția pe care va trebui să o înlocuim în formula pentru a găsi suprafața de rotație:

.

Efectuăm integrarea de la 0 la A:

Calculul suprafeței de revoluție dat parametric

Luați în considerare cazul când curba care formează suprafața de revoluție este dată de ecuațiile parametrice

Apoi aria suprafeței de revoluție este calculată prin formula

(2).

Exemplul 3 Aflați aria suprafeței de revoluție formată de rotația în jurul unei axe Oi figură delimitată de o cicloidă și o linie dreaptă y = A. Cicloida este dată de ecuațiile parametrice

Soluţie. Aflați punctele de intersecție ale cicloidei și ale dreptei. Echivalarea ecuației cicloidă și a ecuației dreptei y = A, găsi

De aici rezultă că limitele integrării corespund

Acum putem aplica formula (2). Să găsim derivate:

Scriem expresia radicalului în formulă, înlocuind derivatele găsite:

Să găsim rădăcina acestei expresii:

.

Înlocuiți cel găsit în formula (2):

.

Să facem o înlocuire:

Și în sfârșit găsim

La transformarea expresiilor s-au folosit formule trigonometrice

Răspuns: Aria suprafeței de revoluție este .

Calcularea ariei unei suprafețe de revoluție dată în coordonate polare

Fie curba a cărei rotație formează suprafața să fie dată în coordonate polare.

Ca și în problema găsirii zonei, aveți nevoie de abilități de desen încrezător - acesta este aproape cel mai important lucru (deoarece integralele în sine vor fi adesea ușoare). Învață competent și tehnica rapida diagramarea se poate face folosind materiale didacticeși Transformări ale graficelor geometrice. Dar, de fapt, am vorbit în repetate rânduri despre importanța desenelor în lecție.

În general, există o mulțime de aplicații interesante în calculul integral, cu ajutorul unei integrale definite, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de revoluție, lungimea arcului, aria suprafeței rotație și multe altele. Așa că va fi distractiv, te rog să fii optimist!

Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Reprezentat? ... Mă întreb cine a prezentat ce ... =))) Am găsit deja zona lui. Dar, în plus, această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

- în jurul axei absciselor;
- în jurul axei y.

În acest articol, ambele cazuri vor fi discutate. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, provoacă cele mai mari dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Ca bonus, voi reveni la problema găsirii ariei unei figuri, și vă spun cum să găsiți zona în al doilea mod - de-a lungul axei. Nici măcar un bonus, deoarece materialul se potrivește bine cu tema.

Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

figură plată în jurul unei axe

Exemplul 1

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea figurii delimitate de linii în jurul axei.

Soluţie: Ca și în problema zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică, în plan este necesar să se construiască o figură mărginită de drepte , , fără a uita însă că ecuația definește axa . Cum să faci un desen mai rațional și mai rapid poate fi găsit pe pagini Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementareȘi Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. Acesta este un memento chinezesc și nu mă opresc în acest moment.

Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru, iar această figură se rotește în jurul axei.Ca urmare a rotației, se obține o astfel de farfurie zburătoare în formă de ou, care este simetrică față de axă. De fapt, corpul are un nume matematic, dar este prea lene să specificați ceva în cartea de referință, așa că mergem mai departe.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție?

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat prin formula:

În formulă, trebuie să existe un număr înaintea integralei. S-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cum să stabiliți limitele integrării „a” și „fi”, cred, este ușor de ghicit din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plată este delimitată de graficul parabolei de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

ÎN sarcini practice o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - integrandul din formulă este pătrat: , astfel integrala este întotdeauna nenegativă, ceea ce este destul de logic.

Calculați volumul corpului de revoluție folosind această formulă:

După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspuns, este necesar să se indice dimensiunea - unități cubice. Adică în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce exact cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Pot fi centimetri cubi, pot fi metri cubi, pot fi kilometri cubi, etc., așa câți omuleți verzi pot încăpea imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul corpului format prin rotație în jurul axei figurii delimitată de liniile , ,

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Soluţie: Desenați o figură plată în desen, delimitată de linii , , , , fără a uita că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei, se obține o astfel de gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Volumul corpului de revoluție se calculează ca diferența de volum corporală.

Mai întâi, să ne uităm la figura care este încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul axei, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con ca .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea luată mai scurt, ceva de genul acesta:

Acum să luăm o pauză și să vorbim despre iluzii geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, pe care Perelman (altul) le-a observat în carte Interesanta geometrie. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare a fi mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit în întreaga sa viață bea un lichid cu volumul unei încăperi de 18 metri pătrați, care, dimpotrivă, pare a fi un volum prea mic.

În general, sistemul de învățământ din URSS a fost într-adevăr cel mai bun. Aceeași carte a lui Perelman, publicată în 1950, se dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, raționând și te învață să cauți soluții originale non-standard la probleme. De curand am recitit cateva capitole cu mare interes, il recomand, este accesibil chiar si pentru umanitari. Nu, nu trebuie să zâmbești că am sugerat că o distracție personală, erudiția și o perspectivă largă în comunicare sunt un lucru grozav.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Exemplul 4

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plane delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Rețineți că toate lucrurile se întâmplă în bandă, cu alte cuvinte, limitele de integrare gata făcute sunt de fapt date. Obțineți grafica corect funcții trigonometrice, amintiți-vă materialul lecției despre transformări geometrice ale graficelor: dacă argumentul este divizibil cu doi: , atunci graficele sunt întinse de-a lungul axei de două ori. Este de dorit să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice pentru a completa mai precis desenul. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.

Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe

Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei y este, de asemenea, un invitat destul de frecvent în munca de control. În treacăt se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua cale - integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe cum să găsiți cea mai profitabilă soluție. Are și o semnificație practică! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și ne gestionăm personalul optim.” Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).

Îl recomand tuturor să citească, chiar și manechine complete. Mai mult, materialul asimilat al celui de-al doilea paragraf va fi de un ajutor neprețuit în calculul integralelor duble.

Exemplul 5

Dată o figură plată delimitate de linii , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea paragraf, mai întâi Neapărat citeste primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să executăm desenul:

Este ușor de observat că funcția definește ramura superioară a parabolei, iar funcția definește ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală, care „se întinde pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsită în modul „obișnuit”, care a fost luat în considerare în lecție. Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
- pe segment ;
- pe segment.

De aceea:

Ce este în neregulă cu soluția obișnuită în acest caz? În primul rând, există două integrale. În al doilea rând, rădăcinile sub integrale și rădăcinile în integrale nu sunt un dar, mai mult, se poate deruta în substituirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt mortale, dar în practică totul este mult mai trist, doar am luat funcții „mai bune” pentru sarcină.

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverseși integrarea de-a lungul axei.

Cum se trece la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne ocupăm de parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura de jos:

Cu o linie dreaptă, totul este mai ușor:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În plus, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii ar trebui găsită folosind formula deja familiară: . Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Notă: Limitele de integrare de-a lungul axei trebuie setate strict de jos în sus!

Găsirea zonei:

Prin urmare, pe segment:

Observați cum am făcut integrarea, acesta este cel mai mult mod rațional, iar în paragraful următor al misiunii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține integrandul original, ceea ce înseamnă că integrarea se realizează corect.

Răspuns:

2) Calculați volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul corpului de revoluție, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să trecem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul corpului de revoluție ar trebui găsit ca diferență între volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura, încercuită în verde, în jurul axei și o notăm prin volumul corpului de revoluție rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

Cum este diferită de formula din paragraful anterior? Doar cu litere.

Și iată avantajul integrării despre care vorbeam cu puțin timp în urmă, este mult mai ușor de găsit decât pre-erect integrand pana la gradul 4.

Răspuns:

Totuși, un fluture bolnăvicios.

Rețineți că, dacă aceeași cifră plată este rotită în jurul axei, atunci va rezulta un corp de revoluție complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Exemplul 6

Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.

1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plate delimitate de aceste linii prin integrarea peste variabila .
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Cei care doresc pot găsi, de asemenea, zona figurii în modul „obișnuit”, completând astfel testul de la punctul 1). Dar dacă, repet, rotiți o figură plată în jurul axei, atunci obțineți un corp de rotație complet diferit cu un volum diferit, apropo, răspunsul corect (și pentru cei cărora le place să rezolve).

Rezolvarea completă a celor două elemente propuse ale sarcinii la sfârșitul lecției.

A, și nu uitați să vă înclinați capul spre dreapta pentru a înțelege corpurile de rotație și în cadrul integrării!

Prelegeri 8. Aplicații ale unei integrale definite.

Aplicarea integralei la problemele fizice se bazează pe proprietatea aditivității integralei asupra unei mulțimi. Prin urmare, cu ajutorul integralei, se pot calcula astfel de cantități care sunt ele însele aditive în mulțime. De exemplu, aria unei figuri este egală cu suma ariilor părților sale.Lungimea arcului, suprafața, volumul corpului și masa corpului au aceeași proprietate. Prin urmare, toate aceste mărimi pot fi calculate folosind o integrală definită.

Există două moduri de a rezolva probleme: metoda sumelor integrale și metoda diferențialelor.

Metoda sumelor integrale repetă construcția unei integrale definite: se construiește o partiție, se marchează puncte, se calculează o funcție în ele, se calculează o sumă integrală și se realizează trecerea la limită. În această metodă, principala dificultate este de a demonstra că în limită se va obține exact ceea ce este necesar în problemă.

Metoda diferenţialelor foloseşte integrală nedefinităși formula Newton-Leibniz. Se calculează diferența valorii de determinat, iar apoi, integrând această diferență, se obține valoarea necesară folosind formula Newton-Leibniz. În această metodă, principala dificultate este de a demonstra că diferența valorii dorite este calculată și nu altceva.

Calculul ariilor figurilor plane.

1. Cifra este limitată la graficul funcției specificate în Sistemul cartezian coordonate.

Am ajuns la conceptul de integrală definită din problema zonei trapez curbiliniu(de fapt, folosind metoda sumelor integrale). Dacă funcția acceptă numai nu valori negative, atunci aria de sub graficul funcției de pe segment poate fi calculată folosind o integrală definită. observa asta deci aici puteți vedea metoda diferențialelor.

Dar funcția poate lua și valori negative pe un anumit segment, atunci integrala peste acest segment va da o zonă negativă, ceea ce contrazice definiția ariei.

Puteți calcula suprafața folosind formulaS=. Acest lucru este echivalent cu schimbarea semnului funcției în acele zone în care aceasta ia valori negative.

Dacă trebuie să calculați aria unei figuri delimitată de sus de graficul funcției și de jos de graficul funcției, atunci poți folosi formulaS= , deoarece .

Exemplu. Calculați aria figurii mărginite de drepte x=0, x=2 și grafice ale funcțiilor y=x 2 , y=x 3 .

Rețineți că pe intervalul (0,1) inegalitatea x 2 > x 3 este satisfăcută, iar pentru x >1 inegalitatea x 3 > x 2 este satisfăcută. De aceea

2. Cifra este limitată la graficul funcției specificate în sistem polar coordonate.

Să fie dat graficul funcției în sistemul de coordonate polar și dorim să calculăm aria sectorului curbiliniu delimitat de două raze și graficul funcției în sistemul de coordonate polar.

Aici puteți utiliza metoda sumelor integrale, calculând aria unui sector curbat ca limită a sumei ariilor sectoarelor elementare în care graficul funcției este înlocuit cu un arc de cerc .

De asemenea, puteți utiliza metoda diferențială: .

Poți să raționezi așa. Înlocuind sectorul curbiliniu elementar corespunzător unghiului central cu un sector circular, avem proporția . De aici . Integrând și folosind formula Newton-Leibniz, obținem .

Exemplu. Calculați aria cercului (verificați formula). Noi credem . Aria cercului este .

Exemplu. Calculați aria delimitată de cardioid .

3 Figura este limitată la graficul unei funcții specificate parametric.

Funcția poate fi specificată parametric sub forma . Folosim formula S= , substituind în ea limitele integrării faţă de noua variabilă . . De obicei, la calcularea integralei se disting acele zone în care integrandul are un anumit semn și se ia în considerare aria corespunzătoare cu un semn sau altul.

Exemplu. Calculați aria cuprinsă de elipsă.

Folosind simetria elipsei, calculăm aria unui sfert din elipsă, situată în primul cadran. în acest cadran. De aceea .

Calculul volumelor corpurilor.

1. Calculul volumelor corpurilor din zonele secțiunilor paralele.

Să fie necesar să se calculeze volumul unui corp V din ariile cunoscute ale secțiunilor acestui corp prin planuri perpendiculare pe dreapta OX, trasate prin orice punct x al segmentului de dreaptă OX.

Aplicam metoda diferentialelor. Considerând volumul elementar, deasupra segmentului ca volum al unui cilindru circular drept cu aria bazei și înălțimea, obținem . Integrarea și aplicarea formulei Newton-Leibniz, obținem

2. Calculul volumelor corpurilor de revoluție.

Să fie necesar să se calculeze BOU.

Apoi .

De asemenea, volumul unui corp de revoluție în jurul unei axeOY, dacă funcția este dată sub forma , poate fi calculată folosind formula .

Dacă funcția este dată sub formă și este necesară determinarea volumului corpului de revoluție în jurul axeiOY, atunci se poate obține formula de calcul al volumului în felul următor.

Trecând la diferenţial şi neglijând termenii patratici, avem . Integrând și aplicând formula Newton-Leibniz, avem .

Exemplu. Calculați volumul sferei.

Exemplu. Calculați volumul unui con circular drept delimitat de o suprafață și un plan.

Să calculăm volumul ca volum al unui corp de revoluție format prin rotație în jurul axei OZ a unui triunghi dreptunghic în planul OXZ, ale cărui picioare se află pe axa OZ și pe linia z \u003d H, și ipotenuza se află pe linie.

Exprimând x în termeni de z, obținem .

Calculul lungimii arcului.

Pentru a obține formule de calcul a lungimii unui arc, să reamintim formulele pentru diferența de lungime a unui arc derivată în semestrul I.

Dacă arcul este un grafic al unei funcții continuu diferențiabile, diferența de lungime a arcului poate fi calculată prin formula

. De aceea

Dacă un arc neted este specificat parametric, Acea

. De aceea .

Dacă arcul este în coordonate polare, Acea

. De aceea .

Exemplu. Calculați lungimea arcului grafic al funcției, . .

Când ne-am dat seama sens geometric o integrală definită, avem o formulă cu care puteți găsi aria unui trapez curbiliniu delimitată de axa x, linii drepte x=a, x=b, precum și o funcție continuă (nenegativă sau nepozitivă). y = f(x) . Uneori este mai convenabil să setați funcția care delimitează figura într-o formă parametrică, de exemplu. a exprima dependenta functionala prin parametrul t. În cadrul acestui material, vom arăta cum puteți găsi aria unei figuri dacă este limitată de o curbă dată parametric.

După explicarea teoriei și derivarea formulei, vom analiza câteva exemple tipice pentru găsirea ariei unor astfel de figuri.

Formula de bază pentru calcul

Să presupunem că avem un trapez curbiliniu, ale cărui limite sunt liniile x = a, x = b, axa O x și curba definită parametric x = φ (t) y = ψ (t) și funcțiile x = φ (t) și y = ψ (t) sunt continue pe intervalul α ; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Definiția 1

Pentru a calcula aria unui trapez în astfel de condiții, trebuie să utilizați formula S (G) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t .

L-am derivat din formula pentru aria unui trapez curbiliniu S (G) = ∫ a b f (x) d x folosind metoda de substituție x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Definiția 2

Având în vedere scăderea monotonă a funcției x = φ (t) pe intervalul β; a, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Dacă funcția x = φ (t) nu aparține celor elementare de bază, atunci trebuie să ne amintim regulile de bază pentru creșterea și descreșterea unei funcții pe un interval pentru a determina dacă aceasta va fi crescătoare sau descrescătoare.

În acest paragraf vom analiza mai multe probleme de aplicare a formulei derivate mai sus.

Exemplul 1

Condiție: găsiți aria figurii formată din dreapta dată de ecuații de forma x = 2 cos t y = 3 sin t .

Soluţie

Avem o linie definită parametric. Grafic, poate fi afișat ca o elipsă cu două semi-axe 2 și 3. Vezi ilustrația:

Să încercăm să găsim aria 1 4 a figurii rezultate, care ocupă primul cadran. Aria este în intervalul x ∈ a ; b = 0 2. Apoi, înmulțiți valoarea rezultată cu 4 și găsiți aria întregii figuri.

Iată cursul calculelor noastre:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Cu k egal cu 0, obținem intervalul β; α = 0; π 2 . Funcția x = φ (t) = 2 cos t va scădea monoton pe ea (pentru mai multe detalii, vezi articolul despre funcțiile elementare de bază și proprietățile lor). Deci, puteți aplica formula ariei și puteți găsi o integrală definită folosind formula Newton-Leibniz:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 \u003d 3 π 2

Aceasta înseamnă că aria figurii dată de curba inițială va fi egală cu S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π.

Răspuns: S (G) = 6 π

Să clarificăm că atunci când rezolvăm problema de mai sus, a fost posibil să luăm nu numai un sfert din elipsă, ci și jumătatea acesteia - superioară sau inferioară. O jumătate va fi situată pe intervalul x ∈ a ; b = - 2; 2. În acest caz, am avea:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Astfel, cu k egal cu 0 , obținem β ; α = 0; π . Funcția x = φ (t) = 2 cos t va scădea monoton pe acest interval.

După aceea, calculăm aria jumătății elipsei:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Este important să rețineți că puteți lua doar partea de sus sau de jos, și nu de dreapta sau de stânga.

Poate fi compilat ecuație parametrică elipsa dată, al cărei centru va fi situat la origine. Va arăta ca x = a cos t y = b sin t . Acționând în același mod ca în exemplul de mai sus, obținem o formulă pentru calcularea ariei elipsei S e l și p cu a \u003d πab.

Puteți defini un cerc al cărui centru este situat la origine folosind ecuația x = R cos t y = R sin t , unde t este un parametru și R este raza cercului dat. Dacă folosim imediat formula pentru aria unei elipse, atunci vom obține o formulă cu care putem calcula aria unui cerc cu raza R: S în jurul a = πR 2.

Să luăm în considerare încă o problemă.

Exemplul 2

Condiție: aflați care va fi aria figurii, care este mărginită de o curbă dată parametric x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .

Soluţie

Să clarificăm imediat că această curbă are forma unui astroid alungit. De obicei astroidul este exprimat folosind o ecuație de forma x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Acum vom analiza în detaliu cum să construim o astfel de curbă. Să construim pe puncte individuale. Aceasta este cea mai comună metodă și este aplicabilă la majoritatea sarcinilor. Mai mult exemple complexe necesită un calcul diferenţial pentru a dezvălui o funcţie dată parametric.

Avem x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.

Aceste funcții sunt definite pentru toate valorile reale ale lui t. Pentru sin și cos, se știe că sunt periodice și perioada lor este de 2 pi. Calcularea valorilor funcțiilor x = φ (t) = 3 cos 3 t , y = ψ (t) = 2 sin 3 t pentru unele t = t 0 ∈ 0 ; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , obținem puncte x 0 ; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Să facem un tabel cu valorile totale:

După aceea, marcați punctele dorite pe plan și conectați-le cu o singură linie.

Acum trebuie să găsim aria acelei părți a figurii care se află în primul trimestru de coordonate. Pentru ea x ∈ a ; b = 0 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Dacă k este 0, atunci obținem intervalul β; α = 0; π 2 , iar funcția x = φ (t) = 3 cos 3 t va scădea monoton pe ea. Acum luăm formula ariei și calculăm:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Avem integrale definite, care poate fi calculat folosind formula Newton-Leibniz. Primitivele pentru această formulă pot fi găsite folosind formula recursivă J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , unde J n (x) = ∫ sin n x d x .

∫ sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Am calculat aria unui sfert din cifră. Este egal cu 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Dacă înmulțim această valoare cu 4, obținem aria întregii figuri - 9 π 4.

Exact în același mod, putem demonstra că aria astroidului dată de ecuațiile x \u003d a cos 3 t y \u003d a sin 3 t poate fi găsită prin formula , care este limitată de linie x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , se calculează prin formula S = 3 πab 8 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter