Conceptul de puncte maxim-minim ale unei funcții este un exemplu. Cum să găsiți punctele maxime și minime ale unei funcții. Condiție necesară pentru extremul funcției

O funcție și studiul trăsăturilor sale ocupă unul dintre capitolele cheie ale matematicii moderne. Componenta principală a oricărei funcții sunt graficele care descriu nu numai proprietățile sale, ci și parametrii derivatei acestei funcții. Să aruncăm o privire la acest subiect complicat. Deci, care este cel mai bun mod de a găsi punctele maxime și minime ale unei funcții?

Funcție: Definiție

Orice variabilă care depinde într-un fel de valorile unei alte mărimi poate fi numită funcție. De exemplu, funcția f(x 2) este pătratică și determină valorile pentru întreaga mulțime x. Să presupunem că x = 9, atunci valoarea funcției noastre va fi egală cu 9 2 = 81.

Funcțiile vin într-o varietate de tipuri: logice, vectoriale, logaritmice, trigonometrice, numerice și altele. În studiul lor au fost implicate minți remarcabile precum Lacroix, Lagrange, Leibniz și Bernoulli. Scrierile lor servesc drept bastion în modalitățile moderne de studiere a funcțiilor. Înainte de a găsi punctele minime, este foarte important să înțelegeți sensul însuși al funcției și al derivatei sale.

Derivatul și rolul său

Toate funcțiile depind de variabilele lor, ceea ce înseamnă că își pot schimba valoarea în orice moment. Pe grafic, aceasta va fi reprezentată ca o curbă care fie coboară, fie se ridică de-a lungul axei y (acesta este întregul set de numere „y” de-a lungul verticalei graficului). Și astfel definirea unui punct de maxim și minim de funcție este legată de aceste „oscilații”. Să explicăm care este această relație.

Derivata oricărei funcții este reprezentată grafic pentru a studia principalele sale caracteristici și a calcula cât de repede se schimbă funcția (adică își schimbă valoarea în funcție de variabila „x”). În momentul în care funcția crește, graficul derivatei sale va crește și el, dar în orice secundă funcția poate începe să scadă, iar apoi graficul derivatei va scădea. Acele puncte în care derivata trece de la minus la plus se numesc puncte minime. Pentru a ști cum să găsești puncte minime, ar trebui să înțelegi mai bine

Cum se calculează derivata?

Definiția și funcțiile implică mai multe concepte din În general, însăși definiția derivatului poate fi exprimată în felul următor: aceasta este valoarea care indică rata de modificare a funcției.

Modul matematic de a-l defini pentru mulți studenți pare complicat, dar de fapt totul este mult mai simplu. Este necesar doar să urmați planul standard pentru găsirea derivatei oricărei funcții. În cele ce urmează se descrie cum puteți găsi punctul minim al unei funcții fără a aplica regulile de diferențiere și fără a memora tabelul de derivate.

1. Puteți calcula derivata unei funcții folosind un grafic. Pentru a face acest lucru, trebuie să descrieți funcția în sine, apoi să luați un punct pe ea (punctul A din figură), să trasați o linie vertical în jos până la axa absciselor (punctul x 0) și să desenați o tangentă la graficul funcția la punctul A. Axa absciselor și tangenta formează un unghi a. Pentru a calcula valoarea cât de repede crește funcția, trebuie să calculați tangentei acestui unghi a.
2. Rezultă că tangenta unghiului dintre tangentă și direcția axei x este derivata funcției într-o zonă mică cu punctul A. Această metodă este considerată o modalitate geometrică de a determina derivata.

Metode de examinare a unei funcții

ÎN curiculumul scolar matematică, este posibil să găsim punctul minim al unei funcții în două moduri. Am analizat deja prima metodă folosind graficul, dar cum se determină valoarea numerică a derivatei? Pentru a face acest lucru, va trebui să înveți mai multe formule care descriu proprietățile derivatei și ajută la transformare variabile tastați „x” în numere. Următoarea metodă este universală, deci poate fi aplicată la aproape toate tipurile de funcții (atât geometrice, cât și logaritmice).

1. Este necesar să echivalăm funcția cu funcția derivată și apoi să simplificați expresia folosind regulile de diferențiere.
2. În unele cazuri, atunci când este dată o funcție în care variabila „x” este un divizor, este necesar să se determine intervalul de valori acceptabile prin excluderea punctului „0” din aceasta (din simplul motiv că în matematică nu poate împărți niciodată la zero).
3. După aceea, forma originală a funcției ar trebui convertită într-o ecuație simplă, echivalând întreaga expresie cu zero. De exemplu, dacă funcția arată astfel: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, atunci, conform regulilor de diferențiere, derivata sa este egală cu f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Apoi transformăm aceasta expresie într-o ecuație de următoarea formă: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. După rezolvarea ecuației și găsirea punctelor „x”, ar trebui să le reprezentați pe axa x și să determinați dacă derivata din aceste zone dintre punctele marcate este pozitivă sau negativă. După desemnare, va deveni clar în ce moment funcția începe să scadă, adică își schimbă semnul de la minus la opus. În acest fel puteți găsi atât punctele minime, cât și cele maxime.

Reguli de diferențiere

Cea mai de bază componentă în studiul unei funcții și a derivatei sale este cunoașterea regulilor de diferențiere. Numai cu ajutorul lor este posibil să se transforme expresii greoaie și mari funcții complexe. Să facem cunoștință cu ele, există o mulțime de ele, dar toate sunt foarte simple datorită proprietăților regulate atât ale funcțiilor de putere, cât și ale funcțiilor logaritmice.

1. Derivata oricărei constante este zero (f(x) = 0). Adică, derivata f (x) \u003d x 5 + x - 160 va lua următoarea formă: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Derivata sumei a doi termeni: (f+w)" = f"w + fw".
3. Derivată a unei funcții logaritmice: (log a d)" = d/ln a*d. Această formulă se aplică tuturor tipurilor de logaritmi.
4. Derivată de putere: (x n)"= n*x n-1. De exemplu, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Derivată a funcției sinusoidale: (sin a)" = cos a. Dacă sinul unghiului a este 0,5, atunci derivata sa este √3/2.

puncte extremum

Am discutat deja cum să găsim punctele minime, totuși, există conceptul de puncte maxime ale unei funcții. Dacă minimul denotă acele puncte în care funcția trece de la minus la plus, atunci punctele maxime sunt acele puncte de pe axa x la care derivata funcției se schimbă de la plus la opus - minus.

Îl puteți găsi folosind metoda descrisă mai sus, doar că trebuie luat în considerare faptul că acestea denotă acele zone în care funcția începe să scadă, adică derivata va fi mai mică decât zero.

În matematică, se obișnuiește să se generalizeze ambele concepte, înlocuindu-le cu sintagma „puncte de extremă”. Când sarcina solicită determinarea acestor puncte, aceasta înseamnă că este necesar să se calculeze derivata acestei funcții și să se găsească punctele minime și maxime.

Din acest articol, cititorul va afla despre ce este un extremum de valoare funcțională, precum și despre caracteristicile utilizării sale în practică. Studiul unui astfel de concept este extrem de important pentru înțelegerea elementelor de bază matematică superioară. Acest subiect este fundamental pentru un studiu mai profund al cursului.

In contact cu

Ce este o extremă?

ÎN curs şcolar sunt date multe definiții ale conceptului de „extremum”. Acest articol are scopul de a oferi cea mai profundă și mai clară înțelegere a termenului pentru cei care nu cunosc problema. Deci, termenul este înțeles în ce măsură intervalul funcțional capătă o valoare minimă sau maximă pe o anumită mulțime.

Extremul este atât valoarea minimă a funcției, cât și valoarea maximă în același timp. Există un punct minim și un punct maxim, adică valorile extreme ale argumentului de pe grafic. Principalele științe în care este utilizat acest concept:

• statistici;
• controlul mașinii;
• econometrie.

Punctele extreme joacă un rol important în determinarea secvenței funcţie dată. Sistemul de coordonate de pe grafic arată cel mai bine schimbarea poziției extreme în funcție de schimbarea funcționalității.

Extreme ale funcției derivate

Există, de asemenea, un astfel de lucru ca un „derivat”. Este necesar să se determine punctul extremum. Este important să nu confundați punctele minime sau maxime cu cele mai mari și cele mai mici valori. Acestea sunt concepte diferite, deși pot părea similare.

Valoarea funcției este factorul principal în determinarea modului de găsire a punctului maxim. Derivata nu se formează din valori, ci exclusiv din poziția sa extremă într-o ordine sau alta.

Derivata în sine este determinată pe baza datelor punctelor extreme, și nu pe cea mai mare sau pe cea mai mică valoare. În școlile rusești, linia dintre aceste două concepte nu este clar trasată, ceea ce afectează înțelegerea acestui subiect în general.

Să considerăm acum un astfel de lucru drept un „extrem ascuțit”. Până în prezent, există o valoare minimă acută și o valoare maximă acută. Definiția este dată în conformitate cu clasificarea rusă a punctelor critice ale unei funcții. Conceptul de punct extremum este baza pentru găsirea punctelor critice pe o diagramă.

Pentru a defini un astfel de concept se folosește teorema lui Fermat. Este cel mai important în studiul punctelor extreme și oferă o idee clară a existenței lor într-o formă sau alta. Pentru a asigura extremitatea, este important să se creeze anumite condiții de scădere sau creștere pe diagramă.

Pentru a răspunde cu exactitate la întrebarea „cum să găsești punctul maxim”, trebuie să urmați următoarele prevederi:

1. Găsirea zonei exacte de definiție pe diagramă.
2. Căutați derivata unei funcții și a unui punct extrem.
3. Rezolvați inegalitățile standard pentru domeniul argumentului.
4. Să fie capabil să demonstreze în ce funcții este definit și continuu un punct dintr-un grafic.

Atenţie! Căutarea unui punct critic al unei funcții este posibilă numai dacă există o derivată de cel puțin ordinul doi, care este asigurată de o proporție mare a prezenței unui punct extremum.

Condiție necesară pentru extremul funcției

Pentru ca un extremum să existe, este important să existe atât puncte minime, cât și puncte maxime. Dacă această regulă este respectată doar parțial, atunci condiția existenței unui extremum este încălcată.

Fiecare funcție în orice poziție trebuie diferențiată pentru a-și identifica noile semnificații. Este important să înțelegem că cazul în care un punct dispare nu este principiul principal al găsirii unui punct diferențiabil.

Un extremum ascuțit, precum și un minim de funcție, este un aspect extrem de important al deciziei problema matematica folosind valori extreme. Pentru a înțelege mai bine această componentă, este important să ne referim la valorile tabelare pentru atribuirea funcționalului.

Extremul funcțional

Pentru a găsi valoarea de mai sus, trebuie să respectați următoarele reguli:

• determinați condiția necesară pentru raportul extremal;
• luați în considerare starea suficientă a punctelor extreme de pe grafic;
• efectuați calculul unui extremum acut.

Există, de asemenea, concepte precum minim slab și minim puternic. Acest lucru trebuie luat în considerare la determinarea extremului și calculul exact al acestuia. În același timp, funcționalitatea ascuțită este căutarea și crearea tuturor condițiilor necesare pentru lucrul cu graficul funcției.

Se consideră funcția y = f(x), care este considerată pe intervalul (a, b).

Dacă este posibil să se precizeze o astfel de b-vecinătate a punctului x1 aparținând intervalului (a, b) încât pentru tot x (x1, b) să fie satisfăcută inegalitatea f(x1) > f(x), atunci y1 = f1(x1) se numește functia maxima y = f(x) vezi fig.

Maximul funcției y = f(x) se notează cu max f(x). Dacă este posibil să se specifice o vecinătate de 6 a punctului x2 aparținând intervalului (a, b) astfel încât pentru tot x să aparțină lui O(x2, 6), x nu este egal cu x2, inegalitatea f(x2)< f(x) , atunci y2= f(x2) se numește minimul funcției y-f(x) (vezi Fig.).

Un exemplu de găsire a maximului, vezi următorul videoclip

Caracteristică minimă

Minimul funcției y = f(x) se notează cu min f(x). Cu alte cuvinte, maximul sau minimul unei funcții y = f(x) numit valoarea sa, care este mai mare (mai mică) decât toate celelalte valori luate în puncte suficient de apropiate de cea dată și diferite de aceasta.

Observație 1. Funcție maximă, determinat de inegalitate se numește maxim strict; Maximul nestrict este definit de inegalitatea f(x1) > = f(x2)

Observația 2. au un caracter local (acestea sunt cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției într-o vecinătate suficient de mică a punctului corespunzător); minimele individuale ale unei anumite funcții pot fi mai mari decât maximele aceleiași funcție

Ca rezultat, se apelează maximul (minimul) al funcției maxim local(minimum local) în contrast cu maximul absolut (minimul) - cea mai mare (cea mai mică) valoare din domeniul funcției.

Maximul și minimul unei funcții se numește extremum. . Extreme în găsire pentru funcții de trasare

latin extremum înseamnă „extrem” sens. Valoarea argumentului x, la care se atinge extremul, se numește punctul extremum. Condiția necesară pentru un extremum este exprimată prin următoarea teoremă.

Teorema. În punctul de extremum al funcției diferențiabile și derivata ei este egală cu zero.

Teorema are o simplă sens geometric: tangenta la graficul funcției diferențiabile în punctul corespunzător este paralelă cu axa x

Valorile funcției și punctele maxime și minime

Cea mai mare valoare funcții

Cea mai mică valoare a funcției

După cum a spus nașul: „Nimic personal”. Numai derivate!

Sarcina 12 din statistici este considerată destul de dificilă și totul pentru că băieții nu au citit acest articol (glumă). În cele mai multe cazuri, nepăsarea este de vină.

12 sarcina este de două tipuri:

1. Găsiți punctul înalt/jos (solicitat să găsească valorile „x”).
2. Găsiți cea mai mare/cea mai mică valoare a unei caracteristici (se solicită să găsească valorile „y”).

Găsiți punctul înalt/jos

1. Echivalează-l cu zero.
2. S-a găsit sau a găsit „x” și vor fi punctele minime sau maxime.
3. Determinați semnele utilizând metoda intervalului și selectați ce punct este necesar în sarcină.

Sarcini cu examen:

Găsiți punctul maxim al funcției

• Luăm derivata:

Găsiți punctul minim al funcției

• Transformați și luați derivata:

• Grozav! În primul rând, funcția scade, apoi crește - acesta este punctul minim!

Găsiți cea mai mare / cea mai mică valoare a unei funcții

1. Luați derivata funcției propuse.
   
2. Echivalează-l cu zero.
   
3. „x” găsit va fi punctul minim sau maxim.
   
4. Determinați semnele utilizând metoda intervalului și selectați ce punct este necesar în sarcină.
5. În astfel de sarcini, un decalaj este întotdeauna stabilit: x-urile găsite în paragraful 3 trebuie incluse în acest decalaj.
6. Înlocuind în ecuația originală punctul maxim sau minim rezultat, obținem cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției.

Sarcini cu examen:

Aflați cea mai mare valoare a funcției pe intervalul [−4; −1]

Răspuns: -6

Găsiți cea mai mare valoare a funcției de pe segment

• Cea mai mare valoare a funcției este „11” în punctul maxim (pe acest segment) „0”.

Raspuns: 11

Concluzii:

1. 70% dintre greșeli sunt că băieții nu-și amintesc la ce ca răspuns cea mai mare / cea mai mică valoare a funcției de care trebuie să scrieți „y”, și pe scrieți punctul maxim/minim „x”.
2. Are derivata o soluție la găsirea valorilor funcției? Nu-ți face griji, îmbracă-l puncte extreme decalaj!
3. Răspunsul poate fi întotdeauna scris ca număr sau zecimal. Nu? Apoi schimbați exemplul.
4. În majoritatea sarcinilor se va obține un punct și va fi justificată lenea noastră de a verifica maximul sau minimul. Avem un punct - puteți scrie în siguranță ca răspuns.
5. Si aici cu căutarea valorii unei funcții, nu ar trebui să faci asta! Asigurați-vă că acesta este punctul dorit, altfel valorile extreme ale decalajului pot fi mai mari sau mai mici.

1°. Determinarea extremului unei funcții.

Conceptul de maxim, minim, extremum al unei funcții a două variabile este similar cu conceptele corespunzătoare ale unei funcții a unei variabile independente.

Lasă funcția z=f(X; y) definite într-o anumită zonă D, punct N(x 0 ;y0) D.

Punct (x 0 ;y0) numit un punct maxim funcții z= f(X;y), dacă există o astfel de -vecinătate a unui punct (x 0 ;y 0), că pentru fiecare punct (X y), diferit de (x 0 ;y0) acest cartier satisface inegalitatea f(X;y)< f(x 0 ;y0). Figura 12: N 1 - punct maxim, a N 2 - punct minim al funcției z=f(X;y).

Ideea minim funcții: pentru toate punctele (x 0 ;y 0),în afară de (x 0 ;y 0), din cartierul d a punctului (x 0 ;y0) este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0 ;y 0) >f(x 0 ;y0).

În mod similar, se determină extremul unei funcții de trei sau mai multe variabile.

Se numește valoarea funcției în punctul de maxim (minim). maxim (minimum) funcții.

Maximul și minimul unei funcții este numit extrema.

Rețineți că, în virtutea definiției, punctul extremum al funcției se află în domeniul funcției; maxime și minime sunt local caracter (local): valoarea unei funcții într-un punct (x 0 ;y0) este comparată cu valorile sale în puncte suficient de apropiate de (x 0 ;y0).În zonă D O funcție poate avea mai multe extreme sau niciuna.

2°. Conditiile necesare extremum.

Luați în considerare condițiile de existență a unui extremum al unei funcții.

Geometric egal f"y (x 0 ;y0)= 0 și f"y (x 0 ;y 0) = 0 înseamnă că în punctul extremum al funcției z = f(X; y) plan tangent la suprafața care descrie funcția f(X; y), paralel cu planul Oh huîntrucât ecuația planului tangent este z=z0.

Cometariu. O funcție poate avea un extremum în punctele în care cel puțin una dintre derivatele parțiale nu există. De exemplu, funcția are un maxim la punct DESPRE(0;0), dar nu are derivate parțiale în acest moment.

Punctul în care derivatele parțiale de ordinul întâi ale unei funcții z = f(X;y) sunt egale cu zero, adică f"X = 0, f" y= 0, numit punct staționar funcții z.

Sunt numite punctele staționare și punctele în care cel puțin o derivată parțială nu există puncte critice.

În punctele critice, funcția poate avea sau nu un extremum. Egalitatea la zero a derivatelor parțiale este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru existența unui extremum. Luați în considerare, de exemplu, funcția z = hu. Pentru aceasta, punctul 0(0; 0) este critic (ei dispar la el). Cu toate acestea, funcția extremum în ea z = xy nu are, deoarece într-o vecinătate suficient de mică a punctului O(0;0) există puncte pentru care z > 0 (punctele I și III sferturi) și z< 0 (punctele II și IV trimestre).

Astfel, pentru a găsi extremele funcției într-o regiune dată, fiecare punct critic funcții care urmează să fie explorate în continuare.

Punctele staționare se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații

(condiţiile necesare pentru un extremum).

Sistemul (1) este echivalent cu o ecuație df(x, y)=0.În general, la punctul extremum P(a, b) funcții f(x, y) sau df(x, y)=0, sau df(a, b) nu exista.

3°. Condiții suficiente pentru un extremum. Lăsa P(a; b)- punctul staționar al funcției f(X y), adică . df(а, b) = 0. Apoi:

si daca d2f (a, b)< 0 la , atunci f(a, b) Există maxim funcții f (X y);

b) dacă d2f (а, b) > 0 la , atunci f(a, b)Există minim funcții f (X y);

c) dacă d2f (a, b) schimba semnul, atunci f (a, b) nu este un extremum al funcției f (X y).

Condițiile de mai sus sunt echivalente cu următoarele: lit Și . Hai să compunem discriminant ∆=AC-B2.

1) dacă Δ > 0, atunci funcția are un extrem în punct P (a; b) anume maximul daca A<0 (sau CU<0 ), iar minimul dacă A>0(sau С>0);

2) dacă Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) Nu;

3) dacă Δ = 0, atunci se pune problema prezenței unui extremum al funcției într-un punct P(a; b) rămâne deschis (necesită studii suplimentare).

4°. Cazul unei funcții de mai multe variabile. Pentru o funcție de trei și Mai mult variabilelor, condițiile necesare pentru existența unui extremum sunt similare condițiilor (1), iar condițiile suficiente sunt similare condițiilor a), b), c) 3°.

Exemplu. Investigați o funcție pentru un extremum z=x³+3xy²-15x-12y.

Soluţie. Să găsim derivatele parțiale și să compunem sistemul de ecuații (1):

Rezolvând sistemul, obținem patru puncte staționare:

Să găsim derivate de ordinul 2

și faceți discriminant ∆=AC - B² pentru fiecare punct staționar.

1) Pentru punct: , ∆=AC-B²=36-144<0 . Deci nu există niciun extremum în acest punct.

2) Pentru punctul P2: A=12, B=6, C=12; A=144-36>0, A>0. La punctul P2, funcția are un minim. Acest minim este egal cu valoarea funcției la x=2, y=1: ​​​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Pentru punct: A=-6, B=-12, C=-6; Δ = 36-144<0 . Nu există extremă.

4) Pentru punctul P 4: A=-12, B=-6, C=-12; A=144-36>0. La punctul P4, funcția are un maxim egal cu Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Extremum condiționat. În cel mai simplu caz extremul condiționat funcții f(X y) este maximul sau minimul acestei funcții, atins cu condiția ca argumentele ei să fie legate prin ecuație φ(x,y)=0 (ecuația conexiunii). Pentru a găsi extremul condiționat al unei funcții f(X y) în prezenţa relaţiei φ(x, y) = 0, constituie așa-numitele Funcția Lagrange

F(X ,y )=f(X ,y)+λφ (X ,y),

unde λ este un factor constant nedeterminat și căutați extremul obișnuit al acestei funcții auxiliare. Condițiile necesare pentru un extremum sunt reduse la un sistem de trei ecuații

cu trei necunoscute x, y, λ, din care, în general, se pot determina aceste necunoscute.

Problema existenței și naturii extremumului condiționat este rezolvată pe baza studierii semnului celei de-a doua diferențe a funcției Lagrange.

pentru sistemul de valori testat x, y, λ obtinut din (2) cu conditia ca dxȘi du corelate prin ecuație

.

Și anume, funcția f(X y) are un maxim condiționat dacă d²F< 0 și un minim condiționat dacă d²F>0. În special, dacă discriminantul Δ pentru funcție F(x, y)într-un punct staționar este pozitiv, atunci în acest punct există un maxim condiționat al funcției f(X y), Dacă A< 0 (sau CU< 0), și un minim condiționat dacă A > O(sau С>0).

În mod similar, extremul condiționat al unei funcții de trei sau mai multe variabile se găsește în prezența uneia sau mai multor ecuații de conexiune (al căror număr, totuși, ar trebui să fie mai mic decât numărul variabile). Aici este necesar să se introducă în funcția Lagrange atât de mulți factori nedeterminați câte ecuații de conexiune există.

Exemplu. Aflați extremul unei funcții z=6-4x-3y cu condiţia ca variabilele XȘi la satisface ecuația x²+y²=1.

Soluţie. Geometric, problema se reduce la găsirea celui mai mare și cele mai mici valori aplicatii z avion z=6 - 4x - Zu pentru punctele de intersecție cu cilindrul x2+y2=1.

Compuneți funcția Lagrange F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Avem . Condițiile necesare dau sistemul de ecuații

rezolvarea pe care o găsim:

.

,

d²F=2λ (dx²+dy²).

Dacă și atunci d²F >0, și, prin urmare, în acest moment funcția are un minim condiționat. Dacă și apoi d²F<0, și, prin urmare, în acest moment funcția are un maxim condiționat.

Prin urmare,

6°. Cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției.

Lasă funcția z=f(X; y) definit și continuu într-un domeniu închis mărginit . Apoi ajunge în unele puncte cel mai mare al lui M si cel putin T valori (așa-numitele. extremă globală). Aceste valori sunt atinse de funcție în punctele situate în interiorul regiunii , sau în puncte situate la limita regiunii.