Limite. A doua limită remarcabilă Limita x tinde spre 2
Ce este o limită? Conceptul de limită
Toată lumea, fără excepție, undeva în adâncul sufletului înțelege ce este o limită, dar de îndată ce aud „limită de funcție” sau „limită de secvență”, atunci există o ușoară confuzie.
Nu vă fie teamă, este doar din ignoranță! După 3 minute de citit următoarele, vei deveni mai alfabetizat.
Este important să înțelegem odată pentru totdeauna ce înseamnă ele atunci când vorbesc despre niște poziții limitative, sensuri, situații și, în general, când recurg la termenul limită în viață.
Adulții înțeleg acest lucru intuitiv și îl vom analiza cu câteva exemple.
Exemplul unu
Să ne amintim replicile din cântecul grupului Chaif: „... nu-l duce la limită, nu-l duce la limită...”.
Exemplul doi
Cu siguranță ați auzit fraza despre poziția extrem de stabilă a unui obiect în spațiu.
Tu însuți poți simula cu ușurință o astfel de situație cu lucruri improvizate.
De exemplu, înclinați ușor o sticlă de plastic și eliberați-o. Ea se va întoarce în jos.
Dar există astfel de poziții înclinate limitative, dincolo de care pur și simplu va cădea.
Din nou, poziția limită în acest caz este ceva specific. Este important să înțelegeți acest lucru.
Pot fi date multe exemple de utilizare a termenului limită: limita capacităților umane, rezistența finală a unui material și așa mai departe.
Ei bine, în general, ne confruntăm cu fărădelegea în fiecare zi)))
Dar acum ne interesează limita unei secvențe și limita unei funcții în matematică.
Limita secvenței de numere în matematică
Limita (a unei secvențe numerice) este unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice. Sute și sute de teoreme care definesc știința modernă se bazează pe conceptul de trecere la limită.
Doar un exemplu concret pentru claritate.
Să presupunem că există o succesiune infinită de numere, fiecare dintre ele fiind jumătate din cea anterioară, începând de la unul: 1, ½, ¼, ...
Deci limita secvenței numerice (dacă există) este o anumită valoare.
În procesul de împărțire la jumătate, fiecare valoare ulterioară a secvenței se apropie la infinit de un anumit număr.
Este ușor de ghicit că va fi zero.
Important!
Când vorbim despre existența unei limite (valoare limită), aceasta nu înseamnă că un anumit membru al secvenței va fi egal cu această valoare limită. El poate doar să lupte pentru asta.
Din exemplul nostru, acest lucru este mai mult decât clar. Indiferent de câte ori împărțim unul la doi, nu vom obține niciodată zero. Va fi doar o jumătate din numărul precedent, dar nu zero!
Limita unei funcții în matematică
În analiza matematică, desigur, cel mai important lucru este conceptul de limită a unei funcții.
Fără să ne aprofundăm în teorie, să spunem următoarele: valoarea limită a unei funcții poate să nu aparțină întotdeauna intervalului de valori al funcției în sine.
Când argumentul se schimbă, funcția se va strădui pentru o anumită valoare, dar s-ar putea să nu o accepte niciodată.
De exemplu, hiperbolă 1/x nu are valoarea zero în niciun punct, dar tinde spre zero la infinit, așa cum tinde X catre infinit.
Calculator de limită
Scopul nostru nu este să vă oferim niște cunoștințe teoretice, există o mulțime de cărți groase inteligente pentru asta.
Dar vă invităm să utilizați calculator online limite, cu care vă puteți compara soluția cu răspunsul corect.
În plus, calculatorul oferă o soluție pas cu pas a limitelor, aplicând adesea regula L'Hopital folosind diferențierea numărătorului și numitorului unei funcții continue într-un punct sau pe un anumit segment.
Limitele le dau tuturor studenților la matematică multe probleme. Pentru a rezolva limita, uneori trebuie să folosiți o mulțime de trucuri și să alegeți dintr-o varietate de soluții exact pe cea care este potrivită pentru un anumit exemplu.
În acest articol, nu vă vom ajuta să înțelegeți limitele abilităților dvs. sau să înțelegeți limitele controlului, dar vom încerca să răspundem la întrebarea: cum să înțelegeți limitele în matematica superioară? Înțelegerea vine cu experiența, așa că, în același timp, vom oferi câteva exemple detaliate limite de solutie cu explicatii.
Conceptul de limită în matematică
Prima întrebare este: care este limita și limita a ce? Putem vorbi despre limitele secvențelor numerice și ale funcțiilor. Suntem interesați de conceptul de limită a unei funcții, deoarece elevii se întâlnesc cel mai des cu ele. Dar mai întâi, cea mai generală definiție a unei limite:
Să zicem că există unele variabil. Dacă această valoare în procesul de schimbare se apropie la infinit de un anumit număr A , Acea A este limita acestei valori.
Pentru o funcție definită într-un anumit interval f(x)=y limita este numărul A , spre care funcţia tinde când X tinzând la un anumit punct A . Punct A aparține intervalului pe care este definită funcția.
Sună greoi, dar este scris foarte simplu:
Lim- din engleza limită- limita.
Există și o explicație geometrică pentru definirea limitei, dar aici nu vom intra în teorie, deoarece ne interesează mai mult latura practică decât teoretică a problemei. Când spunem asta X tinde spre o anumită valoare, asta înseamnă că variabila nu preia valoarea unui număr, ci se apropie de el la infinit.
Să luăm un exemplu concret. Provocarea este să găsești limita.
Pentru a rezolva acest exemplu, înlocuim valoarea x=3 într-o funcție. Primim:
Apropo, dacă sunteți interesat de operațiile de bază pe matrice, citiți un articol separat pe acest subiect.
În exemple X poate tinde spre orice valoare. Poate fi orice număr sau infinit. Iată un exemplu când X tinde spre infinit:
Este intuitiv clar că mai mult număr la numitor, cu atât valoarea va fi luată de funcție mai mică. Deci, cu o creștere nelimitată X sens 1/x va scădea și se va apropia de zero.
După cum puteți vedea, pentru a rezolva limita, trebuie doar să înlocuiți valoarea pentru care să încercați în funcție X . Cu toate acestea, acesta este cel mai simplu caz. Adesea, găsirea limitei nu este atât de evidentă. În limite există incertitudini de tip 0/0 sau infinit/infinit . Ce să faci în astfel de cazuri? Folosește trucuri!
Incertitudini în interior
Incertitudinea formei infinit/infinit
Să existe o limită:
Dacă încercăm să substituim infinitul în funcție, vom obține infinit atât la numărător, cât și la numitor. În general, merită spus că există un anumit element de artă în rezolvarea unor astfel de incertitudini: trebuie observat cum o funcție poate fi transformată în așa fel încât incertitudinea să dispară. În cazul nostru, împărțim numărătorul și numitorul cu X în grad superior. Ce se va intampla?
Din exemplul deja considerat mai sus, știm că termenii care conțin x în numitor vor tinde spre zero. Atunci soluția la limită este:
Pentru a descoperi ambiguitățile de tip infinit/infinitîmpărțiți numărătorul și numitorul la X la cel mai înalt grad.
Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice fel de muncă
Un alt tip de incertitudine: 0/0
Ca întotdeauna, înlocuirea în funcția de valoare x=-1 dă 0 la numărător și numitor. Privește puțin mai atent și vei observa că în numărătorul pe care îl avem ecuație pătratică. Să găsim rădăcinile și să scriem:
Să reducem și să obținem:
Deci, dacă întâmpinați ambiguitate de tip 0/0 - factorizați numărătorul și numitorul.
Pentru a vă facilita rezolvarea exemplelor, iată un tabel cu limitele unor funcții:
Regula lui L'Hopital înăuntru
Un alt mod puternic de a elimina ambele tipuri de incertitudini. Care este esența metodei?
Dacă există incertitudine în limită, luăm derivata numărătorului și numitorului până când incertitudinea dispare.
Din punct de vedere vizual, regula lui L'Hopital arată astfel:
Punct important : trebuie să existe limita, în care derivatele numărătorului și numitorului sunt în locul numărătorului și numitorului.
Și acum un exemplu real:
Există o incertitudine tipică 0/0 . Luați derivatele numărătorului și numitorului:
Voila, incertitudinea este eliminată rapid și elegant.
Sperăm că veți putea folosi aceste informații în practică și veți găsi răspunsul la întrebarea „cum se rezolvă limite la matematica superioară”. Dacă trebuie să calculați limita unei secvențe sau limita unei funcții la un punct și nu există timp pentru această lucrare din cuvântul „absolut”, contactați un serviciu pentru studenți profesioniști pentru o soluție rapidă și detaliată.
Ce este o limită? Conceptul de limită
Toată lumea, fără excepție, undeva în adâncul sufletului înțelege ce este o limită, dar de îndată ce aud „limită de funcție” sau „limită de secvență”, atunci există o ușoară confuzie.
Nu vă fie teamă, este doar din ignoranță! După 3 minute de citit următoarele, vei deveni mai alfabetizat.
Este important să înțelegem odată pentru totdeauna ce înseamnă ele atunci când vorbesc despre niște poziții limitative, sensuri, situații și, în general, când recurg la termenul limită în viață.
Adulții înțeleg acest lucru intuitiv și îl vom analiza cu câteva exemple.
Exemplul unu
Să ne amintim replicile din cântecul grupului Chaif: „... nu-l duce la limită, nu-l duce la limită...”.
Exemplul doi
Cu siguranță ați auzit fraza despre poziția extrem de stabilă a unui obiect în spațiu.
Tu însuți poți simula cu ușurință o astfel de situație cu lucruri improvizate.
De exemplu, înclinați ușor o sticlă de plastic și eliberați-o. Ea se va întoarce în jos.
Dar există astfel de poziții înclinate limitative, dincolo de care pur și simplu va cădea.
Din nou, poziția limită în acest caz este ceva specific. Este important să înțelegeți acest lucru.
Pot fi date multe exemple de utilizare a termenului limită: limita capacităților umane, rezistența finală a unui material și așa mai departe.
Ei bine, în general, ne confruntăm cu fărădelegea în fiecare zi)))
Dar acum ne interesează limita unei secvențe și limita unei funcții în matematică.
Limita secvenței de numere în matematică
Limita (a unei secvențe numerice) este unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice. Sute și sute de teoreme care definesc știința modernă se bazează pe conceptul de trecere la limită.
Doar un exemplu concret pentru claritate.
Să presupunem că există o succesiune infinită de numere, fiecare dintre ele fiind jumătate din cea anterioară, începând de la unul: 1, ½, ¼, ...
Deci limita secvenței numerice (dacă există) este o anumită valoare.
În procesul de împărțire la jumătate, fiecare valoare ulterioară a secvenței se apropie la infinit de un anumit număr.
Este ușor de ghicit că va fi zero.
Important!
Când vorbim despre existența unei limite (valoare limită), aceasta nu înseamnă că un anumit membru al secvenței va fi egal cu această valoare limită. El poate doar să lupte pentru asta.
Din exemplul nostru, acest lucru este mai mult decât clar. Indiferent de câte ori împărțim unul la doi, nu vom obține niciodată zero. Va fi doar o jumătate din numărul precedent, dar nu zero!
Limita unei funcții în matematică
În analiza matematică, desigur, cel mai important lucru este conceptul de limită a unei funcții.
Fără să ne aprofundăm în teorie, să spunem următoarele: valoarea limită a unei funcții poate să nu aparțină întotdeauna intervalului de valori al funcției în sine.
Când argumentul se schimbă, funcția se va strădui pentru o anumită valoare, dar s-ar putea să nu o accepte niciodată.
De exemplu, hiperbolă 1/x nu are valoarea zero în niciun punct, dar tinde spre zero la infinit, așa cum tinde X catre infinit.
Calculator de limită
Scopul nostru nu este să vă oferim niște cunoștințe teoretice, există o mulțime de cărți groase inteligente pentru asta.
Dar vă sugerăm să utilizați calculatorul de limită online, cu care vă puteți compara soluția cu răspunsul corect.
În plus, calculatorul oferă o soluție pas cu pas a limitelor, aplicând adesea regula L'Hopital folosind diferențierea numărătorului și numitorului unei funcții continue într-un punct sau pe un anumit segment.
Pentru cei care doresc să învețe cum să găsească limitele în acest articol vom vorbi despre asta. Nu vom aprofunda în teorie, aceasta este de obicei dată în prelegeri de către profesori. Deci „teoria plictisitoare” ar trebui conturată în caietele tale. Dacă nu, atunci puteți citi manuale luate din bibliotecă instituție educațională sau alte resurse online.
Deci, conceptul de limită este destul de important în studierea cursului matematică superioară, mai ales când dai peste calcul integral și înțelegi relația dintre limită și integrală. În materialul curent vor fi luate în considerare exemple simple, precum și modalități de rezolvare a acestora.
Exemple de soluții
| Exemplul 1 |
| Calculați a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| Soluţie |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ De multe ori ni se trimit aceste limite cerând ajutor pentru a le rezolva. Am decis să le evidențiem ca exemplu separat și să explicăm că aceste limite trebuie pur și simplu reținute, de regulă. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vă vom oferi o soluție detaliată. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util! |
| Răspuns |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ |
Ce să faci cu incertitudinea formei: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| Exemplul 3 |
| Rezolvați $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Soluţie |
|
Ca întotdeauna, începem prin a înlocui valoarea lui $ x $ în expresia de sub semnul limită. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac(0)(0) $$ Ce urmeaza? Care ar trebui să fie rezultatul? Deoarece aceasta este o incertitudine, acesta nu este încă un răspuns și continuăm calculul. Deoarece avem un polinom în numărători, îl descompunem în factori folosind formula familiară $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Amintit? Grozav! Acum continuă și aplică-l cu melodia :) Obținem că numărătorul $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Continuăm să rezolvăm având în vedere transformarea de mai sus: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+1))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Răspuns |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Să luăm limita din ultimele două exemple la infinit și să luăm în considerare incertitudinea: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Exemplul 5 |
| Calculați $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Soluţie |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ce să fac? Cum să fii? Nu intrați în panică, pentru că imposibilul este posibil. Este necesar să scoateți parantezele atât la numărător, cât și la numitorul X, apoi reduceți-l. După aceea, încercați să calculați limita. Incercand... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac(1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Folosind definiția din exemplul 2 și înlocuind infinitul cu x, obținem: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Răspuns |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Algoritm pentru calculul limitelor
Deci, să rezumăm pe scurt exemplele analizate și să facem un algoritm pentru rezolvarea limitelor:
- Înlocuiți punctul x în expresia după semnul limită. Dacă se obține un anumit număr, sau infinit, atunci limita este complet rezolvată. În caz contrar, avem incertitudine: „zero împărțit la zero” sau „infinit împărțit la infinit” și trecem la următoarele paragrafe ale instrucțiunii.
- Pentru a elimina incertitudinea „diviziunea zero la zero”, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul. Reduceți similar. Înlocuiți punctul x în expresia de sub semnul limită.
- Dacă incertitudinea este „infinitul împărțit la infinit”, atunci scoatem atât în numărător, cât și în numitorul x de cel mai mare grad. Scurtăm x-urile. Înlocuim valorile x de sub limită în expresia rămasă.
În acest articol, v-ați familiarizat cu elementele de bază ale rezolvării limitelor, care sunt adesea folosite în curs. Analiza matematică. Desigur, acestea nu sunt toate tipurile de probleme oferite de examinatori, ci doar limitele cele mai simple. Vom vorbi despre alte tipuri de sarcini în articolele viitoare, dar mai întâi trebuie să înveți această lecție pentru a merge mai departe. Vom discuta ce să facem dacă există rădăcini, grade, vom studia funcții echivalente infinitezimale, limite minunate, regula lui L'Hopital.
Dacă nu vă puteți da seama singuri de limite, nu intrați în panică. Suntem mereu bucuroși să vă ajutăm!
Se încarcă...
