Independența integralei curbilinii față de calea de integrare calculul câmpului potențial al integralei curbilinii în câmpul potențialului calculul potențialului în coordonate carteziene. Condiții pentru independența unei integrale curbilinii de al doilea fel față de traseul integralei

Cursul 4

Subiect: Formula lui Green. Condiții de independență integrală curbilinie din calea integrării.

Formula lui Green.

Formula lui Green stabilește o legătură între o integrală curbilinie pe un contur închis Г pe un plan și o integrală dublă peste o regiune delimitată de acest contur.

Integrala curbată de-a lungul unui contur închis Г este notată cu simbolul Contur închis Г începe într-un punct B al acestui contur și se termină în punctul B. Integrala de-a lungul unui contur închis nu depinde de alegerea punctului B.

Definiția 1. Parcurgerea conturului Г este considerată pozitivă dacă regiunea D rămâne pe stânga în timpul parcurgerii conturului Г. G + - conturul G este ocolit în sens pozitiv, G - - conturul este ocolit în sens negativ, adică. în sens invers

.

În mod similar, se demonstrează că:

Din egalitățile (1) și (2) obținem:

Prin urmare,

Formula lui Green sub ipotezele făcute este dovedită.

Observație 1. Formula lui Green rămâne valabilă dacă granița Г a regiunii D este intersectată de niște drepte paralele cu axa 0X sau 0Y în mai mult de două puncte. În plus, formula lui Green este valabilă și pentru n regiuni conectate.

Condiții de independență a integralei curbilinii față de calea de integrare pe plan.

În această secțiune, aflăm condițiile în care integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare, ci depinde de punctele inițiale și finale de integrare.

Teorema 1. Pentru integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare într-un domeniu simplu conectat, este necesar și suficient ca această integrală, preluată orice contur neted în bucăți închis din acest domeniu, să fie egală cu zero.

Dovada: Necesitatea. Având în vedere: nu depinde de calea integrării. Este necesar să se demonstreze că integrala curbilinie peste orice contur neted închis în bucăți este egală cu zero.

Să fie luat un contur închis arbitrar neted Γ în regiunea D luată în considerare. Pe conturul Γ, luăm punctele arbitrare B și C.

, adică

Adecvarea. Dat: integrală curbilinie de-a lungul oricărui contur închis în bucăți, neted este egal cu zero.

Se cere să se demonstreze că integrala nu depinde de calea integrării.

Luați în considerare o integrală curbilinie peste două contururi netede pe bucăți care leagă punctele B și C. După condiție:

Acestea. curbilinii

integrala nu depinde de calea integrării.

Teorema 2. Fie continuă împreună cu derivate parțiale și într-un domeniu simplu conex D. Pentru ca integrala curbilinie să fie independentă de calea de integrare este necesar și suficient ca în domeniul D identitatea

Dovada: Suficiență. Dat: . Se cere să se demonstreze că nu depinde de calea de integrare. Pentru aceasta, este suficient să demonstrăm că este egal cu zero de-a lungul oricărui contur închis, neted pe bucăți. Conform formulei lui Green, avem:

Necesitate. Dat: Prin teorema 1, integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare. Se cere să se demonstreze că

Un domeniu se numește simplu conectat dacă granița sa este o mulțime conexă. Un domeniu se numește n-conectat dacă granița sa se împarte în mulțimi n-conectate.

Cometariu. Formula lui Green este valabilă și pentru domeniile multiconectate.

Pentru ca integrala (A, B sunt orice puncte din D) să fie independentă de calea de integrare (dar numai pe punctele inițiale și finale A, B), este necesar și suficient ca, peste orice curbă închisă (de-a lungul oricărei curbe). contur) situată în D, integrala a fost egală cu zero =0

Dovada (nevoie). Fie (4) independent de calea de integrare. Luați în considerare un contur arbitrar C situat în regiunea D și alegeți două puncte arbitrare A, B pe acest contur. Atunci curba C poate fi reprezentată ca unirea a două curbe AB=G2 , AB=G1 , C=Г - 1 + G2 .

Teorema 1. Pentru ca integrala curbilinie să fie independentă de calea de integrare în D, este necesar și suficient ca

în zona D. Suficienţă. Dacă este satisfăcut, atunci formula lui Green pentru orice contur C va fi de unde afirmaţia cerută urmează de lemă. Necesitate. După lemă, pentru orice contur = 0. Apoi, conform formulei Green pentru regiunea D , mărginită de acest contur = 0. Prin teorema valorii medii=mDor==0. Trecând la limită, contractând conturul la un punct, obținem că în acest punct.

Teorema 2. Pentru ca integrala curbilinie (4) să fie independentă de calea de integrare în D, este necesar și suficient ca integrandul Pdx+Qdy să fie diferența totală a unei funcții u din domeniul D. du = Pdx+Qdy. Adecvarea. Să se facă, apoi Necesitatea. Fie integrala independentă de calea integrării. Fixăm un punct A0 din domeniul D și definim funcția u(A) = u(x,y)=

În acest caz

XО (xО). Astfel, există o derivată =P. În mod similar, verificăm că =Q. În baza ipotezelor făcute, funcția u se dovedește a fi diferențiabilă continuu și du = Pdx+Qdy.

32-33. Definirea integralelor curbilinii de primul și al doilea fel

Integrală curbilinie pe lungimea arcului (primul tip)

Fie definită și continuă funcția f(x, y) în punctele arcului AB ale unei curbe netede K. Împărțiți în mod arbitrar arcul în n arce elementare prin punctele t0..tn.Fie lk lungimea lui k parțial arc. Să luăm un punct arbitrar N(k,k) pe fiecare arc elementar și înmulțind acest punct cu resp. lungimea arcului facem trei sume integrale:

1 =f(k,k)lk 2 = Р(k,k)хk 3 = Q(k,k)yk, unde хk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1

Integrală curbilinie de primul fel de-a lungul lungimii arcului se va numi limita sumei integrale 1, cu condiția ca max(lk)  0

Dacă limita sumei integrale este 2 sau 3 la   0, atunci se numește această limită. integrală curbilinie de al 2-lea fel, funcțiile P(x,y) sau Q(x,y) de-a lungul curbei l = AB și se notează:
sau

Cantitate:
+
se obișnuiește să se numească integrala curbilinie generală de al 2-lea fel și să se noteze prin simbolul:
în acest caz funcţiile f(x,y), P(x,y), Q(x,y) se numesc integrabile de-a lungul curbei l = AB. Curba l însăși se numește contur sau prin integrarea A - cea inițială, B - punctele finale de integrare, dl - diferența lungimii arcului, de aceea se numește integrala curbilinie de primul fel. integrală curbilinie peste arcul curbei, iar al doilea fel - peste funcție..

Din definiția integralelor curbilinii rezultă că integralele de primul fel nu depind de direcția în care curba l este rulată de la A și B sau de la B și A. Integrală curbilinie de primul fel peste AB:

, pentru integralele curbilinii de al 2-lea fel, o modificare a direcției de trecere a curbei duce la o schimbare a semnului:

În cazul în care l este o curbă închisă, adică t. B coincide cu punctul A, apoi dintre cele două direcții posibile de ocolire a conturului închis l, direcția în care zona situată în interiorul conturului rămâne la stânga față de ??? se numește pozitiv. efectuarea unui ocol, adică direcția de mișcare este în sens invers acelor de ceasornic. Direcția opusă de bypass se numește negativă. Integrala curbilinie AB de-a lungul unui contur închis l care se desfășoară în direcția pozitivă va fi notat cu simbolul:

Pentru o curbă spațială, 1 integrală de primul fel este introdusă în mod similar:

și trei integrale de al 2-lea fel:

se numește suma ultimelor trei integrale. integrală curbilinie generală de felul 2.

Câteva aplicații ale integralelor curbilinii de primul fel.

1.Integral
- lungimea arcului AB

2. Sensul mecanic al integralei de felul I.

Dacă f(x,y) = (x,y) este densitatea liniară a arcului material, atunci masa acestuia este:

3. Coordonatele centrului de masă al arcului material:

4. Momentul de inerție al unui arc situat în planul xy în raport cu originea și axele de rotație ox, oy:

5. Sensul geometric al integralei de primul fel

Fie ca funcția z = f(x,y) să aibă dimensiunea lungimii f(x,y)>=0 în toate punctele arcului material aflat în planul xy atunci:

, unde S este aria suprafeței cilindrice, pisica este formată din perpendiculare pe planul oxi, la est. în punctele M(x, y) ale curbei AB.

Câteva aplicații ale integralelor curbilinii de al 2-lea fel.

Calcularea ariei unei regiuni plate D cu limita L

2. Lucru cu putere. Fie ca un punct material să se miște sub acțiunea unei forțe de-a lungul unei curbe plane continue BC, mergând de la B la C, lucrul acestei forțe:

Să considerăm o integrală curbilinie de al 2-lea fel, unde L- puncte de legătură curbe MȘi N. Lasă funcțiile P(x, y)Și Q(x, y) au derivate parțiale continue într-un anumit domeniu D, care conține întreaga curbă L. Să determinăm condițiile în care integrala curbilinie considerată nu depinde de forma curbei L, dar numai pe locația punctelor MȘi N.

Desenați două curbe arbitrare MPNȘi MQN, situată în regiune Dși puncte de legătură MȘi N(Fig. 1).

M N Orez. 1. P

Să presupunem că, adică

Atunci unde L- un contur închis, compus din curbe MPNȘi NQM(prin urmare, poate fi considerat arbitrar). Astfel, condiția pentru independența unei integrale curbilinie de al 2-lea fel față de calea de integrare este echivalentă cu condiția ca o astfel de integrală peste orice contur închis să fie egală cu zero.

Teorema 1. Lasă în toate punctele unei anumite zone D funcțiile sunt continue P(x, y)Și Q(x, y)şi derivatele lor parţiale şi . Apoi, pentru orice buclă închisă L, situată în regiune D, conditia

Este necesar si suficient ca = in toate punctele regiunii D.

Dovada .

1) Suficiență: lasă condiția = să fie îndeplinită. Luați în considerare o buclă închisă arbitrară Lîn zonă D, limitând zona S, și scrieți formula lui Green pentru aceasta:

Deci, suficiența este dovedită.

2) Necesitate: să presupunem că condiția este îndeplinită în fiecare punct al zonei D, dar există cel puțin un punct în această regiune în care - ≠ 0. Fie, de exemplu, în punctul P(x0, y0)-> 0. Deoarece există o funcție continuă în partea stângă a inegalității, aceasta va fi pozitivă și mai mare decât unele δ > 0 într-o zonă mică D` punct care contine R. Prin urmare,

Prin urmare, prin formula lui Green, obținem că , unde L`- conturul care delimitează zona D`. Acest rezultat contrazice condiția. Prin urmare, = în toate punctele regiunii D, ceea ce urma să fie dovedit.

Observație 1 . În mod similar, pentru un spațiu tridimensional, se pot demonstra că condițiile necesare și suficiente pentru independența integralei curbilinii

din calea integrării sunt:

Observația 2. Când sunt îndeplinite condițiile (28/1.18), expresia Pdx+Qdy+Rdz este diferența totală a unei funcții Și. Acest lucru ne permite să reducem calculul integralei curbilinii la determinarea diferenței dintre valori Și la punctele de sfârșit și de început ale conturului de integrare, deoarece

În același timp, funcția Și poate fi găsit folosind formula

Unde ( x0, y0, z0)– punct din zonă D, A C este o constantă arbitrară. Într-adevăr, este ușor de verificat că derivatele parțiale ale funcțiilor Și date prin formula (28/1.19) sunt P, QȘi R.

Luați în considerare integrala curbilinie

luate de-a lungul vreunei curbe plane L puncte de legătură MȘi N. Vom presupune că funcțiile P(x, y)Și Q(x, y) au derivate parțiale continue în regiunea luată în considerare D. Să aflăm în ce condiții integrala curbilinie scrisă nu depinde de forma curbei L, dar depinde doar de poziția punctelor de început și de sfârșit MȘi N.

Luați în considerare două curbe arbitrare MPNȘi MQN, situată în zona considerată Dși puncte de legătură MȘi N. Lăsa

(1)

Apoi, pe baza proprietăților 1 și 4 ale integralelor curbilinii, avem:

acestea. integrală în buclă închisă L

În ultima formulă, integrala curbilinie este preluată pe un contur închis L, compus din curbe MPNȘi NQM. Acest circuit L poate fi considerat, evident, arbitrar.

Astfel, din condiția:

că, pentru oricare două puncte M și N, integrala curbilinie nu depinde de forma curbei care le leagă, ci depinde doar de poziția acestor puncte, rezultă: Ce integrala curbilinie peste orice contur închis este egală cu zero .

Este adevărat și contrariul:

dacă integrala curbilinie peste orice contur închis este egală cu zero, atunci această integrală curbilinie nu depinde de forma curbei care leagă oricare două puncte, dar depinde doar de pozitia acestora puncte . Într-adevăr, egalitatea (2) implică egalitate (1)

Teorema

Fie funcțiile P(x, y), Q(x, y) împreună cu derivatele lor parțiale și să fie continue în toate punctele unui domeniu D. Apoi, pentru ca integrala curbilinie peste orice contur închis L situat în această regiune să fie egală cu zero, i.e. la

(2΄)

este necesar şi suficient ca egalitatea

în toate punctele din D.

Dovada

Luați în considerare o buclă închisă arbitrară Lîn zonă Dși pentru aceasta scriem formula lui Green:

Dacă condiția (3) este îndeplinită, atunci integrala dublă din stânga este identic egală cu zero și, prin urmare,

Prin urmare, adecvarea se dovedește condiția (3).

Să demonstrăm acum necesitate această condiție, adică vom demonstra că dacă egalitatea (2) este valabilă pentru orice curbă închisă Lîn zonă D, atunci condiția (3) este îndeplinită în fiecare punct al acestei regiuni.

Presupunem, dimpotrivă, că egalitatea (2) este satisfăcută, adică

iar condiția (3) nu este îndeplinită, adică

cel putin la un moment dat. Să fim, de exemplu, la un moment dat să avem inegalitatea

Deoarece în partea stângă a inegalității se află functie continua, atunci va fi pozitiv și mai mare decât un număr în toate punctele unei zone suficient de mici care conține punctul . Să luăm integrala dublă în această regiune a diferenței. El va avea valoare pozitivă. Într-adevăr,

Dar, conform formulei lui Green, partea stângă a ultimei inegalități este egală cu integrala curbilinie peste limita regiunii , care, prin presupunere, este egală cu zero. În consecință, ultima inegalitate contrazice condiția (2) și, prin urmare, presupunerea că este diferită de zero cel puțin într-un punct nu este adevărată. De aici rezultă că

în toate punctele din zonă D.

Astfel, teorema este complet demonstrată.

Când studiezi ecuatii diferentiale s-a dovedit că îndeplinirea condiţiei

este echivalent cu expresia pdf + Qdy este diferența totală a unei funcții u(x, y), adică

Dar în acest caz vectorul

există un gradient de funcție u(x, y);

Funcţie u(x, y), al cărui gradient este egal cu vectorul , se numește potenţial acest vector.

Să demonstrăm asta în acest caz integrala curbilinie de-a lungul oricărei curbe L care leagă punctele M și N, este egală cu diferența dintre valorile funcției și în aceste puncte:

Dovada

Dacă Рdx + Qdy este diferența totală a funcției u(x, y), atunci integrala curbilinie ia forma

Pentru a calcula această integrală, scriem ecuații parametrice strâmb L puncte de legătură MȘi N:

Expresia dintre paranteze este o funcție a t, care este derivata totală a funcției în raport cu t. De aceea

După cum vedem integrala curbilinie a diferenţialului total nu depinde de forma curbei peste care se realizează integrarea.

Prin urmare:

condiții de independență pentru integralele curbilinii de al doilea fel din forma căii de integrare sunt următoarele:

Dacă într-o anumită zonă P(x, y)Și Q(x, y) sunt continueîmpreună cu lor și , apoi:

1. în zonă D este independent de formă căi de integrare, dacă valorile sale sunt de-a lungul tuturor curbelor netede posibile pe bucăți situată în regiunea dată și având un început și un sfârșit comun sunt la fel.

2. integrală de-a lungul oricărei curbe închise L situată în regiune D este zero.

3. există o astfel de funcție u(x, y), pentru care expresia pdx+qdy există un diferențial total, adică

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

4. în această zonă condiția ar fi îndeplinită

în fiecare punct din zonă D.

Pentru a calcula o integrală care nu depinde de conturul de integrare

se alege ca cale de integrare cea mai avantajoasă o linie întreruptă care leagă punctele și , ale cărei legături sunt paralele cu axele Ox și Oy.

integrand P(x, y)dx + Q(x, y)dyîn aceste condiţii sunt diferenţial complet vreo funcție u= u(x, y) acestea.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

Funcţie u(x, y)(antiderivată) poate fi găsită prin calcularea integralei curbilinii corespunzătoare peste o linie întreruptă unde este orice punct fix, B(x, y) este un punct variabil, iar un punct are coordonate XȘi . Apoi de-a lungul avem și dy = 0, și de-a lungul avem x = constȘi dx = 0.

Obtinem urmatoarea formula:

În mod similar, integrând peste o linie întreruptă unde obținem

Exemple

1. calculati

Această integrală nu depinde de conturul de integrare, deoarece

Să alegem ca cale de integrare o linie întreruptă ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate. Pe prima sectiune:

Pe a doua secțiune:

Prin urmare,

2. Găsiți un antiderivat u, Dacă

Lasă conturul LA este o linie întreruptă OMN. Apoi

3. Aflați dacă

Aici nu se poate lua punctul de plecare de la origine, deoarece în acest punct al funcției P(x, y)Și Q(x, y) nu sunt definite și, prin urmare, pentru punctul de plecare luăm, de exemplu, . Apoi

4. Găsiți aria cuprinsă de elipsă

Aria unei figuri situate în planul XOU și delimitată de o linie închisă C este calculată prin formula

,

unde conturul C este ocolit în sens pozitiv.

Transformăm integrala curbilinie într-una definită făcând substituția

Parametru t variază de la 0 la 2π.

Prin urmare

3. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului L Dacă L este arcul cicloidului

SARCINA PE TEMA „CURVILINEAR INTEGRAL”

Opțiunea 1

Unde L este un segment de linie dreaptă A (0;-2) și B (4;0) aparținând planului XOY.

De-a lungul poliliniei L:OAB, unde O(0,0), A(2,0), B(4,5). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

După coordonate, dacă L este un arc de elipsă situat în cadranul I.

Unde L este conturul unui triunghi cu vârfurile A(1,1), B(2,2), C(1,3). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

, și găsește-l.

7. Câmpul de forță este format din forța F(x,y), egală cu distanța punctului de aplicare a acestuia de la originea coordonatelor și îndreptată către originea coordonatelor. Găsiți munca forței de câmp cheltuită pentru deplasare punct material masa unitară de-a lungul arcului parabolei y 2 \u003d 8x de la punctul (2; 4) până la punctul (4; 4).

Opțiunea 2

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este un segment de linie care leagă punctele O (0; 0) și A (1; 2).

2. Calculați integrala curbilinie , dacă L este un arc de parabolă de la punctul A(-1;1) până la punctul B(1,1). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este un arc de cerc situată în 1 și 2 pătrate. Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala , unde L este un contur format dintr-o linie și un segment al axei OX când conturul este ocolit în sens invers acelor de ceasornic.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. În fiecare punct al câmpului de forță, forța are direcția semiaxei negative a ordonatei și este egală cu pătratul abscisei punctului de aplicare. Găsiți lucrul de câmp când mutați o unitate de masă de-a lungul unei parabole de la punctul (1.0) la punctul (0.1).

Opțiunea 3

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

1. unde L este arcul parabolei trunchiat de parabolă.

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este un segment de dreaptă, legătura punctului A (0,1), B (2,3). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este arcul primului arc al cicloidei. Înconjurați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala unde L este o elipsă Parcurgerea conturului în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită , și găsește-l.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. Calculați lucrul forței atunci când deplasați un punct material de-a lungul jumătății superioare a elipsei de la punctul A (a, 0), la punctul B (-a, 0).

Opțiunea 4.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

1. unde L este conturul unui pătrat

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este arcul parabolei punctului A (0,0), până la punctul B (1,1). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este jumătatea superioară a elipsei Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala unde L este conturul unui triunghi cu vârfurile A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită și găsiți-o.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. În fiecare punct al cercului se aplică o forță, ale cărei proiecții pe axele de coordonate se află Determinați munca efectuată de forță atunci când deplasați un punct material de-a lungul unui cerc. De ce munca este egală cu zero?

Opțiunea 5.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este un segment de linie dreaptă care leagă punctele 0 (0,0) și A (4; 2)

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este arcul curbei care leagă punctul A(0,1), de punctul B (-1,e). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este primul sfert de cerc Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala unde L este conturul, mărginit și Traversați conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită , și găsește-l.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. Câmpul este format din forța / / = direcția care face un unghi cu direcția razei - vectorul punctului de aplicare a acestuia. Găsiți lucrul de câmp atunci când mutați un punct material de masă m de-a lungul unui arc de cerc de la punctul (a, 0) la punctul (0, a).

Opțiunea 6.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este un sfert de cerc situat în cadranul I.

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este o linie întreruptă ABC, A(1;2), B(1;5), C(3;5). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este jumătatea superioară a cercului Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala unde L este un contur, limitat , Ocolind conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită și găsiți-o.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. Aflați lucrul forței elastice, îndreptată spre origine, dacă punctul de aplicare al forței descrie un sfert din elipsă în sens invers acelor de ceasornic situată în cadranul I. Mărimea acestei forțe este proporțională cu distanța punctului de la origine.

Opțiunea 7.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este partea parabolei de la punctul (1, 1/4) la punctul (2;1).

2. Calculați integrala curbilinie unde L este un segment de dreaptă care leagă punctele В(1;2) și В (2;4). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este primul arc al cicloidei Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită , și găsește-l.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. Un punct material al unei unități de masă se deplasează de-a lungul unui cerc sub acțiunea unei forțe ale cărei proiecții pe coordonatele axei sunt . Trasează forța la începutul fiecărui cerc. Găsiți de lucru pe contur.

Opțiunea 8.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este conturul unui dreptunghi cu vârfuri în punctele 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este arcul unei parabole de la punctul A (0;0) la punctul B (1;2). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este partea cercului situată în pătrat 1. Parcurgerea în sensul acelor de ceasornic a conturului.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala în care L este conturul unui triunghi cu vârfurile A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită și găsiți-o.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. Punctul material se deplasează de-a lungul elipsei sub acțiunea unei forțe, a cărei valoare este egală cu distanța punctului la centrul elipsei și este îndreptată spre centrul elipsei. Calculați munca efectuată de forță dacă punctul se învârte în jurul întregii elipse.

Opțiunea 9.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este arcul parabolei situat între puncte

A, B (2; 2).

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este un segment de dreaptă care leagă punctele A(5;0) și B(0,5). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este un arc de elipsă între punctele corespunzătoare Traversează conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, calculați integrala unde L este un cerc Traversați conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită , și găsește-l.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. În fiecare punct al curbei se aplică o forță, ale cărei proiecții pe axele de coordonate sunt Determinați lucrul forței la deplasarea unui punct material al unei unități de masă de-a lungul curbei din punctul M (-4; 0) până la punctul N (0; 2).

Opțiunea 10.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este un segment de dreaptă care leagă punctele A

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este arcul curbei de la punctul А(1;0) la В(е,5). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este un arc de cerc situat în pătratul 1U. Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala în care L este conturul unui triunghi cu vârfurile A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită , și găsește-l.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. În fiecare punct al dreptei se aplică o forță, ale cărei proiecții pe axele de coordonate Calculați munca efectuată de forță atunci când deplasați un punct material de-a lungul liniei de la M (1; 0) la punctul N (0; 3).

Al 2-lea fel din calea de integrare

Să considerăm o integrală curbilinie de al 2-lea fel, unde L este o curbă care leagă punctele M și N. Fie funcțiile P(x, y) și Q(x, y) să aibă derivate parțiale continue într-un domeniu D, în care curba L se află în întregime. Să determinăm condițiile în care integrala curbilinie considerată nu depinde de forma curbei L, ci doar de locația punctelor M și N.

Să desenăm două curbe arbitrare MSN și MTN, situate în regiunea D și conectând punctele M și N (Fig. 14).

Să presupunem că, adică

unde L este un contur închis compus din curbe MSN și NTM (prin urmare, poate fi considerat arbitrar). Astfel, condiția ca o integrală curbilinie de al 2-lea fel să fie independentă de calea de integrare este echivalentă cu condiția ca o astfel de integrală peste orice contur închis să fie egală cu zero.

Teorema 5 (teorema lui Green). Fie funcțiile P(x, y) și Q(x, y) și derivatele lor parțiale u continue în toate punctele unui domeniu D. Apoi, pentru ca orice contur închis L situat în domeniul D să satisfacă condiția

este necesar și suficient ca = în toate punctele domeniului D.

Dovada.

1) Suficiență: lasă condiția = să fie îndeplinită. Luați în considerare un contur închis arbitrar L în regiunea D, care mărginește regiunea S și scrieți formula verde pentru acesta:

Deci, suficiența este dovedită.

2) Necesitate: să presupunem că condiția este îndeplinită în fiecare punct al regiunii D, dar există cel puțin un punct în această regiune în care - ? 0. Fie, de exemplu, în punctul P(x0, y0) avem: - > 0. Deoarece există o funcție continuă în partea stângă a inegalității, va fi ea pozitivă și mai mare decât unele? > 0 într-o regiune mică D` care conține punctul P. Prin urmare,

Prin urmare, prin formula lui Green, obținem asta

unde L` este conturul care delimitează regiunea D`. Acest rezultat contrazice condiția. Prin urmare, = în toate punctele domeniului D, care trebuia demonstrat.

Observație 1. În mod similar, pentru un spațiu tridimensional, se pot demonstra că condițiile necesare și suficiente pentru independența integralei curbilinii

din calea integrării sunt:

Observația 2. În condițiile (52), expresia Pdx + Qdy + Rdz este diferența totală a unei funcții u. Acest lucru ne permite să reducem calculul integralei curbilinii la determinarea diferenței dintre valorile și la punctele de sfârșit și de început ale conturului de integrare, deoarece

În acest caz, funcția și poate fi găsită prin formula

unde (x0, y0, z0) este un punct din D și C este o constantă arbitrară. Într-adevăr, este ușor de verificat că derivatele parțiale ale funcției și date prin formula (53) sunt egale cu P, Q și R.

Exemplul 10

Calculați integrala curbilinie de al 2-lea fel

de-a lungul unei curbe arbitrare care leagă punctele (1, 1, 1) și (2, 3, 4).

Să ne asigurăm că sunt îndeplinite condițiile (52):

Prin urmare, funcția există. Să o găsim prin formula (53), stabilind x0 = y0 = z0 = 0. Atunci

Astfel, funcția și este determinată până la un termen constant arbitrar. Să luăm С = 0, apoi u = xyz. Prin urmare,