Derivate parțiale de ordinul întâi al funcțiilor complexe. Derivate ale funcţiilor complexe ale mai multor variabile. Derivată direcțională

Foarte des, la rezolvarea unor probleme practice (de exemplu, în geodezie superioară sau fotogrammetrie analitică), apar funcții complexe ale mai multor variabile, adică argumente x, y, z o singură funcție f(x,y,z) ) sunt ele însele funcții ale noilor variabile U, V, W ).

Deci, de exemplu, se întâmplă atunci când treceți dintr-un sistem de coordonate fix Oxyz la sistemul mobil O 0 UVW si inapoi. În acest caz, este important să cunoaștem toate derivatele parțiale în raport cu variabilele „fixe” - „vechi” și „în mișcare” - „noi”, deoarece aceste derivate parțiale caracterizează de obicei poziția unui obiect în aceste sisteme de coordonate, și, în special, afectează corespondența fotografiilor aeriene cu un obiect real. În astfel de cazuri, se aplică următoarele formule:

Adică, dată fiind o funcție complexă T trei variabile „noi”. U, V, W prin trei variabile „vechi”. x, y, z Apoi:

Cometariu. Sunt posibile variații ale numărului de variabile. De exemplu: dacă

În special, dacă z = f(xy), y = y(x) , atunci obținem așa-numita formulă „derivată totală”:

Aceeași formulă pentru „derivată totală” în cazul:

va lua forma:

Sunt posibile și alte variante ale formulelor (1.27) - (1.32).

Notă: formula „derivată totală” este utilizată în cursul fizicii, secțiunea „Hidrodinamică” la derivarea sistemului fundamental de ecuații ale mișcării fluidului.

Exemplul 1.10. Dat:

Conform (1.31):

§7 Derivate parţiale ale unei funcţii date implicit a mai multor variabile

După cum știți, o funcție definită implicit a unei variabile este definită după cum urmează: funcția variabilei independente X se numeste implicit daca este data de o ecuatie care nu este rezolvata fata de y :

Exemplul 1.11.

Ecuația

definește implicit două funcții:

Și ecuația

nu definește nicio funcție.

Teorema 1.2 (existenţa unei funcţii implicite).

Lasă funcția z \u003d f (x, y) și derivatele sale parțiale f" X Și f" y definită şi continuă într-un cartier U M0 puncte M 0 (X 0 y 0 ) . In afara de asta, f(x 0 ,y 0 )=0 Și f"(x 0 ,y 0 )≠0 , atunci ecuația (1.33) determină în vecinătate U M0 funcţie implicită y= y(x) , continuu si diferentiabil intr-un anumit interval D centrat pe un punct X 0 , și y(x 0 )=y 0 .

Fără dovezi.

Din teorema 1.2 rezultă că pe acest interval D :

adică există o identitate în

unde derivata „totală” se găsește conform (1.31)

Adică, (1.35) oferă o formulă pentru găsirea implicită a derivatei funcţie dată o variabilă X .

O funcție implicită a două sau mai multe variabile este definită în mod similar.

De exemplu, dacă într-o anumită zonă V spaţiu Oxyz ecuația este îndeplinită:

apoi în anumite condiţii asupra funcţiei F defineşte implicit o funcţie

În același timp, prin analogie cu (1.35), derivatele sale parțiale se găsesc după cum urmează:

Exemplul 1.12. Presupunând că ecuația

defineste implicit o functie

găsi z" X , z" y .

prin urmare, conform (1.37), obținem răspunsul.

§8 Derivate parțiale de ordinul doi și de ordinul superior

Definiție 1.9 Derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții z=z(x,y) sunt definite astfel:

Erau patru. Mai mult, în anumite condiții asupra funcțiilor z(x,y) egalitatea este valabilă:

Cometariu. Derivatele parțiale de ordinul doi pot fi de asemenea notate după cum urmează:

Definiția 1.10 Derivate parțiale de ordinul trei - opt (2 3).

§ 5. Derivate parţiale ale funcţiilor complexe. diferențiale de funcții complexe

1. Derivate parțiale ale unei funcții complexe.

Fie o funcție a două variabile ale căror argumente Și , sunt ele însele funcții de două sau Mai mult variabile. De exemplu, lasa
,
.

Apoi voi functie complexa variabile independente Și , variabile și va fi pentru asta variabile intermediare. În acest caz, cum să găsiți derivatele parțiale ale unei funcții în raport cu Și ?

Desigur, se poate exprima direct în termeni și:

și căutați derivate parțiale ale funcției rezultate. Dar expresia poate fi foarte complicată și găsirea unor derivate parțiale , ar necesita atunci mult efort.

Dacă funcţiile
,
,
sunt diferențiabile, apoi găsiți și se poate face fără a recurge la o exprimare directă prin și . În acest caz, formulele vor fi valabile

(5.1)

Într-adevăr, dăm argumentul creştere
, – const. Apoi funcțiile
Și vor primi sporuri

iar funcția va fi incrementată

Unde , sunt infinit de mici la
,
. Împărțiți toți termenii ultimei egalități cu . Primim:

Deoarece funcțiile și sunt diferențiabile prin presupunere, ele sunt continue. Prin urmare, dacă
, apoi și . Deci, trecând în ultima egalitate la limita de la obținem:

(deoarece , sunt infinitezimale pentru , ).

A doua egalitate din (5.1) este demonstrată în mod similar.

EXEMPLU. Lăsa
, Unde
,
. Atunci este o funcție complexă de variabile independente și . Pentru a găsi derivatele sale parțiale, folosim formula (5.1). Avem

Înlocuind în (5.1), obținem

,

Formulele (5.1) se generalizează în mod natural la cazul unei funcții a unui număr mai mare de argumente independente și intermediare. Și anume dacă

………………………

și toate funcțiile considerate sunt diferențiabile, atunci pentru oricare
există o egalitate

De asemenea, este posibil ca argumentele funcției să fie funcții ale unei singure variabile, adică.

,
.

Atunci va fi o funcție complexă a unei singure variabile și se poate pune problema găsirii derivatei . Dacă funcţiile
,
sunt diferențiabile, atunci poate fi găsită prin formulă
(5.2)

EXEMPLU. Lăsa
, Unde
,
. Iată o funcție complexă a unei variabile independente. Folosind formula (5.2), obținem

.

Și, în sfârșit, cazul este posibil când rolul variabilei independente este jucat de , i.e. ,

Unde
.

Din formula (5.2) obținem apoi

(5.3)

(deoarece
). Derivat , stând în formula (5.3) din dreapta este derivata parțială a funcției față de . Se calculează cu o valoare fixă ​​de . Derivat în partea stângă a formulei (5.3) se numește derivata totala a functiei . La calcularea acestuia, se ține cont de faptul că depinde în două moduri: direct și prin al doilea argument.

EXEMPLU. Găsiți și pentru funcție
, Unde
.

Avem
.

Pentru a găsi, folosim formula (5.3). obține

.

Și pentru a încheia această subsecțiune, observăm că formulele (5.2) și (5.3) pot fi generalizate cu ușurință în cazul funcțiilor cu un număr mare de argumente intermediare.

2. Diferenţial al unei funcţii complexe.

Amintiți-vă că dacă

este o funcție diferențiabilă a două variabile independente, apoi prin definiție

, (5.4)

sau sub altă formă
. (5.5)

Avantajul formulei (5.5) este că rămâne adevărată chiar și atunci când este o funcție complexă.

Într-adevăr, fie , unde , . Să presupunem că funcțiile , , sunt diferențiabile. Atunci funcția complexă va fi și ea diferențiabilă și diferența sa totală prin formula (5.5) va fi egală cu

.

Aplicarea formulei (5.1) pentru calcularea derivatelor parțiale functie complexa, primim

Deoarece diferențele totale ale funcțiilor și sunt între paranteze, avem în sfârșit

Deci, am văzut că atât în ​​cazul în care și sunt variabile independente, cât și în cazul în care și sunt variabile dependente, diferențiala funcției se poate scrie sub forma (5.5). În acest sens, această formă de scriere se numește diferența totală invariant . Forma de scriere a diferenţialului propusă în (5.4) nu va fi invariantă; poate fi folosită numai atunci când şi sunt variabile independente. Nici forma de scriere a diferenţialului nu va fi invariantă -a ordine. Amintiți-vă că am arătat mai devreme că diferența de ordine funcțiile a două variabile pot fi găsite prin formula

. (4.12)

Dar dacă și nu sunt variabile independente, atunci formula (4.12) pentru
încetează să mai fie adevărat.

Este evident că toate argumentele efectuate în această subsecțiune pentru o funcție de două variabile pot fi repetate în cazul unei funcții cu mai multe argumente. Prin urmare, pentru o funcție, diferența poate fi scrisă și în două forme:

unde a doua notație va fi invariantă, i.e. corect chiar dacă
nu sunt variabile independente, ci argumente intermediare.

§ 6. Diferenţierea funcţiilor implicite

Vorbind despre metodele de definire a unei funcții de una și mai multe variabile, am observat că definiția analitică a unei funcții poate fi explicită sau implicită. În primul caz, valoarea funcției se găsește din valorile cunoscute ale argumentelor; în al doilea, valoarea funcției și argumentele sale sunt legate de o ecuație. Cu toate acestea, nu am precizat când sunt ecuațiile

Și

definesc funcţii definite implicit şi respectiv. Condiții suficiente convenabile pentru existența unei funcții implicite variabile (
) sunt cuprinse în următoarea teoremă.

TEOREMA6.1 . (existența unei funcții implicite) Fie funcția
și derivatele sale parțiale
sunt definite şi continue într-o vecinătate a punctului . Dacă
Și
, atunci există un astfel de cartier punctul în care ecuația

defineste functie continuași

1) Luați în considerare ecuația
. Condițiile teoremei sunt îndeplinite, de exemplu, în orice vecinătate a punctului
. Prin urmare, într-o vecinătate a punctului
această ecuaţie defineşte ca o funcţie implicită a două variabile şi . O expresie explicită pentru această funcție este ușor de obținut prin rezolvarea ecuației pentru:

2) Luați în considerare ecuația
. Acesta definește două funcții a două variabile și . Într-adevăr, condițiile teoremei sunt îndeplinite, de exemplu, în orice vecinătate a punctului

, în care ecuația dată definește o funcție continuă care ia valoarea în punct
.

Pe de altă parte, condițiile teoremei sunt îndeplinite în orice vecinătate a punctului
. Prin urmare, într-o vecinătate a punctului, ecuația definește o funcție continuă care ia valoarea în punct
.

Deoarece o funcție nu poate lua două valori la un moment dat, înseamnă că aici vorbim despre două funcții diferite.
și în mod corespunzător. Să găsim expresiile lor explicite. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația originală în raport cu . obține

3) Luați în considerare ecuația
. Evident, condițiile teoremei sunt îndeplinite în orice vecinătate a punctului
. Prin urmare, există o astfel de vecinătate a punctului
, în care ecuația definește ca o funcție implicită a variabilei . Este imposibil să se obțină o expresie explicită pentru această funcție, deoarece ecuația nu poate fi rezolvată în raport cu .

4) Ecuația
nu definește nicio funcție implicită, deoarece nu există astfel de perechi numere reale si care il satisfac.

Funcţie
, dat de ecuație
, conform teoremei 6.1, are derivate parțiale continue în raport cu toate argumentele dintr-o vecinătate a punctului. Să aflăm cum le puteți găsi fără a avea o definiție explicită a funcției.

Lasă funcția
îndeplineşte condiţiile teoremei 6.1. Apoi ecuația
functie continua
. Luați în considerare o funcție complexă
, Unde . Funcția este o funcție complexă a unei variabile și dacă
, Acea

(6.1)

Pe de altă parte, conform formulei (5.3), să se calculeze derivata totală
(6.2)

Din (6.1) și (6.2) obținem că dacă , atunci

(6.3)

Cometariu.Împarte la este posibil, deoarece conform teoremei 6.1
în orice punct din cartier.

EXEMPLU. Aflați derivata funcției implicite dată de ecuație și calculați valoarea acesteia la
.

,
.

Înlocuind derivatele parțiale în formula (6.3), obținem

.

În plus, înlocuind în ecuația originală, găsim două valori:
Și
.

Prin urmare, în vecinătatea unui punct, ecuația definește două funcții:
Și
, Unde
,
. Derivatele lor vor fi egale

Și
.

Acum lăsați ecuația
definește într-o anumită vecinătate a punctului
functie . Sa gasim . Reamintim că, de fapt, aceasta este derivata obișnuită a unei funcții considerată ca o funcție a unei variabile la o valoare constantă de . Prin urmare, putem aplica formula (6.3) pentru a o găsi, considerând-o o funcție, - un argument, - o constantă. obține

. (6.4)

În mod similar, considerând o funcție, - un argument, - o constantă, conform formulei (6.3) găsim

. (6.5)

EXEMPLU. Aflați derivatele parțiale ale funcției date de ecuație
.

,
,
.

Folosind formulele (6.4) și (6.5), obținem

,
.

În cele din urmă, luați în considerare cazul general în care ecuația

definește o funcție de variabile într-o anumită vecinătate a punctului. Repetând raționamentul efectuat pentru o funcție dată implicit a două variabile, obținem

,
, …,
.

§ 7. Derivată direcţională

1. Derivată direcțională.

Să fie definită o funcție a două variabile într-un domeniu
avion
, este punctul zonei , este un vector în orice direcție. Să mergem de la subiect
până la un punct în direcția vectorului . Funcția va fi apoi incrementată

Împărțim incrementul funcției
de lungimea segmentului offset
. Raportul primit
oferă rata medie de modificare a funcției de pe diagramă
. Atunci limita acestei relații la
(dacă există și este finită) va fi rata de schimbare a funcției în punct
în direcția vectorului . El este numit derivata unei functii intr-un punct in directia vectorului si denota
sau
.

Pe lângă valoarea ratei de modificare a funcției, vă permite, de asemenea, să determinați natura modificării funcției într-un punct în direcția vectorului. (crescator sau descendent):

Aceste afirmații sunt dovedite în același mod ca și aserțiuni similare pentru o funcție a unei variabile.

Rețineți că derivatele parțiale ale unei funcții sunt un caz special al derivatei direcționale. Și anume,
este derivata funcției față de direcția vectorului (direcția axei
), este derivata funcției față de direcția vectorului (direcția axei
).

Să presupunem că funcția este diferențiabilă în punctul . Apoi

Unde este infinit de mic la
.

Fie definită funcția z - f(x, y) într-un domeniu D pe planul xOy. Să luăm un punct interior (x, y) din regiunea D și să dăm x un increment Ax astfel încât punctul (x + Ax, y) 6 D (Fig. 9). Să numim valoarea o creștere parțială a funcției z față de x. Compuneți raportul Pentru un punct dat (x, y), acest raport este o funcție a Definiției. Dacă pentru Ax -* 0 relația ^ are o limită finită, atunci această limită se numește derivată parțială a funcției z = /(x, y) față de variabila independentă x în punctul (x, y) și este notat cu simbolul jfc (sau /i(x, jj ), sau z "x (x, În același mod, prin definiție, sau, care este același, în mod analog dacă și este o funcție a n variabile independente, atunci notând că Arz se calculează cu valoarea variabilei y neschimbată, iar Atz cu valoarea variabilei x neschimbată, definițiile derivatelor parțiale pot fi formulate după cum urmează: Derivate parțiale sens geometric derivate parțiale ale unei funcții a două variabile Diferențiabilitatea unei funcții a mai multor variabile Conditiile necesare diferențiabilitatea unei funcții Condiții suficiente pentru diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile Diferenţial complet. Diferențiale parțiale Derivate ale funcției compuse a derivatei parțiale față de x a funcției z = /(x, y) se numește derivată obișnuită a acestei funcții față de x, calculată în ipoteza că y este o constantă; derivata parțială față de y a unei funcții z - /(x, y) este derivata sa față de y, calculată din ipoteza că x este o constantă. Rezultă că regulile de calcul al derivatelor parțiale coincid cu regulile dovedite pentru o funcție a unei variabile. Exemplu. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții 4 Avem Substituții*. Existența unei funcții y = /(x, y) la un punct dat de derivate parțiale față de toate argumentele nu implică continuitatea funcției în acest punct. Deci, funcția nu este continuă în punctul 0(0,0). Cu toate acestea, în acest moment, această funcție are derivate parțiale față de x și față de y. Aceasta rezultă din faptul că /(x, 0) = 0 și /(0, y) = 0 și, prin urmare, semnificația geometrică a derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile Fie suprafața S în spațiul tridimensional. dat de ecuația în care f(x, y) este o funcție, continuă într-un domeniu D și având derivate parțiale față de x și y acolo. Să aflăm semnificația geometrică a acestor derivate în punctul Mo(x0, y0) 6 D, căruia îi corespunde punctul f(x0)yo) pe suprafața z = f(x)y). Când găsim derivata parțială în punctul M0, presupunem că z este doar o funcție a argumentului x, în timp ce argumentul y păstrează o valoare constantă y \u003d yo, adică funcția fi (x) este reprezentată geometric de curba L , de-a lungul căreia suprafața S este intersectată de planul y \u003d la aproximativ. Datorită semnificației geometrice a derivatei unei funcții a unei variabile, f \ (xo) = tg a, unde a este unghiul format de tangenta la dreapta L în punctul JV0 cu axa Ox (Fig. 10) . Dar astfel, derivata parțială ($|) este egală cu tangentei unghiului a dintre axa Ox și tangentei în punctul N0 la curba obținută în secțiunea suprafeței z \u003d / (x, y) de planul y. În mod similar, obținem că §6. Diferențiabilitatea unei funcții de mai multe variabile Fie definită funcția z = /(x, y) într-un domeniu D pe planul xOy. Să luăm un punct (x, y) € D și să dăm valorile alese x și y orice increment Ax și Dy, dar astfel încât punctul. Definiție. O funcţie r = /(x, y) se numeşte diferenţiabil * punct (x, y) € 2E dacă incrementul total al acestei funcţii, corespunzător incrementelor Dx, Dy ale argumentelor, poate fi reprezentat ca unde A şi B nu depind de Dx și D y ( dar, în general, depind de x și y), în timp ce a(Ax, Dy) și f(Ax, Dy) tind spre zero, deoarece Ax și Dy tind spre zero. . Dacă funcția z = /(x, y) este diferențiabilă în punctul (x, y), atunci partea A Dx 4 - VDy a incrementului funcției, liniară față de Dx și Dy, se numește diferenţial total a acestei funcții în punctul (x, y) și este notat cu simbolul dz: Tanim way, exemplu. Fie r = x2 + y2. În orice punct (r, y) și pentru orice Dx și Dy avem Aici. rezultă că a și /3 tind spre zero, deoarece Ax și Dy tind spre zero. Prin definiție, această funcție este diferențiabilă în orice punct din planul xOy. Aici observăm că în raționamentul nostru nu am exclus în mod formal cazul în care incrementele Dx, Dy separat sau chiar ambele sunt egale cu zero simultan. Formula (1) poate fi scrisă mai compact dacă introducem expresia (distanța dintre puncte (Folosind-o, putem scrie Notând expresia dintre paranteze cu e, vom avea unde c depinde de J, Du și tinde spre zero dacă J 0 și Dy 0, sau, pe scurt, dacă p 0. Formula (1), care exprimă condiția ca funcția z = f(xt y) să fie diferențiabilă în punctul (x, y), se poate scrie acum ca Deci, în exemplul 6.1 de mai sus.Teorema 4. Dacă funcția r = f(x, y) este diferențiabilă la un moment dat, atunci este continuă în acel punct.4 Dacă funcția r = f(x, y) este diferențiabilă în punctul (x, y), atunci totalul incrementului funcţiei i în acest punct""e, corespunzător incrementelor j şi dy ale argumentelor, poate fi reprezentat sub forma Teorema b. Dacă funcţia z = f(x, y) este diferențiabilă într-un punct dat, mo o o u. ) este diferențiabilă la un punct (x, y). Apoi incrementul Dx al acestei funcții, care corespunde incrementelor Dx, Ay ale argumentelor, poate fi reprezentat sub forma (1). Luând în egalitate (1) Dx F 0, Dn = 0, obținem de unde Deoarece pe partea dreaptă a ultimei egalități nu depinde valoarea A, Aceasta înseamnă că în punctul (x, y) există un parțial derivată a funcției r \u003d / (x, y) față de x și, printr-un raționament similar, putem vedea că (x, există o derivată parțială a funcției zу și din teoremă rezultă că Subliniem că teorema 5 afirmă existența derivatelor parțiale doar la punctul (x, y), dar nu spune nimic despre continuitatea lor 6.2 Condiții suficiente pentru diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile După cum se știe, o condiție necesară și suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții y = f(x) a unei variabile în punctul xo este existența unei derivate finite / „(x) în punctul x0. În cazul în care funcția depinde de mai multe variabile, situația este mult mai complicată: nu există condiții necesare și suficiente de diferențiere pentru funcția z = /(x, y) a două variabile independente x, y; există doar condiții necesare separat (vezi mai sus) și condiții suficiente separate. Aceste condiții suficiente pentru diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile sunt exprimate prin următoarea teoremă. Teorema c. Dacă o funcție are derivate parțiale /£ și f"v în vreo vecinătate a dreptei subțiri (xo, y0) și dacă aceste derivate sunt continue în punctul (xo, y0) însuși, atunci funcția z = f(x, y). ) este diferențiabilă în punctul (x- Exemplu Considerăm o funcție Derivate parțiale Sensul geometric al derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile Diferențiabilitatea unei funcții a mai multor variabile Condiții necesare pentru diferențiabilitatea unei funcții Condiții suficiente pentru diferențiabilitatea funcțiilor a mai multor variabile Diferenţial total Derivate parţiale Derivate ale unei funcţii complexe Este definită peste tot Pe baza definiţiei derivatelor parţiale, avem ™ a acestei funcţii în punctul 0(0, 0) pe care îl găsim şi incrementul acesteia se accentuează. Du 0. Punem D0. Apoi din formula (1) vom avea Prin urmare, funcțiile / (x, y) \u003d nu este diferențiabilă în punctul 0 (0, 0), deși are în acest moment producem fa şi f "r Rezultatul obţinut se explică prin faptul că derivatele f"z şi f"t sunt discontinue în punctul §7. diferenţial complet. Diferențiale parțiale Dacă funcția r - f(z> y) este diferențiabilă, atunci ultima ei diferență dz este egală. diferenţialul unei funcţii la variabile independente, stabilirea diferenţialelor variabilelor independente egale cu incrementele acestora: După aceea, formula pentru diferenţialul total al funcţiei ia exemplul. Fie i - 1l(x + y2). Atunci, în mod similar, dacă u =) este o funcție diferențiabilă a n variabile independente, atunci Expresia se numește diferența slabă a funcției z = f(x, y) față de variabila x; expresia se numește diferența parțială a funcției z = /(x, y) a variabilei y. Din formulele (3), (4) și (5) rezultă că diferența totală a unei funcții este suma diferențelor sale parțiale: Rețineți că incrementul total Az al funcției z = /(x, y), în general vorbind , nu este egal cu suma incrementelor parțiale. Dacă într-un punct (x, y) funcția y = /(x, y) este diferențiabilă și diferența dz φ 0 în acest punct, atunci incrementul său total diferă de partea sa liniară doar prin suma ultimilor termeni aAx 4 - /? DE, care la Ax 0 şi Ay -» O sunt infinitezimale mai mult decât ordin înalt decât termenii părții liniare. Prin urmare, când dz Ф 0, partea liniară a incrementului funcției diferențiabile se numește partea principală a incrementului funcției și se folosește o formulă aproximativă care va fi cu atât mai precisă, cu atât valoarea absolută a incrementelor de argumentele. §8. Derivate ale unei funcţii complexe 1. Fie definită funcţia într-un domeniu D pe planul xOy, iar fiecare dintre variabilele x, y, la rândul său, este o funcţie a argumentului t: Vom presupune că atunci când t se modifică în interval (punctele corespunzătoare (x, y) nu ies în afara regiunii D. Dacă substituim valorile în funcția z = / (x, y), atunci obținem o funcție complexă a unei variabile t. și pentru valorile corespunzătoare funcția / (x, y) este diferențiabilă, atunci funcția complexă în punctul t are o derivată și M Să dăm t un increment Dt. Atunci x și y vor primi niște incremente Ax și Dy. Ca ca rezultat, pentru (J)2 + (Dy)2 ∩ 0, funcția z va primi și un anumit increment Dt, care, datorită diferențiabilității funcției z = f , y) în punctul (x, y) poate fi reprezentat ca unde a) tind spre zero ca Ax și Du tind spre zero. Să definim a și /3 pentru Ax = Ay = 0 stabilind a Atunci a( va fi continuu pentru J = Dy = 0. Considerăm că relația sunt constante pentru cea dată, prin condiție există limite din existența derivatelor ^ iar în punctul £ rezultă că funcțiile x = y(t) și y = sunt continue în acest punct; prin urmare, la 0 atât J cât și Dy tind spre zero, ceea ce la rândul său implică a(Ax, Dy) și P (Ax, Ay) tind spre zero. Astfel, partea dreaptă a egalității (2) la 0 are o limită egală cu. Prin urmare, limita părții stângi a lui (2) există la La 0, adică există egal Trecand in egalitatea (2) la limita ca At -» 0, obtinem formula ceruta In cazul particular cand, in consecinta, z este o functie complexa a lui x, obtinem y) peste x, in calculul caruia in expresia f(x, y) argumentul y este luată ca o constantă constantă și este, la rândul său, considerată a fi o funcție a lui x: y = tp(x)t și, prin urmare, dependența lui z de x este luată pe deplin în considerare. Exemplu. Găsiți și jg dacă 2. Să considerăm acum diferențierea unei funcții complexe a mai multor variabile. Fie unde la rândul său, deci Să presupunem că în punctul (() există derivate parțiale continue u, 3? » a în punctul corespunzător (x, y), unde funcţia f(x, y) este derivabilă. Să arătăm că, în aceste condiții, funcția complexă z = z(() y) în punctul t7) are derivate și u și găsim expresii pentru aceste derivate. Rețineți că acest caz nu diferă semnificativ de cel deja studiat. Într-adevăr, când z este diferențiat față de £, a doua variabilă independentă rj este luată ca o constantă, drept urmare x și y devin funcții ale aceleiași variabile x" = c), y = c) în această operație, iar problema derivatei Φ se rezolvă exact în același mod ca și problema derivatei atunci când se derivă formula (3) Folosind formula (3) și înlocuind formal derivatele g și ^ din ea cu derivatele u și respectiv, obținem Dacă o functie complexa este „Specificata prin formule astfel incat atunci, in conditiile corespunzatoare, sa avem In cazul particular cand Si = unde Derivate partiale Semnificatia geometrica a derivatelor partiale ale unei functii a doua variabile Diferentabilitatea unei functii a mai multor variabile Conditii necesare pentru diferențiabilitatea unei funcții Condiții suficiente pentru diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile Diferențial complet Diferențiale parțiale Avem derivate ale unei funcții complexe y, d) în x, la calculul k

Exemplu. Găsiți dacă, unde.

Soluţie. Conform formulei (1) avem:

Exemplu. Aflați derivata parțială și derivata totală dacă .

Soluţie. .

Pe baza formulei (2), obținem .

2°. Cazul mai multor variabile independente.

Lăsa z = f(x;y) - funcţia a două variabile XȘi y, fiecare dintre ele este o funcție

variabila independenta t: x = x(t), y = y(t).În acest caz, funcția z=f(x(t);y(t)) este

funcţie complexă a unei variabile independente t; variabile x și y sunt variabile intermediare.

Teorema. Dacă z == f(X; y) - diferentiabil la un punct M(x; y) D funcţie

Și x = x(t)Și la =YT) - funcţii diferenţiabile ale variabilei independente t,

apoi derivata functiei complexe z(t) == f(x(t);y(t)) calculate prin formula

(3)

Caz special: z = f(x; y), unde y = y(x), acestea. z= f(x;y(x)) - funcţie complexă de

variabila independenta X. Acest caz se reduce la cel precedent, și rolul variabilei

t joacă X. Conform formulei (3) avem:

.

Ultima formulă se numește formule pentru derivata totală.

Caz general: z = f(x;y), Unde x = x(u;v), y=y(u;v). Atunci z = f(x(u;v);y(u;v)) - complex

funcţia variabilelor independente ȘiȘi v. Derivatele sale parțiale pot fi găsite

folosind formula (3) în felul următor. Fixare v,înlocuiți în ea

derivate parțiale corespunzătoare

Deci derivata funcției compuse (z) față de fiecare variabilă independentă (ȘiȘi v)

este egală cu suma produselor derivatelor parțiale ale acestei funcții (z) față de intermediarul ei

variabile (x și y) la derivatele lor în raport cu variabila independentă corespunzătoare (u și v).

În toate cazurile luate în considerare, formula

(proprietatea invarianței diferenţialului total).

Exemplu. Găsiți și dacă z= f(x,y), unde x=uv, .

Derivatele parțiale sunt utilizate în atribuirile cu funcții ale mai multor variabile. Regulile de găsire sunt exact aceleași ca și pentru funcțiile unei variabile, singura diferență fiind că una dintre variabile trebuie considerată o constantă (număr constant) în momentul diferențierii.

Formulă

Derivatele parțiale pentru o funcție a două variabile $ z(x,y) $ sunt scrise sub următoarea formă $ z"_x, z"_y $ și se găsesc folosind formulele:

Derivate parțiale de ordinul întâi

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Derivate parțiale de ordinul doi

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

derivat mixt

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Derivată parțială a unei funcții complexe

a) Fie $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, atunci derivata funcției complexe este determinată de formula:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Fie $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, atunci derivatele parțiale ale funcției se găsesc prin formula:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Derivate parțiale ale unei funcții date implicit

a) Fie $ F(x,y(x)) = 0 $, apoi $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Fie $ F(x,y,z)=0 $, apoi $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Exemple de soluții